5. Исследование систем линейных уравнений. Метод Гаусса

1 чел. помогло.

страницы: 1 2 3 4

скачать

Сожержание:

1. Система линейных уравнений. Определитель решения системы. Исследование линейной системы 2-ух уравнений с 2-мя неизвестными.

2. Определитель квадратной матрицы второго порядка. Формулы Крамера.

3. Определитель третьего порядка. Алгебраические дополнения, теорема о разложении определителя третьего порядка.

4. Матричное решение системы уравнений.

5. Исследование систем линейных уравнений. Метод Гаусса.

6. Комплексные числа (определение). Мнимая единица. Форма записи.

7. Операции с комплексными числами (определение, свойства).

8. Геометрический смысл операций с комплексными числами.

9. Извлечение корня из комплексного числа.

10. Геометрическое изображение комплексного числа. Модуль и аргумент комплексного числа. Формула Муавра.

11. Основная теорема алгебры.

12. Прямоугольные координаты на плоскости. Расстояние между двумя точками плоскости.

13. Прямоугольные координаты на плоскости. Деление отрезка в данном отношении.

14. Прямоугольные координаты на плоскости. Уравнение окружности, уравнение эллипса.

15. Прямоугольные декартовы координаты в пространстве. Уравнение плоскости.

16. Элементы аналитической геометрии в пространстве. Уравнение плоскости.

17. Элементы аналитической геометрии в пространстве. Уравнение прямой.

18. Угол между плоскостями, расстояние от точки до плоскости.

19. Полярные координаты. Связь между прямоугольными и полярными координатами.

20. Понятие вектора. Линейные операции над векторами. Свойства.

21. Угол между двумя векторами. Проекция вектора на ось.

22. Линейная зависимость векторов.

23. Базис на плоскости и в пространстве. Аффинные координаты.

24. Направляющие косинусы

25.Скалярное произведение векторов.

26. Векторное произведение векторов.

27.Смешанное произведение векторов.

28. Функция одной переменной, график, способы задания.

29. Параметрический способ задания функции. Параметрическое уравнение окружности, эллипса.

30. Понятие сложной и обратной функции.

31. Четные, нечетные, периодические функции.

32. Классификация функций. Основные элементарные функции.

33. Числовые последовательности и пределы.

34. Бесконечно малая и бесконечно большая велечина.

35. Предел функции на бесконечности.

36. Предел функции в точке.

37. Основные теоремы о пределах.

38. Бесконечно малые и бесконечно большие функции. Свойства бесконечно малых и их связь с бесконечно большими.

39. Вычисление некоторых пределов. Раскрытие неопределенностей

40. Первый замечательный предел.

41. Второй замечательный предел.

1. Система линейных уравнений. Определение решения линейной системы. Исследование линейной системы 2-х уравн. С 2-мя неизв.

Рассмотрим сист. 2-х уравн. С 2-мя неизв.



a₁₁x₁+a₁2x₂=b₁

 a₂₁x₁+a₂₂x₂=b₂

Введем обозначение:

=a₁₁ a₁₂

a₂₁ a₂₂

x₁=b₁ a₁₂

b₂ a₂₂

x₂=a₁₁ b₁

 a₂₁ b₂

-это определитель, составленный из коэффициентов, стоящих перед неизв.

Определители x₁и x₂составл.из опред.  заменой столбца коэффициентов при соотв. перем. На столбец своб. Членов b₁и b₂. Для нахождения неизв. x₁и x₂необх. Воспольз. Формулой:

x₁₌x₁/; x₂=x₂/.

Итак, если  отличен от нуля, то система имеет единственное решение, опред. По данным фомулам, если =0, то сист. Может иметь множ. Реш. Или их совсем не иметь.

Система m уравнений с n неизвестными в общем виде записывается следующим образом:

где a_ij – коэффициенты, а b_i – постоянные.

Решениями системы являются n чисел, которые при подстановке в систему превращают каждое ее уравнение в тождество

система имеет хотя бы одно решение, то она называется совместной. Если система не имеет ни одного решения, то она называется несовместной.

Система называется определенной, если она имеет только одно решение и неопределенной, если более одного.

^ 2. Определитель квадратной матрицы 2-го порядка. Формулы Крамера.

Любые 4 числа, расположенные в виде квадратной таблицы, называются квадратной матрицей второго порядка. Каждой квадратной матрице 2-ого порядка можно поставить в соответствие число, называемое её определителем и обозначаемое D=|A|.

Определитель матр. 2-го порядка равен числу

a₁₁ a₂₂-a₂₁a₁₂

Св-ва опред. 2-го порядка:

опред. Не измен. Если его строки поменять местами с соотв. столбцами
при перестановки 2-х строк(или столбцов) опред. Изменит знак на противоп.
опред. С двумя одинак. Строками или столб. Равен нулю
общий множит. Всех элем. Строки или столбца можно выносить за знак опред.
если все элем. Какой-л. строки(ст.) равны нулю, то опред. Равен нулю
если к элем. К-л. строки или столб. Опред. Приб. В соотв. элем. Др. строки или ст., умножен. На одно и то же число, то опред не изм.
опред. Равен алгебр. Сумме произв. Элем. К.-л. строки (ст) на их алгебр. Доп.

^ Теорема Крамера

Данный метод также применим только в случае систем линейных уравнений, где число переменных совпадает с числом уравнений. Кроме того, необходимо ввести ограничения на коэффициенты системы. Необходимо, чтобы все уравнения были линейно независимы, т.е. ни одно уравнение не являлось бы линейной комбинацией остальных.Для этого необходимо, чтобы определитель матрицы системы не равнялся 0.

Система из n уравнений с n неизвестными

в случае, если определитель матрицы системы не равен нулю, имеет единственное решение и это решение находится по формулам:x_i = _i/, где  = опред. Матр., а _i – определитель матрицы, получаемой из матрицы системы заменой столбца i столбцом свободных членов

Если система однородна, т.е. b_i = 0, то при 0 система имеет единственное нулевое решение x₁ = x₂ = … = x_n = 0.При  = 0 система имеет бесконечное множество решений.

^ 3. Определитель 3-го порядка. Алгебраические дополнения, теорема о разложении определителя третьего порядка.

9 элементов a_ij, где i-номер строка, а j-номер столбца, располагаются в квадратную таблицу, называемую квадратной матрицей третьего порядка. Ей можно поставить в соответствие число, которое называется определителем 3-го порядка.

Опред. Равен алгебр. Сумме произв. Элем. К.-л. строки (ст.) на их алгебр. Доп.

^ Алгебраическое дополнение Aij для элемента a_ij– число равное

(-1) ⁱ⁺^jMij, где Mij минор элемента a_ij.

Минор Mij элемента Aij матрицы А наз-ся определитель, полученный из исходного определителя А вычеркиванием итой строки и житого столбца.

^ 4. Матричное решение системы уравнений

Рассмотрим систему n линейных уравнений с n неизвестными.

Рассмотрим 3 матрицы, связанный одной системой

М

атрица А составленная из коэф. При неизв.

a₁₁ a₁₂ … a_1n

A = a₂₁ a₂₂ … a₂_n

a_n₁ a_n₂ … a_nn

Заметим, что левую часть системы можно

Получить как произведение матриц

Используя понятия равенства

матриц, систему моно

А x = запис. В виде А*х=В (1)

Уравнение (1) называют

Матричным уравнением, если

Определитель матрицы А отл.

От нуля, то сущ. Матр. А^-1

Обратная от матрицы А.

Умножим обе части уравн.(1)

Слева на А^-1получим:

А^-1*А*х=А^-1*В;А^-1*А*х=Е.

Е*х= А^-1*В; Е*х=х

Х= А^-1*В

Если матричное уравнение имеет вид х*А=В, то его решение можно легко найти по форм. Х= А^-1*В

^ 6. Комплексные числа. Мнимая единица. Форма записи

Комплексным числом z называется выражение

, где a и b – действительные числа, i – мнимая единица, которая определяется соотношением:

При этом число a называется действительной частью числа z (a = Re z), а b- мнимой частью (b = Im z).Если a =Re z =0, то число z будет чисто мнимым, если b = Im z = 0, то число z будет действительным.

Числа

называются комплексно – сопряженными.

Два комплексных числа

называются равными, если соответственно равны их действительные и мнимые части:

Комплексное число равно нулю, если соответственно равны нулю действительная и мнимая части.

Понятие комплексного числа имеет геометрическое истолкование. Множество комплексных чисел является расширением множества действительных чисел за счет включения множества мнимых чисел. Комплексные числа включают в себя все множества чисел, которые изучались ранее. Так натуральные, целые, рациональные, иррациональные, действительные числа являются, вообще говоря, частными случаями комплексных чисел.Если любое действительное число может быть геометрически представлено в виде точки на числовой прямой, то комплексное число представляется точкой на плоскости, координатами которой будут соответственно действительная и мнимая части комплексного числа. При этом горизонтальная ось будет являться действительной числовой осью, а вертикальная - мнимой осью. A(a,b)

B

a

Таким образом, на оси ОХ располагаются действительные числа, а на оси ОY – чисто мнимые.С помощью подобного геометрического представления можно представлять числа в так называемой тригонометрической форме.

^ 5 Исследование систем линейных уравнений. Метод Гаусса

Рассмотрим систему линейных уравнений, в к-й число уравн. Неравно числу содерж. Перем.

,

где a_ij – коэффициенты, а b_i – постоянные. Решениями системы являются n чисел, которые при подстановке в систему превращают каждое ее уравнение в тождество. Если система имеет хотя бы одно решение, то она называется совместной.

Если система не имеет ни одного решения, то она называется несовместной.

Система называется определенной, если она имеет только одно решение и неопределенной, если более одного.

Отметим преобразования, к-е переводят систему уравнений в равносильную ей:

1. перемена местами 2-х любых уравнений

2. умножение обеих частей любого уравнения на произв. Число отличное от нуля

3.прибавление к одному Ур. Др., умнож. На любое число отличное от нуля

В рузультате таких преобр., называемы елемент. Получ. Сист, имеющ.такое же реш., что и первонач.

Для исслед. Сист. Общ вида удобно исп. Метод Гаусса

В отличие от матричного метода и метода Крамера, метод Гаусса может быть применен к системам линейных уравнений с произвольным числом уравнений и неизвестных. Суть метода заключается в последовательном исключении неизвестных.Рассмотрим систему линейных уравнений:

Разделим обе части 1–го уравнения на a₁₁  0, затем:1) умножим на а₂₁ и вычтем из второго уравнения; 2) умножим на а₃₁ и вычтем из третьего уравнения и т.д.Получим:

, где d₁_j = ₁_j/a₁₁, j = 2, 3, …, n+1 d_ij= a_ij – a_i₁d₁_j i = 2, 3, … , n; j = 2, 3, … , n+1.Далее повторяем эти же действия для второго уравнения системы, потом – для третьего и т.д.Пример. Решить систему линейных уравнений методом Гаусса.

Составим расширенную матрицу системы.* =

Таким образом, исходная система может быть представлена в виде:

, откуда получаем: x₃ = 2; x₂ = 5; x₁ = 1.Пример. Решить систему методом Гаусса.

Составим расширенную матрицу системы.

Таким образом, исходная система может быть представлена в виде:

, откуда получаем: z = 3; y = 2; x = 1.Полученный ответ совпадает с ответом, полученным для данной системы методом Крамера и матричным методом.Для самостоятельного решения:

Ответ: {1, 2, 3, 4}.

^ 7. Операции с комплексными числами

Основные действия с комплексными числами вытекают из действий с многочленами.1) Сложение и вычитание.

;

;2) Умножение.

В тригонометрической форме:

С случае комплексно – сопряженных чисел:

3) Деление.

В тригонометрической форме:

4) ^ Возведение в степень.Из операции умножения комплексных чисел следует, что

В общем случае получим:

,где n – целое положительное число. Это выражение называется формулой Муавра.(Абрахам де Муавр (1667 – 1754) – английский математик)Формулу Муавра можно использовать для нахождения тригонометрических функций двойного, тройного и т.д. углов.Пример. Найти формулы sin2 и cos2.Рассмотрим некоторое комплексное число

Тогда с одной стороны

.По формуле Муавра:

Приравнивая, получим

Т.к. два комплексных числа равны, если равны их действительные и мнимые части, то

Получили известные формулы двойного угла.5) Извлечение корня из комплексного числа.

Возводя в степень, получим:

Отсюда:

Таким образом, корень n – ой степени из комплексного числа имеет n различных значений.

^ 20. Вектор. Линейные операции над векторами

Вектором называется направленный отрезок в пространстве, имеющий опред длину.

К векторам относится также и нулевой вектор, начало и конец которого совпадают.

Единичный-длина к-го равна 1. напр. Может быть какое угодно.

^ Длиной (модулем) вектора называется расстояние между началом и концом вектора.

Векторы называются коллинеарными, если они расположены на одной или параллельных прямых. Нулевой вектор коллинеарен любому вектору.

Векторы называются компланарными, если существует плоскость, которой они параллельны. Коллинеарные векторы всегда компланарны, но не все компланарные векторы коллинеарны.

Векторы называются равными, если они коллинеарны, одинаково направлены и имеют одинаковые модули.Всякие векторы можно привести к общему началу, т.е. построить векторы, соответственно равные данным и имеющие общее начало. Из определения равенства векторов следует, что любой вектор имеет бесконечно много векторов, равных ему.

^ Линейными операциями над векторами называется сложение и умножение на число. Суммой векторов является вектор -