Задача для системы обыкновенных дифференциальных уравнений (оду) icon

Задача для системы обыкновенных дифференциальных уравнений (оду)


Смотрите также:
Решение обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений в частных производных в химии и...
Экзаменационные вопросы по курсу «Уравнения математической физики»...
Отчет по исследовательской работе. Тема: Краевые задачи оду...
Рабочая программа учебной дисциплины "математическое моделирование" Цикл...
Техническая постановка задачи...
Программа составлена доктором физ мат наук Поповой С. Н...
Разработка интегратора для решения систем дифференциальных уравнений в рамках концепции...
Задача Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений...
Задача Коши
Курсовая работа по дисциплине : «Вычислительные задачи в системах управления»...
Программа дисциплины “Краевые задачи для функционально-дифференциальных уравнений” Специальность...
Список публикаций по кафедре дифференциальных уравнений...



Загрузка...
скачать
УДК 517.927

©2009 г. Исраилов С.В. ЧГУ г. Грозный

Краевая задача общей структуры для системы ОДУ

1. Задача для системы обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ)

, (1)

с краевыми условиями

, (2)

сформулированная в области , где , данные числа, ,как для непрерывных правых частей , по совокупности аргументов, так и для сингулярных по независимый переменный и по фазовым координатам , изучена многими авторами и называется по разному: задача Николетти , задача не типа Коши , задача Коши-Николетти и т.д. Различные ее вариации рассматривались и для функционально-дифференциальных и дифференциально-алгебраических систем. Получены достаточно тонкие признаки существования и единственности решения .

Множество неразрешенных проблем, в эпицентре которых оказалась Чечня в годы русско-чеченской смуты, в моем сознании ассоциировалась со сложными задачами для системы ОДУ с многоточечными краевыми условиями ранее неизученных структур, над которыми размышлял, чтобы отвлечься от реальной действительности, в холодных подвалах разрушенных домов Грозного военных зим 1994-1995, 1999-2000 годов под грохот артобстрелов, ракетных атак и бомбежек. В то же время более сложную задачу спасения чеченского народа решал политик А.Кадыров, позже первый президент Чечни. Его памяти и посвящается скромные результаты изысканий тех времен по разрешимости специальной многоточечной граничной задачи для системы (1) с условиями:

, (3)

где

Для наглядного обозрения расшифруем структуру (3) и запишем их в равносильном виде:

(4)

Из-за равенства при имеем и в равенствах (4) остается только первая строка, означающая условие задачи Николетти, т.е. при задача (1), (3) совпадает с задачей Николетти (1), (2), если положить в частности, когда , получаем задачу Коши.

Если в (3) или (4) одно или несколько из чисел равняется нулю, то из условий (4) выпадают строки, соответствующие им; при из равенства следует в случае , и имеем задачу Вале-Пуссена

При имеем и если ни одно из чисел не равняется нулю, то в равенствах (4) остаются только первые две строки, при получается и если то в условиях (4) остается только первые три строки и т.д.

Таким образом, придавая различные натуральные числовые значения и комбинируя числами из граничных условий (3), получаем как ранее изученные краевые задачи, так и краевые задачи новых типов, что подтверждает оригинальность и неповторимость задачи (1), (3), как граничной задач наиболее общей структуры для системы ОДУ с охватом большого количества точек из сегмента .

Дальнейшее содержание работы касается разрешимости задачи, единственности решения и метода их получения.

2. Обозначим через - множества п-мерных вектор-функций с непрерывно-дифференцируемыми элементами на множество матриц из п-строк и п-столбцов с непрерывно-дифференцируемыми элементами на .

Вектор-функция называется решением задачи (1), (3), если она удовлетворяет системе (1) и граничным условиям (3).

В дальнейшем будем считать, что функции , непрерывны по совокупности аргументов в области D и для любых векторов имеет место условие Липшица.

, (5)

где -пространство непрерывных векторов – функций.

Пусть задана матрица такая, что

(6)

. (7)

Рассмотрим вектор-функцию числовые значения которой при не выходят из области :, где -некоторые числа, о которых будут специальные оговорки.

Установим между вектор-функциями и соответственно со значениями из области и взаимно-однозначное соответствие с помощью линейных равенств:

, (8)

что вполне возможно из-за (6). Обозначим

, (9)

и будем считать, что числа и таковы, что выполняется неравенства

. (10)

Тогда равенства (8) отображают числовые значения вектор-функции в область .

Пусть вектор-функция удовлетворяет условиям (3). Тогда вектор функция будет удовлетворят условиям

, (11)

где

, (12)

(13)

Считая функции , из (9) решением системы (1), построим относительно функций , систему ОДУ:

, (14)

где

(15)

Здесь -алгебраические дополнения элементов матрицы .

Для любых векторов из области с учетом (5) из (15) получим:

, (16)

где

, (17)



Возьмем подмножество вектор-функций со значениями из области . Нетрудно проверить, что в подмножестве краевая задача (14), (11) эквивалентны системе интегральных уравнений.

(18)


.

Для ясности распишем систему (18): при имеем

(19)

при имеем:

(20)

и т.д. при получим:

,

,

… … … … … … … … … … … … (21)

.

Если положить



то система нагруженных интегральных уравнений (19)-(21) запишется в компактном виде

, (21)

,

, т.е имеем систему из

n-нагруженных интегральных уравнений.

3. Наряду с системой (21) рассмотрим еще систему

, . (22)

Найдем , , так, чтобы системы (21), (22) совпали,

для этого в (22) положим , , и полученное выражение

(23)

подставим в (21):



, . (24)

При из (24) имеем



, (25)

или алгебраическо - функциональную систему

, , (26)

где через обозначены правые части системы (25) и



Будем считать, что матрица такова, что

(27)

Из (26) находим

, (28)

и систему (22) перепишем в виде

, , (29)

где - алгебраические дополнения элементов матрицы .

Интегральную систему (29) будем изучать в подмножестве .

Функции ограничены в области D из-за их непрерывности, поэтому

, , (30)

где - некоторые числа. Функции , , обладают такими же свойствами, что и у функции и элементы матрицы в области D и так же ограничены некоторыми числами :

, . (31)

Тогда функционалы оцениваются просто в той же области D:

, , (32)

и в свою очередь можно оценить функции из (29):

, . (33)

Теперь, если предположить

, . (34)

то интегральные операторы в правых частях (29) отображают множества в себя. Взяв соответствующую норму в пространстве , по схеме, не раз примененной в монографии . доказывается полная непрерывность интегральных операторов из правых частей, что обеспечивает существование решения задачи (14), (11). Поэтому по методу построения системы (14) с краевыми условиями (11) путем использования матрицы из линейных преобразований (8) с привлечением системы (1) и краевых условий (3) следует, что любое решение задачи приводит к решению задачи (1),(3) в силу равенств (8).

Пусть задача (14),(11) имеет два решения . Из (29) получим оценки:

(35)

где

. (36)

Суммируя левые и правые части неравенств (36), получим:

(37)

и при

(38)

решение будет единственным.

4. Может случится, что неравенство (27) не выполняется и тогда система (21) не переводится в систему (29). В этом случае в множестве рассматривают непосредственно саму систему (21) с ее нагруженными правыми частями и на числа из области налагаются дополнительные ограничения в виде неравенств:



где , обеспечивающие отображения правыми частями (21) множества в себя, после чего можно применить один из методов, предложенных для доказательства теорем существования и единственности в монографии .

Таким образом, доказаны две теоремы:

Т е о р е м а 1. Для разрешимости задачи (1),(3) необходимо и достаточно, чтобы была разрешима задачи (14),(11).

Т е о р е м а 2. При перечисленных допущениях относительно правых частей и матрицы задача (1),(3) имеет решение, причем единственное.

Литература.

  1. Nicoletti О Sulle condizioni iniziali che determiniano gli integrali della diffenziali ordinazie – Att della R. Acc. Sc. Torino. 1897, 1898. 748-759.

  2. Найшуль А.Б. Решение системы обыкновенных дифференциальных уравнений с начальными данными не типа Коши //Доклад АН СССР. 1949. Т.67. №6. С-969-972

  3. Исраилов С.В. О сингулярной многоточечной краевой задаче //

Уч. записки Азербайджанского госуниверситета. Серия ф-м. науки 1963. №3. С. 63-71.

  1. Кигурадзе И.Т. Некоторые сингулярные краевые задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений. Издательство Тбилисского университета, 1975.

  2. Исраилов С.В., Юшаев С.С. Многоточечные и функциональные краевые задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений. Нальчик, издательский центр «Эльфа». 2004. С.445.

  3. Исраилов С.В. Многоточечная краевая задача Коши-Николетти для системы дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом и некоторые вопросы колеблемости решений // Издательство Северокавказского научного центра высшей школы. Естественные науки. 1974. №4. С.72-76.

  4. Ешуков Л.Н., Веков А.А., Степанов Л.Н. Проблемы и библиография теории краевых задач обыкновенных дифференциальных уравнений // Тр. Рязанского радиотехнического института. 1979. Вып. 42.

С. 164-192.

  1. Васильев Н.И., Клоков Ю.А. Основы теории краевых задач обыкновенных дифференциальных уравнений. Рига: Зинетне, 1978. С.184.




Скачать 82.37 Kb.
оставить комментарий
т.д. Различные
Дата03.10.2011
Размер82.37 Kb.
ТипЗадача, Образовательные материалы
Добавить документ в свой блог или на сайт

Ваша оценка этого документа будет первой.
Ваша оценка:
Разместите кнопку на своём сайте или блоге:
rudocs.exdat.com

Загрузка...
База данных защищена авторским правом ©exdat 2000-2017
При копировании материала укажите ссылку
обратиться к администрации
Анализ
Справочники
Сценарии
Рефераты
Курсовые работы
Авторефераты
Программы
Методички
Документы
Понятия

опубликовать
Загрузка...
Документы

Рейтинг@Mail.ru
наверх