«Уравнения с двумя неизвестными в целых числах» icon

«Уравнения с двумя неизвестными в целых числах»


2 чел. помогло.
Смотрите также:
Задачи: проанализировать литературу по данной теме...
«Дед-Равняло»
Программа по курсу «Математика»...
Решение уравнений в целых числах как квадратных относительно какой-либо переменной...
Решение олимпиадных задач принципиально отличается от решения школьных, даже очень сложных...
«Целые рациональные уравнения»...
Программа лекций на осенний семестр  ...
Непрерывно-детерминированные модели d – схемы...
Название темы
Задачи оптимизации со многими неизвестными Задача оптимизации туристических групп...
Методическая разработка по теме «Логарифмические уравнения и неравенства. Подготовка к егэ»...
Сдать тест на свободное владение итальянским языком (уровень "6" по девятибальной шкале от...



Загрузка...
скачать
Муниципальное общеобразовательное учреждение

Саврушская средняя общеобразовательная школа

Похвистневский район Самарская область


Реферат по математике на тему:

«Уравнения с двумя

неизвестными

в целых числах »


Выполнили: Колесова Татьяна

Староверова Нина

ученицы 10 класса

МОУ Саврушская СОШ

Похвистневского района

Самарской области.

Руководитель: Ятманкина Галина Михайловна

учитель математики.


Савруха 2011


Содержание


Введение._______________________________________________3

Глава 1. Теория уравнений с двумя переменными в целых числах.

1. Историческая справка _______________________________________5

1.1 Теоремы о числе решений линейных диофантовых уравнений___6

1.2 Алгоритм решения уравнения в целых числах_________________ 6

1.3 Способы решения уравнений_______________________________ 7

Глава 2. Применение способов решения уравнений.

1. Решение задач_____________________________________________ 8

2.1 Решение задач с помощью алгоритма Евклида________________ 8

2.2 Способ перебора вариантов________________________________ 9

2.3 Метод разложения на множители___________________________ 9

2.4 Метод остатков__________________________________________ 12

2. Задачи экзаменационного уровня___________________________ 13

Заключение________________________________________________ 16

Список используемой литературы_____________________________ 17


« Кто управляет числами,

Тот управляет миром»

Пифагор.


Введение.


Анализ ситуации: Диофантовы уравнения это актуальная в наше время тема, т. к. решение уравнений, неравенств, задач, сводящихся к решению уравнений в целых числах с помощью оценок для переменных, встречается в различных математических сборниках и сборниках ЕГЭ.

Изучив разные способы решения квадратного уравнения с одной переменной на уроках, нам было интересно разобраться, а как решаются уравнения с двумя переменными. Такие задания встречаются на олимпиадах и в материалах ЕГЭ.

В этом учебном году одиннадцатиклассникам предстоит сдавать Единый государственный экзамен по математике, где КИМы составлены по новой структуре. Нет части «А», но добавлены задания в часть «В» и часть «С». Составители объясняют добавление С6 тем, что для поступления в технический ВУЗ нужно уметь решать задания такого высокого уровня сложности.


Проблема: Решая примерные варианты заданий ЕГЭ, мы заметили, что чаще всего встречаются в С6 задания на решение уравнений первой и второй степени в целых числах. Но мы не знаем способы решения таких уравнений. В связи с этим возникла необходимость изучить теорию таких уравнений и алгоритм их решения.


^ Цель: Освоить способ решения уравнений с двумя неизвестными первой и второй степени в целых числах.


Задачи: 1) Изучить учебную и справочную литературу;

  1. Собрать теоретический материал по способам решения уравнений;

  2. Разобрать алгоритм решения уравнений данного вида;




  1. Описать способ решения.




  1. Рассмотреть ряд примеров с применением данного приема.




  1. Решить уравнения с двумя переменными в целых числах из

материалов ЕГЭ-2010 С6.


Объект исследования: Решение уравнений


Предмет исследования: Уравнения с двумя переменными в целых числах.


Гипотеза: Данная тема имеет большое прикладное значение. В школьном курсе математики подробно изучаются уравнения с одной переменной и различные способы их решения. Потребности учебного процесса требуют, чтобы ученики знали и умели решать простейшие уравнения с двумя переменными. Поэтому повышенное внимание к этой теме не только оправдано, но и является актуальной в школьном курсе математики.

Данная работа может быть использована для изучения данной темы на факультативных занятиях учениками, при подготовке к выпускным и вступительным экзаменам. Мы надеемся, что наш материал поможет старшеклассникам научиться решать уравнения такого вида.


^ Глава 1. Теория уравнений с двумя переменными в целых числах.


1. Историческая справка.

Диофант и история диофантовых уравнений.


Решение уравнений в целых числах является одной из древнейших математических задач. Наибольшего расцвета эта область математики достигла в Древней Греции. Основным источником, дошедшим до нашего времени, является произведение Диофанта – «Арифметика». Диофант суммировал и расширил накопленный до него опыт решения неопределенных уравнений в целых числах.

История сохранила нам мало черт биографии замечательного александрийского ученого-алгебраиста Диофанта. По некоторым данным Диофант жил до 364 года н.э. Достоверно известно лишь своеобразное жизнеописание Диофанта, которое по преданию было высечено на его надгробии и представляло задачу-головоломку:

«Бог ниспослал ему быть мальчиком шестую часть жизни; добавив к сему двенадцатую часть, Он покрыл его щеки пушком; после седьмой части Он зажег ему свет супружества и через пять лет после вступления в брак даровал ему сына. Увы! Несчастный поздний ребенок, достигнув меры половины полной жизни отца, он был унесен безжалостным роком. Через четыре года, утешая постигшее его горе наукой о числах, он [Диофант] завершил свою жизнь» (примерно 84 года).

Эта головоломка служит примером тех задач, которые решал Диофант. Он специализировался на решении задач в целых числах. Такие задачи в настоящее время известны под названием диофантовых.

Наиболее известной, решенной Диофантом, является задача «о разложении на два квадрата». Ее эквивалентом является известная всем теорема Пифагора. Эта теорема была известна в Вавилонии, возможно ее знали и в Древнем Египте, но впервые она была доказана, в пифагорейской школе. Так называлась группа интересующихся математикой философов по имени основателя школы Пифагора (ок. 580-500г. до н.э.)

Жизнь и деятельность Диофанта протекала в Александрии, он собирал и решал известные и придумывал новые задачи. Позднее он объединил их в большом труде под названием «Арифметика». Из тринадцати книг, входивших в состав «Арифметики», только шесть сохранились до Средних веков и стали источником вдохновения для математиков эпохи Возрождения.


1.1 Теоремы о числе решений линейного диофантового уравнения.

Приведем здесь формулировки теорем, на основании которых может быть составлен алгоритм решения неопределенных уравнений первой степени от двух переменных в целых числах.

Теорема 1. Если в уравнении , , то уравнение имеет, по крайней мере, одно решение.

Теорема 2. Если в уравнении , и с не делится на , то уравнение целых решений не имеет.

Теорема 3. Если в уравнении , и , то оно равносильно уравнению , в котором .

Теорема 4. Если в уравнении , , то все целые решения этого уравнения заключены в формулах:



где х0, у0 – целое решение уравнения , - любое целое число.


1.2. Алгоритм решения уравнения в целых числах.

Сформулированные теоремы позволяют составить следующий алгоритм решения в целых числах уравнения вида .

  1. Найти наибольший общий делитель чисел a и b,

если и с не делится на , то уравнение целых решений не имеет;

если и , то

  1. Разделить почленно уравнение на , получив при этом уравнение , в котором .

  2. Найти целое решение (х0, у0) уравнения путем представления 1 как линейной комбинации чисел и ;

  3. Составить общую формулу целых решений данного уравнения



где х0, у0 – целое решение уравнения , - любое целое число.


1.3 Способы решения уравнений


При решении уравнений в целых и натуральных числах можно условно выделить следующие методы:

1. Способ перебора вариантов.

2. Алгоритм Евклида.

3. Цепные дроби.

4. Метод разложения на множители.

5. Решение уравнений в целых числах как квадратных относительно какой-либо переменной.

6. Метод остатков.

7. Метод бесконечного спуска.


Глава 2. Применение способов решения уравнений

1. Примеры решения уравнений.

2.1 Алгоритм Евклида.

Задача 1. Решить уравнение в целых числах 407х – 2816y = 33.

Воспользуемся составленным алгоритмом.

  1. Используя алгоритм Евклида, найдем наибольший общий делитель чисел 407 и 2816:

2816 = 407·6 + 374;

407 = 374·1 + 33;

374 = 33·11 + 11;

33 = 11·3

Следовательно (407,2816) = 11, причем 33 делится на 11

  1. Разделим обе части первоначального уравнения на 11, получим уравнение 37х – 256y = 3, причем (37, 256) = 1

  2. С помощью алгоритма Евклида найдем линейное представление числа 1 через числа 37 и 256.

256 = 37·6 + 34;

37 = 34·1 + 3;

34 = 3·11 + 1

Выразим 1 из последнего равенства, затем последовательно поднимаясь по равенствам будем выражать 3; 34 и полученные выражения подставим в выражение для 1.

1 = 34 – 3·11 = 34 – (37 – 34·1) ·11 = 34·12 – 37·11 = (256 – 37·6) ·12 – 37·11 =

– 83·37 – 256·(–12)

Таким образом, 37·(– 83) – 256·(–12) = 1, следовательно пара чисел х0 = – 83 и у0 = – 12 есть решение уравнения 37х – 256y = 3.

  1. Запишем общую формулу решений первоначального уравнения



где t - любое целое число.


2.2 Способ перебора вариантов.


Задача 2. В клетке сидят кролики и фазаны, всего у них 18 ног. Узнать, сколько в клетке тех и других?


Решение: Составляется уравнение с двумя неизвестными переменными, в котором х – число кроликов , у – число фазанов:


4х + 2у = 18, или 2х + у = 9.

Выразим у через х : у = 9 – 2х.

Далее воспользуемся методом перебора:


х

1

2

3

4

у

7

5

3

1



Таким образом, задача имеет четыре решения.


Ответ: (1; 7), (2; 5), (3; 3), (4; 1).


^ 2.3 Метод разложения на множители.


Перебор вариантов при нахождении натуральных решений уравнения с двумя переменными оказывается весьма трудоемким. Кроме того, если уравнение имеет целые решения, то перебрать их невозможно, так как таких решений бесконечное множество. Поэтому покажем еще один прием - метод разложения на множители.


Задача 3. Решить уравнение в целых числах y3 - x3 = 91.


Решение. 1) Используя формулы сокращенного умножения, разложим правую часть уравнения на множители:

(y - x)(y2 + xy + x2) = 91……………………….(1)

2) Выпишем все делители числа 91: ± 1; ± 7; ± 13; ± 91

3) Проводим исследование. Заметим, что для любых целых x и y число

y2 + yx + x2y2 - 2|y||x| + x2 = (|y| - |x|)2 ≥ 0,

следовательно, оба сомножителя в левой части уравнения должны быть положительными. Тогда уравнение (1) равносильно совокупности систем уравнений:

; ; ;

4) Решив системы, получим: первая система имеет решения (5; 6), (-6; -5); третья (-3; 4),(-4;3); вторая и четвертая решений в целых числах не имеют.


^ Ответ: уравнение (1) имеет четыре решения (5; 6); (-6; -5); (-3; 4); (-4;3).


Задача 4. Найти все пары натуральных чисел, удовлетворяющих уравнению

.


Решение. Разложим левую часть уравнения на множители и запишем уравнение в виде

.

Т.к. делителями числа 69 являются числа 1, 3, 23 и 69, то 69 можно получить двумя способами: 69=1·69 и 69=3·23. Учитывая, что , получим две системы уравнений, решив которые мы сможем найти искомые числа:

или .

Первая система имеет решение , а вторая система имеет решение .


Ответ: .


Задача 5. Решить уравнение в целых числах:

.


Решение. Запишем уравнение в виде

.

Разложим левую часть уравнения на множители. Получим

.

Произведение двух целых чисел может равняться 1 только в двух случаях: если оба они равны 1 или -1. Получим две системы:

или .

Первая система имеет решение х=2, у=2, а вторая система имеет решение х=0, у=0.

Ответ: .


Задача 6. Решить в целых числах уравнение

.


Решение. Запишем данное уравнение в виде

.

Разложим левую часть уравнения на множители способом группировки, получим

.

Произведение двух целых чисел может равняться 7 в следующих случаях:

7=1· 7=7·1=-1·(-7)=-7·(-1).Таким образом, получим четыре системы:

или , или , или .

Решением первой системы является пара чисел х = - 5, у = - 6. Решая вторую систему, получим х = 13, у = 6.Для третьей системы решением являются числа х = 5, у = 6. Четвёртая система имеет решение х = - 13, у = - 6.

Ответ: .


Задача 7. Доказать, что уравнение (x - y)3 + (y - z)3 + (z - x)3 = 30 не

имеет решений в целых числах.


Решение. 1) Разложим левую часть уравнения на множители и обе части уравнения разделим на 3, в результате получим уравнение:

( x - y)(y - z)(z - x) = 10…………………………(2)

2) Делителями 10 являются числа ±1, ±2, ±5, ±10. Заметим также, что сумма сомножителей левой части уравнения (2) равна 0. Нетрудно проверить, что сумма любых трех чисел из множества делителей числа 10, дающих в произведении 10, не будет равняться 0. Следовательно, исходное уравнение не имеет решений в целых числах.


Задача 8. Решить уравнение: х2 - у2 =3 в целых числах.


Решение:

  1. применим формулу сокращенного умножения х2 - у2=(х-у)(х+у)=3

  2. найдем делители числа 3 = -1;-3;1;3

  3. Данное уравнение равносильно совокупности 4 систем:

х-у=1 2х=4 х=2, у=1

х+у=3


х-у=3 х=2, у=-1

х+у=1


х-у=-3 х=-2, у=1

х+у=-1


х-у=-1 х=-2, у=-1

х+у=-3


Ответ: (2;1), (2;-1), (-2;1), (-2,-1)


2.4 Метод остатков.


Задача 9. Решить уравнение: х2+ху=10


Решение:



  1. Выразим переменную у через х: у= 10-х2

Х

У = - х

  1. Дробь будет целой, если х Є ±1;±2; ±5;±10


3. Найдем 8 значений у.

Если х=-1, то у= -9 х=-5, то у=3

Х=1, то у=9 х=5, то у=-3

Х=-2 ,то у=-3 х=-10, то у=9

Х=2, то у=3 х=10, то у=-9


Задача 10. Решить уравнение в целых числах:


2 -2ху +9х+у=2


Решение:

выразим из уравнения то неизвестное, которое входит в него только в первой степени - в данном случае у:


2 +9х-2=2ху-у


У =

выделим у дроби целую часть с помощью правила деления многочлена на многочлен «углом». Получим:




Следовательно, разность 2х-1 может принимать только значения -3,-1,1,3.

Осталось перебрать эти четыре случая.


Ответ: (1;9), (2;8), (0;2), (-1;3)


2. Задачи экзаменационного уровня


Рассмотрев несколько способов решения уравнений первой степени с двумя переменными в целых числах, мы заметили, что чаще всего применяются метод разложения на множители и метод остатков.

Уравнения, которые даны в вариантах ЕГЭ -2011, в основном решаются методом остатков.


1. Решить в натуральных числах уравнение: , где т>п

Решение:

Выразим переменную п через переменную т:








Найдем делители числа 625: т-25 Є 1; 5; 25; 125; 625


1) если т-25 =1, то т=26, п=25+625=650

2) т-25 =5, то т=30, п=150

3) т-25 =25, то т=50, п=50

4) т-25 =125, то т=150, п=30

5) т-25 =625, то т=650, п=26


Ответ: т=150, п=30

т=650, п=26


2. Решить уравнение в натуральных числах: тп +25 = 4т

Решение: тп +25 = 4т

1) выразим переменную т через п:

4т – тп =25

т(4-п) =25

т =

2) найдем натуральные делители числа 25: ( 4-п) Є 1; 5; 25

если 4-п =1, то п=3, т=25

4-п =5, то п=-1, т=5 (посторонние корни)

4-п =25, то п=-21, т=1 (посторонние корни)


Ответ: (25;3)


3 .Найдите все пары ( х; у) целых чисел, удовлетворяющие системе неравенств:




х2 2< 18х – 20у - 166,

32х - у2 > х2 + 12у + 271


Решение: Выделяя полные квадраты, получим:





(х-9)2 + (у+10)2 <15

(х-16)2 + (у+6)2 <21


Из первого и второго неравенства системы :




(х-9)2 < 15 6≤ х ≤ 12

(х-16)2 < 21, 12≤ х ≤ 20 , х=12.


Подставляя х = 12 в систему, получим:




(у+10)2 < 6 -2 ≤ у+10 ≤ 2 -12 ≤ у ≤ -8

(у+6)2 < 5 -2 ≤ у+6 ≤ 2 -8 ≤ у ≤ -4 у=-8


Ответ: (12; -8)


Заключение.


Решение различного вида уравнений является одной из содержательных линий школьного курса математики, но при этом методы решения уравнений с несколькими неизвестными практически не рассматриваются. Вместе с тем, решение уравнений от нескольких неизвестных в целых числах является одной из древнейших математических задач. Большинство методов решения таких уравнений основаны на теории делимости целых чисел, интерес к которой в настоящее время определяется бурным развитием информационных технологий. В связи с этим, учащимся старших классов будет небезынтересно познакомиться с методами решения некоторых уравнений в целых числах, тем более что на олимпиадах разного уровня очень часто предлагаются задания, предполагающие решение какого-либо уравнения в целых числах, а в этом году такие уравнения включены еще и в материалы ЕГЭ.

В своей работе мы рассматривали только неопределенные уравнения первой и второй степени. Уравнения первой степени, как мы увидели, решаются довольно просто. Мы выделили виды таких уравнений и алгоритмы их решений. Также было найдено общее решение таких уравнений.

С уравнениями второй степени сложнее, поэтому мы рассмотрели лишь частные случаи: теорему Пифагора и случаи, когда одна часть уравнения имеет вид произведения, а вторая раскладывается на множители.

Уравнениями третьей и больше степеней занимаются великие математики, потому что их решения слишком сложны и громоздки


В дальнейшем мы планируем углубить свое исследование в изучении уравнений с несколькими переменными, которые применяются в решении задач


Литература.

1. Березин В.Н. Сборник задач для факультативных и внеклассных занятий по математике. Москва « Просвещение» 1985г.

2. Галкин Е.Г. Нестандартные задачи по математике. Челябинск «Взгляд» 2004г.

3. Галкин Е.Г. Задачи с целыми числами. Челябинск «Взгляд» 2004г.

4. Глейзер Е.И. История математики в школе. Москва «Просвещение» 1983г.

5. Мордкович А.Г. Алгебра и начала анализа 10-11 класс. Москва 2003г.

6. Математика. ЕГЭ 2010. Федеральный институт

педагогических измерений.

7. Шарыгин И. Ф. Факультативный курс по математике. Решение

задач. Москва 1986г.





оставить комментарий
Дата20.09.2011
Размер153 Kb.
ТипРеферат, Образовательные материалы
Добавить документ в свой блог или на сайт

средне
  1
отлично
  7
Ваша оценка:
Разместите кнопку на своём сайте или блоге:
rudocs.exdat.com

Загрузка...
База данных защищена авторским правом ©exdat 2000-2017
При копировании материала укажите ссылку
обратиться к администрации
Анализ
Справочники
Сценарии
Рефераты
Курсовые работы
Авторефераты
Программы
Методички
Документы
Понятия

опубликовать
Загрузка...
Документы

наверх