Рабочая программа, методические указания и контрольные задания для студентов специальности 230101 «Вычислительные машины, системы, комплексы и сети» Института дистанционного образования icon

Рабочая программа, методические указания и контрольные задания для студентов специальности 230101 «Вычислительные машины, системы, комплексы и сети» Института дистанционного образования


Смотрите также:
Методические указания и контрольные задания для студентов заочников Специальности 230101...
Рабочая программа...
Рабочая программа...
Рабочая программа...
Методические указания и контрольные задания Для студентов специальности 230101 «Вычислительные...
Методические указания и контрольные задания Для студентов специальности 230101 «Вычислительные...
Программа итоговой государственной аттестации выпускников по специальности 230101 Вычислительные...
Методические указания и контрольные задания Для студентов специальности 230101...
Рабочая программа и общие методические указания для студентов II и III курсов...
Методические указания для студентов по прохождению производственной (профессиональной) практики...
«Вычислительные машины, комплексы, системы и сети»...
Рабочая программа для студентов IV курса специальности 230101 (220100) “Вычислительные машины...



Загрузка...
скачать


ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

Государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования

«ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

__________________________________________________________________


«УТВЕРЖДАЮ»

Директор ИДО

____________ А.Ф.Федоров

«____»_____________2005г.


ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА



Рабочая программа, методические указания и контрольные задания

для студентов специальности
230101 «Вычислительные машины, системы, комплексы и сети»

Института дистанционного образования



Семестр

3

4

Лекции, часов

2

6

Лабораторные занятия, часов




6

Контрольная работа




1

Самостоятельная работа, часов




130

Формы контроля




экзамен



Томск 2005

УДК 519.6 (075.8)


Вычислительная математика: Рабочая программа, метод. указ. и контр. задания для студентов спец. 230101 «Вычислительные машины, системы, комплексы и сети» ИДО / Сост. Ю.Я. Кацман. – Томск: Изд. ТПУ, 2005.– 20c.


Рабочая программа, методические указания и контрольные задания рассмотрены и рекомендованы к изданию методическим семинаром кафедры вычислительной техники “28” октября 2004г.


Зав. кафедрой ВТ, профессор, д.т.н. ______________Н.Г. Марков

Аннотация


Рабочая программа по дисциплине «Вычислительная математика» подготовлена для студентов специальности 230101 «Вычислительные машины, системы, комплексы и сети» ИДО ТПУ.

В этой дисциплине рассматриваются некоторые наиболее известные методы прикладной математики, без которых многие современные технические достижения, научные и инженерные исследования были бы невозможны.

Обязательный минимум содержания программы соответствует ГОС ВПО и включает следующие разделы: «Погрешность и точность вычислений», «Численное интегрирование»; «Точные и приближенные методы решения систем линейных алгебраических уравнений»; «Методы решения нелинейных уравнений и систем нелинейных уравнений»; «Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка»; «Интерполирование и аппроксимация функций», «Численное дифференцирование и разностная аппроксимация дифференциальных уравнений».

В изучаемой дисциплине рассматриваются основные численные методы решения математических задач, оцениваются погрешности результатов, анализируются преимущества и недостатки применяемых алгоритмов.

Теоретические знания, подкрепляются на лабораторных занятиях, которые включают методы решения типовых задач по основным разделам изучаемой дисциплины.



^

1. ЦЕЛИ И ЗАДАЧИ УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ


Интенсивное развитие компьютерных технологий и широкое внедрение современных разделов математики в различные области науки и техники требуют от инженеров, в первую очередь, основательного владения методами и приемами вычислительной математики.

^ Главная задача прикладной (вычислительной) математики – фактическое нахождение решения с требуемой (оцениваемой) точностью.

Целью данной дисциплины являются:

  • Ознакомление с основными источниками погрешностей, их оценкой и методами устранения;

  • Изучение вычислительных методов, применяемых при решении прикладных задач, не имеющих аналитического решения, либо имеющих его, но, по ряду причин, получение которого затруднено;

  • Знакомство с принципами построения алгоритмов и методикой постановки задач для приближенного решения на ЭВМ.

В соответствии с требованиями Государственных образовательных стандартов высшего профессионального образования в результате изучения дисциплины студенты должны знать:

  • Принципы построения вычислительных методов и ограничения, накладываемые на их применение;

  • Способы контроля вычислений и оценки погрешности конкретного вычислительного метода.

Получив в процессе обучения опыт использования всех имеющихся на кафедре возможностей вычислительной техники и программного обеспечения, усвоив полученные знания на теоретических и лабораторных занятиях, студенты должны уметь:

  • Выбирать требуемый метод в соответствии с особенностями задачи и имеющимися ограничениями на реализацию;

  • Использовать имеющееся программное обеспечение для решения сложных задач с применением нескольких методов и оценивать источники погрешностей;

  • Методом наименьших квадратов находить коэффициенты аппроксимирующих функций, и т. п.

Содержание дисциплины «Вычислительная математика» по специальности 220100 базируется на материале следующих дисциплин: «Высшая математика», «Линейная алгебра», «Информатика», «Дискретная математика» и «Теория графов». Приобретенные знания и навыки будут использованы студентами при дальнейшем изучении общетехнических и специальных дисциплин: «Схемотехника», «Моделирование», «Сети ЭВМ и средства телекоммуникаций», «Статистическая обработка экспериментальных данных» и др.

Изучение данной дисциплины предусматривает большой объем самостоятельной работы студентов всех форм обучения, особенно студентов – заочников, обучающихся по дистанционным технологиям.

Основным источником знаний при изучении дисциплины являются рекомендованные учебники, методические пособия и указания по курсу «Вычислительная математика» в бумажном и электронном (CD, дискета) виде. Методические, учебные и справочные материалы можно также получить на Web – сервере кафедры вычислительной техники: http://www.ce.cctpu.edu.ru.

Собственно самостоятельная работа студентов включает в себя:

  • изучение теоретического материала с обязательным самоконтролем, усвоенного материала;

  • выполнение индивидуальных заданий, требующих от студента умения четко уяснить проблему (задачу), обоснованно выбрать метод решения, и умения свободно программировать на языках высокого уровня (Pascal, C++).
^

2. СОДЕРЖАНИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКОГО РАЗДЕЛА ДИСЦИПЛИНЫ


    1. Введение в предмет

Предмет и задачи вычислительной математики. Погрешность: неустранимая и устранимая, погрешность аппроксимации и вычислительная погрешность.

    1. ^ Численное интегрирование

Задача численного интегрирования. Вычисление определенных интегралов детерминированными и стохастическими методами (формулы прямоугольников, трапеций, Симпсона и методы Монте-Карло). Погрешности формул численного интегрирования, сравнительный анализ преимуществ и недостатков рассмотренных методов.

    1. ^ Методы решения системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ)

Классификация методов решения СЛАУ. Точные методы:

  • Решение СЛАУ методами линейной алгебры (метод обратной матрицы и формулы Крамера).

  • Метод Гаусса (схема единственного деления).

  • Метод Гаусса с выбором главного элемента.

  • Вычисление обратной матрицы и определителя методом Гаусса.

Приближенные методы решения СЛАУ (условия и скорость сходимости):

  • Метод простой итерации (Якоби).

  • Метод Зейделя.

  • Метод скорейшего спуска (градиента).




    1. Методы решения нелинейных и трансцендентных уравнений

Этапы решения нелинейных и трансцендентных уравнений (одно уравнение): отделение корней, уточнение решения. Приближенные методы решения (одно уравнение):

  • Графический метод.

  • Метод дихотомии.

  • Метод хорд.

  • Метод Ньютона (касательных).

  • Модифицированный метод Ньютона.

  • Метод секущих.

  • Комбинированный метод.

Приближенные методы решения систем нелинейных уравнений:

  • Метод Ньютона.

  • Метод градиента.

    1. Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений

Формулировка задачи Коши. Одношаговые методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений (первого порядка):

  • Разложение в ряд Тейлора.

  • Методы Рунге – Кутта первого порядка – метод Эйлера; второго порядка – исправленный и модифицированный методы Эйлера; Метод Рунге – Кутта четвертого порядка.

  • Многошаговые методы: методы Адамса.

Оценка погрешности применяемых методов; правило Рунге; сравнение одношаговых и многошаговых методов (погрешность, трудоемкость, и т.п.).

    1. ^ Интерполирование и аппроксимация функций

Задачи интерполирования и аппроксимации (представления) функций. Интерполяционные формулы Лагранжа и Ньютона. Обратное интерполирование. Сходимость интерполяционных полиномов высоких порядков. Интерполирование сплайнами: линейные, квадратичные и кубические сплайны. Отыскание параметров эмпирических формул методом наименьших квадратов. Базисные функции, матрица Грама и ее свойства.

    1. ^ Разностная аппроксимация дифференциальных уравнений

Сетки и сеточные функции. Задача приближенного вычисления производных функции. Метод прогонки решения разностной краевой задачи. Численное решение уравнений с частными производными.


^

3. СОДЕРЖАНИЕ ПРАКТИЧЕСКОГО РАЗДЕЛА ДИСЦИПЛИНЫ


3.1. Перечень лабораторных работ

Согласно учебному плану каждому студенту необходимо выполнить цикл из трех лабораторных работ, охватывающих основные разделы изучаемой дисциплины, и соответствующих выданному преподавателем варианту.

Все работы выполняются на персональных компьютерах с использованием алгоритмических языков высокого уровня (Pascal, C, C++...). Для проверки и сравнения полученных результатов используются интегрированные пакеты: Mathcad, Matlab,...

По каждой лабораторной работе необходимо представить отчет, который должен включать следующие пункты:

  • Алгоритм (блок-схему) решения задачи.

  • Текст программы на языках: Pascal, C, C++.

  • В программе необходимо предусмотреть вывод исходных данных, полученных результатов и обязательно напечатать невязки (оценить погрешности).

При успешном выполнении задания и правильном оформлении отчета студент допускается к защите лабораторной работы. Защита работы предусматривает знание всех изученных численных методов по конкретной теме. Основное внимание при защите уделяется сравнительному анализу изученных методов, методам оценки погрешности и путям ее уменьшения.

      1. Численное интегрирование (1 час).

В процессе выполнения данной работы студенту необходимо разработать программу вычисления двух интегралов различными методами. Полученные результаты анализируются, оценивается погрешность и пути ее уменьшения.

      1. Системы линейных алгебраических уравнений (2 часа).

Эта работа посвящена решению задач линейной алгебры (решение СЛАУ, вычисление обратной матрицы, определителя) различными численными методами. Для оценки погрешности обязательно вычисляются невязки.

      1. Решение нелинейных и трансцендентных уравнений (1 час).

Собственно решение данной задачи состоит из двух этапов:

На первом этапе необходимо графическим методом отделить корни (одно уравнение) или найти нулевое приближение (для нелинейной системы).

На втором этапе уточняется корень каким либо численным методом, в соответствии с вариантом задания, и оцениваем погрешность.

      1. Численные методы решения дифференциальных уравнений первого порядка (1 час).

В соответствии с вариантом, дифференциальное уравнение решается одношаговым или многошаговым методом, проводится анализ и оценка полученных результатов.

      1. Интерполирование экспериментальных данных и подбор эмпирической формулы методом наименьших квадратов (2 часа).

По экспериментальным результатам (выходные данные работы №4) проводим прямое и обратное интерполирование с использованием интерполяционных полиномов Лагранжа и Ньютона, либо с помощью сплайн функций.

Методом наименьших квадратов аппроксимируем исходные данные полиномом первого и (или) второго порядка. Проводим анализ результатов интерполяции и аппроксимации.

^ 4. КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

4.1. Общие методические указания

Контрольная работа состоит из контрольных заданий. Номер контрольного задания совпадает с номером лабораторной работы.

Варианты всех индивидуальных заданий для выполнения контрольной работы студенты получают непосредственно у преподавателя. При отсутствии студентов на установочной сессии, утере варианта и т. п. индивидуальное задание можно получить по электронной почте (katsman@ce.cctpu.edu.ru). Пожалуйста, при отправке письма преподавателю не забудьте указать свои данные (фамилию, имя, отчество, номер группы и название дисциплины, по которой хотите получить контрольное задание).

Номер варианта задания состоит из двух символов: цифра и буква. Цифра указывает номер уравнения или системы, а буква – метод решения. Исходные данные для конкретной лабораторной работы приведены ниже в разделе 4.2.

Контрольное задание по дисциплине «Вычислительная математика» студенты выполняют дистанционно и по мере выполнения работ высылают их на проверку преподавателю. Защита индивидуальных заданий, которые состоят из правильно оформленных (см. п. 3.1) и проверенных преподавателем отчетов по лабораторным работам, предусматривает обсуждение теоретических вопросов, по изученным темам.

4.2. Методические указания и варианты контрольных заданий
^

4.2.1. Инструкция по выполнению лабораторных работ


Работы выполняются студентами в соответствии с указанным преподавателем вариантом, который может быть единым для всего задания, либо для каждой лабораторной работы указывается свой вариант.

Номер варианта задания состоит из двух символов: цифра и буква. Цифра указывает номер уравнения или системы, а буква – метод решения. Исходные данные для конкретной лабораторной работы приведены в соответствующих таблицах.


^

4.2.2. Лабораторная работа №1. Тема: «Численное интегрирование»







Интеграл



Интеграл



Интеграл

1



2



3



4



5



6



7



8



9



10



11



12



13



14



15



  1. Вычислить интеграл по формуле левых прямоугольников (n = 20, 40, 80) и методом Монте - Карло (n =100, 500, 5000);

  2. Вычислить интеграл по формуле средних прямоугольников и формуле Симпсона (n = 20, 40, 80);

  3. Вычислить интеграл по формуле правых прямоугольников и формуле трапеции (n = 25, 50, 100);

  4. Вычислить интеграл по формуле левых, средних и правых прямоугольников (n = 50, 100, 200);

  5. Вычислить интеграл по формуле Симпсона (n = 30, 60, 90) и методом Монте - Карло (n = 100, 1 000, 10 000).

Задание к работе

  • Проанализируйте полученные значения интегралов, вычисленных одним методом при различном числе подынтервалов.

  • Сравните значения интегралов, полученные разными методами при равном количестве узлов.

Задание для самостоятельной подготовки

Изучите методы численного интегрирования.

  • Как зависит погрешность метода от количества узловых точек (числа подынтервалов)?

  • Чем отличаются детерминированные и стохастические методы численного интегрирования?
^

4.2.3. Лабораторная работа № 2.
Тема: «Решение задач линейной алгебры»




Расширенная матрица



^ Расширенная матрица

1



2



3



4



5



6



7



8



9



10



11



12



13



14





  1. Решить СЛАУ методом Гаусса - схема единственного деления.

  2. Решить СЛАУ методом Гаусса с выбором главного элемента (выбор осуществлять по первому столбцу).

  3. Вычислить обратную матрицу методом Гаусса.

  4. Решить СЛАУ методом Крамера, вычисляя определители методом Гаусса.

  5. Решить СЛАУ методом простой итерации (Е = 0.0001).

  6. Решить СЛАУ методом Зейделя (E = 0.0001).

  7. Решить СЛАУ методом градиента (скорейшего спуска)
    (E = 0.0001).

Задание к работе

  • Проанализируйте полученные решения и оцените невязки.

  • Сравните реализованный вами метод с другими методами, укажите их недостатки и преимущества.

Задание для самостоятельной подготовки

  • Какие методы решения СЛАУ называются точными, приближенными?

  • Нужен ли прямой и обратный ход при вычислении методом Гаусса а) обратной матрицы; б) определителя?

  • Что такое матрица Якоби?

  • Надо ли пересчитывать матрицу Якоби на каждом шаге (итерации) в методе градиента?
^

4.2.4. Лабораторная работа № 3. Тема: «Методы решения нелинейных и трансцендентных уравнений (систем уравнений)»







Уравнение



Уравнение



Уравнение

1



2



3



4



5



6



7



8



9



10



11



12



13



14



15








^ Система уравнений



Система уравнений

16



17



18



19



20



21



  1. Уточнить корень методом дихотомии и методом хорд.

  2. Уточнить корень методом дихотомии и методом Ньютона (касательных).

  3. Уточнить корень методом дихотомии и комбинированным методом (хорд и касательных).

  4. Уточнить корень методом дихотомии и методом секущих.

  5. Уточнить корень методом секущих и методом хорд.

  6. Уточнить корень методом Ньютона и модифицированным методом Ньютона.

  7. Решить систему из двух нелинейных уравнений методом Ньютона.

  8. Решить систему из двух нелинейных уравнений методом градиента (методом скорейшего спуска).

Примечания:

  • На первом этапе необходимо графически решить нелинейное уравнение или систему с целью отделения корней или получения нулевого приближения для системы.

  • При решении уравнений (систем) тривиальные решения
    (Х = 0, У = 0) нас не интересуют.


  • Для некоторых вариантов решение может расходиться (Почему?). В этом случае необходимо каким то методом (Каким?) сузить интервал до 0.1 и продолжить вычисления первым методом.

  • Погрешность решения не должна превышать 0.0001.

Задание к работе

  • При выполнении вариантов от a) до f) необходимо вывести на печать границы интервала и значения функции на концах интервала на каждом шаге.

  • Сравните количество шагов, сделанных различными методами.

  • При решении системы нелинейных уравнений необходимо на каждом шаге печатать вектор неизвестных и вектор невязок.

^ Задание для самостоятельной подготовки

Изучите методы численного решения нелинейных и трансцендентных уравнений (систем). Если вы усвоили теоретический материал, то попробуйте ответить на следующие вопросы.

  • В случае одного уравнения, каковы достаточные условия существования корня? Являются ли они необходимыми? Приведите примеры.

  • Все ли известные вам методы решения нелинейных уравнений (отдельно рассмотрите случаи: одно уравнение, система уравнений) сходятся всегда?

  • При решении системы нелинейных уравнений надо ли матрицу Якоби пересчитывать на каждом шаге?
^

4.2.5. Лабораторная работа № 4. Тема: «Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка»







Уравнение

Начальные
условия


Отрезок,
[a, b]


Шаг, h

1

y' = (x + sin(y))/(1 + cos(x))

y(0) = 0

[0,1]

0.1

2

y' = 4y(1 + x)

y(0) = 1

[0,1]

0.1

3

y' = y - 4x + 3

y(0) = 3

[0,1]

0.1

4

y' = 1 + 2xy + y2

y(0) = 0

[0,1]

0.1

5

y' = xy + cos(xy)

y(0) = 0

[0,1]

0.1

6

y' = x2 - y2

y(0) = 1

[0,1]

0.1

7

y' = xy / 2

y(0) = 1

[0,1]

0.1

8

y' = ( 1 + sin (xy)) / (1 + cos(y))

y(0) = 1

[0,1]

0.1

9

y' = y - 2x / y

y(0) = 1

[0,2]

0.2

10

y' = x - 2y

y(0) = 0

[0,1]

0.1

11

y' = 2x + y

y(0) = 1

[0,1]

0.1

12

y' = x2 / (1 + cos(xy))

y(0) = 0

[0,0.5]

0.05

13

y' = (x2 + 2xy) cos(x)

y(0) = 0

[0,0.5]

0.05

14

y' = 1 - sin(x + y) + 0.5y / (x + 2)

y(0) = 0

[0,1]

0.1

15

y' = cos(y) / (1.25 + x) - 0.5y2

y(0) = 0

[0,1]

0.1




  1. Решить уравнение методом Рунге – Кутта.

  2. Решить уравнение методом Адамса. Первые три точки найти методом Эйлера.

  3. Решить уравнение методом Адамса. Первые три точки найти разложением в ряд Тейлора.

  4. Решить уравнение методом Адамса. Первые три точки найти исправленным методом Эйлера.

  5. Решить уравнение методом Адамса. Первые три точки найти методом Рунге - Кутта.

  6. Решить уравнение методом Адамса. Первые три точки найти модифицированным методом Эйлера.

Примечания:

  • При выполнении этой лабораторной работы необходимо использовать методы Рунге - Кутта и Адамса четвертого порядка.

  • Для оценки погрешности можно воспользоваться правилом Рунге:



где и значения функции в точке , вычисленные с шагом h и 2h соответственно; в методах Рунге - Кутта и Адамса четвертого порядка m = 4.

Задание к работе

  • Получите решения заданного уравнения с шагом h и 2h; Сравните полученные результаты.

  • Сравните одношаговые и многошаговые методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений.

Задание для самостоятельной подготовки

  • Можно ли самостоятельно использовать только одношаговые методы, только многошаговые методы?

  • Можно ли в многошаговых методах использовать только аппроксимационную, только интерполяционную формулу?

  • Как сменить шаг в 9 точке при решении дифференциального уравнения одношаговым методом, многошаговым методом?
^

4.2.6. Лабораторная работа № 5. Тема: «Интерполирование экспериментальных данных и подбор эмпирических формул»


Для выполнения этой лабораторной работы входными данными (значения функции в узловых точках) являются выходные данные лабораторной работы № 4. Работа фактически состоит из двух пунктов:

  • интерполирование функции;

  • аппроксимация функции.

  1. Найти приближенное значение функции, используя формулу Лагранжа; найти приближенное значение аргумента (обратное интерполирование), используя формулу Ньютона; аппроксимировать исходную функцию полиномом Лагранжа первого порядка, коэффициенты вычислить методом наименьших квадратов;

  2. Найти приближенное значение функции, используя формулу Ньютона; найти приближенное значение аргумента (обратное интерполирование), используя формулу Лагранжа; аппроксимировать исходную функцию полиномом Лагранжа второго порядка, коэффициенты вычислить методом наименьших квадратов;

  3. Найти приближенное значение функции, построив сплайн - функцию первого порядка; найти приближенное значение аргумента (обратное интерполирование), используя формулу Ньютона; аппроксимировать исходную функцию полиномом Лагранжа второго порядка, коэффициенты вычислить методом наименьших квадратов;

  4. Найти приближенное значение функции, построив сплайн - функцию второго порядка; найти приближенное значение аргумента (обратное интерполирование), используя формулу Лагранжа; аппроксимировать исходную функцию полиномом Лагранжа первого порядка, коэффициенты вычислить методом наименьших квадратов;

  5. Найти приближенное значение функции, используя формулу Ньютона; найти приближенное значение аргумента (обратное интерполирование), построив сплайн - функцию первого порядка; аппроксимировать исходную функцию полиномом Лагранжа первого порядка, коэффициенты вычислить методом наименьших квадратов.

Примечания:

  • При интерполировании в точках, указанных преподавателем, необходимо также проинтерполировать функцию в двух близлежащих узлах.

  • При аппроксимации, кроме вышеуказанного, необходимо вычислить значения аппроксимирующей функции, оценить абсолютную и относительную погрешности в узловых точках, считая погрешность исходных данных равной нулю.

^ Задание к работе

  • Проанализируйте значения функции, полученные в узловых и промежуточной точках.

  • Сравните задачу интерполирования и аппроксимации функции. В чем сходство и различие этих задач?

Задание для самостоятельной подготовки

  • Что можно сказать об интерполяционных полиномах высоких порядков?

  • Что такое разделенные разности?

  • Что такое обратное интерполирование, какие при этом накладываются ограничения?

  • Что такое сплайн-функция?

  • Какие требования, и какие ограничения накладываются на сплайн - функции различных порядков?

  • Что такое матрица Грама?

  • Какие требования предъявляются к базисным функциям?
^

5. ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ


Билет № 1

  1. Задача численного интегрирования.

  2. Метод градиента для решения СЛАУ.

  3. Этапы решения нелинейных и трансцендентных уравнений (одно уравнение).

  4. Сравните метод Рунге-Кутта и метод Адамса (точность, трудоемкость).

  5. Интерполирование сплайнами.

Билет № 2

  1. Что такое вычислительная погрешность? Приведите пример, укажите, является ли она устранимой или неустранимой?

  2. Сходства и различия методов Якоби и Зейделя при решении СЛАУ.

  3. Решение системы нелинейных уравнений методом Ньютона. Как начать процесс, когда закончить?

  4. Получено решение задачи Коши разложением в ряд Тейлора. Что можно сказать о погрешности результатов? Как их уточнить?

  5. Сходимость интерполяционных полиномов.

Билет № 3

  1. Численное интегрирование: метод прямоугольников.

  2. Точные и приближенные методы решения СЛАУ.

  3. Сравните два метода решения нелинейных уравнений: метод половинного деления и метод касательных.

  4. Каким-то методом получено решение задачи Коши. Как уменьшить погрешность, если другие методы решения мне (вам) неизвестны?

  5. Задача аппроксимации.

Билет № 4

  1. Численное интегрирование методом трапеций.

  2. Преимущества и недостатки приближенных методов решения СЛАУ.

  3. Метод хорд.

  4. Метод Рунге-Кутта (четыре точки). Докажите, что это многошаговый (одношаговый) метод.

  5. Интерполяционная формула Лагранжа.

Билет № 5

  1. Погрешность методов численного интегрирования.

  2. Метод Гаусса с выбором главного элемента.

  3. Назовите известные вам методы решения нелинейных и трансцендентных уравнений (одно уравнение). Дайте краткие сравнительные характеристики методов.

  4. Решение задачи Коши численными методами. Что вы предложите в качестве решения?

  5. Матрица Грама.

Билет № 6

  1. Сравните два метода численного интегрирования: метод Монте-Карло и метод средних прямоугольников.

  2. При решении СЛАУ методом градиента используется матрица Якоби (якобиан). Нужно ли ее пересчитывать на каждом шаге (итерации)?

  3. Комбинированный метод решения нелинейных и трансцендентных уравнений.

  4. Методом Адамса получено решение в 37-й точке, после этого сменили шаг. Как получить решение в 38-й точке.

  5. Задача аппроксимации.

Билет № 7

  1. Вычислите интеграл методами Монте-Карло, Симпсона и трапеций, разбив область интегрирования на 777 интервалов (точек). Что можно сказать о точности и применимости этих методов.

  2. Что такое прямой и обратный ход в методе Гаусса?

  3. Метод касательных. Точность решения, требования, всегда ли дает решение и почему?

  4. Исправленный метода Эйлера.

  5. Метод наименьших квадратов.

Билет № 8

  1. Сравните метод трапеций и метод Симпсона в задаче численного интегрирования.

  2. Как решить СЛАУ по формулам Крамера? Преимущества и недостатки метода?

  3. Решение системы нелинейных уравнений методом градиента. Как начать процесс, когда закончить?

  4. Экстраполяционная и интерполяционная формулы Адамса. Зачем нужны две? Можно ли использовать одну и какую?

  5. Обратное интерполирование.

Билет № 9

  1. Задача численного интегрирования решена методом трапеций. Предложите и обоснуйте пути повышения точности (уменьшения погрешности) расчетов.

  2. При вычислении определителя и (или) обратной матрицы методом Гаусса нужно ли выполнять прямой и обратный ход?

  3. Метод дихотомии и комбинированный метод? Дайте сравнительные характеристики.

  4. Одношаговые методы решения дифференциальных уравнений.

  5. Критерии выбора аппроксимирующих функций.

Билет № 10

  1. Предложите и обоснуйте применение конкретных методов численного интегрирования при вычислении однократных и n – кратных интегралов (n>2).

  2. Метод простой итерации при решении СЛАУ. Как начать процесс и когда закончить вычисления?

  3. Нелинейное уравнение имеет пять действительных корней на интервале: [-10; 10]. Как найти все корни?

  4. Методы Рунге-Кутта.

  5. Аппроксимация: можно ли, в качестве базовых функций, выбрать линейно зависимые функции?

Билет № 11

  1. В чем сходство и отличия интегрирования методами левых, правых и средних прямоугольников.

  2. Вычисление определителей методом Гаусса.

  3. Метод хорд. Его преимущества и недостатки по сравнению с методом касательных.

  4. Найдите решение в трех точках дифференциального уравнения методами Эйлера и разложением в ряд Тейлора. Проиллюстрируйте рисунком.

  5. Что такое разделенные разности, и в каких формулах они встречаются?

Билет № 12

  1. Основная задача прикладной (вычислительной) математики.

  2. Решение СЛАУ, метод Гаусса – схема единственного деления.

  3. В методе градиента и методе Ньютона для решения системы нелинейных уравнений используется матрица Якоби. Одинакова ли она для каждого метода? Надо ли ее пересчитывать на каждом шаге?

  4. Многошаговые методы решения дифференциальных уравнений.

  5. Обратное интерполирование. Запишите формулу обратного интерполирования с помощью полинома Лагранжа.

Билет № 13

  1. Дайте пример ошибки (погрешности) метода и предложите пути ее устранения (уменьшения).

  2. Вычисление обратной матрицы методом Гаусса.

  3. Какие методы решения нелинейных и трансцендентных уравнений вы знаете?

  4. Метод Эйлера решения дифференциальных уравнений.

  5. Формула Ньютона интерполирования в конце таблицы.

Билет № 14

  1. Численное интегрирование методами Монте-Карло.

  2. Метод Зейделя при решении СЛАУ. Как начать процесс, чем закончить?

  3. Почему методом дихотомии и хорд всегда находится решение, а методом касательных не всегда?

  4. Задача Коши, общее и частное решение.

  5. Что является неизвестными в аппроксимирующем полиноме? Как эти неизвестные находятся?



^

6. УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ


6.1. Литература обязательная

  1. Демидович Б. П., Марон И. А. Основы вычислительной математики.– М.: Наука, 1970. – 664 с.

  2. Копченова Н.В., Марон И. А. Вычислительная математика в примерах и задачах.– М.: Наука, 1972. – 308 с.

  3. Турчак Л. И. Основы численных методов.– М.: Наука,1987. – 320 с.

  4. Самарский А. А., Гулин А. В. Численные методы: Учеб. пособие для вузов.– М.: Наука, 1989. – 432 с.

  5. Мудров А. Е. Численные методы для ПВМ на языках Бейсик, Фортран и Паскаль. – Томск: МП «РАСКО», 1991. – 272 с.

^ 6.2. Литература дополнительная

  1. Березин И. С., Жидков Н. П. Методы вычислений. Т.1.– М.: Наука,
    1966. – 632 с.

  2. Березин И. С., Жидков Н. П. Методы вычислений. Т.2.– М.: Наука,
    1962. – 640 с.

  3. Крылов В.И., Бобков В. В., Монастырский П. И. Вычислительные методы. Т. 1.– М.: Наука, 1976. – 304 с.

  4. Крылов В.И., Бобков В. В., Монастырский П. И. Вычислительные методы. Т. 2.– М.: Наука, 1977. – 400 с.

  5. Калиткин Н.Н. Численные методы..– М.: Наука, 1978. –512 с.

  6. Кацман Ю.Я. Прикладная математика. Численные методы: Учеб. пособие. - Томск: Изд. ТПУ, 2000. - 68 с.

  7. Кацман Ю.Я. Прикладная математика. Рабочая программа, методические указания и контрольные задания. - Томск: Изд. ТПУ, 2001. - 30 с.




ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА



Рабочая программа, методические указания и контрольные задания.


Составитель: Юлий Янович Кацман


Рецензент: В.И. Рейзлин, к.т.н., доцент каф. ИПС АВТФ


Подписано к печати

Формат 60х84/16. Бумага ксероксная.

Плоская печать. Усл. печ.л. 1,16. Уч.-изд.л. 1,05.

Тираж экз. Заказ . Цена свободная.

Издательство ТПУ. 634050, Томск, пр. Ленина, 30.








Скачать 269,14 Kb.
оставить комментарий
Дата03.10.2011
Размер269,14 Kb.
ТипРабочая программа, Образовательные материалы
Добавить документ в свой блог или на сайт

Ваша оценка этого документа будет первой.
Ваша оценка:
Разместите кнопку на своём сайте или блоге:
rudocs.exdat.com

Загрузка...
База данных защищена авторским правом ©exdat 2000-2017
При копировании материала укажите ссылку
обратиться к администрации
Анализ
Справочники
Сценарии
Рефераты
Курсовые работы
Авторефераты
Программы
Методички
Документы
Понятия

опубликовать
Загрузка...
Документы

наверх