Второе издание, дополненное. icon

Второе издание, дополненное.


16 чел. помогло.
Смотрите также:
1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   12
вернуться в начало
^

1.2. Методические рекомендации по организации
факультативов по математике


В ГПЛИ факультативы проводятся по авторским программам, получившим положительное заключение кафедр физико-математического факультета БФСГУ и утвержденным на заседании педагогического совета лицея.

Отличительной чертой организации факультативов в ГПЛИ является полный охват учащихся классов математического и естественно-научного профилей этим видом работы. В этих классах обязательный курс математики изучается по программам средней общеобразовательной школы, а на изучение факультативных курсов выделяется дополнительное время (до двух часов в неделю). Обязательные и факультативные занятия проводит один и тот же учитель; часы факультативных занятий включены в расписание как обычные уроки.

В классах естественно-научного профиля основной целью проведения факультативного курса является подготовка к выпускным и вступительным экзаменам по математике. Содержание данного факультатива — решение задач школьной программы, предлагаемых на экзаменах в школе и в вузах. На факультатив отведен дополнительно один час в неделю.

В математических классах ГПЛИ изучаются отдельно три предмета математического цикла: алгебра, геометрия, начала анализа. Занятия проводятся преподавателями кафедр соответствующего профиля физико-математического факультета БФСГУ. Согласно учебному плану в математических классах реализуются два факультативных курса: по геометрии и по математическому анализу.

Приведем программу факультативного курса для учащихся 11-го математического класса, составленную старшим преподавателем кафедры алгебры и геометрии БФСГУ Е. Ю. Павловой.

^ Программа факультативного курса по геометрии

«Комбинации геометрических тел»

Пояснительная записка. В материалы Централизованного тестирования и в варианты вступительных экзаменов в вузы включаются задачи на различные комбинации геометрических тел. Однако в содержании базового курса по геометрии для средней школы не в полной мере представлены теоретические и практические аспекты данной темы. В связи с этим актуальным является проведение факультатива по теме «Комбинации геометрических тел».

Основными его целями являются: рассмотрение различных случаев взаимного расположения геометрических тел в пространстве, формирование у школьников умений и навыков решения задач по данной теме, подготовка учащихся к выпускным и вступительным экзаменам в вузы.

На проведение данного факультатива отводится 16 часов. Основная форма проведения — практические занятия. На занятиях актуализируются и систематизируются знания, полученные школьниками при изучении следующих тем базового курса: «Многогранники», «Тела вращения», «Объемы и поверхности тел». При решении задач привлекается планиметрический материал: соотношения между сторонами и углами в треугольниках, площади плоских фигур и т. д.

В содержание практических занятий включены задачи, аналогичные тем, которые предлагаются при проведении Централизованного тестирования по математике и на вступительных экзаменах в вузы.


^ Тематический план факультативного курса


Призма-призма 1 час

Пирамида-призма 1 час

Призма-цилиндр 1 час

Пирамида-цилиндр 1 час

Пирамида-конус 1 час

Призма-конус 1 час

Призма-сфера (шар) 2 часа

Пирамида-сфера (шар) 2 часа

Конус-сфера (шар) 1 час

Конус-цилиндр 1 час

Цилиндр-сфера (шар) 2 часа

Зачетная работа в виде теста

(2 варианта) 2 часа

^ Всего: 16 часов



Рассмотрим примерное содержание факультативного занятия на тему «Комбинации конуса и пирамиды».

Тип занятия. Изучение нового материала.

^ Характеристика темы занятия.

Содержанием темы является понятие пирамиды, вписанной в конус и описанной около него. (На предыдущем занятии были рассмотрены определения призмы, вписанной в цилиндр и описанной около него.) На данном занятии формируется умение применять изученные факты в конкретных ситуациях. Для этого подобраны упражнения на применение этих фактов в простых и сложных ситуациях.

^ Цели занятия:

— сформировать понятие пирамиды, вписанной в конус и описанной около него;

— формирование действий, адекватных определению понятий, с использованием моделей для установления связей между рассматриваемыми телами;

— формирование умений работы с задачами по данной теме;

— развитие гибкости мышления — быстрой перестройки мыслительных действий при варьировании условий задачи.

Оборудование. Каркасные модели конусов и пирамид и модели из картона; чертежи; демонстрационный столик.

Методы обучения. Эвристический метод, аналогия, репродуктивный метод.

Структура занятия.

  1. Постановка цели.

  2. Актуализация знаний и умений.

  3. Формирование понятий.

  4. Применение к решению задач.

  5. Подведение итогов работы на уроке.

  6. Задание на дом.

Ход занятия.

1. Постановка цели.

2. Актуализация знаний.

Повторение определений конуса и пирамиды, определений призмы, вписанной в цилиндр и описанной около цилиндра.

3. Формирование понятий.

Используя плакаты с чертежами (рис. 1—4) и модели, ввести определения пирамиды: а) вписанной в конус; б) описанной около конуса. Определения формулируются самими учащимися на основе анализа конкретных ситуаций, создаваемых учителем.

Определения: а) Пирамидой, вписанной в конус, называется такая пирамида, основание которой есть многоугольник, вписанный в окружность основания конуса, а вершиной является вершина конуса. Боковые ребра пирамиды, вписанной в конус, являются образующими конуса.

б) Пирамида называется описанной около конуса, если ее основанием является многоугольник, описанный около основания конуса, а вершина совпадает с вершиной конуса.

Разъяснить понятия «конус вписан в пирамиду» и «конус описан около пирамиды» и сформировать умения учащихся в выполнении чертежей, а также в установлении зависимостей между величинами при решении задач.

4. Применение к решению задач.

Задание. Составьте текст задачи по чертежу (рис. 1) и символической записи данных и искомых.

Дано: (восполнить пробел);

Найти: .

Решите составленную задачу.



Рис. 1 Рис. 2


Учащимся дается некоторое время на обдумывание формулировки задачи, затем эта формулировка уточняется, и составленная задача предлагается к решению.

^ Текст задачи. В конус вписана пирамида, основанием которой служит прямоугольный треугольник с острым углом и площадью . Боковая грань пирамиды, которая проходит через катет, прилежащий к углу , наклонена к плоскости основания под углом . Найти площадь осевого сечения конуса.

Предлагаемая задача относится к задачам динамического характера, когда каждая новая ситуация возникает при постановке дополнительных условий в предыдущей.



Рис. 3 Рис. 4

Решение

Построим плоский чертеж основания пирамиды (рис. 5).



Рис. 5


Пусть.

1) тогда

2) Из

3)

4) как средняя линия треугольника MNK, как радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника;

5)

6)

Ответ:

Решите задачу (рис. 3). В правильную треугольную пирамиду, у которой высота в два раза больше стороны основания, вписан конус. Около этой пирамиды описан еще один конус. Найти отношение площадей боковых поверхностей этих конусов.

Решение. Для удобства введем обозначения: а — сторона основания пирамиды, r, R — радиусы оснований соответственно вписанного и описанного конусов; l1, l2 — образующие вписанного и описанного конусов; S1, S2 площади боковых поверхностей соответственно вписанного и описанного конусов.

1) тогда



2) Выразим образующие конусов через сторону основания пирамиды, зная, что . Используем для этого теорему Пифагора.



3)

Ответ:

5. Подведение итогов занятия.

6. Задание на дом.

1) Докажите, что высота пирамиды совпадает с высотой вписанного в нее (описанного около нее) конуса.

2) Составьте текст задачи по чертежу (рис. 2) и символической записи данных и искомых. Решите задачу.

Дано: (восполнить пробел);

Найти:

^ Текст задачи: Радиус основания конуса равен r, а образующая наклонена к плоскости основания под углом φ. Около этого конуса описана пирамида, имеющая в основании прямоугольный треугольник с острым углом 2φ. Найти площадь боковой поверхности пирамиды.

^ Ответ: кв. ед.

Факультатив завершается зачетной контрольной работой, на которую отводится два часа. Форма контрольной работы — тест, примерные варианты которого приведены ниже.


Тест: Комбинации фигур

Вариант I

1. Если диаметр основания конуса равен 18, а радиус вписанного в него шара равен 7,2, то высота конуса равна

а) 80; б) 40; в) 20; г) 160.

2. Площадь поверхности правильного тетраэдра равна 12 см2. Найдите площадь поверхности конуса, вписанного в этот тетраэдр.

а) 3см2; б) 6π см2; в) 4π см2; г) 2см2.

3. Основанием прямого параллелепипеда является ромб, один из углов которого α. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, вписанного в данный параллелепипед, если площадь боковой поверхности параллелепипеда равна S.

а); б) ; в) ; г) .

4. Около правильной треугольной пирамиды со стороной основания 6 см и высотой 8 см описан шар. Найдите радиус шара.

а) 4 см; б) 4,75 см; в) 4 см; г) 4,5 см.

5. В правильную четырехугольную пирамиду вписан шар объемом см3 . Найдите объем пирамиды, если ее высота 5 см.

а) 10 см3; б) см3; в) 12,5 см3; г) см3.

6. В полушар вписан цилиндр, причем одно из оснований цилиндра лежит в плоскости диаметрального круга полушара, а высота цилиндра вдвое меньше радиуса полушара. Найдите отношение объема цилиндра к объему полушара.

а) ; б) ; в) ; г) .

7. Если сфера касается всех граней правильной треугольной призмы с длиной ребра основания 3, то радиус сферы равен

а) ; б) ; в) ; г)

8. В конус, высота которого равна 4 дм, а радиус основания 2 дм, вписан куб, четыре вершины которого принадлежат основанию, а четыре другие вершины — боковой поверхности. Найдите ребро куба.

а) дм; б) 1,2дм; в) 0,5дм; г) дм.


Вариант II

1. В сферу вписан конус с высотой, равной диаметру основания. Если площадь основания конуса равна 2,4, то площадь сферы равна:

а) 6; б) 9π; в) 15; г) 15.

2. Площадь поверхности правильного тетраэдра равна 30 см2. Найдите площадь поверхности конуса, вписанного в этот тетраэдр.

а) 8см2; б) 12,5π см2; в) 10π см2; г) 8см2.

3. Основанием прямого параллелепипеда является ромб, один из углов которого β. Найдите объем цилиндра, вписанного в данный параллелепипед, если объем параллелепипеда равен V.

а) ; б) ; в) ; г) .

4. Около правильной треугольной пирамиды со стороной основания 9 см и высотой 10 см описан шар. Найдите радиус шара.

а) 6 см; б) 6,35 см; в) 5,6 см; г) 7,25 см.

5. В конус вписан шар объемом см3 . Найдите объем конуса, если его высота 3 см.

а) см3; б) 4π см3; в) 3π см3; г) см3.

6. В полушар вписан цилиндр, причем одно из оснований цилиндра лежит в плоскости диаметрального круга полушара, а высота цилиндра втрое меньше радиуса полушара. Найдите отношение объема цилиндра к объему полушара.

а) ; б) ; в) ; г) .

7. Если сфера радиуса 3 касается всех граней правильной шестиугольной призмы, то длина ребра основания призмы равна

а) ; б) ; в) ; г)

8. В правильную четырехугольную пирамиду со стороной основания 4 дм и высотой 6дм вписан куб. Найдите ребро куба.

а) дм; б) 2дм; в) 2,4дм; г) дм.

Замечание: в каждом задании буква верного ответа выделена жирным шрифтом.

В процессе подготовки к зачету учащимся предлагаются для самостоятельного решения задания, выполнение которых способствует успешному усвоению данной темы.


^ Задания к зачету по теме «Комбинации геометрических тел»

1. Радиус основания кругового конуса равен r, а образующие наклонены к плоскости основания под углом . Около конуса описана пирамида, имеющая в основании прямоугольный треугольник с углом . Определить боковую поверхность пирамиды.

2. В шар вписан круговой конус. Образующие конуса наклонены к плоскости основания под углом . Боковая поверхность конуса равна . Определить поверхность шара.

3. Образующие кругового конуса наклонены к плоскости основания под углом , а сумма высоты конуса и радиуса основания равна . Найти поверхность и объем шара, вписанного в этот конус.

4. Радиус шара, описанного около правильной четырехугольной пирамиды, в три раза больше радиуса шара, вписанного в нее. Найти двугранный угол между основанием и боковой гранью.

5. Угол между соседними боковыми ребрами правильной четырехугольной пирамиды равен , радиус описанной около пирамиды сферы равен ^ R. Найти длину бокового ребра пирамиды и ее объем.

6. Высота правильной четырехугольной пирамиды равна Н. Перпендикуляр, опущенный из центра описанного вокруг пирамиды шара на ее боковую грань, образует с высотой угол . Определить объем шара.

7. Около шара описана правильная треугольная призма, а около призмы описан шар. Найти отношение площадей поверхностей и объемов этих шаров.

8. Около шара описан усеченный конус. Отношение объема конуса к объему шара равно . Найти угол наклона образующей конуса к плоскости основания.

9. Объем конуса, в который вписана правильная треугольная пирамида с плоским углом при вершине, равен V. Найти боковое ребро пирамиды.

10. В правильной треугольной пирамиде проведено сечение через боковое ребро и высоту пирамиды. Отношение площади сечения к площади основания равно k. Найти отношение объема вписанного в пирамиду шара к объему вписанного в пирамиду конуса.

11. В основании прямой призмы лежит прямоугольный треугольник. Высота, проведенная из вершины прямого угла треугольника, равна h и составляет с одним из катетов угол α. Найти объем призмы, если известно, что в нее вписан шар.



оставить комментарий
страница2/12
Дата25.08.2011
Размер8,9 Mb.
ТипУчебное пособие, Образовательные материалы
Добавить документ в свой блог или на сайт
1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   12
плохо
  1
не очень плохо
  2
средне
  6
хорошо
  3
отлично
  22
Ваша оценка:
Разместите кнопку на своём сайте или блоге:
rudocs.exdat.com


База данных защищена авторским правом ©exdat 2000-2014
При копировании материала укажите ссылку
обратиться к администрации
Документы

Рейтинг@Mail.ru
наверх