Элективный курс «Решение уравнений и неравенств с параметрами». (в рамках предпрофильной подготовки для учащихся 9 класса) icon

Элективный курс «Решение уравнений и неравенств с параметрами». (в рамках предпрофильной подготовки для учащихся 9 класса)



Смотрите также:
Программа элективного курса «Решение уравнений и неравенств с параметрами»...
Элективный курс по математике...
Элективный курс «Решение уравнений и неравенств» Класс: 11 Профиль класса: общеобразовательный...
Оказалась для меня сложной...
Элективный курс для учащихся 9 класса общеобразовательных школ...
Элективный курс Задачи с модулями и параметрами (в рамках предпрофильной подготовки для учащихся...
Элективный курс «Теория графов» (в рамках предпрофильной подготовки учащихся 9 класса)...
Элективный курс Медианы в треугольнике (геометрия 9 класс; 12 часов...
Программа решение неравенств (Учебный курс предпрофильной подготовки для учащихся 9-х классов с...
Программа элективного курса “Решение уравнений с параметрами” Пояснительная записка...
Элективный курс Задачи линейного программирования Пояснительная записка...
Программа «Решение уравнений с модулем» (Учебный курс предпрофильной подготовки для учащихся 9-х...



скачать
МУНИЦИПАЛЬНОЕ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ОСНОВНАЯ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ШКОЛА с. ДВУРЕЧКИ

ГРЯЗИНСКОГО РАЙОНА ЛИПЕЦКОЙ ОБЛАСТИ


Элективный курс

«Решение уравнений и неравенств с параметрами».

(в рамках предпрофильной подготовки для учащихся 9 класса)


Составила: учитель математики

МОУ ООШ с. Двуречки

Леденёва О.А.


2008 г.


Пояснительная записка.

Математика уже давно стала основным аппаратом физики и техники. В последние годы математически методы исследований широко используются и в таких науках как химия, экономика, биология, геология, медицина, лингвистика, археология и т. д. Поэтому не удивительно, что преподавание математики должно обеспечить достаточную подготовку оканчивающих основную школу для дальнейшего обучения в соответствующих учебных заведениях.

На выпускных экзаменах, в форме ЕГЭ, встречаются задания повышенной сложности, требующих нестандартного подхода. И этот пробел в знаниях призваны ликвидировать элективные курсы.

В школе задачам с параметрами уделяется мало времени, поэтому многие школьники не до конца понимают их смысл, а также многие важные моменты не входят в программу. Следовательно, эта тема требует определённого к ней внимания и некоторым учащимся будет необходимо повторение и углубление этой темы. Этот элективный курс посвящён решению задач с параметрами.

Методика обучения учащихся решению задач с параметрами состоит из трёх этапов. Первый этап - подготовительный, второй - рассмотрение примеров решений задач с параметрами, третий - непосредственное решение задач учащимися в следующей последовательности: решение задач первого типа, затем - второго.

Первый тип: «найти все решения некоторого уравнения или неравенства», второй: найти все значения параметра, при которых решения уравнения или неравенства удовлетворяют заданным условиям. Например, задача «Решить уравнение относительно x » относится к первому типу, задача «Найти целые решения уравнения » - ко второму.

На первом этапе осуществляется специальная подготовка учащихся посредством определённого блока задач, решение которых базируется на изученном ранее материале.


^ Цели курса.

  • Изучение, обобщение и систематизация знаний учащихся

по решению задач с параметрами.

Овладение конкретными математическими знаниями,

необходимыми для применения в практической

деятельности, для продолжения образования.


^ Задачи курса: а) расширить и углубить знания по данному вопросу;

б) развивать логическое мышление и интуицию;

в) подготовить к сдаче ЕГЭ;

г) повысить уровень математической подготовки.


^ Тематическое планирование.




п/п

Содержание учебного материала


Количество

часов

1

Повторение. Линейные уравнения.

1

2

Решение линейных уравнений с параметром.

Применение алгоритма в решении

линейных уравнений.


1

3

Решение линейных неравенств с параметром.

Примеры. Запись ответа при решении неравенств с параметром.


1

4

Системы линейных уравнений,

содержащих параметр.

Домашняя контрольная работа.


1

5

Системы неравенств с параметром.

Алгоритм решения.

1

6

Квадратные уравнения, содержащие

параметр. Изучение теорем о расположении корней квадратного уравнения.

2

7

Квадратные неравенства, содержащие параметр. Схема решения квадратных неравенств.

2

8

Дробно-рациональные уравнения.

Алгоритм решения .

2

9

Уравнения, неравенства и системы с параметрами, содержащие переменные

и параметр под знаком модуля.

2

9

Решение нестандартных заданий

из сборников по ЕГЭ.

2

10

Контрольная работа.

1



Итого: 16часов.


Содержание курса.

1. Повторение линейных уравнений.

При анализе результатов решения частных случаев линейных уравнений выясняются соответствующие логические условия, от выполнения которых зависит разнообразие результатов.

Линейные уравнения имеют три различных типа результатов:

А) единственное решение;

Б) отсутствие решений;

В) бесконечное множество решений.


^ 2.Решения линейных уравнений с параметрами.

Применяется определённый алгоритм в решении.

Пример. Решить уравнение: .

1 шаг: приведём уравнение к стандартному виду , .

2 шаг: рассмотрим два случая:

1) если , то ;

2) если , то стандартное уравнение принимает вид: - уравнение решений не имеет.

3 шаг: запишем ответ. При записи ответа важно отразить все этапы решения.

Ответ: если , ; если а = 1, то нет решения.

Пример. Решить уравнение относительно x: .

1) , при , x = 1

2) а + 1 = 0 , при а = -1, уравнение принимает вид 0x =0 , решением его является любое число.

Ответ: x =1 при ; x - любое при а = -1.

Пример. Решить уравнение относительно x: .

1 шаг: приведём уравнение к стандартному виду:

,, .

2 шаг: рассмотрим два случая:

1) , то есть , , то .

2) .

а) b = 7,то стандартное уравнение принимает вид 0x = 14 - решений нет;

б) b = -7, то стандартное уравнение принимает вид 0x = 0, x -любое

3 шаг: запись ответа

Ответ: при , ; решений нет при b=7; x - любое при b = -7.

Дополнительные задания.

Решить уравнения относительно x ( 1-6).

  1. (a -1)x + 2 = a + 1;

  2. a (x - 1) = 3x - 3;

  3. a2x = 9x +3 + a;

  4. b (b + x) =49 - 7x;

  5. c2x - 4 = 16x + c

  6. 3x - 1 = a + 2x + 3.

  7. Указать, при каких значениях параметра а уравнение ax +7 =2x + 3 имеет корень, равный а) 1; б) 2?

  8. При каких значениях а уравнение 5(x - 1) - 3(a - 2) = 5 имеет корень, принадлежащий промежутку 1

  9. При каких а уравнение (a2 - 5a + 6)x = a -2

1) не имеет корней;

2) корнем является любое число?

  1. Найдите все значения параметра а, при которых уравнение

6-3a +14x=12x+3a имеет корень, меньший 1.

  1. Указать, при каких значениях параметра а уравнение 0,5(5x-1)=4,5-2a(x - 2) имеет бесконечное множество решений.


^ 3. Решение линейных неравенств с параметром.

При решении неравенств важно помнить, что при делении неравенства на положительное число знак неравенства сохраняется, а при делении на отрицательное - меняется на противоположный.

Пример. Решить неравенство относительно x .

1 шаг: Приведём неравенство к стандартному виду.

2 шаг: Рассмотрим три случая a -2 > 0, a -2 < 0, a - 2 = 0.

1) если a - 2 > 0,то a >2, .

2) если а -2 < 0, то .

3) если а - 2 = 0 , а = 2 , то стандартное неравенство примет вид 0x >4, оно не имеет решений.

3 шаг: записываем ответ

Ответ: при а>2, ; при a< 2, ; при а =2 нет решений.

Пример. Решить неравенство относительно x.

Решение. -стандартный вид.

, a - любое.

Ответ: при любом а.

Дополнительные задания.

Решить неравенства относительно x (1-6).

  1. (a -1)x +2 >a + 1;

  2. (x + 2a) + (x - a)<3a;

  3. ax + 5 < 5 +a;

  4. c2x -2 >4x + c;

  5. (x + 2a) +(x - a)< 3a

  6. b2x - b > 25x + 5.

  7. При каком значении а среди решений ax > -3 есть решение, равное 8?

  8. При каком значении b неравенство bx - 3 > b - 3x имеет решения x>1?

  9. Для какого значения b неравенство 2x > 8 - bx не имеет решений?


^ 4. Системы линейных уравнений содержащих параметр.

Подготовительный этап. Повторить методы решения систем линейных уравнений: подстановки, сложения, графические.

При решении системы линейных уравнений возможны три ситуации:

-система имеет единственное решение;

-не имеет решений;

-имеет бесконечное множество решений.

Следующий этап: предложить схему решения систем линейных уравнений,

содержащих параметр, методом подстановки.

Схема.

1. Выразить y через x из одного уравнения системы.

2. Подставить полученное выражение вместо y в другое уравнение системы.

3. Решить полученное уравнение с параметром относительно x.

4. Найти y , используя результаты третьего и первого шагов.

5. Записать ответ.

При решении системы с параметром, где это возможно, применять метод

алгебраического сложения.

Для освоения решения систем линейных уравнений графическим методом необходимо в классе иметь следующую таблицу.




l1 = l2

l1 пересекает l2

l1 || l2 ;

a1 / a2 = b1 / b2 = c1 / c2

a1 / a2 не равно b1 / b2

a1 / a2 = b1 / b2 не равно c1 / c2 ;

бесконечное множество решений x - любое, y = c - ax / b

единственное решение.




нет решений











Пример. Найти все значения k, при которых система имеет единственное



Предложить учащимся решить эту систему методом подстановки.

Решение. Для того, чтобы линейная система двух уравнений с двумя переменными имела единственное решение, нужно, чтобы прямые, отвечающие уравнениям пересекались, то есть, чтобы было выполнено условие:

, откуда получаем , т.е. , .

Следовательно, условию задачи удовлетворяют все значения параметра k,

кроме k =2, k = -2.

Ответ: при , система имеет единственное решение.

Пример. Найдите все значения параметра а, при которых система уравнений



не имеет решений.

Решение. Данная система не имеет решений тогда и только тогда, когда

.

1) Из уравнения находим a2 =1, откуда имеем a =1, a =-1.

2) Из уравнения , 2a(a - 1) =0 a=0, a =1.

Из пунктов 1) и 2) имеем



и находим , что a = -1.

Ответ: при a = -1 система не имеет решений.


Пример. Решить систему уравнений (а - параметр)



Решение 1. Исключим параметр а из данной системы. Из первого уравнения a = 2 - x - y. Тогда второе уравнение даёт

2xy = 4 +(2 - x - y)2 или x2 - 4x + 4 + y2 - 4y + 4 = 0, т.е. (x - 2)2 + (y - 2)2= 0.

Значит x = 2, y = 2. Из первого уравнения системы находим a = - 2.

Система имеет единственное решение x =2, y = 2 при а = -2.

Решение 2. Воспользуемся обратной теоремой Виета.

Так как x + y = 2 - a, xy = 2 + , то числа x , y являются корнями квадратного уравнения t2 - (2 - a)t + (2 + ) = 0. Дискриминант уравнения

D = (2 - a)2 - 4(2 + ) = -(a + 2)2. Действительные решения будут только при

а = -2. Заданная система приобретает вид



Ответ: x = 2, y = 2 при a = - 2.

Дополнительные задания.

1.При каких значениях параметра а система не имеет решений?

а) б) в)


2. Найти все значения параметра, при которых система имеет бесконечное множество решений.

а) б) в)

^ 5. Системы неравенств с параметром.

Очень часто уравнения, неравенства, системы с параметром сводятся

к задачам о расположении одного или двух квадратных трёхчленов.

Решить систему неравенств.



Решение. Поскольку решением первого неравенства является

, то задача сводится (при ) к выяснению расположению корней

Квадратного трёхчлена f(x)= ax - 2 (a + 1)x + a - 1 относительно отрезка [1;2].

Имеем D = (a +1)2 -a(a - 1)= 3a + 1, f(1) = - 3, f (2)= a - 5.

Область изменения параметра а оказалась разделённой на 4 части.

1) Если a< - , второе неравенство, а следовательно и данная система не

имеют решения. То же имеет место и при а =- .

2) Если - < а < 0 , то f(1) < 0, f(2) < 0. Для вершины параболы выполняется неравенство x b =< 0. Следовательно, множество решений

второго неравенства не содержит точек отрезка [1;2]. Система не имеет решения. То же имеет место и при а = 0.

3) Если 0<а <5, то f(1)< 0, f(2)< 0. Значит на всём отрезке [1;2] f(x) <0.

Система вновь не имеет решения.

4) Если , то f(1)< 0, . Решением системы будет , где x2 - больший корень уравнения f(x)=0.

Ответ. Если а< 5, система не имеет решения; если , то .


^ 6.Квадратные уравнения содержащие параметр.

На этом элективном курсе особое внимание обратим на следующие задачи. Это задачи на расположение корней квадратного уравнения относительно числа А , пары чисел А и В, исследование знаков корней.

Для эффективного решения данных уравнений необходимо дать на этих занятиях теоремы о расположении корней квадратного уравнения.

В зависимости от класса, профиля доказательства могут приводиться или не приводиться.

Рассмотрим некоторые примеры.

Пример . При каких значениях параметра а число 2 находится между корнями квадратного уравнения x2 + (4a + 5) x + 3 - 2a = 0?

Решение. Воспользуемся теоремой о расположении корней квадратного трёхчлена (корни лежат по разные стороны от числа А). Учащимся можно предложить перевести снова условие задачи на графический язык. Для удовлетворения требований задачи следует потребовать выполнения неравенства f(2)< 0, то есть,

4 + (4a + 5) + 3 - 2a < 0, 17 + 6a < 0, откуда получаем .

^ Ответ: .

Пример. При каких значениях параметра а оба корня квадратного уравнения x2 + ax + 36 = 0 больше 1?

Решение. Для того чтобы выполнялось условие x1 > 1, x2>1, составим

систему

.

Ответ: (-38; - 12).

^ Пример. Найти значения параметра а, при которых уравнение x2 +4x + a = 0 имеет два различных отрицательных корня.

Решение. Запишем условия:



Первое соотношение выполняется при а < 4 , второе - при а > 0, третье - при всех значениях а. Решение этой системы (0,4) .

ответ: (0,4)

Пример. При каких значениях параметра а уравнение x2 + 2(a + 1)x + 9a -5 =0

имеет два различных корня?

Так как уравнение должно иметь два различных действительных корня

x1 И x2 , его дискриминант должен быть положительным. Имеем:

D = 4(a + 1)2 - 4(9a - 5) = 4a2 - 28a + 24 = 4(a -1)(a - 6).Значит , должно

Выполняться неравенство 4(a -1) (a -6)> 0.

По теореме Виета имеем: x1+ x2 = - 2(a + 1), x1x2 =9a -5.

Поскольку по условию x1< 0 и x2<0, то -2(a + 1)< 0 и 9a - 5> 0. В итоге мы приходим к системе неравенств:



Из первого неравенства системы находим a < 1; a > 6; из второго:

a> -1;из третьего: a>. С помощью координатной прямой находим, что либо

< a <1, либо a >6.

Ответ: .


Дополнительные задания.

  1. Найти все те значения параметра p , при которых корни квадратного

уравнения px2 - 2x +1 = 0 больше ,чем -1.

  1. При каких значениях параметра а один из корней квадратного трёхчлена

f(x) = x2 + 2bx + b - 3 отрицателен при всех x, удовлетворяющих условию

2 < x <3?

  1. При каких значениях параметра k число -2 заключено между корнями уравнения -x2 +(3k - 1)x + k -1 = 0?

  2. При каких значениях параметра а число 3 заключено между корнями уравнения x2 - (2a + 1)x + 4 - a =0?

  3. Найдите все значения параметра а , при которых квадратное уравнение

3x2 - 4(3a - 2) + a + 2a = 0 имеет корни x1 и x2 , удовлетворяющие условию

x1< a < x2 .


^ 7.Квадратные неравенства содержащие параметр.

При решении квадратных неравенств, содержащих параметр, также необходимо обратиться к графику квадратного трёхчлена. Подготовительный

Этап состоит в повторении методов решения квадратных неравенств. Разбирая решение неравенств, необходимо каждый раз выяснять знаки дискриминанта, числа а.

При решении неравенств, где требованием является его решение для каждого значения параметра, можно предложить примерную схему:

  1. Найти дискриминант исходного квадратного трёхчлена.

  2. Выяснить, при каких значениях параметра D0, D< 0.

  3. Выяснить знак коэффициента при х2.

  4. Для каждого случая построить схематично график исходного квадратного трёхчлена и определить промежутки, на которых выполнимо неравенство.

  5. Записать ответ.


^ 8. Дробно - рациональные уравнения.

Подготовительный этап: повторить схему решения дробно- рациональных уравнений. Схему можно дать в следующей формулировке:

  1. Перенести все члены уравнения в одну часть.

  2. Преобразовать эту часть уравнения к виду алгебраической дроби .

  3. 3.Решить уравнение P(x) = 0.

  4. Для каждого корня уравнения P(x)=0 сделать проверку: удовлетворяет он условию Q(x) 0 или нет. Если да, то это - корень уравнения; если нет, то это посторонний корень и в ответ его включать не следует.

При решении дробно - рациональных уравнений, содержащих параметр, используются алгоритмы решения дробно-рациональных уравнений, линейных, и квадратных уравнений с параметром.

^ Пример. Решить уравнение .

Решение. Левая часть уже представлена в виде дроби. Будем иметь x + 3=0, откуда x = -3.

Сделаем проверку. Исключим такие значения параметра а, при которых

x +a = 0, то есть, - 3 +a = 0, откуда a=3. Это значение и следует исключить,

при таком значении параметра а уравнение не будет иметь решения.

Ответ: x=3 a3; уравнение решений не имеет при а=3.

Пример. Решить уравнение с параметром .

1.Перенесём все члены уравнения в одну часть.

2.Приведём к виду алгебраической дроби левую часть, получим

.

3. Решим уравнение ax +x+1=0 - это линейное уравнение с параметром.

Приведём его к стандартному виду: (a +1)x=-1.

1) Если a-1, то .

2) Если a=-1, то стандартное уравнение примет вид 0x=-1,

оно не имеет решения.

4. Сделаем проверку найденных значений по условию x+50, то есть,

x-5. Необходимо проверить, нет ли таких значений а, при которых найденное значение x равно - 5, эти значения нам надо исключить.

, откуда , это значение нам необходимо исключить.

Итак, имеем:

1) если , a-1, то уравнение имеет единственное решение ;

2) если же , a = -1,то уравнение решений не имеет.

Ответ: если , a-1, то x= -1/(a+1); если , a=-1, то решений нет.


^ 9. Уравнения, неравенства и системы с параметрами, содержащие переменную и параметр под знаком модуля.

В этом пункте мы рассмотрим задачи, при решении которых надо использовать наглядно-графические соображения. Подчеркнём два характерных приёма.

^ Первый приём. На плоскости (x;y) рассматривается семейство кривых, зависящих от параметра а: y = f(x; a). Затем в этом семействе выделяется множество кривых, обладающим требуемым свойством. При этом часто поступают следующим образом: изучают, как перемещается кривая семейства при изменении параметра, и находят граничные значения параметра, отделяющие множество значений параметра, которым соответствуют кривые, имеющие нужное свойство.

^ Второй приём состоит в том, что рассматривается плоскость (x;а), на которой изображается множество точек, координаты которых удовлетворяют данному уравнению или неравенству. После этого, проводя прямые, параллельные оси x, находят решение этого уравнения или неравенства при соответствующем значении параметра. Значения параметра, при переходе через которые меняется формула, дающая решение, естественным образом определяются построенным множеством.

Пример. Сколько корней в зависимости от параметра а имеет уравнение

X2 + 5(x + 1) + 3|x - a| +a = 0?

Решение. Изобразим на плоскости(x; a) все точки, удовлетворяющие данному уравнению. Если xa ,то a = - (x2 + 8x + 5); если x(x2 + 2x + 5).

Следовательно, если - 5< a < - 1, то уравнение имеет два решения.

Если а = -5 или а = -1, решение единственное. Для остальных значений а уравнение не имеет решений.


Пример.Решить уравнение | x - a | + | x + a + 1| = 3. (1)

Решение. Геометрически заданное уравнение можно истолковать следующим образом: найти такие точки x , для которых p(x,a) +p(x, -a - 1) = 3,где p(x,a)- расстояние между точками x, a , а p(x, -a -1) - расстояние между точками x и -a -1. Возникает прежде всего такой вопрос: а как расположены на прямой сами точки а и - а -1.Возможны три случая:

а = - а - 1; а< - a - 1; a > - a - 1. Рассмотрим каждый случай отдельно.

1. Пусть а = - а - 1, a =- . Тогда уравнение (1) примет вид 2 |x + | = 3,

|x + | = , откуда находим x1 = - 2, x2 = 1

2. Пусть a< -a - 1, т.е. a< -. Здесь, в свою очередь возможны три случая:

p(a, - a - 1)> 3; p(a, - a - 1) = 3; p( a, - a - 1)<3. Не забывайте, что нам надо найти такие точки x , что p(x,a) + p(x, - a - 1) =3, именно поэтому мы и сравниваем расстояние между точками а и - а - 1 с числом 3.

А) Пусть p(a, - a - 1)> 3, -a - 1 - a> 3, a< - 2.

Тогда для любой точки прямой справедливо неравенство

p(a, x) + p(x, -a-1) p(a, - a - 1) ,т.е. p(a, x) + p(x, - a - 1)> 3.Это значит что

в рассматриваемом случае (т.е. при a< - 2) уравнение (1) не имеет корней.

В) Пусть p(a, - a - 1)<3, т.е. -a - 1 - a<3, a> -2 ( но a<-, как отмечено выше).

Тогда уравнению (1) будут удовлетворять две точки x1 и x2 одна левее а, другая правее - а - 1.

Для точки x1 имеем: p(x1, a) + p(x1, - a - 1) = 3,

a - x1 + (- a - 1 - x1) = 3, x1= - 2.

Для точки имеем: p(x2, a) + p(x2, - a - 1) = 3,

x2 - ( - a - 1) + (x2 - a) = 3, 2x2 +1 = 3 , x2 = 1.

Итак, при -2< a < - уравнение (1) имеет два корня: x1 =- 2, x2 =1.

3.Рассмотрим третий случай: a> - a - 1,т.е. a> -. Здесь, как и во втором случае, возможны три варианта: p(a,-a-1)>3, p(a, -a-1) = 3, p(a, -a-1)<3,


в каждом из которых наши рассуждения будут аналогичны тем, которые мы проводили выше.

а) p(a, -a-1)>3, т.е. a - (-a - 1)> 3, a> 1. Тогда уравнение (1) не имеет корней;

б) p(a, -a-1) =3, т.е. a - (-a - 1) = 3, a = 3. Тогда уравнению (1) удовлетворяют все точки отрезка [-а - 1, а];

в) p(a,-a-1)<3, т.е. a - (-a - 1)<3, a<1 ( но, напомним, a>-) тогда уравнению (1) удовлетворяют две точки x1 x2 такие, что - a - 1 - x1 + a - x1 = 3, x1 = -2; x2 - a + x2 - (- a -1) = 3 , x2 = 1.

Подводя итоги, получаем:

если a< -2, то корней нет;

если a=-2, то ax - a - 1, т.е. -2x 1;

если -2< a< -, то x1 = - 2; x2=1;

если a = -,то x1 =-2; x2 =1;

если - 1 = -2; x2 =1;

если a =1, то - a - 1xa, -2x 1;

если a> 1 , то корней нет.

Ответ: если a< -2, a>1, то корней нет; если a {-2; 1}, то [-2; 1]; если

-2

Дополнительные задания.

1) |x + 3| > - a2; 2) |x2 +a|0;

3) |x|(x - a)>0; 4) |x - 3| + a2 |x| =0;

5) |x2 - 1|+|a(x -1)|=0; 6) x |x +1| a.


Литература.

  1. В.А. Гусев. Математика. Справочные материалы. Москва. Просвещение. 1990г.

  2. Д.К. Фадеев, Н.Н. Лященко. Задачи по алгебре. Москва. Просвещение, 1988.

  3. А.А. Ершова. Решение уравнений и неравенств с параметрами в курсе математики 7-9 классов. Липецк ЛГПИ, 1998

  4. Б.М. Ивлев, А.М. Абрамов. Задачи повышенной трудности по алгебре и началам анализа. Москва. Просвещание,1990

  5. В.С.Крамор Повторяем и систематизируем школьный курс алгебры и начал анализа. Москва. Просвещение, 1990

  6. А. Г.Мордкович. Алгебра. Учебник 9 кл.. В двух частях.Ч.2. Задачник для общеобразовательных учреждений. Мнемозина, 2000.

  7. И. Ф. Шарыгин .Факультативный курс по математике: Решение задач. Просвещение, 1989

  8. М Б. Буданцева Алгебра 9 класс. Типовые тестовые задания. ЕГЭ. Сфера, 2007.

  9. А.Г. Мерзляк, В.Б. Полонский. Алгебраический тренажёр. Пособие для школьников и абитуриентов. Москва-Харьков. Интелекса.Гимназия.1998.

  10. А.Г. Мордкович. Наибольшие и наименьшие значения величин. Модуль. Действительного числа. Москва. Школа-пресс.1995.




Скачать 201,79 Kb.
оставить комментарий
Дата22.09.2011
Размер201,79 Kb.
ТипЭлективный курс, Образовательные материалы
Добавить документ в свой блог или на сайт

Ваша оценка этого документа будет первой.
Ваша оценка:
Разместите кнопку на своём сайте или блоге:
rudocs.exdat.com

Загрузка...
База данных защищена авторским правом ©exdat 2000-2017
При копировании материала укажите ссылку
обратиться к администрации
Анализ
Справочники
Сценарии
Рефераты
Курсовые работы
Авторефераты
Программы
Методички
Документы
Понятия

опубликовать
Документы

наверх