Математические модели и методы анализа волновых процессов в нелинейных средах 05. 13. 18 математическое моделирование, численные методы и комплексы программ icon

Математические модели и методы анализа волновых процессов в нелинейных средах 05. 13. 18 математическое моделирование, численные методы и комплексы программ


Смотрите также:
Моделирование процессов самообучения интеллектуальных систем на нечетких семантических сетях в...
Математические модели в сканирующей микроскопии ближнего поля и их реализация в виде комплекса...
Математические модели и комплекс программ для функциональной диагностики биомедицинских сигналов...
Программа-минимум кандидатского экзамена по специальности 05. 13...
Программа вступительного экзамена по специальности 05. 13. 18 Математическое моделирование...
Программа для поступающих в магистратуру по специальности 1-40 80 04 «математическое...
Математическое моделирование внутренней структуры дисперсных систем методом частиц...
Актуальность темы диссертационной работы...
Двумерные математические модели переноса бинарного электролита в мембранных системах 05. 13...
Модели и алгоритмы распознавания железнодорожной технической документации...
Модели и алгоритмы распознавания железнодорожной технической документации...
«Математическое моделирование доменных структур»...



Загрузка...
скачать


На правах рукописи


Катсон Владимир Маркович


МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ И МЕТОДЫ АНАЛИЗА

ВОЛНОВЫХ ПРОЦЕССОВ В НЕЛИНЕЙНЫХ СРЕДАХ


05.13.18 – математическое моделирование, численные методы

и комплексы программ


Автореферат

диссертации на соискание учёной степени

кандидата физико-математических наук


Саратов 2010

Работа выполнена в ГОУ ВПО

Саратовский государственный технический университет



Научный руководитель:


доктор физико-математических наук, профессор

Землянухин Александр Исаевич


Официальные оппоненты:

доктор технических наук, профессор

Крысько Вадим Анатольевич


доктор физико-математических наук, профессор

Андрейченко Дмитрий Константинович

Ведущая организация:

Нижегородский филиал Института Машиноведения им. А.А. Благонравова РАН (г. Нижний Новгород)



Защита диссертации состоится «22» декабря 2010 г. в 13.00 на заседании диссертационного совета Д 212.242.08 при ГОУ ВПО «Саратовский государственный технический университет» по адресу: 410054, Саратов, ул. Политехническая, 77, корп. 1, ауд. 414.


С диссертацией можно ознакомиться в научно-технической библиотеке ГОУ ВПО «Саратовский государственный технический университет».


Автореферат размещён на сайте Саратовского государственного технического университета www.sstu.ru 22 ноября 2010 г.

Автореферат разослан « 22» ноября 2010 г.


Учёный секретарь

диссертационного совета Терентьев А.А.

^ ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ


Актуальность темы. В настоящее время одним из основных феноменов в нелинейной динамике является существование устойчивых стационарных импульсов – «солитонов» в средах различной природы: от плазмы до деформируемых твердых тел.

В частности, первое экспериментальное наблюдение солитона в тонкой металлической цилиндрической оболочке описано в работе И. Рудника, Дж. И. Ву, С. Питермана (1987).

Ряд вопросов нелинейной волновой динамики цилиндрических оболочек освещен в работах Л.И. Могилевича и А.И. Землянухина. Основные результаты получены для тонких цилиндрических оболочек Кирхгофа-Лява (гипотеза прямых нормалей) на основе интегрируемых уравнений.

Вместе с тем, нелинейные математические модели, приводящие к интегрируемым уравнениям, зачастую оказываются идеализированными. Уточнённые модели, учитывающие реальные факторы (неоднородность материала и диссипацию), часто приводят к неинтегрируемым уравнениям, аналитическое исследование которых затруднено. Единственным способом исследования такой системы является численный эксперимент.

Задачи численного моделирования распространения волн деформации в тонкой цилиндрической оболочке, но в одномерном случае были решены Е.И. Штейнбергом. Численные эксперименты в настоящей работе проводятся на двумерной сетке, что позволяет учитывать влияние пространственной неоднородности исследуемой системы на волновой процесс.

Многочисленные практические применения оболочечных конструкций в технике обусловливают актуальность данной работы.

^ Цель работы. Исследование математических моделей и методов анализа нелинейных волн в деформируемых системах, описываемых неинтегрируемыми уравнениями на основе теории тонких оболочек Кирхгофа-Лява в двумерном случае с учётом диссипации, конструктивной неоднородности, геометрической и физической нелинейности.

Комплексный характер исследования приводит к необходимости решения следующих задач:

  • Вывод обобщенного эволюционного уравнения, моделирующего распространение продольных волн деформации в геометрически и физически нелинейной неоднородной цилиндрической оболочке с затуханием.

  • Нахождение классов точных решений полученного уравнения, включающих в себя солитоноподобные решения.

  • Численное моделирование выведенного уравнения и исследование эволюции импульсов различной формы, в том числе и двумерных.

^ Научная новизна работы. Получила дальнейшее развитие нелинейная волновая динамика цилиндрических оболочек, а именно:

  • Выведено новое обобщенное пространственно-двумерное нелинейное эволюционное уравнение, описывающее распространение продольных волн в пологих тонких цилиндрических оболочках Кирхгофа-Лява. От известных ранее моделей уравнение отличается одновременным учетом геометрической и физической нелинейности, потерь энергии и конструктивной неоднородности материала оболочки.

  • С помощью метода простейших уравнений для физически значимых редукций выведенного уравнения найдены классы точных солитоноподобных решений.

  • На основе проведенного сравнения основных численных методов для решения нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных показана целесообразность использования для уравнений 5-го порядка неявных псевдоспектральных схем. Такие схемы обладают лучшим, в рамках поставленной задачи, соотношением между скоростью и точностью вычислений. Необходимость выполнения большого числа вычислительных операций для расчета значений сеточной функции компенсируется в них устойчивостью, позволяющей делать большие шаги по времени.

  • Усовершенствован классический неявный псевдоспектральный метод, область его применимости расширена на уравнения, содержащие сложные нелинейные члены, например uuxxx или uxuxx.

  • Численно исследованы (на двумерной сетке) солитоноподобные решения выведенного уравнения и его частные случаи: явления распространения и упругого взаимодействия солитоноподобных волн, обнаружены ударно-волновые режимы и устойчивые крестообразные структуры, обнаружен устойчивый режим распространения волны с моделированным по амплитуде передним фронтом.

  • Разработан проблемно-ориентированный комплекс программ численного и аналитического исследования нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных. Комплекс содержит:

  1. Программу (simpeq) для решения дифференциальных уравнений в частных производных с использованием систем компьютерной алгебры. Программа существенно упрощает и в ряде случаев полностью автоматизирует процесс решения уравнений в частных производных методом простейших уравнений и строит точные волновые решения.

  2. Программную оболочку (2D-soliton), объединяющую реализованные численные методы и позволяющую численно моделировать пространственно-двумерные эволюционные уравнения.

^ Достоверность результатов. Исследования проводились на основе численных методов, устойчивость и сходимость которых были теоретически обоснованы. Достоверность результатов, полученных в работе, подтверждается также совпадением результатов численного и аналитического исследования. Дополнительно точность численных вычислений проверялась вариацией временного шага.

^ Практическая и теоретическая значимость. Полученные результаты могут быть использованы в приложениях, связанных с акустическими и неразрушающими методами диагностики состояния материалов. Результаты моделирования поведения уединенных волн могут быть использованы для передачи информации по акустическим волноводам.

^ Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на ежегодных Нижегородских акустических конференциях в Институте машиноведения им. А.А. Благонравова (Нижний Новгород, 2006), на Международной конференции «XVIII сессия Международной школы по моделям механики сплошной среды» (Саратов, 2007), на Международной конференции «Advanced Problems in Mechanics 2008» (Санкт-Петербург, 2008), XXIII Международной научной конференции «Математические методы в технике и технологиях» (Саратов, 2010), на XXII сессии Российского акустического общества и сессии научного совета РАН по акустике, на научном семинаре кафедры прикладной математики и теории навигационных приборов под руководством А.И. Землянухина.

^ На защиту выносятся cледующие основные результаты и положения работы:

  • Выведенное новое нелинейное уравнение в частных производных, описывающее волновые процессы в физически и геометрически нелинейных цилиндрических оболочках Кирхгофа-Лява в пространственно неодномерном случае с наличием диссипации.

  • Точные решения полученных неинтегрируемых (в смысле метода обратной задачи рассеяния) эволюционных уравнений и их частных случаев. В бездиссипативном случае с учетом лишь физической нелинейности найдено солитоноподобное решение. Учет только геометрической нелинейности приводит к двум новым решениям: солитонному и сингулярному.

  • Результаты численного моделирования эволюции различных начальных импульсов в нелинейных средах. Бездиссипативный случай с физической нелинейностью в случае задания начального импульса в виде гауссова купола приводит к образованию крестообразных структур. Случай задания сдвоенного гауссова импульса в качестве начальных условий приводит к образованию устойчивого волнового фронта с поперечно-модулированной амплитудой. Учёт геометрической нелинейности приводит к образованию крестообразной структуры для однокупольного начального возмущения и прямого солитона в случае с двухкупольным начальным импульсом. Моделирование диссипативной редукции выведенного уравнения приводит к обнаружению классических ударных волн и ударных волн с осциллирующим передним фронтом.

  • Точные солитоноподобные решения системы уравнений, описывающей продольные волны деформации в магнитоупругом стержне.

  • Комплекс программ численного и аналитического исследования нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных. Комплекс содержит:

  1. Программу simpeq, которая существенно упрощает и в ряде случаев полностью автоматизирует процесс решения уравнений в частных производных методом простейших уравнений и строит точные волновые решения.

  2. Программную оболочку (2D-soliton), объединяющую реализованные численные методы и позволяющую численно моделировать пространственно-двумерные эволюционные уравнения.

Публикации. Основное содержание диссертационной работы и результаты исследований опубликованы в 6 научных статьях (из них 4 в изданиях, рекомендованных ВАК РФ) и учебном пособии.

^ Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка использованной литературы и приложений и содержит 126 страниц текста.


^ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ


Во введении раскрывается актуальность избранного направления исследований на основе теоретических, экспериментальных и прикладных работ. Сформулированы цель и задачи исследования, научная новизна и практическая значимость работы. Кратко изложено основное содержание диссертации. Каждая глава предваряется кратким обзором рассматриваемых проблем.

В главе 1 изложены основные современные аналитические методы, позволяющие точно решать нелинейные уравнения в частных производных: метод Хироты, метод гиперболических функций, метод сингулярного многообразия и метод функций перегиба. На основе проведенного анализа выбран метод простейших уравнений (Н.А. Кудряшов), как легко алгоритмизуемый и позволяющий находить решения более широкого класса. Описан и реализован алгоритм на основе системы компьютерной алгебры Maple. Приведён пример решения модифицированного уравнения Кортевега - де Вриза (МКДВ) с помощью разработанной в диссертации программы simpeq.

Глава 2 посвящена обзору основных численных методов, применяющихся для решения нелинейных уравнений в частных производных. Выбраны конечно-разностные и спектральные методы, а также периодические граничные условия, адекватные эволюции финитных импульсов с конечной энергией и солитоноподобных возмущений. Приведён код алгоритма решения систем уравнений с циклической полосовой матрицей.

Для решения проблем устойчивости спектральных методов выбран метод Орзага.

Составлен явный спектральный алгоритм решения уравнения МКДВ и его аналог более высокого порядка



(0)

Предложен неявный псевдоспектральный метод, основанный на идее гибридизации точности спектральных методов и устойчивости неявных методов. На примере уравнения МКДВ показана процедура построения численного алгоритма, приводящего к решению на каждом шаге по времени системы нелинейных алгебраических уравнений, с помощью простой итерации. Показан механизм устойчивости данного алгоритма.

Предложен алгоритм, продолжающий идею гибридизации спектральных методов, распространяя этот подход на уравнения, содержащие члены, непредставимые в виде где - дифференциальный оператор, - константа. Метод назван «комбинированный псевдоспектральный метод». Идея метода состоит в том, что расчет таких сложных нелинейных членов производится явным образом в трехмерном пространстве. Показано его применение для численного решения уравнения:

.

(0)

Показана устойчивость данного алгоритма.


В главе 3 исследована эволюция нелинейных продольных волн в геометрически и физически нелинейных цилиндрических оболочках на основе модели Кирхгофа-Лява. Рассматривается пологая оболочка. Уравнения движения элемента оболочки, записанные в перемещениях, имеют вид




где U,V,W – перемещения; E - модуль Юнга; - коэффициент Пуассона; - удельный вес материала оболочки; g - ускорение свободного падения; h - толщина оболочки.



Эти уравнения содержат 5 малых параметров:



(0)

характеризующих соответственно нелинейность волнового процесса(), его дисперсию(), тонкостенность оболочки(), слабую угловую расходимость квазиплоской волны(), а также параметр δ4, характеризующий «конструктивное демпфирование», то есть потери энергии.

Здесь ^ А – характерный масштаб амплитуды возмущения; l – характерная длина волны; R – радиус кривизны оболочки; h – толщина оболочки. Рассматривается случай, когда возмущение распространяется с постоянной скоростью вдоль образующей оболочки, медленно меняет свои параметры во времени. Согласно методу многих масштабов, вводятся в рассмотрение разложения зависимых и независимых переменных по степеням малого параметра , соответствующие рассматриваемому случаю:



(0)

Здесь U,V,W – безразмерные перемещения точек срединной поверхности в направлениях x,y,z соответственно; С – неизвестная «базовая» скорость возмущения, значение которой определяется в результате первого шага метода многих масштабов.

Исследуется случай, когда параметры нелинейности, дисперсии и тонкостенности имеют одинаковый порядок малости



(0)

В итоге выведено уравнение, описывающее распространение волн продольной компоненты деформации в упругой геометрически и физически нелинейной оболочке



(0)

Уравнение (0) имеет достаточно сложную аналитическую структуру, что затрудняет построение его точных решений в общем случае. Далее рассматриваются характерные частные случаи этого уравнения, на основе анализа которых делается вывод о существовании двумерных и одномерных уединённых волн и исходном уравнении.

В отсутствие затухания и физической нелинейности уравнение (0) приводится к виду:



(0)

Методом простейших уравнений с помощью разработанной программы simpeq получено 2 точных решения: уединенно-волновое



(0)

и сингулярное



(0)



Рис. 1. График решения (12) при . Слева – сингулярное решение, справа - непрерывное, реализующееся при

Сингулярное решение (0) (рис.1 слева) не имеет физического смысла в общем случае, оно лишь формально является решением уравнения (0). Однако, когда , решение (0) (рис.1 справа) переходит в солитоноподобное решение. Случай (0) демонстрирует физичное солитоноподобное решение уравнения (0).

В случае отсутствия затухания и в условиях, когда физическая нелинейность преобладает над геометрической (особенность материала оболочки), после замены переменных уравнение (0) принимает вид:

.

(0)

С помощью программы simpeq получено его точное уединённо-волновое решение:



(0)

Главными результатами исследования в данной главе являются: вывод нового нелинейного уравнения в частных производных, описывающего волновые процессы в физически и геометрически нелинейных цилиндрических оболочках Кирхгофа-Лява в пространственно неодномерном случае с наличием диссипации, и построение точных аналитических решений основных физически возможных редукций.

В бездиссипативном случае с учетом лишь физической нелинейности имеется солитоноподобное решение (0). Учет геометрической нелинейности в отсутствие физической приводит к двум новым решениям: солитонному (0) и сингулярному (0).


Глава 4 посвящена численному анализу распространения уединённых волн в деформируемых средах. Для численного исследования использовались неявный и комбинированные псевдоспектральные методы, как обеспечивающие лучшее сочетание точности и сходимости по сравнению с другими рассмотренными методами.

Численное решение общего уравнения (0) не позволило обнаружить устойчивых режимов, тут сказывается влияние диссипации, которая приводит к затуханию всех возмущений (рис. 2).



^ Рис. 2. Затухающие возмущения в общем уравнении

Для обнаружения устойчивых режимов вернемся к рассмотрению частных случаев.

Решается уравнение (0), переписанное в виде:



(0)

Неявная спектральная схема имеет следующий вид:



(0)

Интеграл в правой части рассчитывался с помощью Фурье-преобразования.

Параметры схемы: сетка 256х41, dx = dy = 0.25 – шаги по x и y, dt = 0.01 – шаг по времени, dk = 0.0981 – шаг по волновому числу, β = γ = 1, δ = 0.3.


Рассматривались несколько видов начальных условий. Начальное возмущение в виде одиночного купола (рис. 3):

.

(0)

Купол возмущения движется вперёд (по ), одновременно расплываясь в стороны (по ), причём последний эффект преобладает. Движение вперёд сопровождается расщеплением волны на две части: первую, которая уносит с собой большую часть энергии возмущения, и вторую, геометрически подобную первой, но меньшей амплитуды. С течением времени ближе к границам амплитуда волн нарастает до определённого предела, постоянно расплываясь в стороны и двигаясь вперёд, что и приводит к появлению крестообразных структур. На рис.4 видны две крестообразные структуры, наслаивающиеся друг на друга, одна из них образуется первой волной с большей амплитудой, вторая, образованная волной меньшей амплитуды, видна хуже и почти скрыта под первым крестом. Также было замечено, что при уменьшении коэффициентов дисперсии исходный импульс расщепляется на большее число тонких волн, а возмущения, образующие крестообразную структуру, образуют с осью больший угол.





Рис.3. Однокупольное начальное возмущение


Рис. 4. Крестообразные структуры


В виде двойного купола (рис.5):





(0)



Результат эволюции двухкупольного возмущения качественно отличается от однокупольного. Обладая большей энергией, заданные таким образом начальные условия приводят к образованию прямого солитона, распространяющегося без возмущений с постоянной скоростью (рис.6).







Рис.5. Двухкупольное начальное возмущение


Рис.6. Прямой солитон


При задании начального импульса в виде точного решения (0) (рис.7), профиль эволюционировал без изменений неограниченно долгое время, что соответствовало ожиданиям и подтверждало адекватность выбора и реализации численного метода.



Рис.7. Точное решение

Проводится численное исследование уравнения (0), переписанного в интегральном виде:



(0)

Спектральная схема имеет параметры: сетка 256х41, dx = dy = 0.25 – шаги по x и y, dt = 0.01 – шаг по времени, dk = 0.0981 – шаг по волновому числу, σ = 1, δ = 0.3.

Операторная запись:



(0)

Рассматривались те же начальные условия (0), (0) и точное решение (0). Эволюция возмущения (0) имеет такой же характер, как и для уравнения (0). Однако распространение двойного импульса не заканчивается образованием прямого солитона. В данном случае выравниванию по амплитуде на переднем фронте препятствует периодическая модуляция фронта по амплитуде в поперечном направлении. Периодический процесс образования и исчезновения пиков переднего фронта волны сопровождает весь процесс распространения волны (рис.8-9). Интересно также, что волновой фронт расщепляется на пару волн. Меньшая по амплитуде и распространяющаяся с меньшей скоростью волна эволюционирует подобно фронту первой и проходит через все этапы образования и исчезновения максимумов.





Рис.8. Периодически модулированный фронт передней волны

Рис.9. Процесс периодического образования/исчезновения максимумов на переднем фронте

Как и ожидалось, фронт волны точного решения (0) (рис.10) распространялся без изменения формы с постоянной скоростью, что свидетельствует об адекватности проведённого численного моделирования.



^ Рис.10. Точное решение уравнения (0)

Далее рассматривается численное моделирование уравнения (0) в одномерном случае, с учетом затухания. При таких условиях оно обращается в



(0)

Использовалась неявная псевдоспектральная схема вида:



(0)

В зависимости от значений коэффициентов реализовывались различные волновые режимы от ударно-волновых до бризерных.

Начальное условие задавалось в виде .



Рис.11. Начальное возмущение Рис.12. Бризер

Выбирая коэффициенты уравнения (0) типичными для хрупкого материала с коэффициентом Пуассона 0.1, в бездиссипативном случае можно наблюдать образование бризера (рис. 12).

При уменьшении коэффициентов дисперсии число стволов бризера будет возрастать, а ширина солитонов позади бризера уменьшится.

При введении в уравнение небольшой диссипации энергия бризера рассеивается быстрее, чем он успевает отделиться от первоначального возмущения, образуя, таким образом, ударную волну с сильными осцилляциями на переднем фронте (рис.13).








Рис.13. Ударная волна

с сильными осцилляциями

на переднем фронте



Рис.14. Ударная волна

с небольшими осцилляциями

на переднем фронте



Рис.15.Ударная волна


Если рассматривать более упругий материал, например сталь (коэф. Пуассона 0.3), получим следующий набор коэффициентов: В этом случае начальный импульс также эволюционирует в ударную волну с осцилляциями на переднем фронте (рис.14), однако они не так велики, как в предыдущем случае.

И наконец, взяв коэффициент Пуассона равным 0.5, имеем Осцилляции на переднем фронте решения исчезают, и профиль решения принимает вид классической ударной волны (рис.15).

Результатом численного моделирования, проведенного в главе, является обнаружение устойчивых режимов распространения волн. Бездиссипативный случай с физической нелинейностью в случае задания начального импульса в виде гауссова купола (рис.3) приводит к образованию крестообразных структур. Похожие структуры существуют в реальных физических системах, например волнах в океане (рис. 16).



^ Рис. 16. Взаимодействие океанских волн на отмели

Случай задания сдвоенного гауссова импульса в качестве начальных условий (рис.5) приводит к образованию устойчивого волнового фронта с поперечно-модулированной амплитудой (рис.8-9). Учёт геометрической нелинейности приводит к образованию крестообразной структуры для однокупольного начального возмущения (рис.4) и прямого солитона (рис.6) в случае с двухкупольным начальным импульсом. Моделирование диссипативной редукции приводит к обнаружению классических ударных волн и ударных волн с осциллирующим передним фронтом.

В рамках численного исследования разработан проблемно-ориентированный комплекс программ, реализующий следующие численные методы:

  • Явная разностная схема типа «чехарда» (LF).

  • Обобщенная неявная разностная схемы (тэтта-метод).

  • Явный псевдоспектральный метод (EPSM),

  • Неявный псевдоспектральный метод (IPSM).

  • Комбинированный псевдоспектральный метод (CPSM).

Реализована программная оболочка (2D-soliton), позволяющая численно моделировать двумерные эволюционные уравнения (рис.17).

Схема архитектуры разработанного программного комплекса представлена на рис.17. Комплекс состоит из двух основных компонентов:

  1. SimpEq – модуль для аналитического исследования.

  2. 2DSoliton – модуль для численного исследования.



Рис. 17. Блок-схема программного комплекса

SimpEq реализует метод «простейших уравнений» для решения дифференциальных уравнений в частных производных. Модуль написан с использованием системы компьютерной алгебры - Maple. Результатом работы программы является точное решение исследуемого уравнения в символьной записи.

2DSoliton – компонент, объединяющий реализации нескольких численных методов решения дифференциальных уравнений в частных производных и модуль визуализации полученных решений с помощью 3D-графики.

Обмен данными между SimpEq и 2DSoliton происходит с помощью конвертера, преобразующего результат работы SimpEq, записанный в символьном, виде к сеточной функции, которая служит начальным условием для расчетов в модуле 2DSoliton.

Программный комплекс имеет общий интерфейс, позволяющий выбрать исследуемое уравнение. Далее строится точное решение уравнения (SimpEq), затем решение преобразуется в сеточную функцию и используется в качестве начального распределения в численном эксперименте (2DSoliton). Результаты численных вычислений выводятся на экран в реальном времени по ходу вычислений.

^ ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ И ВЫВОДЫ

Проведенный аналитический и численный анализ показал, что моделирование волновых процессов в деформируемых средах с учетом геометрической и физической нелинейности приводит к обнаружению уединенных волн деформации, бризеров и ударных волн.

Исследование математических моделей и методов анализа нелинейных волн в деформируемых системах на основе выведенного в работе нового эволюционного уравнения, а также его аналитическое и численное исследование с использованием разработанного программного комплекса являются основными результатами работы.

В диссертационной работе разработана программа simpeq для системы символьной математики Maple. Программа существенно упрощает и в ряде случаев позволяет полностью автоматизировать процесс решения уравнений в частных производных и строит точные волновые решения.

Главными результатами аналитического исследования являются вывод нового нелинейного уравнения в частных производных, описывающего волновые процессы в физически и геометрически нелинейных цилиндрических оболочках Кирхгофа-Лява в пространственно неодномерном случае с наличием диссипации и построение точных аналитических решений основных физически значимых редукций выведенного уравнения.

В бездиссипативном случае с учетом лишь физической нелинейности найдено солитоноподобное решение. Учет только геометрической нелинейности приводит к двум новым решениям: солитонному и сингулярному.

Проведенное аналитическое исследование позволило обнаружить устойчивые волновые режимы в исследуемых двумерных уравнениях. Для уравнения с кубической нелинейностью найден «условно» устойчивый режим, в виде волнового фронта, модулированного по оси у. Процесс дезинтеграции куполообразных возмущений в этих уравнениях происходит по одному и тому же сценарию с образованием характерных подковообразных и крестообразных структур. Солитоноподобные решения этих уравнений при взаимодействии ведут себя почти упруго, что говорит об их близости к интегрируемым моделям. Диссипативный частный случай выведенного уравнения приводит к обнаружению классических ударных волн и ударных волн с осциллирующим передним фронтом.

В рамках численного исследования выведенных уравнений разработан проблемно-ориентированный комплекс программ для различных методов численного решения нелинейных эволюционных уравнений в частных производных. Реализована программная оболочка (2D-soliton), объединяющая реализованные численные методы и позволяющая численно моделировать двумерные эволюционные уравнения.

^ Публикации по теме диссертации


В изданиях, рекомендованных ВАК РФ:


  1. Катсон В.М. Численное исследование уединённо-волновых решений уравнения Кавахары-Бюргерса. / А.И. Землянухин, В.М. Катсон // Нелинейный мир. 2008. Т. 6. N. 5-6. C. 363-367.

  2. Катсон В.М. Уединённые волны двумерного модифицированного уравнения Кавахары. / В.М. Катсон // Известия высших учебных заведений. Прикладная нелинейная динамика. 2008. Т. 16. № 6. С. 76-85.

  3. Катсон В.М. Нелинейные продольные магнитоупругие волны в стержне. / В.И. Ерофеев, А.И. Землянухин, В.М. Катсон // Нелинейный мир. 2009. Т. 7. N. 7. C. 533-540.

  4. Катсон В.М. Формирование солитонов деформации в континууме Коссера со стеснённым вращением / В.И. Ерофеев, А.И. Землянухин, В.М. Катсон, С.Ф. Шешенин // Вычислительная механика сплошных сред – Computational continuum mechanic. 2009. Т.2. N. 4. C. 67-75.



В других изданиях:

  1. Катсон В.М. Теория и практика спектральных методов решения уравнений в частных производных.: учеб. пособие / А.И. Землянухин, В.М. Катсон. Волгоград: ВолГАСУ, 2007. 60 с.

  2. Катсон В.М. Продольные волны в нелинейно-упругой пластине, взаимодействующей с магнитным полем / А.И. Землянухин, В.М. Катсон, В.И. Ерофеев, А.О. Мальханов // Прикладная механика и технологии машиностроения: сб. науч. тр. №1(16). Нижний Новгород, 2009.С.35-45

  3. Катсон В.М. Двумерные нелинейные магнитоупругие волны в пластинах / В.И. Ерофеев, А.И. Землянухин, В.М. Катсон, А.О. Мальханов // Сб. науч. тр. XXII сессии Российского акустического общества и Сессии Научного совет РАН по акустике. М.: ГЕОС, 2010. Т.1. С.154-158.




Подписано в печать 17.11.2010

Формат 60х84 1/16

Бум. офсет.

Усл. печ.л. 1.0

Уч.-изд.л. 1.0




Тираж 100 экз.

Заказ 373

Бесплатно




Саратовский государственный технический университет

410054, Саратов, Политехническая ул., 77.

Отпечатано в Издательстве СГТУ. 410054, Саратов, Политехническая ул.,77






Скачать 229,17 Kb.
оставить комментарий
Катсон Владимир Маркович
Дата23.09.2011
Размер229,17 Kb.
ТипАвтореферат диссертации, Образовательные материалы
Добавить документ в свой блог или на сайт

Ваша оценка этого документа будет первой.
Ваша оценка:
Разместите кнопку на своём сайте или блоге:
rudocs.exdat.com

Загрузка...
База данных защищена авторским правом ©exdat 2000-2017
При копировании материала укажите ссылку
обратиться к администрации
Анализ
Справочники
Сценарии
Рефераты
Курсовые работы
Авторефераты
Программы
Методички
Документы
Понятия

опубликовать
Загрузка...
Документы

наверх