Методические указания и контрольные задания (с программой) для студентов-заочников инженерно-технических специальностей, высших учебных заведений под редакцией ю. С. Арутюнова издание третье

скачать МИНИСТЕРСТВО ВЫСШЕГО И СРЕДНЕГО СПЕЦИАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ СССР Утверждено Учебно-методическим управлением по высшему образованию ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ (С ПРОГРАММОЙ) для студентов-заочников инженерно-технических специальностей, высших учебных заведений ПОД РЕДАКЦИЕЙ Ю. С. АРУТЮНОВА ИЗДАНИЕ ТРЕТЬЕ МОСКВА «ВЫСШАЯ ШКОЛА» 1985 ББК 22. II В 93 УДК 511 Авторы: Ю. С. Арутюнов, А. П. Полозков, Д. П. Полозков Высшая математика: Методические указания и контрольные задания (с программой) для студентов-заочников инженерно-технических специальностей высших учебных заведений/Арутюнов Ю. С., Полозков А. П., Полозков Д. П.; Под ред. Ю. С. Арутюнова. — М.: Высш. школа, 1985.— 144 с., ил. 25 к. ББК 22.11 517 © Министерство высшего и среднего специального образования СССР, 1985 ПРЕДИСЛОВИЕ В современной науке и технике математические методы исследования, моделирования и проектирования играют все большую роль. Это обусловлено прежде всего быстрым ростом вычислительной техники, благодаря которой все время существенно расширяются возможности успешного применения математики при решении конкретных задач. Математика является фундаментальной дисциплиной. Ее преподавание предусматривает: развитие логического и алгоритмического мышления; овладение основными методами исследования и решения математических задач; овладение основными численными методами математики и их простейшими реализациями на ЭВМ; выработку умения самостоятельно расширять математические знания и проводить математический анализ прикладных (инженерных) задач. Обучение математике предполагает систематическое отражение общих положений диалектико-материалистической философии, что служит решению важной задачи формирования марксистско-ленинского мировоззрения у студентов. Общий курс математики является фундаментом математического образования инженера, имеющим важное значение для успешного изучения общетеоретических и специальных дисциплин, которые предусмотрены учебными планами различных специальностей. В настоящее время в системе высшего образования существуют три формы обучения: дневная (или стационарная), вечерняя и заочная. Объем и содержание дисциплин учебного плана той или иной специальности не зависят от формы обучения, но методика их изучения при различных формах обучения различна. В условиях дневной формы обучения содержание курса высшей математики излагается на лекциях; на практических занятиях студенты овладевают основными методами и приемами решения математических задач. Число часов, отводимых на лекции и практические занятия, и составляет объем курса высшей математики для данной специальности. Для группы инженерно-технических специальностей Учебно-методическим управлением по высшему образованию в 1983 г. были утверждены два варианта программы курса высшей математики: на 510 и 450 учебных часов. Они являются обязательными не только для дневной, но и для вечерней и заочной форм обучения, хотя студент-заочник изучает материал курса в основном в порядке самостоятельной работы над учебниками и другими учебными пособиями. Настоящее пособие является методическим руководством для изучения общего курса высшей математики студентами-заочниками инженерно-технических специальностей. Оно содержит общие рекомендации студенту-заочнику по работе над курсом высшей математики, упомянутые выше два варианта программы курса высшей математики для указанных специальностей, методические указания по темам курса с вопросами для самопроверки и контрольные задания (десять вариантов). Его можно использовать при любом из двух вариантов программы, выбор которого определяется учебным планом данной специальности. Кафедры высшей математики сообщают студентам-заочникам, каким вариантом программы они должны руководствоваться. Кафедры высшей математики, принимая за основу утвержденные варианты программы, могут также в зависимости от профиля вуза и конкретной специальности студентов-заочников расширять или сокращать отдельные разделы или пункты. Все эти изменения доводятся до сведения студентов. Здесь не затронуты вопросы, относящиеся к организации и проведению лабораторного практикума по численным методам курса высшей математики. Такой практикум связан с применением вычислительной техники, и его организация зависит от условий и возможностей каждого конкретного вуза, особенно при заочной форме обучения. Это относится и к изучению п. 94 программы (обоих вариантов), связанных со знакомством студентов с ЭВМ. Кафедра высшей математики должна разработать формы и методику проведения этой работы в своем вузе и дать студентам-заочникам необходимые указания дополнительно к настоящему пособию. Также дополнительно кафедры сообщают студентам все необходимые коррективы к настоящему пособию, вытекающие из специфики учебных планов конкретных специальностей и методики изложения тех или иных вопросов курса, принятой в данном вузе (порядок изучения материала, распределение его по семестрам, количество и содержание контрольных работ в каждом семестре и сроки их выполнения и т. п.). ^ ОБЩИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ СТУДЕНТУ-ЗАОЧНИКУ ПО РАБОТЕ НАД КУРСОМ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ Основной формой обучения студента-заочника является самостоятельная работа над учебным материалом, которая состоит из следующих элементов: изучение материала по учебникам, решение задач, самопроверка, выполнение контрольных работ. В помощь заочникам институты организуют чтение лекций, практические занятия и лабораторные работы. Кроме того, студент может обращаться к преподавателю с вопросами для получения письменной или устной консультации. Указания студенту по текущей работе даются также в процессе рецензирования контрольных работ. Однако студент должен помнить, что только при систематической и упорной самостоятельной работе помощь института окажется достаточно эффективной. Завершающим этапом изучения отдельных частей курса высшей математики является сдача зачетов и экзаменов в соответствии с учебным планом. Чтение учебника 1. Изучая материал по учебнику, следует переходить к следующему вопросу только после правильного понимания предыдущего, производя на бумаге все вычисления (в том числе и те, которые ради краткости опущены в учебнике) и выполняя имеющиеся в учебнике чертежи. 2. Особое внимание следует обращать на определение основных понятий. Студент должен подробно разбирать примеры, которые поясняют такие определения, и уметь строить аналогичные примеры самостоятельно. 3. Необходимо помнить, что каждая теорема состоит из предположений и утверждения. Все предположения должны обязательно использоваться в доказательстве. Нужно добиваться точного представления о том, в каком месте доказательства использовано каждое предположение теоремы. Полезно составлять схемы доказательств сложных теорем. Правильному пониманию многих теорем помогает разбор примеров математических объектов, обладающих и не обладающих свойствами, указанными в предположениях и утверждениях теорем. 4. При изучении материала по учебнику полезно вести конспект, в который рекомендуется вписывать определения, формулировки теорем, формулы, уравнения и т. д. На полях конспекта следует отмечать вопросы, выделенные студентом для получения письменной или устной консультации преподавателя. 5. Письменное оформление работы студента имеет исключительно важное значение. Записи в конспекте должны быть сделаны чисто, аккуратно и расположены в определенном порядке. Хорошее внешнее оформление конспекта по изученному материалу не только приучит студента к необходимому в работе порядку, но и позволит ему избежать многочисленных ошибок, которые происходят из-за небрежных, беспорядочных записей. 6. Выводы, полученные в виде формул, рекомендуется в конспекте подчеркивать или обводить рамкой, чтобы при перечитывании конспекта они выделялись и лучше запоминались. Опыт показывает, что многим студентам помогает в работе составление листа, содержащего важнейшие и наиболее часто употребляемые формулы курса. Такой лист не только помогает запомнить формулы, но и может служить постоянным справочником для студента. Решение задач 1. Чтение учебника должно сопровождаться решением задач, для чего рекомендуется завести специальную тетрадь. 2. При решении задач нужно обосновать каждый этап решения исходя из теоретических положений курса. Если студент видит несколько путей решения, то он должен сравнить их и выбрать из них самый лучший. Полезно до начала вычислений составить краткий план решения. 3. Решения задач и примеров следует излагать подробно, вычисления располагать в строгом порядке, отделяя вспомогательные вычисления от основных. Чертежи можно выполнять от руки, но аккуратно и в соответствии с данными условиями. Если чертеж требует особо тщательного выполнения (например, при графической проверке решения, полученного путем вычислений), то следует пользоваться линейкой, транспортиром, лекалом и указывать масштаб. 4. Решение каждой задачи должно доводиться до ответа, требуемого условием, и по возможности в общем виде с выводом формулы. Затем в полученную формулу подставляют числовые значения (если они даны). В промежуточных вычислениях не следует вводить приближенные значения корней, числа я и т. п. 5. Полученный ответ следует проверять способами, вытекающими из существа данной задачи. Если, например, решалась задача с конкретным физическим или геометрическим содержанием, то полезно прежде всего проверить размерность полученного ответа. Полезно также, если возможно, решить задачу несколькими способами и сравнить полученные результаты. 6. Решение задач определенного типа нужно продолжать до приобретения твердых навыков в их решении. Самопроверка 1. После изучения определенной темы по учебнику и решения достаточного количества соответствующих задач студенту рекомендуется воспроизвести по памяти определения, выводы формул, формулировки и доказательства теорем. Вопросы для самопроверки, приведенные в настоящем пособии, даны с целью помочь студенту в повторении, закреплении и проверке прочности усвоения изученного материала. В случае необходимости надо еще раз внимательно разобраться в материале учебника, решить ряд задач. 2. Иногда недостаточность усвоения того или иного вопроса выясняется только при изучении дальнейшего материала. В этом случае надо вернуться назад и повторить плохо усвоенный раздел. 3. Важным критерием усвоения теории является умение решать задачи на пройденный материал. Однако здесь следует предостеречь студента от весьма распространенной ошибки, заключающейся в том, что благополучное решение задач воспринимается им как признак усвоения теории. Часто правильное решение задачи получается в результате применения механически заученных формул, без понимания существа дела. Можно сказать, что умение решать задачи является необходимым, но недостаточным условием хорошего знания теории. Консультации 1. Если в процессе работы над изучением теоретического материала или при решении задач у студента возникают вопросы, разрешить которые самостоятельно не удается (неясность терминов, формулировок теорем, отдельных задач и др.), то он может обратиться к преподавателю для получения от него письменной или устной консультации. 2. В своих запросах студент должен точно указать, в чем он испытывает затруднение. Если он не разобрался в теоретических объяснениях, или в доказательстве теоремы, или в выводе формулы по учебнику, то нужно указать, какой это учебник, год его издания и страницу, где рассмотрен затрудняющий его вопрос, и что именно его затрудняет. Если студент испытывает затруднение при решении задачи, то следует указать характер этого затруднения, привести предполагаемый план решения. 3. За консультацией следует обращаться и при сомнении в правильности ответов на вопросы для самопроверки. Контрольные работы 1. В процессе изучения курса математики студент должен выполнить ряд контрольных работ, главная цель которых — оказать студенту помощь в его работе. Рецензии на эти работы позволяют студенту судить о степени усвоения им соответствующего раздела курса; указывают на имеющиеся у него пробелы, на желательное направление дальнейшей работы; помогают сформулировать вопросы для постановки их перед преподавателем. 2. Не следует приступать к выполнению контрольного задания, не решив достаточного количества задач по материалу, соответствующему этому заданию. Опыт показывает, что чаще всего неумение решить ту или иную задачу контрольного задания вызывается тем, что студент не выполнил это требование. 3. Контрольные работы должны выполняться самостоятельно. Несамостоятельно выполненная работа не дает возможности преподавателю-рецензенту указать студенту на недостатки в его работе, в усвоении им учебного материала, в результате чего студент не приобретает необходимых знаний и может оказаться неподготовленным к устному зачету и экзамену. 4. Не рекомендуется присылать в институт одновременно работы по нескольким заданиям: это не дает возможности рецензенту своевременно указать студенту на допущенные им ошибки и удлиняет срок рецензирования работ. 5. Прорецензированные контрольные работы вместе со всеми исправлениями и дополнениями, сделанными по требованию рецензента, следует сохранять. Без предъявления прорецензированных контрольных работ студент не допускается к сдаче зачета и экзамена. 6. Распределение контрольных работ по семестрам устанавливается каждым институтом для своих студентов в соответствии с распределением по семестрам материала и сообщается студентам дополнительно. Лекции, практические занятия и лабораторные работы Во время экзаменационно-лабораторных сессий для студентов-заочников организуются лекции и практические занятия. Они носят по преимуществу обзорный характер. Их цель — обратить внимание на общую схему построения соответствующего раздела курса, подчеркнуть важнейшие места, указать главные практические приложения теоретического материала, привести факты из истории науки. Кроме того, на этих занятиях могут быть более подробно рассмотрены отдельные вопросы программы, отсутствующие или недостаточно полно освещенные в рекомендуемых пособиях. Во время экзамснационно-лабораторных сессий проводятся также лабораторные работы для приобретения навыков в работе с вычислительными средствами и изучения различных методов приближенных вычислений. Для студентов, имеющих возможность заниматься в группах на учебно-консультационных пунктах, лекции, практические занятия и лабораторные работы проводятся в течение всего учебного года и носят более систематический характер, однако и они призваны оказать только помощь студенту в его самостоятельной работе. В настоящее время созданы кинокурсы по высшей математике. В ряде институтов проводится организованный просмотр этих кинокурсов. Зачеты и экзамены На экзаменах и зачетах выясняется прежде всего отчетливое усвоение всех теоретических и практических вопросов программы и умение применять полученные знания к решению практических задач. Определения, теоремы, правила должны формулироваться точно и с пониманием существа дела; решение задач в простейших случаях должно выполняться без ошибок и уверенно; всякая письменная и графическая работа должна быть сделана аккуратно и четко. Только при выполнении этих условий знания могут быть признаны удовлетворяющими требованиям, предъявляемым программой При подготовке к экзамену учебный материал рекомендуется повторить по учебнику и конспекту. ^ ПРОГРАММА КУРСА «ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА» ДЛЯ ИНЖЕНЕРНО-ТЕХНИЧЕСКИХ СПЕЦИАЛЬНОСТЕЙ ВЫСШИХ УЧЕБНЫХ ЗАВЕДЕНИИ Первый вариант (510 учебных часов) I. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии 1. Трехмерное пространство Векторы. Линейные операции над векторами. Линейные пространства. Линейно-независимые системы векторов. Базис. 2. Скалярное произведение в R3 и его свойства Аксиоматическое определение скалярного произведения в линейном пространстве. Длина вектора. Расстояние. Неравенство Коши—Буняковского. Угол между векторами. Пространство Rn. Ортогональный базис. Разложение векторов. 3. Уравнение плоскости в R3 (векторная и координатная формы). Уравнение гиперплоскости в Rn (векторная и координатная формы). Прямая в Rn (векторная и координатная формы). 4. Линейные операторы и матрицы. Линейные операторы и матрицы в заданном базисе в пространстве R2. Сложение, умножение на число, произведение линейных операторов и соответствующих матриц. Линейные операторы и матрицы в Rn. Сложение, умножение на число, произведение линейных операторов и соответствующих матриц. Сопряженный оператор. Сопряженная матрица. Самосопряженные операторы и симметричные матрицы. Ортогональные матрицы. 5. Определители второго, третьего порядков. Основные свойства. Определители n-го порядка, их свойства. Ранг матрицы. Теорема о базисном миноре. 6. Векторное произведение. Основные свойства. Смешанное произведение и его свойства. 7. Системы линейных уравнений. Метод Гаусса. Правило Крамера. Обратная матрица. Решение матричных уравнений. Теорема Кронекера—Капелли. 8. Ядро и область значений линейного оператора. Альтернатива Фредгольма для линейного оператора в Rn. 9. Собственные векторы и собственные значения линейных операторов. Собственные векторы и собственные значения самосопряженных операторов. Теорема о полноте собственных векторов. 10. Преобразование матрицы линейного оператора при переходе к новому базису. Канонический вид самосопряженного оператора. 11. Квадратичные формы. Приведение к каноническому виду. Геометрические приложения в пространствах R2 и R3. II. Введение в математический анализ 12. Элементы математической логики. Взаимно обратные и взаимно противоположные теоремы. Необходимость и достаточность. Символика математической логики и ее использование. 13. Множества вещественных чисел, Числовые последовательности. Предел. Верхние и нижние грани множеств. Теорема Больцано—Вейерштрасса. Существование предела монотонной ограниченной последовательности. Число е. Натуральные логарифмы. Предел функции в точке. Предел функции в бесконечности. Свойства функций, имеющих предел. 14. Непрерывность функции. Непрерывность основных элементарных функций. 15. Бесконечно малые функции и их свойства. 16. Бесконечно большие функции и их свойства. Связь между бесконечно большими и бесконечно малыми функциями. 17. Сравнение бесконечно малых. Эквивалентные бесконечно малые. Их использование при вычислении пределов. 18. Свойства непрерывных в точке функций. Непрерывность суммы, произведения и частного. Предел и непрерывность сложной функции. 19. Односторонние пределы. Односторонняя непрерывность. Точки разрыва функции и их классификация. 20. Свойства функций, непрерывных на отрезке: ограниченность, существование наибольшего и наименьшего значений, существование промежуточных значений. III. Дифференциальное исчисление функций одной переменной 21. Производная функции, ее геометрический и механический смысл. Производная суммы, произведения и частного (обзор теорем школьного курса). 22. Производная сложной функции. Производная обратной функции. Производные обратных тригонометрических функций. 23. Гиперболические функции, их свойства и графики. Производные гиперболических функций. 24. Дифференцируемость функции. Дифференциал функции Связь дифференциала с производной. Геометрический смысл дифференциала. Линеаризация функции. Дифференциал суммы, произведения и частного. Инвариантность формы дифференциала. 25. Производные и дифференциалы высших порядков. Формула Лейбница. Неинвариантность формы дифференциалов порядка выше первого. 26. Теоремы Ролля, Лагранжа, Коши, их применения. Правило Лопиталя. 27. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа. Представление функций еx, cosx, sinx, In(1+x), (l-x)x по формуле Тейлора. Понятие главной части функции, выделение главной части функции. Приложения формулы Тейлора. Применение дифференциала в приближенных вычислениях. IV. Исследование функций с помощью производных 28. Условия возрастания и убывания функций. Точки экстремума. Необходимые условия экстремума. Достаточные признаки существования экстремума. Отыскание наибольшего и наименьшего значений непрерывной на отрезке функции. 29. Исследование функций на экстремум с помощью производных высшего порядка. Исследование функций на выпуклость и вогнутость. Точки перегиба. Асимптоты кривых. Общая схема построения графиков функций. V. Векторные и комплексные функции действительного переменного 30. Векторная функция скалярного аргумента. Производная, ее геометрический и механический смысл. 31. Параметрические уравнения кривой на плоскости и в пространстве. Винтовая линия. Функции, заданные параметрически, их дифференцирование. 32. Комплексные числа. Их изображение на плоскости. Модуль и аргумент комплексного числа. Алгебраическая, тригонометрическая и показательная формы комплексного числа. Операции над комплексными числами. Формула Муавра. 33. Комплексные функции действительного переменного, их дифференцирование. 34. Многочлен в комплексной области. Теорема Безу. Условие тождественности двух многочленов. 35. Корни многочлена. Основная теорема алгебры. Разложение многочлена с действительными коэффициентами на линейные и квадратные множители. VI. Неопределенный интеграл 36. Первообразная. Неопределенный интеграл, его свойства. Таблица основных формул интегрирования. Непосредственное интегрирование. Интегрирование по частям и подстановкой. 37. Интегрирование рациональных функций путем разложения на простейшие дроби. Интегрирование выражений, содержащих тригонометрические функции. Интегрирование некоторых иррациональных выражений. Использование таблиц интегралов. VII. Определенный интеграл 38. Определенный интеграл как предел интегральных сумм. Основные свойства определенного интеграла. 39. Производная интеграла по верхнему пределу. Формула Ньютона—Лейбница. 40. Вычисление определенного интеграла: интегрирование по частям и подстановкой. Приближенное вычисление определенного интеграла: формулы прямоугольников, трапеций и Симпсона. 41. Приложение интегралов к вычислению площадей плоских фигур, длин дуг кривых, объемов тел и площадей поверхностей вращения. 42. Кривизна плоской кривой. Центр и круг кривизны. Эволюта и эвольвента. Кривизна пространственной кривой. Формулы Френе. VIII. Функции нескольких переменных 43. Функции нескольких переменных. Область определения. Предел функции. Непрерывность. 44. Частные производные. Полный дифференциал и его связь с частными производными. Инвариантность формы полного дифференциала. Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Геометрический смысл полного дифференциала. 45. Частные производные и полные дифференциалы высших порядков. Формула Тейлора. 46. Неявные функции. Теоремы существования. Дифференцирование неявных функций. 47. Экстремумы функции нескольких переменных. Необходимое условие. Достаточные условия. 48. Условный экстремум. Метод множителей Лагранжа. Глобальные экстремумы. IX. Обыкновенные дифференциальные уравнения 49. Дифференциальные уравнения первого порядка. Задача Коши. Теорема существования и единственности решения задачи Коши. Понятие об особых решениях дифференциальных уравнений. Основные классы уравнений, интегрируемых в квадратурах. 50. Дифференциальные уравнения высших порядков. Задача Коши. Понятие о краевых задачах для дифференциальных уравнений. Теорема существования и единственности решения задачи Коши. Уравнения, допускающие понижение порядка. 51. Линейные дифференциальные уравнения, однородные и неоднородные. Понятие общего решения. Метод Лагранжа вариации произвольных постоянных. 52. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Уравнения с правой частью специального вида. X. Системы обыкновенных дифференциальных уравнений 53. Задача Коши для нормальной системы дифференциальных уравнений. Теорема существования и единственности решения задачи Коши. Метод исключения. Векторно-матричная запись нормальной системы. Структура общего решения. 54. Нормальные системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Решение в случае простых корней характеристического уравнения. XI. Элементы теории устойчивости 55. Понятие устойчивости и асимптотической устойчивости по Ляпунову. Устойчивость решения системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Типы точек покоя для системы двух уравнений. 56. Нелинейные автономные системы. Понятие о функции Ляпунова. Формулировка теоремы Ляпунова об устойчивости. XII. Несобственные интегралы 57. Несобственные интегралы с бесконечными пределами. Несобственные интегралы от неограниченной подынтегральной функции. Основные свойства. Абсолютная и условная сходимости. Признаки сходимости. XIII. Числовые ряды 58. Числовые ряды. Сходимость и сумма ряда. Необходимое условие сходимости. Действия с рядами. 59. Ряды с положительными членами. Признаки сходимости. 60. Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимости. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница. 61. Ряды с комплексными членами. Методы исследования на сходимость. XIV. Функциональные ряды 62. Область сходимости. Понятие равномерной сходимости. Признак Вейерштрасса. Свойства равномерно сходящихся рядов. XV. Степенные ряды 63. Теорема Абеля. Круг сходимости. Свойства степенных рядов. 64. Разложение функций в степенные ряды. Ряд Тейлора. Применение степенных рядов к приближенным вычислениям. 65. Уравнение Бесселя. Решение уравнения Бесселя с помощью степенных рядов. Функции Бесселя. XV. Ряды Фурье 66. Понятие гильбертова (предгильбертова) пространства. Сходимость в среднем. Понятие ортонормированной системы. Полнота и замкнутость. Равенство Парсеваля—Стеклова. Разложение по полной ортонормированной системе. Приближение в среднем. Минимальное свойство коэффициентов Фурье. 67. Тригонометрическая система функций. Ряд Фурье. Разложение функции в ряд Фурье. Формулировка условий разложимости в случае равномерной сходимости. Разложение в ряд Фурье—Бесселя. XVII. Интегралы, зависящие от параметров. Интеграл Фурье 68. Интегралы, зависящие от параметра. Непрерывность. Дифференцирование и интегрирование по параметру. 69. Несобственные интегралы, зависящие от параметра. Гамма- и бета-функции. 70. Асимптотическое интегрирование. Вычисление интегралов вида при (интегрирование по частям). 71. Интеграл Фурье. Преобразование Фурье, его свойства и применения. XVIII. Кратные интегралы 72. Двойные и тройные интегралы, их основные свойства. Представление об интегралах любой кратности. 73. Вычисление двойных и тройных интегралов в декартовых координатах. 74. Замена переменных в кратных интегралах. Переход от декартовых координат к полярным, цилиндрическим и сферическим координатам. 75. Применение кратных интегралов для вычисления объемов и площадей, для решения задач механики и физики. XIX. Криволинейные и поверхностные интегралы 76. Задачи, приводящие к криволинейным интегралам. Определение криволинейных интегралов первого и второго рода, их основные свойства и вычисление. Геометрические и механические приложения. Связь между криволинейными интегралами первого и второго рода. Формула Грина. 77. Площадь поверхности. Определение поверхностных интегралов. Их свойства и вычисление. XX. Векторный анализ 78. Скалярное поле. Поверхности и линии уровня скалярного поля. Производная по направлению. Градиент скалярного поля, его координатное и инвариантное определения. 79. Векторное поле. Векторные линии и их дифференциальные уравнения. 80. Односторонние и двусторонние поверхности. Поток векторного поля через поверхность. Физический смысл потока в поле скоростей жидкости. Вычисление потока. Теорема Остроградского. 81. Дивергенция векторного поля, ее инвариантное определение и физический смысл. Вычисление дивергенции. Соленоидальные (трубчатые) поля. 82. Линейный интеграл в векторном поле. Работа силового поля. Циркуляция векторного поля. Теорема Стокса. Ротор поля, его координатное и инвариантное определения. Физический смысл ротора в поле скоростей. Условия независимости линейного интеграла от формы пути интегрирования. 83. Потенциальное поле. Условие потенциальности поля. Вычисление линейного интеграла в потенциальном поле. 84. Оператор Гамильтона. Операции второго порядка в векторном анализе. Оператор Лапласа, его выражение в цилиндрических и сферических координатах. XXI. Элементы теории уравнений математической физики 85. Уравнение колебаний струны. Решение задачи Коши методом Даламбера. 86. Уравнение теплопроводности. Решение задачи Коши методом преобразования Фурье. 87. Уравнение Лапласа. Решение задачи Дирихле в круге методом Фурье. XXII. Элементы теории функций комплексного переменного и операционное исчисление 88.Элементарные функции комплексного переменного. 89.Производная функции комплексного переменного. Условия Коши—Римана. Дифференцируемость элементарных функций. 90. Интегрирование по комплексному аргументу. Теорема Коши. Интегральная формула Коши. (91. Ряды Тейлора и Лорана. Изолированные особые точки функций, их классификация. 92. Вычеты. Основная теорема о вычетах. Применение вычетов к вычислению интегралов. 93. Преобразование Лапласа. Основные теоремы об оригиналах и изображениях. Формулы обращения интеграла Лапласа. Свертка функций. Интеграл Дюамеля. Решение дифференциальных уравнений и систем операционным методом. XXIII. Основные численные методы 94. Элементы программирования на алгоритмическом языке. 95. Приближение функции методом наименьших квадратов. 96. Интерполяция. Интерполяционный многочлен Лагранжа. Линейная интерполяция. 97. Решение линейных систем методом Гаусса. Схема с выбором главного элемента. 98. Итерационные методы решения уравнений. Понятие об итерационных методах решения систем уравнений. 99. Численные методы решения задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка. Метод Эйлера и его модификации. Метод Рунге—Кутта. 100 Понятие о методе сеток решения простейших задач математической физики. XXIV. Теория вероятностей и элементы математической статистики 101. Аксиоматика теории вероятностей. Серии опытов со случайными исходами. Частота. Свойства частот. Математическая схематизация случайных явлений. Пространство элементарных событий. Случайные события, операции над событиями и отношения между ними. Алгебра событий. Вероятность — аддитивная функция события. Аксиомы теории вероятностей. Вероятностные пространства. Классическое определение вероятности. Геометрические вероятности. 102. Определение условной вероятности. Независимость событий Вероятность произведения событий. Теорема о полной вероятности, формулы Байеса. Последовательность независимых испытаний, схема Бернулли. Предельные теоремы Муавра—Лапласа и Пуассона. 103. Определение случайной величины. Функция распределения: случайной величины и ее свойства. Непрерывные и дискретные распределения. Примеры распределений: нормальное, пуассоновское, биномиальное, равномерное, показательное. Совместное распределение нескольких случайных величин. Функции от случайных величин. Независимость случайных величин. Распределение суммы независимых случайных величин. 104. Математическое ожидание, дисперсия и другие моменты случайных величин; их свойства (доказательства только для дискретных величин). Ковариация, коэффициент корреляции. 105. Закон больших чисел. Неравенство Чебышева. Закон больших чисел для последовательности независимых случайных величин. Теорема Чебышева. 106. Предельные теоремы. Характеристические функции и их свойства (теоремы о взаимно однозначном и непрерывном соответствии характеристических функций и функций распределения). Центральная предельная теорема для одинаково распределенных слагаемых. Теорема Ляпунова. Теорема Хинчина. 107. Цепи Маркова. Определение. Вероятности перехода. Теорема о предельных вероятностях (без доказательства). Вычисление предельных вероятностей. Стационарное распределение. 108. Элементы математической статистики. Выборки. Точечные оценки неизвестных параметров распределения по выборке, понятие состоятельности и несмещенности оценок. Понятие о доверительных интервалах и статистической проверке гипотез. 109. Понятие о задании случайного процесса. Процессы с независимыми приращениями. Пуассоновский процесс. Второй вариант (450 учебных часов) Разделы, помеченные звездочкой, обязательны для изучения только в случае прямого указания кафедры высшей математики. I. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии 1. Трехмерное пространство R3. Векторы. Линейные операции над векторами. Линейно независимые системы векторов. Базис. 2. Скалярное произведение в R3 и его свойства. Длина вектора. Угол между двумя векторами. Ортогональный базис. Разложение вектора по базису. 3. Определители второго и третьего порядков, их свойства. Алгебраические дополнения и миноры. Определители n-го порядка. Векторное произведение и его свойства. Смешанное произведение. 4. Уравнение плоскости в R3 (векторная и координатная формы). Уравнения прямой в R2 и R3 (векторная и координатная формы). 5. Системы двух и трех линейных уравнений с двумя и тремя неизвестными. Правило Крамера. Системы т линейных уравнений с n неизвестными. Метод Гаусса—Жордана. 6. Матрицы. Действие над матрицами, обратная матрица. Матричная запись системы линейных уравнений и ее решения. Пространство Rn. Линейная зависимость и независимость векторов в Rn. Ранг матрицы, его вычисление. Исследование системы линейных уравнений. Теорема Кронекера—Капелли. 7. Понятие о линейном операторе как о линейном преобразовании пространства. Линейные операторы и их матрицы в R2 и R3. Собственные векторы и собственные значения линейных операторов. 8. Квадратичные формы. Приведение к каноническому виду. Геометрические приложения квадратичных форм в пространствах R2 и R3. 9. Общее уравнение кривых второго порядка. Канонические формы уравнений эллипса, гиперболы и параболы. Геометрические свойства эллипса, гиперболы и параболы. 10. Поверхности второго порядка. Канонические формы уравнений. Исследование поверхностей второго порядка методом сечений. II. Введение в математический анализ. 11. Элементы математической логики. Необходимость и достаточность. Символика математической логики и ее использование. 12. Множество вещественных чисел. Числовые последовательности. Предел. Верхние и нижние грани множеств. Существование предела монотонной ограниченной последовательности. Число е. Натуральные логарифмы. Предел функции в точке. Предел функции в бесконечности. Свойства функций, имеющих предел. 13. Непрерывность функции. Непрерывность основных элементарных функций. 14. Бесконечно малые функции и их свойства. 15. Бесконечно большие функции и их свойства. Связь между бесконечно большими функциями и бесконечно малыми. 16. Сравнение бесконечно малых. Эквивалентные бесконечно малые. Их использование при вычислении пределов. 17. Свойства непрерывных в точке функций. Непрерывность суммы, произведения и частного. Предел и непрерывность сложной функции. 18. Односторонние пределы. Односторонняя непрерывность. Точки разрыва функции и их классификация. 19. Свойства функций, непрерывных на отрезке: ограниченность, существование наибольшего и наименьшего значений, существование промежуточных значений. III. Дифференциальное исчисление функций одной переменной 20. Производная функция, ее геометрический и механический смысл. Производная суммы, произведения и частного (обзор теорем школьного курса). 21. Производная сложной функции. Производная обратной функции. Производные обратных тригонометрических функций. Функции, заданные параметрически, и их дифференцирование. 22. Гиперболические функции, их свойства и графики. Производные гиперболических функций. 23. Дифференцируемость функции. Дифференциал функции. Связь дифференциала с производной. Геометрический смысл дифференциала. Линеаризация функции. Дифференциал суммы, произведения и частного. Инвариантность формы дифференциала. 24. Производные и дифференциалы высших порядков. Формула Лейбница. 25. Теоремы Ролля, Лагранжа, Коши, их применение. Правило Лопиталя. 26. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа. Представление функций еx, cosx, sin x, ln(l+x), (l+x)α по формуле Тейлора. Понятие главной части функции, выделение главной части функции. Приложения формулы Тейлора. Применение дифференциала в приближенных вычислениях. IV. Исследование функций с помощью производных 27. Условия возрастания и убывания функции. Точки экстремума. Необходимые условия экстремума. Достаточные признаки существования экстремума. Отыскание наибольшего и наименьшего значений непрерывной на отрезке функции. 28. Исследование функций на экстремум с помощью производных высшего порядка. Исследование функций на выпуклость и вогнутость. Точки перегиба. Асимптоты кривых. Общая схема построения графиков функций. V. Векторные и комплексные функции действительного переменного 29. Векторная функция скалярного аргумента. Производная, ее геометрический и механический смысл. 30. Параметрические уравнения кривой на плоскости и в пространстве. Винтовая линия. Кривизна плоской и пространственной кривой. Эволюта и эвольвента. 31. Комплексные числа. Их изображение на плоскости. Модуль и аргумент комплексного числа. Алгебраическая, тригонометрическая и показательная формы комплексного числа. Операции над комплексными числами. Формула Муавра, 32. Многочлен в комплексной области. Теорема Безу. 33. Корни многочлена. Основная теорема алгебры. Разложение многочлена с действительными коэффициентами на линейные и квадратичные множители. 34. Комплексные функции действительного переменного, их дифференцирование. Формула Эйлера. VI. Неопределенный интеграл 35. Первообразная. Неопределенный интеграл, его свойства. Таблица основных формул интегрирования. Непосредственное интегрирование. Интегрирование по частям и подстановкой. 36. Интегрирование рациональных функций путем разложения на простейшие дроби. Интегрирование выражений, содержащих тригонометрические функции. Интегрирование некоторых иррациональных выражений. Использование таблиц интегралов. VII. Определенный интеграл 37. Задачи, приводящие к понятию определенных интегралов. Определенный интеграл как предел интегральных сумм. Основные свойства определенного интеграла. 38. Производная интеграла по верхнему пределу. Формула Ньютона—Лейбница. 39. Вычисление определенного интеграла: интегрирование по частям и подстановкой. Приближенное вычисление определенного интеграла: формулы прямоугольников, трапеций и Симпсона. 40. Приложение интегралов к вычислению площадей плоских фигур, длин дуг кривых, объемов тел и площадей поверхностей вращения. Физические приложения определенного интеграла. 41. Несобственные интегралы с бэсконечными пределами. Несобственные интегралы от неограниченных функций, основные свойства. Абсолютная и условная сходимости. Признаки сходимости. VIII. Функции нескольких переменных 42. Функции нескольких переменных. Область определения. Предел функции. Непрерывность. 43. Частные производные. Полный дифференциал и его связь с частными производными. Инвариантность формы полного дифференциала. Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Геометрический смысл полного дифференциала. 44. Частные производные и полные дифференциалы высших порядков. Формула Тейлора. 45. Неявные функции. Теоремы существования. Дифференцирование неявных функций. 46. Экстремумы функции нескольких переменных. Необходимое условие. Достаточные условия. 47. Условный экстремум. Метод множителей Лагранжа. IX. Обыкновенные дифференциальные уравнения 48. Физические задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям. Дифференциальные уравнения первого порядка. Задача Коши. Теорема существования и единственности решения задачи Коши. Понятие об особых решениях дифференциальных уравнений. Основные классы уравнений, интегрируемых в квадратурах. 49. Дифференциальные уравнения высших порядков. Задача Коши. Понятие о краевых задачах для дифференциальных уравнений. Уравнения, допускающие понижение порядка. 50. Линейные дифференциальные уравнения, однородные и неоднородные. Понятие общего решения. Метод Лагранжа вариации произвольных постоянных. 51. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Уравнения с правой частью специального вида. X*. Системы обыкновенных дифференциальных уравнений 52. Задача Коши для нормальной системы дифференциальных уравнений. Теорема существования и единственности решения задачи Коши. Метод исключения. Векторно-матричная запись нормальной системы. Структура общего решения. 53. Нормальные системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Решение в случае простых корней характеристического уравнения. 54. Понятие устойчивости решения системы дифференциальных уравнений (по Ляпунову). Устойчивость решения системы линейных уравнений с постоянными коэффициентами. Типы точек покоя для системы двух уравнений. 55. Нелинейные автономные системы. Понятие о функции Ляпунова. Формулировка теоремы Ляпунова об устойчивости. XI. Числовые ряды 56. Числовые ряды. Сходимость и сумма ряда. Необходимое условие сходимости. Действия с рядами. 57. Ряды с положительными членами. Признаки сходимости. 58. Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимости. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница. 59. Ряды с комплексными членами, методы исследования на сходимость. XII. Функциональные ряды 60. Область сходимости. Понятие равномерной сходимости. Признак Вейерштрасса. Свойства равномерно сходящихся рядов. 61. Степенные ряды. Теорема Абеля. Радиус сходимости. Свойства степенных рядов. 62. Разложение функций в степенные ряды. Ряд Тейлора. Применение степенных рядов к приближенным вычислениям. XIII. Ряды Фурье и преобразование Фурье 63. Тригонометрическая система функций. Ряд Фурье. Разложение функции в ряд Фурье. Формулировка условий разложимости в случае равномерной сходимости. 64*. Интеграл Фурье. Преобразование Фурье, его свойства и применение. XIV. Кратные интегралы 65. Задачи, приводящие к понятию кратного интеграла. Двойные и тройные интегралы, их основные свойства. Представление об интегралах любой кратности. 66. Вычисление двойных и тройных интегралов в декартовых координатах. 67. Замена переменных в кратных интегралах. Переход от декартовых координат к полярным, цилиндрическим и сферическим координатам. 68. Применение кратных интегралов для вычисления объемов и площадей, для решения задач механики и физики. XV. Криволинейные и поверхностные интегралы 69. Задачи, приводящие к криволинейным интегралам. Определения криволинейных интегралов первого и второго рода, их основные свойства и вычисление. Геометрические и механические приложения. Связь между криволинейными интегралами первого и второго рода. Формула Грина. 70. Площадь поверхности. Определение поверхностных интегралов. Их свойства и вычисление. XVI. Векторный анализ 71. Скалярное поле. Поверхности и линии уровня скалярного поля. Производная по направлению. Градиент скалярного поля, его координатное и инвариантное определения. 72. Векторное поле. Векторные линии и их дифференциальные уравнения. 73. Односторонние и двусторонние поверхности. Поток векторного поля через поверхность. Физический смысл потока в поле скоростей жидкости. Вычисление потока. Теорема Остроградского. 74. Дивергенция векторного поля, ее инвариантное определение и физический смысл. Вычисление дивергенции. Соленоидальные (трубчатые) поля. 75. Линейные интеграл в векторном поле. Работа силового поля. Циркуляция векторного поля. Теорема Стокса. Ротор поля, его координатное и инвариантное определения. Физический смысл ротора в поле скоростей. Условия независимости линейного интеграла от формы пути интегрирования. 76. Потенциальное поле. Условие потенциальности поля. Вычисление линейного интеграла в потенциальном поле. 77. Оператор Гамильтона. Операции второго порядка в векторном анализе. Оператор Лапласа, его выражение в цилиндрических и сферических координатах. XVII. Основные уравнения математической физики 78. Уравнение колебаний струны. Решение задачи Коши методом Даламбера, методом разделения переменных. 79. Уравнение теплопроводности. Решение задачи Коши методом преобразования Фурье. 80. Уравнение Лапласа. Решение задачи Дирихле в круге методом Фурье. XVIII*. Операционное исчисление 81. Преобразование Лапласа. Оригинал и изображение. Свойства изображений. Изображения простейших функций. 82. Связь преобразования Лапласа с преобразованием Фурье. Теорема о свертке, теорема запаздывания, теорема о сдвиге. Интеграл Дюамеля. 83. Операционный метод решения линейных обыкновенных дифференциальных уравнений. 84. Применение операционного метода к решению уравнений с частными производными. XIX. Теория вероятностей и математическая статистика 85. Аксиоматика теории вероятностей. Серии опытов со случайными исходами. Частота. Свойства частот. Математическая схематизация случайных явлений. Пространство элементарных событий. Случайные события, операции над событиями и отношения между ними. Алгебра событий. Вероятность — аддитивная функция события. Аксиомы теории вероятностей. Вероятностные пространства. Классическое определение вероятности. Геометрические вероятности. 86. Определение условной вероятности. Независимость событий. Теорема о полной вероятности. Формулы Байеса. Последовательность независимых испытаний, схема Бернулли. Предельные теоремы Муавра—Лапласа и Пуассона. 87. Определение случайной величины. Функция распределения случайной величины и ее свойства. Непрерывные и дискретные распределения. Примеры распределений: нормальное, пуассоновское, биномиальное, равномерное, показательное. Совместное распределение нескольких случайных величин. Функции от случайных величин. Независимость случайных величин. Распределение суммы независимых случайных величин. 88. Математическое ожидание, дисперсия и другие моменты случайных величин; их свойства (доказательство только для дискретных величин). Ковариация, коэффициент корреляции. 89. Закон больших чисел. Неравенство Чебышева. Закон больших чисел для последовательности независимых случайных величин. Уеорема Чебышева. 90. Предельные теоремы. Характеристические функции и их свойства (теоремы о взаимно однозначном и непрерывном соответствии характеристических функций и функций распределения). Центральная предельная теорема для суммы одинаково распределенных слагаемых. Теорема Ляпунова. Теорема Хинчина. 91. Цепи Маркова. Определение. Вероятности перехода. Теорема о предельных вероятностях (без доказательства). Вычисление предельных вероятностей. Стационарное распределение. 92. Математическая статистика. Выборки. Точечные оценки неизвестных параметров распределения по выборке, понятия состоятельности и несмещенности оценок. Понятие о доверительных интервалах и статической проверке гипотез. 93. Элементы корреляционного анализа. Основные свойства регрессии. Уравнения линейной регрессии. Теснота связи и ее оценка по коэффициенту корреляции. Понятие о нелинейной регрессии. Корреляционное отношение. XX. Основные численные методы 94. Алгоритмы и их свойства. Блок-схема алгоритмов. Основные типы вычислительных процессов. 95. Приближение функции многочленом по методу наименьших квадратов. 96. Интерполяция. Интерполяционный многочлен Лагранжа. Линейная и квадратичная интерполяция. Конечные разности и их свойства. 97. Решение линейных систем методом Гаусса—Жордана. Обращение матриц и вычисление определителей по методу Гаусса—Жордана. 98. Итерационные методы решения уравнений. Понятие об итерационных методах решения систем уравнений. 99. Численные методы решения задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка. Метод Эйлера и его модификации. Метод Рунге—Кутта. 100. Понятие о методе сеток решения краевых задач математическом физики. ЛИТЕРАТУРА 1. Беклемишев Д. В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. — М.: Наука, 1980, 1984. 2. Ефимов Н. В. Квадратичные формы и матрицы. — М.: Физматгиз, 1962—1963; М.: Наука, 1964—1975. 3. Клетеник Д. В. Сборник задач по аналитической геометрии.—М.: Гостехиздат, 1954—1956; М.: Физматгиз, 1958—1963; М.: Наука, 1965—1980. 4. Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов. — М.: Наука, 1970—1985, т. 1, 2. 5. Задачи и упражнения по математическому анализу для втузов/Под ред. Б. П. Демидовича.—М.- Физматгиз, 1959 — 1963; М: Наука, 1964—1978. 6. Свешников А. Г., Тихонов А. Н. Теория функций комплексной переменной —М.: Наука, 1967—1979. 7. Краснов М. Л., Киселев А. И., Макаренко Г. И. Функции комплексного переменного. Операционное исчисление. Теория устойчивости (задачи и упражнения). — М.- Наука, 1971. 8. Чистяков В. П. Курс теории вероятностей. — М.: Наука 1982. 9. Данко П. Е., Попов А. Г., Кожевникова Т. Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. — М.: Высшая школа 1980,4. I, II. 10. Бугров Я. С, Никольский СМ. Высшая математика. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии. — М. Наука, 1980, 1984. 11. Бугров Я. С, Никольский СМ. Высшая математика Дифференциальное и интегральное исчисление. — М.: Наука, 1980, 1984. 12. Бугров Я. С, Никольский С. М. Высшая математика. Дифференциальные уравнения. Кратные интегралы. Ряды Функции комплексного переменного. — М.: Наука, 1981, 1985. 13. Бугров Я. С, Никольский С. М. Высшая математика. Задачник. — М.: Наука, 1982. ^ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО ИЗУЧЕНИЮ КУРСА «ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА» Курс высшей математики разбит на темы и пункты, в которых даны подробные указания литературы, рекомендуемой для изучения, и задач для самостоятельного решения. Номера в квадратных скобках [ ] означают пособия из приведенного выше списка литературы; например [1] обозначает учебник Д. В. Беклемишева и т. д. В случае необходимости по некоторым вопросам даны пояснения, дополняющие материал рекомендуемых пособий. В каждой теме приведены вопросы для самопроверки. Указано также, после изучения каких тем студент должен выполнить очередную контрольную работу. Приступая к изучению курса высшей математики, студент должен прочитать из пособия [11], § 1.1—1.3. Там он найдет общую характеристику предмета математики, начальные сведения из теории множеств и некоторые начальные понятия о символике математической логики, используемые в дальнейшем на протяжении всего курса. В пособии [9] имеется довольно большое число решенных задач, с которыми студенту рекомендуется познакомиться при изучении соответствующего материала. ^ ТЕМА I. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА 1. Векторы Литература. [1], гл. 1, § 1; [3], задачи 761, 764—777, 785, 786, 790, 792 При решении задач из [3] следует учесть особенности применяемой там терминологии. Пояснение всех терминов, используемых в задачах, можно найти во вступительной части каждого параграфа, к которому относится данная задача. Особое внимание следует уделить вступлениям к § 1, 2, 27, 29, 30. 2. Системы координат Литература. [1], гл. 1, § 2, п. 1—3; [3], задачи 750—752, 778, 779, 1—25; 44—49, 86—115, 719—725, 735—742, 745, 746. 3. Скалярное произведение векторов Литература. [1], гл. 1, §3, п. 1; [3], задачи 795—838, 748, 749, 753—760, 780—784, 53—58, 63—85. 4. Векторное и смешанное произведения векторов Литература. [1], гл. 1, § 3, п. 2, 3, 12; [3], задачи 839— 849; [1], гл. 1, § 3, п. 4; [3], задачи 865—871. 5. Определители второго и третьего порядков Литература. [1], гл. 1; § 3, п. 5—9; [3], задачи 1204— 1209, 1211—1251, 850—864, 116—126, 873—878. 6. Замена базиса и системы координат Литература. [1], гл. 1, § 4, п. 1; [3], задачи 787—789, 793, 794; [1], гл. 1, § 4, п. 2, 3; [3], задачи 127—141. 7. Полярные, цилиндрические и сферические координаты Литература. [1], гл. 1, § 2, п. 4, 5; [3], задачи 26—28, 42, 43. Вопросы для самопроверки 1. Что называется вектором и модулем вектора? 2. Какие векторы называются коллинеарными, компланарными, равными? 3. Могут ли два вектора, имеющих равные модули, быть не равными? Если да, то чем они могут различаться? 4. Все векторы, имеющие один и тот же модуль, отложены из одной точки А пространства. Где находятся концы этих векторов? 5. Какие операции над векторами называются линейными и каковы свойства этих операций? 6. Что называется базисом на прямой, на плоскости и в пространстве? 7. В каком случае векторы называются линейно зависимыми и в каком — линейно независимыми? 8. Докажите, что линейным операциям над векторами соответствуют такие же операции над их компонентами (координатами) в некотором базисе. 9. Какой базис называется ортонормированным? 10. Как определяется декартова система координат? 11. Как выражаются координаты вектора через координаты его начальной и конечной точек? 12. Выведите формулы деления отрезка в данном отношении 13. Центром тяжести треугольника является точка пересечения его медиан. Выведите формулы, выражающие координаты центра тяжести треугольника через координаты его вершин. 14. Что называется скалярным произведением двух векторов, каковы его свойства и как оно выражается через координаты векторов-сомножителей в ортонормированном базисе? 15. Выведите формулы для длины вектора, угла между двумя векторами и расстояния между двумя точками в декартовой прямоугольной системе координат. 16. Что называется векторным произведением двух векторов, каковы его свойства и как оно выражается через координаты векторов-сомножителей в ортонормированном базисе? 17. Что называется смешанным произведением трех векторов, каковы его свойства и как оно выражается через координаты векторов-сомножителей в ортонормированном базисе? 18. Что называется определителем (детерминантом) второго и третьего порядков, каковы их свойства и способы вычисления? 19. Как преобразуются координаты вектора при замене базиса пространства (плоскости)? 20. Какому условию должны удовлетворять координаты трех векторов, чтобы их можно было принять за базис пространства? 21. Каковы формулы преобразования декартовых прямоугольных координат на плоскости? 22. Опишите полярную, цилиндрическую и сферическую системы координат. ^ ТЕМА II. ПОВЕРХНОСТИ И ЛИНИИ 1. Уравнения в декартовых координатах Литература. [1], гл. II, § 1, п. 1; [3], задачи 157—162, 174— 197, 885-887, 891—909; [1], гл. II, § 1, п. 5; [3], задача 910. Рекомендуется разобрать пример 1 в § 10 и решение задачи 888 в [3], а также решения задач 37—39 и 41 в [9], ч. I. 2. Параметрические уравнения линий и поверхностей Литература. [1], гл. II, § 1, п. 3; [3], задачи 204—207, 209; [1], гл. II, § 1, п. 4. Рекомендуется разобрать решения задач 52—56 в [9], ч. I. 3. Алгебраические линии и поверхности Литература. [1], гл. II, § 1, п. 2. Исправьте опечатку в гл. II, §1, п. 2 пособия [1] (4-е изд., 1980; с. 42, строка 14-я снизу). Во втором определении написано: алгебраической поверхностью на плоскости... Следует читать: алгебраической линией на плоскости... 4. Плоскости и прямые Литература. [1], гл. II, § 2, 3; [3], § 12—15, 38-43, 45. 5. Линии второго порядка Литература. [1], гл. III, § 1, 2, п. 1; [3], задачи 385, 397, 398, 444, 460, 472, 509, 512. [1], гл. III, § 2, п. 2; [3], задачи 515, 516, 522, 526, 530, 532, 541, 542. [1], гл. III, § 2, п. 3; [3], задачи 585, 588, 591, 599, 600, 607. 6. Поверхности второго порядка Литература. [1], гл. III, § 4; [3], задачи 1084, 1096, 1153, 1154, 1155, 1179. 7. Уравнение линии в полярных координатах Литература. [4], гл. I, § 10, упр. 41—45; [3], задачи 163, 166, 208, 632. Вопросы для самопроверки 1. Как определяются в аналитической геометрии линии, поверхности и другие множества точек? Приведите примеры. 2. Как можно найти точку пересечения двух линий на плоскости, трех поверхностей, линии и поверхности? Приведите примеры. 3. Какова характерная особенность уравнения цилиндрической поверхности с образующими, параллельными одной из координатных осей? Приведите примеры. 4. Опишите параметрический способ задания линий и поверхностей. Приведите примеры. 5. Какие поверхности и линии называются алгебраическими? Приведите примеры. 6. Что называется порядком алгебраической линии и алгебраической поверхности? Приведите примеры. 7. Докажите, что плоскость является поверхностью первого порядка, а прямая на плоскости линией первого порядка. 8. Что называется направляющим вектором прямой и направляющими векторами плоскости? 9. Покажите, что вектор 1(—В, А) является направляющим вектором прямой Ах + Вх + С=0. 10. Как записываются параметрические уравнения прямой и плоскости? 11. Что называется угловым коэффициентом прямой на плоскости и каков его геометрический смысл в декартовой прямоугольной системе координат? 12. Как записываются уравнения прямой, проходящей через две точки, в пространстве и на плоскости? 13. Как записывается уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки? 14. Как вычисляются углы между двумя прямыми (на плоскости и в пространстве), между двумя плоскостями, между плоскостью и прямой? 15. Каковы условия параллельности и перпендикулярности двух прямых (на плоскости и в пространстве), двух плоскостей, прямой и плоскости? 16. Каков геометрический смысл неравенства первой степени с двумя и тремя переменными? 17. Каковы канонические уравнения эллипса, гиперболы и параболы? 18. Что называется фокусами, директрисами и эксцентриситетом эллипса, гиперболы и параболы? 19. Каковы геометрические свойства эллипса, гиперболы и параболы? 20. Что называется асимптотами гиперболы? 21. Назовите поверхности второго порядка и напишите их канонические уравнения. 22. Приведите примеры уравнений линий в полярных координатах. После изучения тем I, II выполните контрольную работу 1. ТЕМА^ III. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ 1. Матрицы и линейные операции над ними Литература. [1], гл. V, §1; [9], ч. I, задачи 394, 395. Операции сложения матриц и умножения матрицы на число называются линейными. Линейные операции над матрицами обладают теми же свойствами, что и линейные операции над векторами (см. [1], § 1, п. 4, предложение 1). Понятия матрицы и линейных операций над матрицами рассматриваются и в ряде других пособий, например в [10], § 3. В [2] (п. 71 и 74), [4] (гл. XXI, § 2, 4), а также в [9] (ч. I, гл. 4, § 2) матрицы вводятся в связи с линейными преобразованиями, которые будут изучаться позже. 2. Определители Литература. [1], гл. V, § 2; [3], задачи 1252—1256; [9], ч. I, задачи 387—390. Определители называют также детерминантами. Студент уже знаком с определителями 2-го и 3-го порядков (тема I, п. 5, с. 27). Теперь он знакомится с общим понятием определителя (n-го порядка). Рекомендуется разобрать в [9], ч. I, решения задач 383, 384, 386. Понятие определителя рассматривается также в [10], § 1, 2. Очень важно хорошо усвоить свойства определителей, так как без их применения практически невозможно вычислять определители высших порядков (выше третьего). 3. Системы линейных уравнений. Правило Крамера Литература. [1], гл. V, § 3; [9], ч. I, задачи 391—393. Правило Крамера рассматривается также в [10], § 4. 4. Ранг матрицы. Теорема Кронекера—Капелли. Метод Гаусса Литература. [1], гл. V, § 4, 5; [9], ч. I, задачи 435—437, 441—443, 446, 447, 449. Материал этого пункта имеется также в [10], § 3, 4. Рекомендуется разобрать в [9], ч. I, решения задач 428—433, 438—440, 444, 445. Эффективным методом решения и исследования систем линейных уравнений является метод исключения неизвестных, называемый также методом Гаусса. Он состоит в том, что данная система линейных уравнений преобразуется в равносильную ей систему специального вида, которая легко исследуется и решается. Применение метода Гаусса не зависит ни от числа уравнений, ни от числа неизвестных в системе. Систему т линейных уравнений с п неизвестными х\, х2,..., хя в общем виде можно записать так: где aij — коэффициенты, bi — свободные члены. В дальнейшем могут встретиться и такие особые уравнения, все коэффициенты которых равны нулю, т. е. уравнения вида Если в уравнении (2) свободный член отличен от нуля, то ему не удовлетворяют никакие значения неизвестных. Система уравнений, содержащая хотя бы одно такое уравнение, несовместна. Если же в уравнении (2) свободный член равен нулю, то ему удовлетворяют любые значения неизвестных — уравнение является тождеством. Уравнение-тождество можно удалить из системы: оставшиеся уравнения образуют систему, равносильную исходной. В дальнейшем уравнения-тождества будем кратко обозначать символом 0=0 Чтобы преобразовать данную систему линейных уравнений общего вида к необходимому виду, используют следующие элементарные преобразования: α — прибавление к обеим частям одного уравнения системы соответствующих частей другого уравнения той же системы, умноженных на некоторое число λ; β — перестановка местами уравнений в системе; γ — удаление из системы уравнений вида 0 = 0. В результате каждого из элементарных преобразований, а значит, и в результате их последовательного повторения данная система линейных уравнений преобразуется в систему линейных же уравнений, равносильную исходной. С помощью элементарного преобразования а любую систему линейных уравнений можно преобразовать так, чтобы некоторое фиксированное неизвестное х1, сохранившись в одном уравнении, исключилось из любого другого уравнения системы. Для этого достаточно подобрать соответствующее значение множителя λ для каждого уравнения, из которого исключается выбранное неизвестное х1, Действительно, пусть в системе (1) неизвестное содержится в i-м уравнении. Это значит, что коэффициент aij=0. Назовем х1, ведущим неизвестным, i-е уравнение — ведущим уравнением, а коэффициент aij — ведущим элементом. Преобразуем теперь κ-е уравнение (κ≠j), прибавив к нему ведущее уравнение, умноженное на некоторое число λ. Коэффициенты κ-го уравнения преобразуются по формуле (штрихом отмечены новые значения соответствующих коэффициентов). Подберем множитель λ так, чтобы коэффициент при хj в k-м уравнении (получающийся из (3), если положить l=j) стал равным нулю: откуда λ=-akj/aij. (4) Используя одно и то же уравнение в качестве ведущего, можно исключить ведущее неизвестное из нескольких уравнений, для каждого из которых надо взять свое значение множителя λ, определяемое по формуле (4) при различных значениях k. Такое преобразование системы линейных уравнений будем называть исключением неизвестного xj. При исключении одного неизвестного может оказаться, что из некоторых уравнений системы исключились, и некоторые другие неизвестные и даже появились уравнения вида (2). Преобразование системы по методу Гаусса состоит из нескольких шагов, на каждом из которых исключается одно неизвестное. Для каждого такого шага необходимо указать ведущее неизвестное и ведущее уравнение или, что равносильно, ведущий элемент, а также определить, из каких уравнений исключается ведущее неизвестное. В качестве первого ведущего элемента (ведущего элемента первого шага) можно выбрать любой отличный от нуля коэффициент данной системы линейных уравнений. Сделав такой выбор, исключим первое ведущее неизвестное из всех уравнений системы, кроме первого ведущего уравнения. Если получится хотя бы одно уравнение вида (2) с отличным от нуля свободным членом, то исследование закончено — система несовместна. Если же все полученные уравнения вида (2) окажутся уравнениями-тождествами, то их из системы удаляют. Первый шаг закончен. Совокупность уравнений системы, кроме первого ведущего, назовем первой подсистемой. Первое ведущее уравнение дальнейшим преобразованиям подвергать не будем. Преобразуем только первую подсистему. В качестве второго ведущего элемента (ведущего элемента второго шага) можно выбрать любой отличный от нуля коэффициент в первой подсистеме. Произведя такой выбор, исключим второе ведущее неизвестное из всех уравнений первой подсистемы, кроме второго ведущего уравнения. Если получится хотя бы одно уравнение вида (2) с отличным от нуля свободным членом, то исследование закончено — система несовместна. Если же все полученные уравнения вида (2) окажутся уравнениями-тождествами, то их из системы удаляют. Второй шаг закончен. Совокупность уравнений системы, кроме первого и второго ведущих, назовем второй подсистемой. Второе ведущее уравнение, как и первое, дальнейшим преобразованиям подвергать не будем. Преобразуем только вторую подсистему. В качестве третьего ведущего элемента (ведущего элемента третьего шага) можно выбрать любой отличный от нуля коэффициент во второй подсистеме и т. д. Если в процессе таких преобразований не получатся уравнения вида (2) с отличным от нуля свободным членом, то данная система совместна. Процесс ее преобразования заканчивают тогда, когда на очередном шаге получена подсистема, состоящая только из одного уравнения, или подсистемы вообще не будет. На каждом шаге преобразования системы линейных уравнений методом Гаусса имеется большая свобода в выборе ведущего элемента (он только не может быть равен нулю). Но как бы эти элементы ни выбирались, число уравнений в окончательно полученной системе будет одно и то же: оно равно максимальному числу независимых уравнений в исходной системе. Это число, являющееся очень важной характеристикой системы, называется рангом системы линейных уравнений. Если m — число уравнений в данной системе, r — ее ранг, а n — число неизвестных, то, очевидно, r≤m и r≥n. Если ведущие элементы выбирать так, чтобы ведущими неизвестными стали последовательно первые по порядку номеров неизвестные х1, х2 ..., то в результате система принимает вид или, в частности, при r=n В случае r=n система имеет единственное решение, которое легко найти; из последнего уравнения системы (6) находим значение неизвестного хn; подставив это значение в предпоследнее уравнение, найдем значение xn-1 и т. д. до получения из первого уравнения значения x1. Если же r<n, то аналогично из системы (5) можно найти выражения неизвестных x1, x2,..., хr через неизвестные xr+1, xr+1,..., хn: Придавая неизвестным xr+1,...,xn произвольные значения и вычисляя затем по формулам (7) значения неизвестных x1, х2,.,., хr, каждый раз будем получать решение системы (5), а значит, и решение исходной системы. Наоборот, любое решение системы может быть получено по формулам (7) при соответствующих значениях неизвестных xr+1,...,xn. Поэтому выражение (7) называют общим решением системы. Любое решение с конкретными числовыми значениями неизвестных называют частным решением системы. В этом случае система имеет бесчисленное множество решений. Неизвестные xr+1,...,xn называют свободными, а неизвестные x1, х2,.,., хr — базисными. Число базисных неизвестных равно рангу системы r, а число свободных неизвестных s=n—r. Приведение данной системы линейных уравнений к виду (5) или (6) называют прямым ходом, а отыскание решения системы (5) или (6) (общего или единственного) — обратным ходом метода Гаусса. Для обратного хода можно снова применить описанную выше схему исключения неизвестных. Рассмотрим применение метода Гаусса на конкретных примерах. Пример 1. Решить систему линейных уравнений Решение. За первое ведущее уравнение примем первое уравнение системы, а за первое ведущее неизвестное x1 первый ведущий элемент есть а11 = 2. Исключим x1 из второго и третьего уравнений, прибавив ко второму уравнению ведущее, умноженное на — 3/2, а к третьему — ведущее, умноженное на — 5/2. Имеем Первый шаг закончен. Второе и третье уравнения образуют первую подсистему. За второе ведущее уравнение примем второе уравнение системы, а за второе ведущее неизвестное x2; второй ведущий элемент есть 7/2. Исключив x2 из третьего уравнения, получаем Второй шаг закончен. Вторая подсистема состоит из одного третьего уравнения. Прямой ход метода Гаусса закончен — система приведена к виду (6). В результате обратного хода получаем Итак, решение данной системы таково: x1=-4, x2=3, x3=-1 данном случае r=n=3, решение единственное. Пример 2. Решить систему линейных уравнений Решение. Преобразуем систему методом Гаусса Уравнение 0=-26 не имеет решений, следовательно, данная система несовместна. Замечание. Несовместность данной системы очевидна уже после первого шага: в полученной системе левые части второго и третьего уравнений отличаются только знаком, тогда как правые части одинаковы по знаку и различны по модулю. Пример 3. Решить систему линейных уравнений Решение. Преобразуем систему методом Гаусса: После второго шага из трех уравнений осталось два, так как третье уравнение приняло вид 0=0 и удалено из системы. В данном случае ранг системы r = 2, а число неизвестных n = 3, т. е. r<n. Из трех уравнений первоначально данной системы только два независимы (m = 3, r<m). В первой подсистеме два уравнения, вторая подсистема отсутствует. Система приведена к виду (5). Прямой ход метода Гаусса закончен. Исключая теперь с помощью второго уравнения х2 из первого уравнения, приведем систему к виду откуда легко находим общее решение: x1 = 19/3+x3, х2=-14/15+(2/5)x3 Неизвестные х1, x2 - базисные, х3 — свободное. Придавая неизвестному x3 произвольные числовые значения, можно получить множество частных решений: x1 = 19/3, x2=-14/15, x3=0; x1=22/3, x2=-8/15, x3=1 и т. д. К элементарным преобразованиям системы линейных уравнений часто присоединяют еще одно преобразование: δ - умножение обеих частей уравнения системы на некоторое число μ≠0. Очевидно, система, полученная в результате преобразования δ из данной системы, равносильна последней. Требование (μ≠0) существенно, так как после умножения обеих частей уравнения на нуль получим уравнение-тождество 0=0, что может привести к системе, неравносильной исходной. Преобразованием δ можно добиться, чтобы коэффициенты при базисных переменных в системе (5) или (6) стали равными единице. Действительно, в (5) и (6) коэффициенты при базисных переменных x1, x2,..., xr, очевидно, отличны от нуля (cij≠0). Умножая уравнения в этих системах соответственно на μ1 = 1/сij (с,, ij≠0; i=1, 2, ..., r), получаем в качестве коэффициентов при x1, x2,..., xr, единицы. Преобразование δ можно применять и в промежуточных преобразованиях системы, добиваясь упрощения хода решения задачи. Так, например, в примере 1 можно было последовательно преобразовывать данную систему в следующие системы: Кроме описанной схемы метода Гаусса существуют разновидности этого метода. Одной из них является метод полного исключения (или метод Жордана-Гаусса): исключение ведущего неизвестного производится не только из уравнений очередной подсистемы, но и из ведущих уравнений предыдущих шагов. Рассмотрим преобразование, основанное на методе полного исключения системы линейных уравнений, приведенной в примере 1 (попутно будем применять и преобразование δ): После третьего шага получена система, равносильная данной, которую вместе с тем можно рассматривать и как запись ее решения. Еще одной разновидностью метода Гаусса является метод главных элементов Гаусса. При этом на каждом шаге в качестве ведущего выбирают наибольший по модулю коэффициент в подсистеме; его называют главным элементом. Указанный метод применяют в том случае, когда систему решают приближенно. Выбор главного элемента, в качестве ведущего, обеспечивает уменьшение вычислительной погрешности. При преобразованиях системы линейных уравнений методом Гаусса преобразуются коэффициенты системы, поэтому этот метод можно применить не к самой системе уравнений, а к ее расширенной матрице. Элементарным преобразованиям системы линейных уравнений соответствуют аналогичные элементарные преобразования матрицы (применительно к строкам) [см. [1], гл V, § 4, п. 1, предложение 2]. Уравнению-тождеству 0 = 0 соответствует строка матрицы, состоящая из одних нулей, а противоречивому уравнению 0=b - строка матрицы, последний элемент которой не равен нулю (b≠0), а все остальные элементы — нули. Выше рангом системы линейных уравнений было названо максимальное число независимых уравнений в системе. Теперь, по аналогии, можно сказать, что рангом матрицы является максимальное число ее линейно независимых строк. Часто рангом матрицы называют наивысший порядок ее минора, отличного от нуля (см. [1], гл V, §4), а рангом системы линейных уравнений - ранг ее матрицы. Все эти определения понятия ранга (системы линейных уравнений, матрицы) эквивалентны. При элементарных преобразованиях матрицы ее ранг не меняется, поэтому для отыскания ранга матрицы можно привести ее с помощью элементарных преобразований к упрощенному виду, позволяющему сразу установить ее ранг (см. [1], гл. V, § 4, п. 2). Это преобразование матрицы также производят по схеме метода Гаусса. Таким образом, схема метода Гаусса применяется не только для решения и исследования систем линейных уравнений. Здесь мы отметили применение ее к решению задачи о ранге матрицы, позже познакомимся и с другими ее применениями (например, для отыскания обратной матрицы — см. [1], гл. V, § 6). 5. Произведение матриц Литература. [1], гл. V, § 6; [4], т. 2, гл. XXI, § 4, 6—9, упр. 3—10; [9], ч. I, гл. IV, § 2, задачи 39G, 402, 406, 407: Вопросы для самопроверки 1. Что называется матрицей? Как определяются линейные операции над матрицами и каковы их свойства? Приведите примеры. 2. Что называется определителем? Каковы основные свойства определителей? 3. Что называется минором и алгебраическим дополнением? Приведите примеры. 4. Каковы способы вычисления определителей? Приведите примеры. 5. Что называется матрицей и расширенной матрицей системы линейных уравнений? Приведите примеры. 6. Что называется решением системы линейных уравнений? Какие системы называются совместными, а какие — несовместными? 7. Сформулируйте теорему Кронекера—Капелли. 8. Напишите формулы Крамера. В каком случае они применимы? 9. При каком условии система линейных уравнений имеет единственное решение? 10. Что можно сказать о системе линейных уравнений, если ее определитель равен нулю? 11. При каком условии однородная система п линейных уравнений с п неизвестными имеет ненулевое решение? 12. Опишите метод Гаусса решения и исследования систем линейных уравнений. 13. Какие разновидности метода Гаусса вы знаете? 14. Что называется рангом системы линейных уравнений? Как, используя метод Гаусса, можно найти ранг системы линейных уравнений? 15. Какие неизвестные в системе линейных уравнений и в каком случае называют свободными, а какие базисными? Что называется общим решением системы линейных уравнений? 16. Что называется рангом матрицы? Как его можно найти? 17. Что называется произведением двух матриц? Каковы свойства произведения матриц? 18. Какая матрица называется единичной? 19. Какая матрица называется обратной для данной матрицы? Всегда ли существует обратная матрица? Как можно найти обратную матрицу? 20. В чем состоит матричный способ решения систем линейных уравнений? 6. Арифметическое пространство Понятие числа является основным понятием математики. Множество действительных Скачать 1,9 Mb. оставить комментарий страница 1/14 Ю. С. АРУТЮНОВА Дата 23.09.2011 Размер 1,9 Mb. Тип Методические указания, Образовательные материалы