Второе издание, дополненное. icon

Второе издание, дополненное.


16 чел. помогло.
Смотрите также:
Лефевр В. А. Конфликтующие структуры. Издание второе, переработанное и дополненное...
Головин Е. Сентиментальное бешенство рок-н-ролла. (Второе издание, исправленное и дополненное)...
С. Б. Борисов Человек. Текст Культура Социогуманитарные исследования Издание второе...
Издание второе дополненное и адаптированное для широкого круга читателей...
Второе, дополненное издание...
Комментарии
Комментарии
С. П. Щавел ё в Издание второе, исправленное и дополненное...
Н. П. Яблокова Издание второе, переработанное и дополненное...
Н. П. Яблокова Издание второе, переработанное и дополненное...
Издание второе, исправленное и дополненное Екатеринбург Издательство амб 2010...
В. В. Знаков понимание в познании и общении второе издание, исправленное и дополненное...



страницы: 1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   12
вернуться в начало

Решение


1. Докажем сначала неравенство , при . Найдем наименьшее значение функции , при :



(так как ).

В точке — минимум функции у и это единственный экстремум на множестве :





y'



Рис. 25

Следовательно, — наименьшее значение у на .

Таким образом, , при .

Из доказанного неравенства и нечетности функции следует нера-венство , при

Теперь , при .

2. Например, 200220022002…2002 (2002 раза подряд).

3. Доказательство: искомый отрезок.

— правильный (рис. 26), поэтому



Из (), по теореме косинусов, Или из (по теореме косинусов), затем

из (по теореме Пифагора).

4. Обозначим , тогда



Пусть , то есть

5. Пусть искомого треугольника не существует.

Выберем четыре точки пространства так, чтобы они были вершинами правильного тетраэдра с ребром 1.

Тогда эти точки окрашены так, как показано на рис. 27, т. е. существует отрезок длины 1, соединяющий две белые точки А и В. Пусть теперь Г — множество точек пространства, расстояния от которых до А и до В равны 1. Ясно, что Г — окружность.

Все точки Г черные (т. к. если бы на Г существовала белая точка С, то был бы искомым).





Рассмотрим теперь всевозможные отрезки длиной 1, концы которых лежат на Г (рис. 29).











Рис. 29

Для всех отрезков строим такие же окружности , как и Г для отрезка АВ. состоят из белых точек. Все эти окружности образуют множество белых точек (рис. 30).



Рис. 30

Ясно, что на этом множестве можно выбрать три белые точки, являющиеся вершинами правильного треугольника со стороной 1. Получим противоречие. Следовательно, искомый треугольник существует.

6.



Множество корней уравнения (1) совпадает с Z множеством целых чисел. Система (2) несовместна (т. е. не имеет решений). Следовательно, корнями данного уравнения являются целые числа. На данном отрезке их 2003.

7. Пусть — собственная скорость пловца, — скорость течения, N — место, в котором пловец оставил первый мяч, возвращаясь за вторым, М — место, в котором пловец подхватил второй мяч (рис. 31).






А



Рис. 31

Пусть . Тогда



Теперь: и . Сложим почленно левые и правые части полученных равенств, получим:

.

Так как то

, .

Решая последнее уравнение относительно v , получаем .

Ответ: в пять раз.


2003 год, 11 класс

  1. Доказать, что уравнение не имеет решений.

  2. На доске записаны числа 1, 2, 3,…, 1000. Двое по очереди стирают по одному числу. Игра заканчивается, когда на доске остается два числа. Если их сумма делится на 3, то побеждает тот, кто сделал первый ход; если нет — его партнер. Кто из них выиграет при правильной игре и как гарантировать этот выигрыш?

  3. Решить уравнение: .

  4. Найти все значения , при которых неравенство верно для всех значений .

  5. Группа школьников решила купить фотоальбом ценой от 170 до 195 рублей. Однако в последний момент двое отказались участвовать в покупке, поэтому каждому из оставшихся пришлось внести на один рубль больше. Сколько стоил фотоальбом?

  6. Могут ли числа быть членами геометрической прогрессии? Ответ обосновать.

  7. Комната имеет форму куба. Паук, сидящий в середине ребра, хочет, двигаясь по кратчайшему пути, поймать муху, находящуюся в одной из самых удаленных от паука вершин куба. Как должен двигаться паук?

  8. В трапеции ^ ABCD c основаниями AD = a и ВС = b через точку О пересечения диагоналей проведена прямая, параллельная основаниям. Эта прямая пересекает боковые стороны в точках М и N. Найти длину отрезка MN.

  9. Как нужно расположить в пространстве прямоугольный параллелепипед, чтобы площадь его проекции на горизонтальную плоскость была наибольшей?

10. Решить уравнение: .

Решение

  1. Данное уравнение перепишем в виде . Очевидно, что .

Таким образом, левая часть уравнения определена на отрезке , а правая — на отрезке . Так как эти два отрезка не пересекаются, то уравнение не имеет решений.

  1. Ответ: выигрывает партнер игрока, делающего первый ход.

Укажем, как партнер начинающего может гарантировать себе выигрыш. В начале партии он должен стирать числа, кратные 3, до тех пор, пока таковых не останется. Поскольку количество чисел, не превосходящих 1000 и кратных 3, равно 333, партнеру начинающего понадобится не более 333 ходов для того, чтобы ни одно из оставшихся на доске чисел не делилось на 3 (некоторые числа, кратные трем, могут быть стерты и начинающим). После этого партнер начинающего делает свои ходы произвольно до того момента, когда на доске останется три числа. Каждое из них будет давать остаток 1 или 2 при делении на 3, поэтому среди трех остающихся на доске чисел обязательно найдется два, дающие одинаковые остатки. Именно их должен оставить партнер начинающего (сумма не будет делиться на 3).

  1. Перепишем уравнение в виде . Так как , а , то уравнение имеет решение тогда и только тогда, когда левая и правая части уравнения достигают значения , то есть

Ответ: –1.

  1. Рассмотрим знаменатель дроби: при любых действительных значениях . Поэтому умножим обе части неравенства на . Получим равносильное неравенство: ;

при получаем или — ложно. Если , то имеем квадратное неравенство. Оно справедливо при всех тогда и только тогда, когда (*)



. Учитывая (*), получаем: .

Замечание. Данное неравенство можно решить графически, предварительно преобразовав его:

, или .

Ответ: .

  1. Пусть школьников сдали по рублей, тогда (*), где — цена фотоальбома. С другой стороны, эта цена равна . Таким образом, .

Отсюда выразим и подставим в неравенство (*), получим систему , решением которой является .

Учитывая, что по смыслу задачи , получим, что , тогда . Таким образом, цена фотоальбома (руб.).

Ответ: 180 рублей.

  1. Предположим, что данные числа являются -м, -м и -м членами геометрической прогрессии, первый член которой равен , а знаменатель равен .

Тогда .

Получим отношение . Отсюда имеем . Таким образом, при существовании найденного указанные числа могут быть тремя членами геометрической прогрессии.

  1. Положения паука (Р) и мухи (М) изображены на рисунке 32а. Один из возможных путей паука состоит из отрезков ^ PQ (в плоскости грани ABCD) и MQ (в плоскости грани AKMB).



Рис. 32

Как выбрать точку Q на ребре АВ так, чтобы путь PQM был наименьшим при движении по этим двум граням? Чтобы ответить на этот вопрос и найти другие возможные пути паука, рассмотрим развертку куба. Ясно, что путь PQM будет наименьшим при движении по указанным граням, если в качестве точки Q взять точку пересечения отрезков РМ и АВ. Если ребро куба равно , то путь PQM в этом случае равен Два других возможных пути паука, представленные на рисунке 32б, имеют следующие длины:

Наименьшим из рассмотренных трех путей является первый. Можно иначе развернуть куб и указать другие возможные пути паука. В частности, возможен путь длиной по граням AKLD и АКМВ, но пути более короткого, чем , нет.

8. Так как (рис. 33), то ~ и ~. Следовательно, и . Так как и , то по теореме Фалеса .

Получаем , то есть , значит, .


Так как ~, то и .

Отсюда, , , .

Так как ~, то .

Отсюда, .

Так как , то .

Ответ: .





Рис. 34

Проекция прямоугольного параллелепипеда на плоскость представляет собой шестиугольник (быть может, вырождающийся в четырехугольник). Так как проекция каждой грани параллелепипеда есть параллелограмм, то площадь треугольника АВС (рис. 34) составляет ровно половину площади всей проекции (так как диагональ параллелограмма разбивает его на два равных треугольника). Но треугольник АВС представляет собой проекцию соответствующего треугольника , «вписанного» в параллелепипед. Расположение треугольника , очевидно, определяет расположение в пространстве всего параллелепипеда. Как известно, , где — треугольник, проекцией которого является треугольник ^ АВС, и — угол между плоскостями треугольников АВС и . Ясно теперь, что площадь треугольника АВС будет наибольшей (а значит, будет максимальной и площадь проекции данного прямоугольного параллелепипеда), когда , то есть , или, иначе говоря, когда точки лежат в горизонтальной плоскости.

  1. ; Проверкой убеждаемся, что –2,5 — корень данного уравнения.

Ответ: –2,5.

10 класс

  1. Найти все целочисленные решения системы уравнений:

  2. 50 % современных удавов обоего пола имеют длину больше 38 (длина всякого удава, естественно, измеряется в попугаях), 30 % — длину менее 30. Для удавов-самок эти числа равны соответственно 30 % и 40 %. Бабушка Удава на днях выяснила, что 25 % удавов-самцов короче 30. Какой процент удавов-самцов длиннее 38?

  3. Нарисуйте на шахматной доске с обычной раскраской полей окружность наибольшего возможного радиуса так, чтобы она не пересекала ни одного белого поля.

  4. На гранях куба расставлены числа 1; 2; 3; 4; 5; 6. Может ли каждое число быть делителем суммы своих четырех соседей?

  5. Правильный 2003-угольник разбит непересекающимися диагоналями на треугольники. Докажите, что среди них ровно один — остроугольный.

  6. Вычислить без калькулятора: .

  7. Могут ли числа быть членами арифметической прогрессии? Ответ обосновать.

  8. Два судна движутся прямолинейно и равномерно в один и тот же порт. В начальный момент времени положения судов и порта образуют правильный треугольник. После того как второе судно прошло 80 км, указанный треугольник стал прямоугольным. В момент прибытия первого судна в порт второму оставалось пройти 120 км. Определить расстояние между судами в начальный момент времени.

  9. Найти все значения и , удовлетворяющие равенству .

  10. В прямоугольном треугольнике АВС на катете АС, как на диаметре, построена окружность, которая пересекает гипотенузу в точке Е. Через точку Е проведена касательная к окружности, которая пересекает катет ВС в точке D. Доказать, что треугольник ВDЕ равнобедренный.

Решение

  1. Преобразуем первое уравнение системы: или . Так как решения должны быть целочисленными, то рассмотрим следующие случаи:

1) целых решений система не имеет;

2) целых решений система не имеет;

3) — подставим во второе уравнение исходной системы, получим:

— неверно, следовательно, система решений не имеет;

4) — в результате подстановки во второе уравнение исходной системы получаем верное равенство, поэтому пара целых чисел является решением данной системы.

Ответ: (–5; 2).

  1. Пусть — число всех удавов, а — число всех удавов-самок, тогда — число всех удавов-самцов; — число всех удавов, которые длиннее 38; — число всех удавов, которые короче 30; — число удавов-самок, которые длиннее 38; — число удавов-самок, которые короче 30; — число удавов-самцов, которые короче 30.

Получим уравнение:

.

Таким образом, число удавов-самцов, длиннее 38, равно: , а число всех самцов: . Найдем, какой процент удавов-самцов длиннее 38: .

Ответ: 60 %.

  1. Легко видеть (рис. 35), что искомая окружность не может пересекать границу клетки где-нибудь между вершинами, так как в этом случае она проходила бы по белой клетке. Предположим теперь, что эта же окружность проходит по черной клетке и пересекает границу этой клетки в точках и В. Границу черной клетки она может пересечь во второй раз либо в точке F, либо в точке — и этими тремя точками ( или ) окружность полностью определяется. Ясно, что во втором случае окружность будет больше, чем в первом. Следовательно, если искомая окружность проходит через точки и , то она пройдет и через точку . Если же предположить, что искомая окружность пересекает границу клетки в точках и , то она может пересечь границу клетки либо в F, либо в (так как точки лежат на одной прямой). Но легко видеть, что обе эти окружности равны окружности, проходящей через точки . Отсюда следует, что наибольшей будет изображенная на рисунке окружность с центром в черной клетке, проходящая по восьми черным клеткам, радиус которой равен , где за единицу принята сторона клетки.




  1. Пусть напротив числа 6 стоит какое-то число . Тогда сумма соседних с ним чисел, равная , должна делиться на 6. Это возможно только при . Аналогично находим, что напротив числа 5 стоит 1. Тогда третью пару составляют числа 2 и 4, которые должны быть делителями числа 21 – 2 – 4 = 15, что не выполняется.

Ответ: нет.

  1. Окружность, описанная около правильного 2003-угольника, является описанной и для любого треугольника данного разбиения. Так как центр окружности, описанной около правильного 2003-угольника, не лежит на диагонали, то он попадет внутрь какого-то одного треугольника. Треугольник является остроугольным, если центр описанной окружности лежит внутри него, и тупоугольным, если центр описанной окружности лежит вне его. Следовательно, треугольник, внутрь которого попал центр описанной окружности, является остроугольным, все остальные — тупоугольные.

  2. Пусть , . Заметим, что . Тогда =

=== ====

=.

Ответ: 10.

  1. Предположим, что данные числа являются -м, -м и -м членами арифметической прогрессии, первый член которой равен , а разность равна . Тогда получим ; . Выражая из этих равенств и приравнивая результаты, получаем: .
    В последнем равенстве слева стоит рациональное число, а справа — иррациональное число, что невозможно. Поэтому указанные числа не могут быть членами арифметической прогрессии.

8. Положение судов и порта изображено на рис. 36. Пусть км, — скорость первого судна, — скорость второго судна. км, км, .



Пусть , тогда система примет вид

. Положительным корнем этого уравнения является число 240, поэтому км.

Ответ: 240 км.

  1. Исходя из того, что при , получим

сумма квадратов двух выражений равна нулю лишь при условии равенства нулю каждого из них, поэтому .

Ответ: .

10. равнобедренный (рис. 37), так как , следовательно, .

, , поэтому . Так как — касательная, то , следовательно, .

Получили: и , тогда

и равнобедренный, что и требовалось доказать.


2004 год, 11 класс

  1. Расшифровать равенство .

(Одним и тем же буквам всегда соответствуют одинаковые цифры, разным — разные, и зашифрованные цифры не совпадают с «открытыми» цифрами.)

  1. Вася, тренируясь, написал в тетрадке квадратные трехчлены вида , где р принимает все целые значения от –100 до 100, и затем нашел сумму действительных корней всех написанных трехчленов. А вы сможете это сделать?

  2. Окружность с центром на диагонали ^ АС трапеции АВСД (ВС || АД) проходит через вершины А и В, касается стороны СД в точке С и пересекает основание АД в точке Е. Найти площадь трапеции АВСД, если СД=, АЕ = 8.

  3. Решите уравнение .

  4. Изобразите на координатной плоскости фигуру, заданную графиками функций , и найдите ее площадь.

  5. Целые числа k, n, m в указанном порядке образуют геометрическую прогрессию с целым знаменателем. Известно, что число m на 39 больше, чем k, а прогрессия не является возрастающей. Чему равна сумма чисел k, n и m?

  6. Все ребра треугольной пирамиды равны между собой (т. е. она — правильный тетраэдр). Докажите, что эту пирамиду можно так пересечь плоскостью, что в сечении получится квадрат.

  7. Группа школьников, состоящая из 30 человек, получила на экзамене оценки 2, 3, 4, 5. Сумма полученных оценок равна 93, причем троек было больше, чем пятерок, и меньше, чем четверок. Кроме того, число четверок делится на 10, а число пятерок четное. Определить, сколько каких оценок получила группа школьников?

  8. Произведение двух двузначных чисел является трехзначным или четырехзначным числом. Каких чисел больше (трехзначных или четырехзначных) среди таких произведений?

  9. Пусть АВСД — выпуклый четырехугольник и . Доказать, что АВСД — трапеция или параллелограмм.

Решение

1. По условию зашифрованные цифры не равны цифрам 1, 5 и 6. Разделим данное равенство на 3. Получим, что 5·ДВА = 2·ПЯТЬ.

Ясно, что Ь делится на 5, и поскольку Ь ≠ 5, то Ь = 0. Кроме того, 2·ПЯТЬ < 5000, так что ПЯТЬ < 2500, ПЯ < 25. Так как П ≠ 1, то П = 2, а Я ≤ 4.

Итак, ПЯТЬ = 2ЯТ0, причем Я равно 3 или 4, Т равно 3, 4, 7, 8 или 9. Поэтому для проверки остаются следующие числа ЯТ : 34, 37, 38, 39, 43, 47, 48, 49.

Так как ДВА = 2·ПЯТЬ : 5, то возможные значения числа

ДВА : 936 (2340 · 2 : 5=936), 948, 952, 956, 972, 988, 992, 996.

Из этих чисел условиям задачи удовлетворяет только число 948, и поэтому задача имеет единственное решение: .

2. Дискриминант этих трехчленов D = p2 – 400. При |p| >20 имеем
D > 0, при р = ±20 получаем D = 0. Таким образом, при |p| >20 трехчлены имеют по два действительных корня, а при р = ± 20 — по одному корню. Заметим, что по теореме Виета сумма действительных корней трехчлена равна –р. Тогда, с учетом наличия корней при соответствующих р, сумма действительных корней всех написанных трехчленов равна

100 + 99 + 98 +…+ 22 + 21 + 20 +( –20) + (–21) + (–22) +…+ (–98) + (–99) + (–100) = 0.

3. По условию окружность проходит через точки А, В и С, а ее центр принадлежит АС (рис. 38). Значит, АС — диаметр окружности, а . АВСЕ — прямоугольник, ВС = 8.

По свойству касательной и секущей СД2 = АД·ЕД = (АЕ + ЕД) · ЕД,
т. е. ЕД2 + 8ЕД – 36 · 13 = 0, ЕД = 18. По свойству перпендикуляра, опущенного из вершины прямого угла на гипотенузу, СЕ2 = АЕ· ЕД, т. е. СЕ2 = 8 · 18, СЕ = 12.

Искомая площадь SABCД = 1/2(BC+AД)CE = 1/2 (8 + 26) 12 = 204.

Ответ: 204.

4. На основании свойства четности функции имеем, что косинусы чисел на равны в двух случаях: когда числа равны и когда они противоположны. Поэтому корни данного уравнения являются объединением корней двух уравнений:

1. 2.





Отмечая найденные решения на тригонометрической окружности, обнаруживаем, что возможна более компактная запись ответа:

З
y
амечание
. Возможны другие способы решения уравнения и другие формы записи ответа.

5.


Рис. 39


Искомая фигура ABEFGD изображена на рисунке 39, причем . Ее площадь можно вычислить следующим образом:





6. Пусть q — знаменатель геометрической прогрессии, тогда ее члены: k, n = kq, m = kq2, причем k, q Z.

По условию mq = 39, k(q2 – 1) = 39, где k и (q2 – 1) — целые числа.

Так как q2 > 0, то q2 1 > –1. Из равенства k(q2 – 1) = 39 следует, что всевозможными значениями для множителей являются 1, 3, 13, 39. Только один из этих вариантов приводит к целочисленному значению q:



При q = 2 прогрессия является возрастающей. Таким образом, q = –2, k = 13, n = -26, m = 52. Сумма k + n + m = 39.

7. Пусть АВСД — правильный тетраэдр. Проведем в треугольниках АВС и АВД средние линии КР и МН, как показано на рисунке 40. Обе они параллельны ребру АВ, а значит, и друг другу и, стало быть, лежат в одной плоскости, которая пересекает тетраэдр по четырехугольнику КРМН. Покажем, что он и есть искомый квадрат. Сначала заметим, что все четыре его стороны суть средние линии равных правильных треугольников — граней тетраэдра. Поэтому они равны между собой, т. е. КРМН — ромб. Стороны его параллельны ребрам АВ и СД тетраэдра. Поэтому для завершения доказательства достаточно показать, что прямые АВ и СД перпендикулярны. Для этого обозначим середину ребра АВ через Е и заметим, что прямая АВ перпендикулярна плоскости СДЕ, ибо она перпендикулярна лежащим в ней пересекающимся прямым СЕ и ДЕ. Поэтому она перпендикулярна и лежащей в плоскости СДЕ прямой СД.

8. Пусть х — число двоек, у — троек, z — четверок, t — пятерок.

Тогда .

Cоставим систему

или (так как всего школьников 30).



и и

Если , то у = 7, t = 2, a x = 11.

Если , то у = 1. В этом случае не будет выполняться условие (так как ).

  1. .

Ответ: 11; 7; 10; 2.

9. Двузначных чисел имеется 90, из них можно составить 90 · 90 =
= 8100 произведений. Произведения чисел от 32 до 99 друг на друга все больше 32 · 32 = 1024, т. е. являются четырехзначными, а таких произведений 68 · 68 = 4624, т. е. больше половины от числа произведений. Следовательно, четырехзначных произведений больше.


10. Пусть О — точка пересечения диагоналей четырехугольника (рис. 41). Обозначим площади треугольников ОАВ, ВОС, СОД, ДОА через S1, S2, S3, S4 соответственно.

Условие задачи примет вид: (S1+ S4)(S2+ S3) = (S1+ +S2)(S3+ S4).

После преобразований получим:

(S1 S3)(S2S4) = 0,

откуда S1 = S3 или S2 = S4.

Пусть, например, S1 = S3. Тогда SАВС = S1 + S2 = S3 + S2 = SДВС.

Так как у треугольников АВС и ДВС равные площади и общее основание, то высоты, опущенные из точек А и Д на прямую ВС, равны. Поскольку, точки А и Д лежат в одной полуплоскости относительно прямой ВС, отсюда следует параллельность прямых АД и ВС. Таким образом, четырехугольник АВСД — трапеция или параллелограмм.

10 класс

  1. Ленту длиной 25 метров и толщиной 0,1 мм намотали плотно на картонную трубку — получился валик диаметром 1 дм. Каков диаметр трубки?

  2. На квадратном участке со стороной 100 растут (цилиндрические) деревья радиуса 1. Доказать, что если на этом участке нельзя проложить (сколь угодно узкую!) прямолинейную тропинку длины 10, не задевающую ни одного дерева, то число деревьев на участке не менее 400.

  3. Вычислить , где

.

  1. Имеются два слитка сплава золота и серебра с процентным содержанием золота 70 % и 10 % соответственно. В каком соотношении нужно взять эти сплавы, чтобы, переплавив их, получить сплав, содержащий 55 % золота?

  2. Решить уравнение в целых числах: .

  3. При вычислении на калькуляторе суммы ста слагаемых Петя несколько раз ошибался, сдвигая в слагаемом запятую на один разряд: иногда — вправо, иногда — влево. Мог ли результат оказаться ровно в два раза больше правильного?

  4. Количество медалистов в школе каждый год увеличивается на одну и ту же величину. В прошлом году было 10 медалистов, а всего с 1997 года по 2003 год школу закончили с медалью 49 человек. Сколько медалистов ожидается в следующем 2005 году?

  5. Изобразить фигуру, заданную системой уравнений и найти ее площадь.

  6. На стороне ВС равнобедренного треугольника АВС (АВ = ВС) взяли точки М и N (N ближе к В, чем М) такие, что NМ = АМ и углы МАС и BAN равны. Найдите угол CAN.

  7. Дано число 123456789101112131415…9596979899100. Вычеркнуть сто цифр так, чтобы оставшееся число было наибольшим. Какое число получится?

Решение

1. Площадь поперечного сечения валика равна см2, лента заполняет площадь (см2), значит, сердцевина имеет площадь (см2). Обозначим через диаметр трубки (без ленты), тогда из уравнения получим (см).

Ответ: 8,26 см.

2. Разобьем наш участок на 50 полос П1, П2, … П50 ширины 2 (рис. 42а) и рассмотрим какую-либо одну из этих полос, например, полосу П1 (рис. 42б). Ясно, что если центр дерева расположен вне полосы П1 (в этом случае мы будем говорить, что дерево растет вне полосы), то дерево не задевает центральной линии полосы. А так как внутри участка нельзя проложить тропинки длины 10, не задевающей ни одного дерева, то вдоль линии нельзя указать свободного от деревьев отрезка длины 10, что было бы невозможно, если бы эта линия была разбита деревьями меньше, чем на 9 частей: ведь даже восемь отрезков длины 10 плюс семь отрезков длины 2 (последнее слагаемое указывает максимум длины участков линии , проходящих внутри семи деревьев, разбивающих на 8 частей) не составят в сумме длину 100 линии . Поэтому внутри полосы П1 растут минимум 8 деревьев (разбивающих линию на 9 частей). Аналогично этому внутри каждой из полос П2, П3,…П50 также растут не меньше 8 деревьев, в силу чего общее число деревьев на участке не может быть меньше, чем .

3.=
=;

; ;.

Тогда .

Ответ: 0,99.

4. Пусть нужно взять кг первого сплава и кг второго сплава. Тогда в первом сплаве содержится кг золота и кг серебра, а во втором — кг золота и кг серебра. После переплавки получилось кг сплава, в котором кг золота. Концентрация золота в этом сплаве

Ответ: сплавы нужно взять в соотношении 3:1.

5. Уравнение можно решить графически, построив график функции , и аналитически. Приведем аналитическое решение. Прибавим к обеим частям уравнения число 2, получим Так как по условию значения и должны быть целыми, то возможны следующие случаи:



Таким образом, решениями данного уравнения являются пары целых чисел:

Ответ:

6. Пусть Петя раз ошибался в большую сторону и раз — в меньшую. Тогда Так как , то левая часть делится на 9, а правая — нет, следовательно, полученное равенство неверное.

Ответ: результат не мог оказаться в два раза больше правильного.

7. Примем за число, на которое ежегодно увеличивается количество медалистов, а за — количество медалистов в 1997 году. Тогда — первый член арифметической прогрессии, сумма которой равна 49, а разность . Из условия задачи следует, что

Найти нужно девятый член прогрессии:

Ответ: 12.

8
у

В
.






С




О

А




х




Рис. 43



Искомая фигура — прямоугольный треугольник АВС (рис. 43), где . Абсциссу точки С найдем из уравнения

Таким образом, .

(кв. ед).

Ответ: 12 кв. ед.

9. На рисунке 44 (по условию). Тогда искомый угол равен .

— равнобедренный, поэтому внешний — угол треугольника , следовательно, то есть

Ответ:


10. Заметим, во-первых, что при вычеркивании из данного числа 100 цифр, мы всегда будем получать числа с одним и тем же числом знаков. Во-вторых, ясно, что из двух чисел с одинаковым числом знаков больше то, у которого больше первая цифра; при совпадении же первых нескольких цифр больше то число, у которого больше первая несовпадающая цифра.

Теперь понятно, что все первые цифры искомого числа должны быть, по возможности, девятками. Значит, для получения требуемого числа мы должны вычеркивать слева подряд все цифры, кроме девяток, пока это будет возможно. После того как мы вычеркнем 84 цифры (и последнюю из них — четверку у числа 49), у нас останется число 999995051…5758596061…99100, из которого мы можем вычеркнуть еще 16 цифр (проверьте).

Ясно, что сделать следующую цифру девяткой мы уже не сможем, так как для этого пришлось бы вычеркнуть 19 цифр. Ясно также, что следующую цифру нельзя сделать восьмеркой (потребовалось бы вычеркивание 17 цифр). Но вот сделать следующую цифру семеркой мы уже можем, вычеркивая 15 цифр: 5, 0, 5, 1,…,5, 6,5.

После этого мы имеем право вычеркнуть еще одну цифру; очевидно, это должна быть цифра 5 из числа 58.

Итак, искомое число равно 9999978596061…99100.







оставить комментарий
страница7/12
Дата25.08.2011
Размер8.9 Mb.
ТипУчебное пособие, Образовательные материалы
Добавить документ в свой блог или на сайт

страницы: 1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   12
плохо
  2
не очень плохо
  2
средне
  6
хорошо
  3
отлично
  22
Ваша оценка:
Разместите кнопку на своём сайте или блоге:
rudocs.exdat.com

База данных защищена авторским правом ©exdat 2000-2014
При копировании материала укажите ссылку
обратиться к администрации
Анализ
Справочники
Сценарии
Рефераты
Курсовые работы
Авторефераты
Программы
Методички
Документы
Понятия

опубликовать
Документы

Рейтинг@Mail.ru
наверх