Л. Б. Кандырин моделирование процессов icon

Л. Б. Кандырин моделирование процессов



Смотрите также:
Моделирование физических процессов...
Вторая Международная научная конференция моделирование нелинейных процессов и систем...
Программа-минимум кандидатского экзамена по специальности 05. 13...
Рабочая программа по дисциплине опд. Ф. 08 Моделирование и оптимизация...
Учебно-методический комплекс учебной дисциплины имитационное моделирование экономических...
Лекция: Моделирование бизнес-процессов средствами bpwin (часть 2): Стоимостный анализ: объект...
Методические указания к самостоятельной работе студентов по курсу «Имитационное моделирование...
Методические указания к самостоятельной работе студентов по курсу «Имитационное моделирование...
Программа моделирование физических процессов в оптике и биофизике Для специальностей...
Программа дисциплины "Моделирование технологических процессов"...
Программа наименование дисциплины Моделирование бизнес-процессов...
Рабочая программа дисциплины (модуля) «моделирование процессов и объектов в химической...



страницы:   1   2   3
скачать

Федеральное агентство по образованию

Российской Федерации



Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования


Московская государственная академия

тонкой химической технологии

имени М.В.Ломоносова.


Л.Б.Кандырин

МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ

ПЕРЕРАБОТКИ ПЛАСТМАСС.




(Курс лекций для магистров и специалистов V курса)





Москва

2005 г.


А Н Н О Т А Ц И Я


Настоящий курс лекций предназначен для подготовки студентов обучающихся по магистерской программе 550814 «Химическая технология переработки пластических масс и полимерных композитов» и специальности 250600 «Технология перереботки пластических масс и эластомеров», изучающих курс моделирования процессов переработки пластмасс.


Автор:

Профессор, д.х.н. Кандырин Леонид Борисович


© Московская государственная академия тонкой

химической технологии имени М.В.Ломоносова


^

МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ

ПЕРЕРАБОТКИ ПЛАСТМАСС.

(Курс лекций для магистров и специалистов V курса)



Оглавление:

Лекция 1. Сущность метода моделирования.

    1. Классическое моделирование.

    2. Физическое моделирование.

    3. Метод аналогий.

    4. Математическое моделирование.


Лекция 2. Теплопередача в процессах переработки

2.1. Особенности математического моделирования процессов переработки полимеров и композитов.

2.2. Математическое описание процессов теплопередачи (кондуктивные процессы).

2.3. Конвективные процессы.

2.4. Лучистый теплообмен.


Лекция 3. Реология в процессах переработки.

3.1. Законы сохранения.

3.2. Описания законов изменения вязкости.

3.3. Виды течения, реализующиеся в процессах переработки пластмасс.

3.4. Нормальные напряжения в вязкоупругих жидкостях.


Лекция 4. Экструзия и другие методы переработки пластмасс.

4.1. Три зоны экструдера и движение полимерного материала в них.

4.1.1. Движение полимерного материала в I зоне экструдера.

4.1.2. Движение полимерного материала во II зоне экструдера.

4.1.3. Движение расплава полимера в III зоне экструдера и его рабочая характеристика.

4.1.4. Движение материала в головке экструдера, ее рабочая характеристика и рабочая точка экструдера.

4.2. Охлаждение расплава полимера после головки.

4.3. Литье под давлением. Охлаждение материала в форме.

4.4. Вакуум-формование. Прогрев и охлаждение изделий.


Лекция 5. Кинетика.

5.1. Фазово-релаксационная диаграмма.

5.2. Анализ кинетики отверждения смол.

5.3. Анализ реокинетики отверждающихся смол.

5.4. Анализ сложных кинетических процессов.


Лекция 6. Макрокинетика.

6.1. Анализ температурных полей, развивающихся при отверждении изделий из ПКМ, на базе численных решений дифференциальных уравнений.

6.2. Метод Шмидта.

6.3. Обобщенный вариант метода конечных разностей.

6.4. Решение задачи теплопроводности в граничных условиях III рода.

6.5. Решение задачи теплопроводности в граничных условиях IV рода.

6.6. Разработка новых методов переработки полимеров на основе математического моделирования.


Заключение.

Библиографический список.

Вопросы к экзамену.


Лекция 1. СУЩНОСТЬ МЕТОДА МОДЕЛИРОВАНИЯ.


ВВЕДЕНИЕ.

Переработка полимерных материалов представляет собой совокупность физико-химических процессов, идущих во времени в специально спроектированных технических системах - машинах. В каждой точке пространства формующих узлов перерабатывающего оборудования (машины) осуществляется перенос массы, импульса, тепловой энергии. Все это, как правило, сопровождается химическими превращениями и фазовыми переходами. Оператор машины управляет ходом происходящих процессов путем задания температуры, давления, скоростных параметров и геометрии движущихся узлов. Характер и величину управляющих воздействий определяют реологические и теплофизические свойства полимерных материалов и кинетические параметры реакций, сопровождающих переработку. Целью всего процесса является получение с заданной производительностью продукции, обладающей заданным уровнем показателей. Создание и поддержание функционирования подобных технических систем, а также их совершенствование, является сложной задачей, для решения которой требуются значительные материальные и финансовые ресурсы и длительная работа инженерно-конструкторских коллективов квалифицированных специалистов. Одним из основных инструментов, дающих принципиальную возможность получения заданного результата, является моделирование. Оно заключается в замене реальных объектов и процессов моделями с последующим изучением их свойств.

Модель - упрощённая система, отражающая отдельные, ограниченные во времени и пространстве, характеристики исследуемого процесса (объекта). Модель, как правило, объединяет опытные наблюдения (факты) и устанавливает взаимосвязь между параметрами исследуемого процесса. При её построении используют как теоретические подходы, так и экспериментально полученные закономерности. Конечной целью моделирования является прогноз конечных (или промежуточных) результатов исследуемого процесса (свойств объекта) и выработка рекомендаций по возможному воздействию на его ход (управлению). При недостатке информации об исследуемом процессе (объекте) строят простейшие модели, позволяющие получать лишь оценочные результаты. Накопление информации позволяет усложнять модели и выявлять более тонкие детали процесса, если они оказывают заметное влияние на свойства получаемых изделий. Различают два вида моделирования – материальное (вещественное, предметное) и абстрактное (идеальное). На практике в области технологии переработки пластмасс наиболее часто применяют следующие типы моделирования - физическое (частный случай вещественного) и математическое (частный случай абстрактного).

^ КЛАССИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ.

При классическом моделировании явление (или процесс) изучают на нём самом, воспроизводя его в уменьшенных масштабах, и анализируют влияние физических параметров на его ход. Опытные данные обрабатывают, представляя их в виде зависимостей, включающих безразмерные комплексы, составленные на основе комбинаций физических величин и линейных размеров. Безразмерная форма позволяет распространить найденные закономерности на группу взаимно подобных явлений, характеризующихся постоянством критериев подобия (их Вы изучали в курсе ПАХТ). Для получения критериев подобия необходимо тщательно проанализировать физические явления, лежащие в основе процесса. Это занимает много времени, хотя безразмерные комплексы можно получить и гораздо легче, используя положения теории размерностей. Ее основным понятием является единица измерения [A], которой называется условная величина, имеющая тот же физический смысл, что и сама физическая величина А.

В системе единиц СИ основными параметрами являются масса (кг), длина (м) и время (с). Попробуем получить производные единицы: сила, определяется законом Ньютона F = m . a, т.е, массу (кг) надо умножить на ускорение (м/с2). Отсюда 1Н = кг. м/с2. Давление определяется как сила, деленная на площадь Р = F/S, т.е. 1Па = кг/м. с2. Вязкость измеряется в Па.с, следовательно ее единица кг/м. с. К однородным относятся физические величины, обладающие одинаковой размерностью и имеющие одинаковый физический смысл, например, длина и координата. К одноименным относятся физические величины, обладающие одинаковой размерностью, но имеющие разный физический смысл, например, напряжение и давление, коэффициенты диффузии и вязкость. Безразмерными называются величины, численное значение которых не зависит от выбора системы единиц, например, относительный модуль, относительная вязкость. Математическое описание физического явления не зависит от выбора единиц измерения. Поэтому все члены уравнений, описывающих физический процесс, должны иметь одинаковую размерность и могут быть приведены к безразмерному виду путем деления на постоянную величину.

Давайте вкратце рассмотрим некоторые положения теории подобия. Подобие это условие, при котором возможно количественное распространение результатов эксперимента с модели на оригинал. При этом безразмерные комплексы – критерии подобия в сходственных точках модели и оригинала равны.

Пример 1. Моделируем (перед постройкой хаузтауна) канал, в который отведем воду Москвы-реки для создания идеальных условий жизни для жителей. Но перед строительством канала надо знать распределение скоростей в различных его точках (при поворотах и т.п.), чтобы не откладывались осадки и не заиливался участок. Как сделать модель. Форму канала выбираем из соображений геометрического подобия, а как выбрать размер? Длина отводимого участка составляет 0,5 км, а скорость течения 1 км/ч (около 0,25 м/с). Соотношение сил инерции и трения, которые дают инвариантность по влиянию вязкости, рекомендует взять критерий Рейнольдса: Re = wlρ/μ. При подобии wо lо ρо /μо = wм lм ρм /μм. Определим соотношение lм / lо. Оно равно wо ρо μм / wм ρм μо . Если lм /lо = 10 –3 (длина модели 0,5 м), то при μм = μо и ρм = ρо (чтобы не выбирать другую жидкость) получаем, wм /wо = 10-3, т.е. скорость воды в модели должна составлять 250 м/с. Это нереально! Приходится строить модель длиной 50 м, хотя даже в этом случае скорость воды должна составлять 2,5 м/с (это, вообще-то, тоже многовато, всего в 4 раза меньше мирового рекорда скорости бега). Таким образом, возможности классического моделирования не всегда удается просто реализовать.

Пример 2. Давайте смоделируем распределение скорости жидкости при пропитке пористого материала: оседание грунта под домом при изменении его влажности(злободневная тема для Москвы!) или пропитка стеклоткани эпоксидной смолой при контактном формовании. На движение жидкости влияют уже два параметра – вязкость и сила тяжести. Для описания влияния вязкости привлекаем критерий Рейнольдса Re = wlρ/μ , для описания влияния силы тяжести – критерий Фруда Fr = w2/g.l. Для выполнения условий моделирования должно выполняться равенство: Reм = Reо, Frм = Frо. Опять рассматриваем возможный размер модели. Из сравнения критериев Рейнольдса следует: соотношение

lм / lо = wо ρо μм / wм ρм μо, из соотношения критериев Фруда следует: lм / lо = wо2 gм / wм2 gо. Если взять одну и ту же жидкость (μм = μо и ρм = ρо) и одну и ту же силу тяжести (gм = gо), то отношение скоростей течения в одном случае равно отношению размеров объекта и модели, а в другом – квадрату этого отношения. Это возможно только при том условии, что lм = lо, т.е. модель должна иметь размер оригинала. Тогда для чего же она нужна? Ослабим условия. Возьмем жидкости с различной вязкостью. Для равенства критериев Рейнольдса нужно wо ρо μм / wм ρм μо = lм / lо , для равенства критериев Фруда нужно wо2 gм / wм2 gо = lм / lо . При gм = gо соотношение ρо μм / ρм μо равно произведению lм / lо на wм /wо, а т.к. из критерия Фруда следует, что wм /wо =( lм / lо )1/2, то комплекс

ρо μм / ρм μо =( lм / lо )3/2 .

Если принять, что lм = 0,1 lо, то μм = μо/31,6 (т.к. плотность жидкости значительно поменять весьма трудно). Таким образом, вязкость жидкости в модели должна быть в 31,6 раза ниже, чем вязкость жидкости в оригинале. Это возможно, например, для эпоксидной смолы (μо = 10 Па.с и μм = 0,3 Па.с), но невозможно для воды, т.к. для модели нужна жидкость с вязкостью 0,03.10-3 Па.с. Минимальной вязкостью из всех жидкостей обладает диметиловый эфир (μ = 0,24.10-3 Па.с). Не будем же мы брать для этой цели сверхтекучий гелий-III. Применение центрифуги также не даст должного эффекта. Если выполнять соотношение ρо μм = ρм μо, то из Рейнольдса следует, что lм / lо = wо /wм, а из Фруда lм / lо = (wо/wм)2(gо/gм ), таким образом, gо /gм =(lм /lо)3.Для уменьшенной в 2 раза модели нужно применить ускорение 8g, а для уменьшения в 5 раз нужно более 100g. Этот пример показывает, что усложнение задачи, т.е. введение одновременно двух критериев подобия приводит к практической неразрешимости задачи моделирования. Если этих критериев еще больше, например, учет сил давления в соответствии с силами инерции по критерию Эйлера Eu = ΔP/ρw2, то решать подобные задачи еще сложнее. При этом еще необходимо легко оперировать всеми критериями из теории подобия. Правда, здесь на помощь может прийти теория размерностей. К ее помощи прибегают, если явление настолько мало изучено, что описать его каким-либо уравнением не представляется возможным. Пользуясь теорией размерностей можно свести функциональную зависимость общего вида к безразмерному комплексу. Попробуем проанализировать три типа зависимостей, сопровождающих течение жидкостей.

1. Течение под действием силы тяжести: w = f(g). Сравним их размерности. Скорость (м/с), сила тяжести (м/с2). Для сопоставления возводим скорость в квадрат – (м/с)2 и делим ее на длину (м). Безразмерный комплекс определяется соотношением w2/g l . Это критерий Фруда.

2. Течение под действием перепада давления:w=f (ΔP). Справа скорость (м/с), слева давление (кг/м.с2). Для сопоставления возводим скорость в квадрат – (м/с)2, а для того, чтобы слева убрать массу (кг), поделим правую часть на плотность (кг/м3). Безразмерный комплекс определяется соотношением ΔP/ρw2. Это критерий Эйлера.

3. Течение с внутренним трением: w = f(μ). Справа скорость (м/с), слева вязкость (кг/м. с). Поделим правую часть на плотность (кг/м3) и длину (м). Получим безразмерный комплекс wlρ/μ. Это критерий Рейнольдса.

Таким образом, даже зная форму безразмерных комплексов, приходится вместо применения теории подобия применять метод изучение процесса непосредственно на нем самом, т.е. применять метод физического моделирования.


^ ФИЗИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ.

Приведу Вам пример из собственной практики. В начале 70-х годов XX века перед отраслью переработки была поставлена задача – необходимо резкое увеличение выпуска резиновой обуви, особенно женской. Наиболее производительным процессом переработки является метод литья под давлением. Однако изготовление столь сложного изделия – высота более 0,5 м, толщина менее 1 мм, да еще подкладка, причем мягкая и теплая. За рубежом для этой цели тогда стали применять мягкие пластифицированные композиции на основе ПВХ. Оборудование для производства закупили за рубежом (ФРГ, Франция, Италия) – дорого, но это однократные затраты. Нефтяные деньги тогда уже были. Закупать же постоянно расходующиеся композиции за рубежом слишком накладно. К тому же страна (СССР) имела мощное производство собственного ПВХ (Волговинил) и различных пластификаторов и других добавок. Задача была в разработке правильной рецептуры.

При исследовании процесса литья под давлением и отработке рецептуры пластифицированных поливинилхлоридных композиций для изготовления обуви (сапоги, кроссовки и т.п.) можно опытные композиции перерабатывать на том же оборудовании, на котором предполагается их промышленная переработка, т.е. на производственных многопозиционных литьевых установках с одним-двумя литьевыми агрегатами. При этом можно тщательно изучить все технологические особенности переработки разрабатываемых композиций и отработать все режимы, получить обоснованное заключение о пригодности композиций различной рецептуры, изготовить опытные партии обуви и организовать их эксплуатацию, разработать подробный технологический регламент изготовления обуви. Изделия, полученные при подобных исследованиях, всесторонне исследуются в условиях предполагаемой эксплуатации. Если физико-механические, эксплуатационные свойства обуви и ее внешний вид окажутся вполне допустимыми, то новые материалы можно рекомендовать к широкому внедрению. Однако подобный метод слишком дорог, т.к. вместо наших экспериментов можно выпускать реальную продукцию.

Если условия процесса переработки и свойства композиций хорошо изучены, то для более тщательной отработки их рецептуры можно воспользоваться более простыми литьевыми установками и модельными формами. Это гораздо дешевле, но уже не позволяет получать реальную обувь. Конструкция специальной формы позволяет хорошо изучать режимы литья (в т.ч. с подкладкой) и оценивать физико-механические свойства перерабатываемых материалов.

На установках типа пластографа (или пластикордера) Брабендера, в меньшей степени соответствующих реальному процессу переработки, также можно изучать свойства перерабатываемых композиций. Эти установки позволяют непосредственно измерять усилие, расходующееся на деформирование материала (крутящий момент), скорость вращения рабочего органа и температуру переработки в условиях, имитирующих работу валкового смесителя, экструдера, лопастной мешалки. Полученные данные также в какой-то степени позволяют дать заключение о возможности применения данной композиции для переработки на производственном оборудовании. Можно подобрать температурный режим литья по зонам литьевой машины, выбрать давление литья и скорость вращения шнека и т.п. Обувь из исследуемого материала данный прибор получать уже не позволяет, хотя можно оценить механические характеристики получаемых композиций на специально изготавливаемых образцах. К сожалению, цена пластографа Брабендера весьма велика (сотни тысяч $).

Наконец, некоторую информацию о пригодности разрабатываемого материала к переработке можно получить, исследуя текучесть его расплава на промышленном или лабораторном реометре или на приборе типа ИИРТ, параллельно измеряя физико-механические показатели материала обычными методами. Этот подход позволяет оценить только вязкость и время термостабильности данной партии материала. При этом возможность разработки (или, точнее, корректировки) технологического режима минимальна и зависит от опыта технолога-разработчика. Но пример применения этого метода привести также можно. При разработке обувных композиций нам предложили применить новый эластичный материал – термоэластопласт (ТЭП). Этот сополимер обладает эластичностью резины (разрывная деформация при растяжении более 1000%), но при этом перерабатывается как обычный термопласт. При попытках применить этот материал оказалось, что он практически не льется, хотя его ПТР был даже выше, чем ПТР соответствующих ПВХ композиций. Исследование, проведенное на приборе ИИРТ при применении набора различных грузов (т.е. определение кривой течения), показало, что индекс псевдопластичности ПВХ весьма мал (0,15 - 0.2). Поэтому снижение вязкости при высоких скоростях течения для композиций на его основе было весьма сильным. ТЭП относится к низкомолекулярным сополимерам и течет практически как ньютоновская жидкость. Его вязкость при высоких скоростях сдвига (более 104 с-1) оказалась на несколько порядков выше, чем вязкость композиций на основе ПВХ. Неудивительно, что его переработка представляла большие трудности, ведь ПТР определялся при очень малых скоростях сдвига (1-10 с-1).

Таким образом, физическое моделирование характеризуется различными уровнями приближения к реальности. Как правило, чем ближе к реальному процессу, тем выше стоимость оборудования и временные затраты для моделирования. Поэтому простые методы физического моделирования обычно сочетают с дополнительными экспериментами, позволяющими строить математические модели.

^ МЕТОД АНАЛОГИЙ.

Обычно подразумевают, что как в оригинале, так и в модели происходят процессы, одинаковые по своей физической сущности и различающиеся только значением параметров и масштабом. Выбор масштаба модели при условии равенства критериев подобия часто сопряжен со значительными сложностями [1]. Для их преодоления разработан метод аналогий, являющийся разновидностью материального моделирования. Он основан на двух важных принципах: во-первых, результаты экспериментов на модели должны быть количественно приложимы к оригиналу, т.е. при изучении модели возможна отработка показателей, по которым можно установить реальные параметры переработки (иначе моделирование теряет смысл), во-вторых, изучение модели должно быть более экономичным, чем изучение оригинала (иначе проще изучать оригинал). Эти условия не предполагают физической идентичности модели и оригинала. Наиболее известными примерами подобного подхода являются модель атома по Резерфорду или модель химического строения молекул Бутлерова. Ни в одном, ни в другом случае нет совпадения в физической сущности явлений (атомные ядра не похожи на Солнце, а электроны - на планеты; молекулы не состоят из шариков и пружинок), что не мешает применять эти модели весьма успешно.

Давно известно, что ряд физических процессов описывается уравнениями общего вида: y = -k.grad(x), различающимися только коэффициентами. В качестве примеров можно привести [1]:

  • поток массы W = -K.grad(P) уравнение Дарси-Вейсбаха (фильтрация), где W–скорость фильтрации, Р-давление, К–коэффициент проницаемости.

  • поток импульса  = -.grad(V) - уравнение Ньютона (вязкое течение), где  - касательное напряжение, V - скорость,  - коэффициент вязкости.

  • поток тепла Q = -.grad(T) - уравнение Фурье (теплопроводность), где Q-поток тепла, Т-температура, -коэффициент теплопроводности.

  • поток массы M = -D.grad (C) - уравнение Фика (диффузия),

  • где М - поток массы, С - концентрация, D – коэффициент диффузии.

  • поток электронов I = -j.grad(U) - уравнение Ома (электропроводность), где I-плотность тока, U–потенциал, j–коэффициент электропроводности.

С математической точки зрения эти уравнения отличаются друг от друга только коэффициентами, которые, конечно, различаются во много раз. Поэтому при соответствующем учёте коэффициентов любое из перечисленных уравнений может являться моделью для другого, например, электро-гидравлическая модель или электро-тепловая модель. Природа оказалась устроенной так, что в ряде случаев электрические процессы осуществляются со значительно большей скоростью и измерять электрические параметры можно с достаточно высокой точностью. Поэтому были разработаны аналоговые вычислительные машины (АВМ), состоящие обычно из большого набора электрических элементов, выполняющих функции, аналогичные математическим операциям умножения переменной на коэффициент (усилитель постоянного тока), возведению переменной в квадрат, перемножению двух переменных, взятию сложной функции от переменной (логарифм и т.п.), а также дифференцированию и интегрированию. Из электрических элементов можно собрать схему, закон функционирования которой будет описываться тем же дифференциальным уравнением, что и закон для интересующего нас оригинала, и, измерив соответствующие показатели, получить нужный ответ. Подобные схемы в миниатюрном исполнении применяли в середине XX века для систем автоматического регулирования. В настоящее время чаще используют более гибкие и универсальные цифровые системы управления (микропроцессоры), построенные на принципах математического моделирования.

^ МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ.

Подход, подобный аналоговому моделированию, можно распространить и на совсем другой тип моделирования - математическое. В роли модели здесь выступает совокупность математических объектов. Результат, полученный при исследовании этой модели, количественно распространяется на оригинал. Математическое моделирование может быть осуществлено на компьютере, что экономичнее, чем прямой эксперимент. Компьютеры во многих случаях являются универсальными инструментами для исследования математических моделей. Следует отметить, что методы физического и математического моделирования нельзя противопоставлять друг другу. Для каждого случая целесообразно применять метод, который наиболее эффективен или является единственно возможным. При этом значения параметров, подставляемых в математическую модель какого-либо процесса, всё равно получают из параметров математических моделей, определенных в физических экспериментах.

Математическое моделирование состоит из нескольких этапов. Вначале составляют математическое описание оригинала. Это некоторая система уравнений и функциональных соотношений между параметрами модели. В математическое описание входят: теоретические модели - уравнения баланса масс и энергии (например, уравнение движения, уравнение энергии), уравнения элементарных процессов (например, массо- и теплообмена, химических реакций и т.п.), теоретические или эмпирические соотношения между параметрами (например, зависимость вязкости или скорости реакции от температуры и т.п.), ограничения на величину изменения параметров процесса. Все это позволяет построить т.н. неявную модель изучаемого процесса. Затем составляется алгоритм моделирования - путь решения или вычисления и пишется или выбирается программа для компьютера. Полученное решение – явную модель, связывающую между собой исследуемые параметры процесса, проверяют на адекватность (т.е., соответствие экспериментальным результатам), при недостаточной адекватности проводится корректировка модели. Моделирование рассматривает описываемые явления с помощью системного подхода, учитывая не только свойства отдельных элементов объекта, но и способ их взаимодействия, т.е. структуру. При этом обязательно оценивается взаимоотношение величины исследуемых параметров с уровнем шума, т.е. с величиной случайных возмущений.

К описанию системы можно подойти с двух сторон - со стороны структурного подхода или эмпирически. Структурный подход заключается в детальной расшифровке механизма проходящих явлений. Например, при отверждении композита на основе термореактивной смолы идут процессы химических превращений, выделяется экзотермическое тепло, следовательно, идут процессы теплообмена, теплопередачи. Можно в общем виде написать термохимические уравнения, включающие неизвестные коэффициенты, вычислять эти коэффициенты и решать задачу так, как мы ее решали на лабораторных работах. Эмпирический подход (или т.н. метод «чёрного ящика») отличается тем, что при его использовании направленно изменяют значения параметров на «входе» и анализируют изменение параметров на «выходе». Результаты экспериментов описывают эмпирическими или статистическими уравнениями, которые и служат основой для математической модели. Например, можно определить кривую течения расплава полимера, описать её подходящим полиномом с известными коэффициентами и в дальнейшем работать с этим выражением. В любом реальном процессе моделирования присутствуют элементы того и другого подхода. Эмпирический подход отличается простотой, он сравнительно легко осуществим, и не требует детального знания механизма происходящих явлений. Недостатком этого метода является малая надёжность экстраполяции установленных соотношений за пределы их фактического измерения. Он часто применяется для описания второстепенных или, наоборот, очень сложных явлений. Структурный подход отличается высокой надёжностью, но требует углублённого изучения явления. Его недостатком является трудность одновременного учёта всех факторов, определяющих прохождение сложного процесса.

Важной особенностью моделей является то, что часто для получения вполне удовлетворительного результата можно воспользоваться более простой моделью. На основе более простой модели проще сделать количественные выводы, т.к. иногда усложнение не оправдывает получаемого уточнения результатов.

Различают статические и динамические модели. Статические модели описывают стационарные процессы и не учитывают изменения параметров процесса во времени. Динамические модели описывают нестационарные процессы, параметры которых могут меняться во времени. Модели различают и по типу рассматриваемых параметров: в процессах с сосредоточенными параметрами отсутствуют производные по координатам, а рассматриваются только производные по времени. Модели с распределёнными параметрами описывают процессы, изменяющиеся не только во времени, но и по координатам [1]. В математических моделях могут применяться как конечные уравнения (алгебраические и трансцендентные), так и дифференциальные уравнения - обыкновенные (линейные и нелинейные) и уравнения в частных производных, параметры которых являются функциями 2 или 3 переменных. Если задача поставлена так, что в ней есть описание какого-либо начального состояния процесса, заданы внешние воздействия на объект и требуется определить его состояние на какой-либо момент времени, то она называется прямой задачей. Такие задачи, как правило, разрешимы. Если же задача поставлена так, что по начальному и конечному состояниям объекта необходимо рассчитать внешние воздействия на него, то она называется обратной задачей, эти задачи отличаются гораздо большей сложностью и обычно неразрешимы в общем виде.

Лекция ^ 2. ТЕПЛОПЕРЕДАЧА В ПРОЦЕССАХ

ПЕРЕРАБОТКИ.

ОСОБЕННОСТИ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ

ПРОЦЕССОВ ПЕРЕРАБОТКИ ПОЛИМЕРОВ И

КОМПОЗИТОВ.

Какие же особенности необходимо учитывать, приступая к моделированию процессов переработки полимерных материалов и композитов? В первую очередь, это процессы, связанные с нагревом и охлаждением полимерных материалов. Практически всегда переработка полимеров сопровождается изменением их температуры. Передача тепла от более нагретого к менее нагретому материалу может осуществляться за счёт теплопроводности, т.е. при непосредственном контакте тел с различной температурой (например, при охлаждении расплава полимера в литьевой форме); за счёт конвекции при омывании твёрдого тела потоком жидкости или газа (например, при охлаждении полимера после экструзии в ванне с водой или на воздухе) или за счёт лучеиспускания без непосредственного контакта двух тел (например, при нагреве заготовок при вакуум-формовании). В реальности переработка полимеров осложняется процессами выделения (или поглощения) тепла, связанными с изменением фазового состава полимера - плавлением, кристаллизацией, с изменением его химического состава - сшиванием, отверждением, или с интенсивным переходом механической энергии деформирования в тепловую - т.н. диссипацией энергии. Кроме этого при переработке возможно изменение теплофизических свойств полимерного материала (теплопроводности, теплоёмкости) при изменении его температуры или степени отверждения.

Переработку реактопластов иногда проводят методами, аналогичными методам переработки термопластов, например, методом литья под давлением. Однако даже в этом случае тепловые процессы отличаются своей спецификой - снижается вклад диссипативного разогрева (из-за низкой вязкости реактопластов в расплавленном состоянии) и проявляется заметный экзотермический разогрев, обусловленный прохождением процесса сшивания. Подобные явления всегда сопровождают прессование пресс-порошков и отверждение стеклотекстолитов. При получении массивных изделий из композитов на основе термореактивных смол методом литья без давления саморазогрев может быть настолько велик, что необходимо применять специальные приёмы и технологические режимы для предотвращения неконтролируемого подъёма температуры в изделиях. Во всех подобных случаях разработка обоснованных режимов переработки пластмасс невозможна без создания математических моделей процесса, опирающихся на хорошо разработанный аппарат теории теплопроводности.

^ Математическое описание процессов теплопередачи

(кондуктивные процессы).

Одной из основных задач теории теплопроводности является установление распределения температуры (Т) внутри тела или установление т.н. температурного поля Т= f (x, y, z, t), где x, y, z - пространственные координаты данной точки, а t - время [2]. Если температура тела не зависит от времени, то температурное поле называется стационарным, а если зависит - то нестационарным. Изменение температурного поля при охлаждении или нагреве полимерных изделий описывается дифференциальным уравнением в частных производных (уравнение Фурье)[3]:

T/t = а (2T/x2 + 2Т/y2 + 2T/z2), (2.1)

где а - коэффициент температуропроводности материала, определяющийся отношением а=/c, где  - теплопроводность (Вт/м.0K), с - теплоёмкость (Дж/кг.0К),  - плотность (кг/м3). Коэффициент а имеет размерность м2/c. Уравнение (2.1) имеет бесконечное множество решений, поэтому для получения конкретного решения необходимо уточнить т.н. условия однозначности, которые включают в себя геометрические, физические, начальные и граничные условия. Геометрические условия зависят от размера и формы изделия и определяют вид решения уравнения (2.1). Если охлаждающееся тело имеет простую форму - например, представляет собой пластину, толщина которой существенно (в несколько раз) меньше её длины и ширины, шар или бесконечный цилиндр, то изменениями температуры по длине и ширине можно пренебречь, выражение (2.1) упростится, и будет представлять собой одномерное уравнение: T/ t = а(2T/x2) . (2.1a)

Физические условия в данном случае требуют знания величины температуропроводности материала – а. К начальным условиям относятся температура тела в начальный момент процесса (при t=0). Обычно в этих случаях задают значение начальной температуры изделия или расплава. Граничные условия учитывают условия теплообмена на границе тела с окружающей средой. Они могут быть заданы четырьмя различными способами: при граничных условиях I рода задаётся распределение температур на границе тела (например, температура формы при литье); при граничных условиях II рода задаётся плотность теплового потока на поверхности тела (например, тепловой поток от нагревателей в процессе лучистого нагрева при вакуум-формовании); при граничных условиях III рода задаётся температура окружающей среды и интенсивность теплообмена на поверхности - т.н. коэффициент теплоотдачи -  [Вт/м2.0К] или его приведённое значение, выражающееся в виде критерия Био: Bi = l/, где l - характеристический размер тела (например, при охлаждении изделий после экструзии); при граничных условиях IV рода переход тепла через границу отсутствует (например, при адиабатических процессах отверждения композитов на основе термореактивных смол, идущих без теплоотвода). Рассмотрим варианты решения уравнения теплопроводности [2].

^ Стационарная задача: Для плоской стенки с толщиной -  и температурой на поверхностях Т1 и Т2 при отсутствии внутренних источников тепла уравнение (2.1) имеет вид: d2T/dx2 = 0 (2.1б)

Его решение при граничных условиях I рода:

T(x) = T1 - (T1-T2).x/ (2.2),

т. е. температура меняется с изменением расстояния от стенки - x по линейному закону.

^ Стационарная задача в присутствии внутреннего источника тепла: В плоской пластине с толщиной - Δ и температурой на стенках Т1 присутствует внутренний источник тепла мощностью qвн. В этом случае уравнение (2.1) имеет вид:

d2T/dx2 + qвн/сρ = 0 (2.1в)

Его решение при граничных условиях I рода имеет вид:

Т(х) = Т1 + (qвн /2λ)[(Δ/2)2 - (x/2)2] (2.3),

т.е. температура в пластине меняется по толщине по кривой второго порядка (параболе).

^ Нестационарная задача: Для одномерного температурного поля при отсутствии внутренних источников тепла процесс описывается уравнением (2.1а). Это более сложный вариант, т.к. необходимо решать уравнение в частных производных от двух переменных - x и t. Для неограниченной плоской стенки с толщиной -  при температуре на поверхности (при x=), равной Токр, и начальной температуре (t=0), равной Т0 , решение уравнения (2.1а) можно получить в виде произведения двух функций, каждая из которых зависит только от времени - (t) или от координаты - (x). Решение этого уравнения подробно описано в литературе [2]:

ln[(t)] = -a.k2.t + lnC1 (2.4)

и (x) = C2.cos(kx) + C3.sin(kх) (2.4а).

Определив значения постоянных интегрирования С1, С2, С3 и константы k2 и подставив полученные решения в уравнение (2.1а) распределение температур при заданных граничных условиях 1 рода после преобразований имеет вид: (2.5)

T(x,t) = Tокр + (T0-Tокр). n (-1)n+1(2/n) cos(n.x/)exp(-n2.Fo)

где n=(2n-1)./2, Fo - критерий Фурье (Fo = a.t/2), имеющий смысл приведённого времени, n - число членов уравнения (2.5), принимаемое при решении (чем их больше, тем точнее решение). Анализ показывает, что температура в центре и у поверхности изменяется во времени по сложной экспоненциальной кривой. В начальный момент времени она равна Т0, а при контакте с нагревателем возрастает. Изменение температуры от поверхности к центру также описывается сложной тригонометрической кривой.

Подобным образом решаются задачи теплопроводности и при наличии внутренних источников тепла – qвн. Так например, для тех же условий при наличии постоянного источника тепла решение уравнения Фурье

имеет вид T/ t = а(2T/x2) + qвн/сρ (2.1г)

Его решение имеет вид: (2.6)



и выражается еще более сложной тригонометрической кривой.

В целом, применение уравнений теплопроводности к анализу процессов переработки пластмасс позволяет количественно рассчитать изменение температурных полей в перерабатываемом материале в течение всего процесса переработки.

Анализ температурных полей при охлаждении изделий, полученных методом литья под давлением в форму с постоянной температурой (т.е. при граничных условиях I рода) и изделий, полученных методом экструзии с охлаждением на воздухе или в воде (т.е. при граничных условиях III рода), можно проводить, используя описанное выше аналитическое решение уравнения Фурье или метод конечных разностей (см. лекцию 5).


^ КОНВЕКТИВНЫЕ ПРОЦЕССЫ

Конвективный теплообмен – это процесс переноса теплоты самим теплоносителем. Как правило, он происходит с участием текучей среды (жидкость, газ) и обычно сопровождается теплопроводностью. Плотность конвективного теплового потока – qконв пропорциональна тепловому напору, т.е. разности температур между температурой жидкости (газа) и температурой омываемой стенки, и определяется уравнением Ньютона-Рихмана: qконв ~ α (Тж – Тс), (2.7)

где α – коэффициент теплоотдачи. При переработке полимерных материалов вклад конвекции в передачу тепла от нагревающих или охлаждающих элементов оборудования к полимеру незначителен из-за высокой вязкости расплава полимера. Однако этот вклад становится определяющим при охлаждении расплава после экструзии в ванне с водой (для труб или листов) или на воздухе (для пленки), а также при принудительном охлаждении литьевых форм водой. Значения коэффициентов теплоотдачи для систем металл – воздух обычно составляют: 5 – 30 Вт/м2 0К при т.н. свободной конвекции (естественном охлаждении поверхности) и 10 – 500 Вт/м2 0К при вынужденной (принудительной) системе охлаждения. Для системы металл – вода коэффициенты теплоотдачи при свободной конвекции лежат в пределах 100 – 1000 Вт/м2 0К, а при вынужденной конвекции составляют 500 – 10000 Вт/м2 0К. На практике, если нужно описать теплопередачу в твердом теле, пользуются числом Био: Bi = αl/λтв , где l – характеристический размер (толщина стенки слоя полимера, слоя металла формы), а λтв – теплопроводность твердого тела. Для описания теплопередачи при конвективном теплообмене с участием жидкости или газа применяют критерий Нуссельта: Nu = αl/λж ,где λж – теплопроводность жидкости или газа.

Все вышеперечисленные решения уравнения теплопроводности для стационарных и нестационарных случаев получены при граничных условиях 1 рода (при постоянной температуре стенки), что обеспечивается омыванием ее потоком жидкости или газа при бесконечно большом коэффициенте теплоотдачи (Bi → ∞). Если же это условие не выполняется, то решения уравнений зависят от условий теплопередачи (α или Bi). Так например, решение задачи для одномерного температурного поля при стационарной теплопроводности с внутренним источником тепла и граничных условиях III рода определяется уравнением:

T(x) - Tж = (1/m)(qвн R2/λ)(1- x2/R2 + 2/Bi) (2.8)

где Т(x) – температура в точке с координатой x, Тж – температура омывающей жидкости, qвн – интенсивность внутреннего источника тепла, R – полутолщина омываемого тела, m – коэффициент, равный 2 для пластины, 4 – для цилиндра, 6 – для шара. Видно, что параболический закон распределения температур по сечению омываемого тела сохраняется.

При нестационарной теплопроводности решение уравнения Фурье для неограниченной пластины при граничных условиях III – рода вместо выражения 2.5 дает:

(2.9)

где Аn = 2 sin μn/(μn + sin μn cos μn) . При заданных значениях x безразмерная температура Θ = [T(x,t) – Tж]/(T0 – Tж) зависит только от величины критериев Био и Фурье. Необходимо отметить, что для тел другой формы (шар, цилиндр) коэффициент Аn имеет иное значение.


^ ЛУЧИСТЫЙ ТЕПЛООБМЕН.

При переработке полимеров лучистый нагрев применяется для нагревания относительно тонких листов термопластов, подвергающихся затем вакуум- или пневмо-формованию. Это вид теплопередачи, не требующий непосредственного контакта более и менее нагретого тела, характеризуется передачей энергии в виде электромагнитных волн. Зависимость между температурой абсолютно черного тела Т1 и удельной излучаемой энергией Еизл на единицу поверхности описывается уравнением Стефана-Больцмана: Еизл = σизлТ1 4 (2.10) ,

где σизл – коэффициент Стефана-Больцмана, равный 5,67.10-8 Вт/м2 0К4. При рассмотрении излучения реальных «серых» тел в это уравнение следует внести коэффициент ε – степень черноты излучающей поверхности, составляющий обычно 0,8 – 0,9. Учитывая, что нагреваемый материал также способен излучать энергию, уравнение 2.3. можно переписать в следующем виде: Еизл = σ изл ε ψ (Т1 4 – Т24), (2.10а)

где Т2 – температура нагреваемой поверхности, ψ = cos γ – косинус угла между нормалью к поверхности и направлением излучения.






оставить комментарий
страница1/3
х.н. Кандырин
Дата03.10.2011
Размер1,24 Mb.
ТипЛекция, Образовательные материалы
Добавить документ в свой блог или на сайт

страницы:   1   2   3
Ваша оценка этого документа будет первой.
Ваша оценка:
Разместите кнопку на своём сайте или блоге:
rudocs.exdat.com

Загрузка...
База данных защищена авторским правом ©exdat 2000-2017
При копировании материала укажите ссылку
обратиться к администрации
Анализ
Справочники
Сценарии
Рефераты
Курсовые работы
Авторефераты
Программы
Методички
Документы
Понятия

опубликовать
Документы

наверх