Научно-исследовательская работа. Доказательство неравенств. Автор работы icon

Научно-исследовательская работа. Доказательство неравенств. Автор работы


6 чел. помогло.

Смотрите также:
Научно-исследовательская работа в магистратуре 15 Научно-исследовательская работа в семестре 15...
Научно-исследовательская работа (методические рекомендации по оформлению и содержанию реферата...
Примерная программа научно-исследовательская работа рекомендуется для направления подготовки...
Исследовательская работа по литературе «Говорящие» фамилии в рассказах А. П...
Научно-исследовательская работа учебно-методические материалы Новосибирск...
Решением ученого совета...
Научно-исследовательская работа в следующих направлениях...
Программа Научно исследовательской работы Направление: 030900 «Юриспруденция»...
Рабочая программа дисциплины сд. Р...
Научно-исследовательская работа студентов в условиях реализации фгос впо нелюбов В. М...
«Знание»
Исследовательская работа Автор работы...



скачать
Научно-исследовательская работа.


Доказательство неравенств.


Автор работы: Атапина Ирина Николаевна


Занимаемая должность: учитель математики

Место выполнения работы: МОУ Романовская

СОШ, Саратовская область,

Романовский район,

р.п. Романовка


2010 г.


В программе по алгебре и началам анализа для профильного уровня, в разделе «Уравнения и неравенства» есть тема: «Доказательства неравенств: использование равносильных преобразований, метода математической индукции, исследования функций. Неравенство о среднем арифметическом и среднем геометрическом нескольких чисел».

К сожалению, основной школьный курс почти не говорит о существовании истинного математического богатства, раскрываемого в теме «Доказательство неравенств».

Доказательства неравенств на базовом уровне рассматривается в 8 классе в начале изучения темы «Неравенство». Обучающиеся доказывают неравенства самым простым способом, находя разность двух выражений. В дальнейшем неравенства доказываются, в лучшем случае на занятиях математических кружков, факультативов, т.е. во внеклассной работе по предмету.

На страницах новых учебников, по которым изучается базовый курс математики, из классических неравенств встречаются только соотношения между средне арифметическим и средне геометрическим двух неотрицательных действительных чисел (неравенство Коши).

Задачи, решение которых весьма затруднительно без применения классических неравенств, - частые гости на математических олимпиадах школьников. Решение задач такого типа обычно представляют собой последовательность достаточно простых рассуждений. Но вот логика и идеи всей цепочки этих элементарных звеньев – рассуждений выходят за рамки методов и приемов школьного курса. Тем более, что процесс получения и изучения неравенств и их приложений неформален и мало алгоритмизуем.

Актуальность темы «Доказательство неравенств» бесспорна, так как неравенства играют фундаментальную роль в большинстве разделов современной математики, без них не может обойтись ни физика, ни астрономия, ни химия. Теория вероятности, математическая статистика, финансовая математика, экономика – все эти взаимопроникающие и обобщающие друг друга науки и в формулировках основных своих законов, и в методах их получения, и в приложениях, постоянно используют неравенства.


^ 1. Историческая справка.

Понятия «больше» и «меньше» наряду с понятиями равенство возникли в связи со счетом предметов и необходимостью сравнивать различные величины. Понятиями неравенства поль­зовались уже древние греки. Архимед (III в. до н. э.), зани­маясь вычислением длины окружности, установил, что «пери­метр всякого круга равен утроенному диаметру с избытком, который меньше седьмой части диаметра, но больше десяти семьдесят первых». Иначе говоря, Архимед указал границы числа π:



Ряд неравенств приводит в своем знаменитом трактате «Начала» Евклид. Он, например, доказывает, что среднее гео­метрическое двух положительных чисел не больше их среднего арифметического, т. е. что верно неравенство

≤ (a+b)/2 .

В «Математическом собрании» Паппа Александрийского в III в., доказывается: «Если a/b >с/d (а, b, с и d - положительные числа), то ad>bс».

Однако все эти рассуждения проводили словесно, опираясь в большинстве случаев на геометрическую терминологию.

В 1557 г., когда Роберт Рекорд впервые ввел знак равенства, он мотивировал свое нововведение следующем образом: никакие два предмета не могут быть между собой более равными, чем два параллельных отрезка. Знак равенства Рекорда стал, однако, общеупотребительным лишь в ­ХVIII веке после того как им стали пользоваться Лейбниц и его последователи. Исходя из знака равенства Рекорда, другой английский ученый Гарриот ввел употребляемые поныне знаки неравенства, обосно­вывая (в «Практике аналитического искусства», вышедшей в 1631 г. посмертно) нововведение следующим образом: если две величины не равны, то отрезки, фигурирующие в знаке равенства, уже не параллельны, а пересекаются. Пересечение может иметь место справа (>) или слева (<). В первом случае образованный знак не­равенства будет обозначать «больше», во втором - «меньше».

Несмотря на то что знаки неравенства были предложены через ­74 года после предложенного Рекордом знака равенства, они вош­ли в употребление намного раньше последнего. Одна из причин этого явления коренится в том, что типографии применяли в то время для знаков неравенства уже имевшуюся у них латинскую букву V, тогда как наборного знака равенства (=) у них не было, а изготовлять его тогда - было нелегко.

Знаки ≤ и ≥ ввел французский математик П. Буге (1698-1758).

Неравенства и системы неравенств широко используются как в теоретических исследованиях, так и при решении важных практических задач.

Введение в программу профильного обучения этой темы очень важно. Задачи этой темы решаются алгебраическим способом, который является одним из лучших средств развития самостоятельного, творческого мышления. С помощью специально подобранных задач, которые способны заинтересовать учащихся своей кажущейся простотой и тем, что их решение не сразу дается в руки, можно показать учащимся красоту, простоту и изящество логического рассуждения. Задачи на доказательство неравенств часто решаются несколькими способами. Это дает возможность обратить внимание учащихся не только на наиболее рациональный, красивый способ решения данной задачи, но и на те способы, которые широко применяются при решении других задач и в некоторых случаях оказываются единственными.

Доказательства неравенств дает возможность реализовать в процессе изучения темы такие задачи: формирование у учащихся навыка осмысления и применение приемов доказательство неравенств; умение применять приемы доказательств при выполнении различных задач; умение анализировать, обобщать и делать выводы; логически излагать мысли; творчески относится к делу.


^ 2. Неравенство Коши.

Пусть а и b – неотрицательные числа. Доказать, что .

Это неравенство иногда называют неравенством Коши в честь французского математика XIX в.Огюста Коши.

Доказательство: Составим разность левой и правой частей: (a+b)/2 -= =((a+b)-2)/2=(- )2/2 .

Получим неотрицательное число, значит, . Число называют средним арифметическим чисел а и b; число называют средним геометрическим чисел а и b. Таким образом, неравенство Коши, означает, что среднее арифметическое двух неотрицательных чисел не менее их среднего геометрического.

Неравенство Коши имеет любопытное геометрическое истолкование. Пусть дан прямоугольный треугольник и пусть высота h, проведенная из вершины прямого угла, делит гипотенузу на отрезки а и b. В геометрии доказано, что h=. А что такое ? Это длина половины гипотенузы. Но из геометрии известно, что медиана m прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, как раз равна половине гипотенузы. Таким образом, неравенство Коши означает, что длина медианы, проведенной к гипотенузе (т.е. ), не меньше длины высоты, проведенной к гипотенузе (т.е. ).

Замечание: Из неравенства Коши вытекают следующие неравенства, используемые нами ранее при доказательстве предыдущих неравенств, которые широко применяются при доказательстве неравенств вообще. a+b≥2, если a и b – произвольные неотрицательные; , если a и b – произвольные положительные числа; , если a и b – произвольные ненулевые числа одного знака.

Обобщив неравенство на 3,4,5…n неотрицательных чисел знаменитый французский математик Огюстен Луи Коши доказал в 1821 г. следующее неравенство:

,

т.е. среднее геометрическое n неотрицательных чисел не больше среднего арифметического этих чисел. Равенство существует при условии, если только все n чисел равны между собой. Докажем это неравенство методом математической индукции.

Пример 1. а) Доказать, что если положительные числа х12,…хn таковы, что х1х2…хn =1, то х12+…+хn ≥n.

б) Доказать, что для любого натурального числа n≥2 справедливо неравенство

, где все числа а12,…аn положительны.

Доказательство: а) Проверим выполнение утверждения для n=2. пусть произведение двух положительных чисел х12 равно 1. поскольку ≥ ≥, получаем, что х12 ≥2, что и требовалось установить.

Предположим, что утверждение выполняется для n=к, т.е. предположим, что если х1х2…хк =1, где все множители – положительные числа х1 2 +…+хк ≥к. Докажем, что тогда из равенства х1х2…хк хк+1=1следует неравенство х1 2+ +…+хк к+1 ≥к+1.

Если х1 2 =…=хк к+1=1, то х1 2 +…+хк к+1=к+1; можно записать и так х1 2 +…+хк к+1 ≥к+1. Значит в этом тривиальном случае утверждение выполняется. Если в произведении х1х2…хк хк+1 не все множители равны 1, то найдется хотя бы одна пара чисел таких, что одно больше 1, а другое меньше 1; обозначим эти числа соответственно хк и хк+1, а их произведение обозначим Хк.

Имеем х1х2…хк-1 хк хк+1=1, т.е. х1х2… хк-1, Хк =1. поскольку произведение к положительных чисел равно 1, то и по индукционному предположению их сумма не меньше к: х1+ х2+… +хк-1к≥к.

Докажем, что Хк< хк к+1-1.

В самом деле, Хк- (хк к+1-1)=1+ хк хк+1- хк к+1=( хк-1)( хк+1-1). Выше мы отметили, что хк>1, а хк+1<1. значит, ( хк-1)( хк+1-1)<0, а потому Хк< хк к+1-1.

А теперь рассмотрим интересующую нас сумму х1+ х2+… +хк-1. Имеем: (х1+ +х2+… +хк-1)+( хк к+1)> (х1+ х2+… +хк-1)+ Хк+1.

По принципу математической индукции утверждение доказано для любого натурального числа n≥2.

б) Введем обозначение: А=. Справедливо равенство


=1. но тогда, согласно утверждению, доказанному в пункте а), выполняется неравенство ≥n, т.е. ≥А, что и требовалось доказать.

Приведем еще две полезные формы записи неравенства Коши:

х12+…+хn≥n

и (х12+…+хn)n≥nn х1х2x3…хn – в первой записи нет дроби, во второй – ни дроби, ни радикала. Если ими не пользоваться, то выкладки всегда будут более громоздкими.

3.^ Основные методы доказательства неравенств.

Задачи на доказательство неравенств особенные. Конкретных особых подходов здесь нет. Одно и тоже неравенство можно доказать различными способами. Разберем теперь наиболее часто встречающие приемы установления истинности неравенств с переменными, продемонстрировав соответствующие идеи и методы на конкретных примерах. В дальнейшем речь пойдет о неравенствах справедливость которых требует доказать на заданном множестве значений переменных. Если такое множество неуказанно, то подразумевается, что эти переменные могут принимать любые действительные значения.

^ 4. Доказательство неравенств путем определения знака разности их частей.

Этот метод исследования неравенств по другому называют «Доказательство неравенств с помощью определения». Определение сравнения двух действительных чисел было приведено выше. По определению считается, что A>B, если (A-B) – положительное число. Поэтому для доказательства неравенства f(a, b…k) > g(a, b…k) на заданном множестве значений a, b…k – достаточно составить разность f(a, b…k) и убедится в том, что она положительна при заданных значениях a, b…k. Именно этим способом доказано выше неравенство Коши и некоторые свойства неравенств.

Пример 2. Доказать, что если ab>0, то ≥2.

Доказательство: имеем - 2= . Так как ab>0, то 2≥0, причем знак равенства имеет место лишь при a=b. Итак, разность - 2 неотрицательна, неравенство доказано.

Пример 3. Докажем, что любых положительных чисел a и b справедливо неравенство 4(a3+b3)≥(a+b)3

Доказательство: рассмотрим выражение А=4(a3+b3) - (a+b)3.

Сначала преобразуем его:

А=4(a+b)(а2-ab+b2)-(a+b)(а2+2ab+b2)=(a+b)(4а2-4ab+4b22-2ab-b2)= =(a+b)(3а2-6ab+3b2)=3(a+b) (a-b)2. Так как a>0, b>0, то А≥0, т.е. доказана справедливость неравенства.

4(a3+b3)≥(a+b)3.

Пример 4. Докажите, что для любых действительных чисел a,b,c,d,e справедливо неравенство

а2+b2+c2+d2+e2≥ a(b+c+d+e).

Доказательство. Составим и преобразуем разность а2+b2+c2+d2+e2- -a(b+c+d+e)=(-b)2 +(-с)2+(-d)2+(-e)2. Очевидно, что эта разность принимает лишь неотрицательные значения, что доказывает исходное неравенство. Кроме того, очевидно, что оно выполняется в варианте равенства тогда и только тогда, когда = b=c=d=e.

Пример 5. Докажите, что если n≥3, n N, то справедливо неравенство .

Доказательство: перейдем к доказательству равносильного данному неравенства n4> ( n+1)3 и проанализируем разность n4- ( n+1)3 . Очевидно, что n4- ( n+1)3 = n4 – n3- 3n2- 3n-1= n3 (n-3)+ 2n2(n-3)+3n(n-3)+6(n-3)+17, а значит, при n≥3, n4-( n+1)3>0 как сумма четырех неотрицательных и одного положительного слагаемого.

^ 5. Доказательство неравенств с помощью использования ранее доказанных и очевидных неравенств.

Пример 6. Докажем, что для любых положительных чисел x справедливо неравенство х+ ≥2.

Доказательство: рассмотрим неравенство ≥1 и левой части которого записано среднее арифметическое положительных чисел х и , а в правой – их среднее геометрическое.

Следовательно, неравенство≥1 справедливо на основании неравенства Коши. Но тогда на основании полученного утверждения справедливо неравенство ≥1.

Этот метод еще носит название метод синтеза. Суть этого метода заключается в синтезировании неравенства, которое требует обосновать из опорных (базисных) неравенств «законными» средствами, проистекающими из свойств числовых неравенств и методов их установления.

Опорными неравенствами являются, например, такие:

1) , где x≥0, y≥0 (неравенство Коши);

2) x+≥2, где x>0

3) -1 ≤ sin ≤1;

4) -1 ≤ cos ≤1;

5) а2≥0

6) ≥2, где ab>0.

7) (a-c)2+(b+d)2≥0, a,b,c,d - действительные числа

8) /2/2, 0<<π/2

9) sin /2< /2, 0<<π/2

Пример 7. Доказать, что для любых а, b, с R выпол­няется неравенство

а2 + b2 + с2 ≥ аb + bс + са.

Для доказательства мы применим неравенство Коши, но «по частям». Сначала - «неизвестно зачем», но это будет по­нятно позже, - умножим левую часть неравенства на 2 и пе­регруппируем слагаемые:

2(а2 + b2 + с2) = (а2 + b2) + (b2 + с2) + (с2 + а2),

и применим неравенство Коши к каждой сумме в правой части.

Имеем:

а2 + b2 ≥ 2= 2≥2аb,

так что

2(а2 + b2 + с2) ≥ 2аb + 2bс + 2са,

что и требовалось доказать.

Пример 8. Доказать, что ()n>n!,где nN, n>1.

Доказательство. Возьмем в качестве опорных следующие неравенства Коши:

; ;

; …;; .

Перемножим эти неравенства, получим:

()n ==2=n!

Итак, ()n≥n!. Так как по условию n≠1, то первое и последнее из опорных неравенств Коши могут быть только строгими. Но тогда и после перемножения опорных неравенств полученное неравенство должно быть строгим. Таким образом, ()2>n!, что и требовалось доказать.

^ 6. Метод оценивания

При решении многих задач, в частности, при рассмотрении различных функций особую роль играет оценка значения вы­ражения сверху или снизу, т. е. указание верхней или ниж­ней границы выражения. Никаких универсальных способов для нахождения такой оценки не существует, так что поиск нужной оценки является чисто эвристической, можно ска­зать, творческой работой. Оценка часто необходима не только для доказательства « готового», заданного неравенства, но и для сравнения числовых выражений, когда истинное неравен­ство требуется установить самостоятельно.


Пример 9. Докажите, что для любых действительных чисел a,b,c,d таким, что a2+b2=1, c2+d2=1, выполняется неравенство |ac-bd|≤1.

Доказательство методом усиления.

Применим свойство модуля и неравенство Коши:

|ac-bd|≤|ac|-|bd| = , что и обосновывает исследуемое неравенство.

Решение методом ослабления.

Учитывая, что a2+b2=1, c2+d2=1, заключаем:

1=(a2+b2)(c2+d2)=a2c2+a2d2+b2c2+b2d2=(ac)2-2abcd+(bd)2+(ad)2+2adbc+(bc)2=(ac- - bd)2+(ad-bc)2≥(ac-bd)2, т.к. (ad-bc)2 при

любых действительных a,b,c,d принимает только значение из полученных соотношений следует, что |ac-bd|≤1.


^ 7. Доказательство неравенств методом от противного.

Суть этого метода заключается в следующем. Пусть нужно доказать истинность неравенства f(x;y;z)>g(x;y;z).

Предполагают противное, т.е. что хотя бы для одного набора переменных справедливо неравенство f(x;y;z)≤g(x;y;z).

Используя свойства неравенств, выполняют преобразования последнего неравенства. Если в результате этих преобразований получается ложное неравенство, то это означает, что предположения о справедливости неравенства неверно, а поэтому верно исходное неравенство.

Пример 10. Доказать, что если a≥0,b≥0,c≥0,d≥0, то

Доказательство. Предположением противное, т.е. что для некоторого набора значений a,b,c,d справедливо неравенство<.

Возведем обе его части в квадрат. Получим ab+bc+ad+cd+cd.

Откуда bc+ad<2 и заменим <.

Но это противоречит неравенству Коши, составленному для неотрицательных чисел bc и ad. Значит, наше предположение неверно, т.е. для любых неотрицательных значений a,b,c,d справедливо неравенство<.

Пример 11. Докажите, что для любых действительных чисел a,b,c справедливо неравенство .

Доказательство: очевидно, что данное неравенство достаточно установить для любых действительных чисел a,b,c будем иметь следующие соотношения:

=, что является обоснованием исходного неравенства.

Пусть теперь нашлись такие неотрицательные числа a,b,c, для которых выполняется неравенство , но тогда выполняется неравенство

, тогда и неравенство

>, а значит и неравенство a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc- 3a2+3b2+3c2>0 или –( 2a2+2b2+2c2-2ab-2ac-2bc) >0, т.е. –(a-b)2+(d-c)2+(b-c)2>0, что невозможно ни при каких действительных a,b,c. Сделанное выше предположение опровергнуто, что и доказывает неполное неравенство.

^ 8. Доказательство неравенств методом математической индукции.

При доказательстве неравенств часто прибегают к методу математической индукции. Доказательство при помощи метода математической индукции того, что некоторое утверждение, в которое входят натуральные числа n верно, состоит из доказательства двух шагов:

Шаг 1. Утверждение верно при n=1.

Шаг 2. Из справедливости утверждения для какого – либо произвольного натурального n=к следует его справедливость для следующего натурального n=к+1. Если обе эти теоремы доказаны, то на основании принципа (аксиомы) математической индукции заключаем, что утверждение верно для любого натурального n. Если надо доказать утверждение не для всех натуральных n, а лишь начиная с некоторого натурального m>1, то доказательство проводится так:

  1. Доказывается, что утверждение верно при n=m;

  2. Доказывается, что из справедливости утверждения при n=к, где к≥ m, вытекает, что оно верно и при n=к+1.

Пример 12. Доказать, что для любых действительных чисел справедливо неравенство ||≤.

Доказательство. При n=2 неравенство принимает вид . Это верно неравенство оно доказано ранее. Предположим, что неравенство верно n=к (к≥2), т.е. ||≤|, и докажем, что тогда оно верно и при n=к+1, т.е. докажем, что ||≤. В самом деле, пусть к, тогда ||==|Акк+1|≤|Ак|+|ак+1|= =||≤. По принципу математической индукции неравенство верно для любых действительных .

^ 9. Метод использования тождеств.

Пример 13. Докажите, что для любых действительных чисел a и b справедливо неравенство a2+ab+b2 ≥ 0.

Доказательство. Воспользуемся очевидным тождеством a2+ab+b2 = =(а+, которое учитывая, что для любых a, b R (а+≥0, немедленно приводит к требуемому результату.

Для следующего неравенства используем замечательное тождество, тождество Лагранжа: (х(1х1+a2х2+…+аnxn)2=(x1a2--x2a1)2+(x1a3-x3a1)2+…+(x1an-xna1)2+(x2a3-x3a2)2+…+(x2an-xna2)2+…+= =(xn-1an-xnan-1)2.

Для обоснования этого тождества достаточно составить разность между его левой и правой частями, раскрыть скобки и привести подобные.

^ 10. Метод ведения новых переменных (метод подстановки)

Пример 14.Докажите, что для любых положительных чисел a,b,c справедливо неравенство .

Доказательство. Рассмотрим неравенство А+В+С≥, где А,В и С – любые действительные неотрицательные числа, и положим: А=; В= и С=, где a,b,c – произвольные положительные действительные числа, в результате получим требуемое неравенство.

Пример 15. Докажите, что для любых положительных чисел a,b,c справедливо неравенство ≥3.

Доказательство. Обозначим b+c=2x, c+a=2y, a+b=2z, причем очевидно, что при любых положительных чисел a,b,c числа x,y,z будут тоже положительны, а вот обратное неверно, поэтому, найдя a,b,c из системы



т.е. получив:



можно будет переписать исследуемое неравенство в следующем виде:

≥3,

однако не будет никакой гарантии, что оно справедливо при любых положительных x,y,z, даже если справедливо исследуемое неравенство. Однако если нам повезет и неравенство истинно, то это будет гарантировать справедливость и неравенства, но

=(+(-3) ≥ 2+2+2-3=3, что обосновывает исследуемое неравенство.

Заметим, что именно неравенство Коши, примененное к положительным числам , дало соотношение .

^ 11. Метод интерпретации или моделей.

Рассмотрим неравенства доказательство которых можно получить, используя хорошо известные неравенства треугольника. Вспомним, что для любых трех точек A,B,C справедливо соотношение (А, С)≤ (А, В)+ (В, С), где символом (M, N) обозначено расстояние от точки М до точки N.

^ 12. Метод интерпретации или моделей.

Рассмотрим неравенства доказательство которых можно получить, используя хорошо известные неравенства треугольника. Вспомним, что для любых трех точек A,B,C справедливо соотношение (А, С)≤ (А, В)+ (В, С), где символом (M, N) обозначено расстояние от точки М до точки N.

Пример 16: Докажите, что для любых действительных чисел а,

b и c справедливо неравенство



Доказательство. Рассмотрим в прямоугольной системе координат ХОУ точки O(0; 0), В(2а; 2b) и А(а + c; b) и запишем для них не­равенство треугольника ОB≤ОА + АВ.

Более тонким средством (нежели неравенство треугольника) для получения замечательных неравенств служит теорема косинусов. Продемонстрируем ее «работу» при решении конкретных задач.

Пример 17. Докажите, что для любого действительного числа

справедливо неравенство .

Доказательство. Рассмотрим два случая: а) х ≤0; б) х > 0.

а) Если х ≤0, то 9 + х2 - 3х 9; 16 + х2 - 4х 16, а значит, .

б) Если х > 0, то обратимся к геометрической модели: рассмот­рим прямоугольный треугольник АВС с катетами АС = 3; СВ = 4 и биссектрису CD его прямого угла С, причем обозначим CD = х. Используя теорему косинусов, получаем:

AD= =;

ВD= =. Остается воспользоваться неравенствами треугольника

AD + DB ≥ АВ и учесть, что

АВ = = 5 (ABC - египетский).

^ 13 Функционально – графические методы доказательство неравенств.

Это метод доказательства неравенств с помощью введения вспомогательных функций, с целью использования их свойств монотонности, т.е. возрастания или убывания, а также знание точек максимума, или минимума функции. Это позволяет сравнивать значение функции в различных точках области определения или на определенном промежутке.

Пример 18. Доказать, что при 0>5.

Доказательство. Рассмотрим функцию y=f(x), где f(x)=2x+ и найдем ее производную (x)= (2x+=(2x+x-2=2-2x-3=.

Заметим, что (x)<0 при 0 f(0,5). Но f(0,5)=5, значит на полуинтервале (0;0,5) выполняется неравенство f(x)>5, что и требовалось доказать.

^ 14. Метод уменьшения числа переменных в неравенстве и понижения степени неравенства.

При доказательстве неравенства из примера 33 был продемонстрирован способ уменьшения числа переменных, рассмотрение следующих двух примеров обогатит наши знания еще одним достижением того же.

Пример 19. Докажите, что для любых положительных а, b, с справедливо неравенство

а3 + b3 +с3 – а2b – аb2 – а2с - ас2 - b2с - bс2 + 3аbс≥0.

Доказательство. Разделим правую и левую части неравенства на с3 (с > 0, а значит, и с3 > 0) и введем новые переменные:=u, = v. В результате получим новое неравенство

и3 + v3 + 1-u2v - uv2 - u2 - u - v2 - v + 3uv≥0; u, v > 0, доказательство которого равносильно доказательству исходного неравенства. Перепишем его левую часть в следующем виде:

(u + v)3 - 3uv(u + v) + 1 - uv(u + v) - (u + v)2 +

+ 2uv - (u + v) + 3uv ≥0

и введем новые переменные: x= и + v и у = u • v, причем x> 0, y > 0 и х2 ≥ 4у. Теперь получили неравенство вида

y · (5 - 4х) + (x3 - х2 - x + 1)≥0, где x> 0, 0< у≤,

чье обоснование позволит сделать вывод и о справедливости исход­ного неравенства. Существенными достижениями в результате сде­ланных преобразований явились следующие: уменьшилось число переменных, а степень относительно переменного у оказалась равна единице. Преобразовав полученное неравенство к виду

(5 - 4х)· у + (х32 -х + 1)≥0

и введя в рассмотрение следующую вспомогательную функцию (считая х произвольным фиксированным положительным чис­лом) f(у) = (5- 4х) ·у + (х3 - -х2 - х + 1) с областью определения R, можем заключить, что при любом фиксированном значении х графиком этой функции будет прямая.

Следовательно, ее наименьшее значение на отрезке [0; ] достигается на одном из его концов. Однако легко найти f(0) = (х - 1 )2(х + 1) и f() = (х-2)2, а значит, убедиться, что и f(0)≥0, и f()≥0, что и доказывает истинность исходного неравенства.

  1. Методические рекомендации по изучению темы: «Доказательство неравенств» в школьном курсе математики.

На базовом уровне задачи на доказательства неравенств встречаются в учебнике Ю.Н. Макарычева «Алгебра 8 кл.» в теме «Числовые неравенства и их свойства»

Изложение материала начинается с определения понятий меньше и больше . Введенное определение является опорным при доказательстве свойств числовых неравенств и при выполнении упражнений на доказательства неравенств. Доказательства неравенств проводятся при помощи сравнения с нулем разности их левой и правой частей.

Затем рассматриваются неравенства, доказанные с использованием основных свойств, доказанных сразу, а так же, что очень важно, рассматриваются задачи на оценивание значений выражений. В дальнейшем приобретенные навыки доказательства неравенств находят применение при рассмотрении общих свойств функций.

В профильной школе, в учебнике А.Г. Мордковича, П.В. Семенова тема «Доказательство неравенств» затрагивается в 10 кл. при изучении темы «Множество действительных чисел» при рассмотрении числовых неравенств.

В качестве основного способа сравнения действительных чисел используется определение: «Говорят, что действительное число а больше (меньше) действительного числа b, если их разность a-b – положительное (отрицательное) число».

Пишут: a>b (a
Далее речь идет о положительных, отрицательных числах, строгих и нестрогих неравенствах.

Приводятся основные свойства числовых неравенств, свойство транзитивности доказывается. Говорится об основанных идеях доказательства неравенств.

Первая идея - составить разность левой и правой части неравенства и вычислить какое число получится положительное или отрицательное. Вторая идея – для доказательства нового свойства использовать уже известные свойства.

В качестве примеров доказываются некоторые неравенства, которые являются опорными для доказательства других неравенств:

1. Пусть a и b положительные числа и a>b. Доказать, что 1/а < 1/b

2. Пусть a положительное число. Доказать, что а+1/а ≥2.

Особое внимание обращается на неравенство Коши: «Пусть a и b – неотрицательные числа. Доказать, что (a+b)/2 ≥».

Кроме того, дается геометрическое истолкование неравенства Коши: в прямоугольном треугольнике, длина медианы, проведенная к гипотенузе (т.е. (a+b)/2), не меньше длины высоты, проведенной к гипотенузе (т.е. )

Далее с помощью свойств числовых неравенств сравниваются действительные числа по величине, оцениваются результаты.

Доказательство неравенств с помощью производной основывается на теореме об условии постоянства функции. Теорема приводится без доказательства, а затем рассматривается решение примеров. Дидактического на эту тему дано достаточно.

В учебнике А.Г. Мордковича, П.В. Семенова «Алгебра и начало анализа» 11 кл. профильный уровень тема раскрывается исчерпывающим, доступным образом. Показано, как доказываются неравенства с помощью определения. Для доказательства неравенства f(a, b…k) > g(a, b…k) на заданном множестве значений a,b…k достаточно составить разность f(a, b…k) - g(a, b…k) и убедится, что она положительна при заданных значениях a,b…k.

Далее рассматривается синтетический метод доказательства неравенств. Суть этого метода заключается в том, что с помощью ряда преобразований доказываемое неравенство выводят из некоторых известных (опорных) неравенств. В качестве опорных могут ис­пользоваться, например, такие неравенства:

а) а2 ≥ 0;

б) (a+b)/2 ≥, a≥0, b≥0

в) (a/b +b/a) ≥ 2, где ab >0

г) |sin x| ≤ 1, |cos x| ≤ 1.

Далее раскрывается доказательство неравенств методом от противного. Здесь снова красной нитью проходит противоречия с неравенством Коши, используются, что квадрат любого действительного числа положителен, тригонометрические преобразования и основные тригонометрические неравенства.

Математическая индукция рассматривалась учениками в 10 кл. в 11 кл. идет ее применение к доказательству неравенств, причем используются неравенства доказанные в 10 классе.

Функционально – графические методы доказательства неравенств так же рассматриваются на примерах. Опора идет на хорошо отработанные в 10 классе знания тригонометрических функций их свойств, преобразование тригонометрических выражений, применение производной к исследованию функций.

Тема рассматривается на конкретных примерах. Дидактический материал дан достаточно широко, как всегда задачи разного уровня, требующие творческого подхода.

Заключение.

Рассматриваемая тема: «Доказательство неравенств» направлена на устранение существующей в школьном курсе математики резкой диспропорции между решением неравенств и доказательством неравенств, и, что особенно важно, доказательство неравенств – один из важнейших видов математической деятельности, тогда как решение неравенств – «привилегия» именно школьной математики, весьма далеко – за исключением, пожалуй, простейших случаев – отстоящих от математики как науки.

Понятно, что доказательство неравенств как задача сложнее, чем усвоение алгоритмов решения простых неравенств – доказательство обычно основано на эвристике, а не на алгоритмах. Поэтому в основной школе принято рассматривать лишь неравенство Коши между средними арифметическим и геометрическим и следствие о сумме взаимно обратных чисел, хотя в рамках содержания обучения основной школы вполне можно рассматривать соответствующие неравенства и для средних гармонического и квадратического – их доказательства вполне алгоритмичны. Но в профильном курсе ознакомление учащихся с самой задачей доказательства неравенств и с применяемыми методами рассуждений представляется в настоящее время совершено необходимым. Это позволяет учащимся при решении задач перейти с уровня формально – оперативных умений, на более высокий уровень, позволяющий строить логические цели рассуждения; делать выводы о выборе решения, анализировать и оценивать полученные результаты.


^ Список использованных источников.

      1. Алгебра и начала анализа. 10 класс. В 2ч. Задачник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень)/ Мордкович А.Г., Денищева Л.О., Звавич Л.И., Корешкова Т.Н. и др; Под ред. Мордковича А.Г. - М.: Мнемозина, 2007 – 336 с.

      2. Алгебра и начала анализа. 11 класс. В 2ч. Задачник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень)/ Мордкович А.Г., Денищева Л.О., Звавич Л.И., Корешкова Т.Н. и др; Под ред. Мордковича А.Г. - М.: Мнемозина, 2007 – 264 с.

      3. Алгебра: Учеб. для 8 кл. сред. шк./ Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И., Суворова С.В.; Под ред. Теляковского С.А. – М.: Просвещение, 2006. – 272 с.

      4. Азевич А.И. Система подготовки к единому государственному экзамену. Журнал «Математика в школе» – М.,2003. № 4. – С. 32 – 36.

      5. Бабинская И.Л. Задачи математических олимпиад. – М.: Наука, 1975. – 154 с.

      6. Беккенбах Э., Беллман Р. Введение в неравенства. – М.: Мир, 1965. – 223 с.

      7. Блох А. Ш., Трухан Т.Л.. Неравенства . – Минск.: Народная асвета, 1972. – 215 с.

      8. Выгодский М.Я. Справочник по элементарной математике. М.:Наука,1986. – 320 с.

      9. Галицкий М.Л., Гольдман А.М., Звавич Л.И. Сборник задач по алгебре для 8 – 9 классов. М.: Просвещение, 1992. – 271с.

      10. Глейзер Г.И. История математики в школе VII – VIII классы. Пособие для учителей. М.: Просвещение, 1982. – 240 с.

      11. Гомонов С.А. Замечательные неравенства: способ получения и примеры применения. 10 – 11 классы. Элективные курсы. Учебное пособие для профильных классов общеобразовательных учреждений. М.: Дрофа, 2005. – 254с.

      12. Гомонов С.А. Замечательные неравенства: способ получения и примеры применения. 10 – 11 классы. Элективные курсы. Методические рекомендации. М.: Дрофа, 2006. – 159 с.

      13. Гусев В.А., Мордкович А.Г. Математика. Справочные материалы. М.: Просвещение, 1990. – 416 с.

      14. Дорофеев Г.В., Кузнецов Л.В., Седова Е.А. Алгебра и начала анализа. 10 класс. Учебник. М.: Просвещение, 2007. – 357 с.

      15. ЕГЭ. Математика. Типовые тестовые задания/ Корешкова Т.А., Глазков Ю.А., Мирошин В.В., Шевелева Н.В. - М.: Экзамен, 2008. – 78 с.

      16. Кипнис И.М. Сборник прикладных задач на неравенства: Пособие для учителей. – М.: Просвещение, 1964. – 179 с.

      17. Коровин П.П. Неравенства. – М.: Наука, 1966. – 215 с.

      18. Математика в понятиях, определениях и терминах. Ч. 1. Пособие для учителей. Мантуров О.В., Солнцев Ю.К., Сорокин Ю.И., Федин Н.Г. Под редакцией Собонина М.В. В двух частях. М.: Просвещение, 1978. – 320 с.

      19. Математика в понятиях, определениях и терминах. Ч. 2. Пособие для учителей. Мантуров О.В., Солнцев Ю.К., Сорокин Ю.И., Федин Н.Г. Под редакцией Собонина М.В. В двух частях. М.: Просвещение, 1978. – 351 с.

      20. Математика. ЕГЭ: Сборник заданий и методических рекомендаций/ Глазков Ю.А., Варшавский И.К., Гаиашвили М.Я. М.: Экзамен, 2008. – 381 с.

      21. Мордкович А.Г., Семенов П.В. Алгебра и начала анализа. 10 класс. В 2 частях. Ч. 1. Учебник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) М.: Мнемозина, 2007 – 424 с.

      22. Мордкович А.Г., Семенов П.В. Алгебра и начало анализа. 11 класс. В 2 частях. Ч. 1. Учебник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) М.: Мнемозина, 2007 – 287 с.

      23. Никольский С.М., Потапов М.К., Решетников Н.Н., Шевкин А.В. Алгебра и начала анализа. 10 класс. Учебник. М.: Просвещение, 2007. – 432 с.

      24. Сивашинский И.Х. Неравенства в задачах. М.: Наука, 1967 – 275 с.

      25. Сборник задач по математики для поступающих в вузы/ Егерев В.К., Зайцев В.В., Кордемский Б.А., Маслова Т.Н. и др.; Под редакцией Сканави М.И. М.: Оникс 21 век, Мир и Образование, 2004. – 608 с.

      26. Петров В.А., Элементы финансовой математики на уроке. – М., 2002. - № 8. – 38 - 42.

      27. Фадеев Д.К., Ляшенко Н.Н., Никулин М.С., Соколовский И.Ф. Задачи по алгебре для 6 – 8 классов. М.: Просвещение, 1988. – 192 с.

      28. Фоминых Ю.В. Доказательство неравенств. Журнал «Математика в школе» – М., 1998. - № 6. – 44 – 46.

      29. Фридман Л.М., Турецкий Е.Н. Как научится решать задачи. М.: Просвещение, 1989. –208 с.

      30. Шарыгин И.Ф., Голубь В.И. Факультативный курс по математики 11 класс. Решение задач. М.: Просвещение, 1991. – 384 с.




Скачать 294,14 Kb.
оставить комментарий
р.п. Романовка
Дата21.09.2011
Размер294,14 Kb.
ТипНаучно-исследовательская работа, Образовательные материалы
Добавить документ в свой блог или на сайт

плохо
  4
средне
  2
хорошо
  2
отлично
  12
Ваша оценка:
Разместите кнопку на своём сайте или блоге:
rudocs.exdat.com

Загрузка...
База данных защищена авторским правом ©exdat 2000-2017
При копировании материала укажите ссылку
обратиться к администрации
Анализ
Справочники
Сценарии
Рефераты
Курсовые работы
Авторефераты
Программы
Методички
Документы
Понятия

опубликовать
Документы

наверх