Конспект лекций Бийск 2007 удк 621. 377. 037. 3 icon

Конспект лекций Бийск 2007 удк 621. 377. 037. 3


Смотрите также:
Конспект лекций удк 651. 5 Ббк 60. 844 Конспект лекций по курсу «Делопроизводство»...
Конспект лекций удк 651. 5 Ббк 60. 844 Конспект лекций по курсу «Делопроизводство»...
Конспект лекций Красноярск 2009 удк 627. 352...
Конспект лекций соответствует требованиям Государственного образова­тельного стандарта высшего...
Конспект лекций для студентов всех специальностей дневной и заочной формы обучения Челябинск...
Конспект лекций для студентов специальности 090804 "Физическая и биомедицинская электроника"...
Конспект лекций для студентов заочного факультета всех специальностей Все цитаты...
Курс лекций Санкт-Петербург 2007 удк 342. 9 Ббк 67. 401 Б83 Рецензенты...
Конспект лекций Омск 2002 удк 629. 424. 01...
Удк 621. 398: 621. 317: 519...
Методические указания Томск 2007 удк 621. 38...
Конспект лекций по курсу «теория чисел» Методическая разработка...



Загрузка...
страницы: 1   2   3   4   5
вернуться в начало
скачать

^ 1.6 Контрольные вопросы по теме


1. Какая последовательность действий должна быть выполнена для преобразования непрерывного сигнала в цифровую форму?

2. Какими свойствами обладает дискретное преобразование Фурье?

3. На каком свойстве используемых при расчете функций основаны «быстрые» алгоритмы преобразования Фурье?

4. По какому правилу осуществляется расчет коэффициентов двухточечного преобразования Фурье?


^ 2 Дискретные и цифровые фильтры


В настоящее время широко используются методы обработки радиотехнических сигналов с помощью микроэлектронных вычислительных устройств и систем. Рассмотрим простейший, наиболее изученный и внедренный класс систем дискретной обработки сигналов – линейные стационарные цифровые фильтры.

Цифровые фильтры (ЦФ) выполняют, подобно аналоговым цепям, операцию частотной фильтрации и обладают при этом рядом существенных преимуществ – высокой стабильностью параметров и возможностью получения самых разнообразных форм АЧХ и ФЧХ. Цифровые фильтры не требуют настройки и легко реализуются на ЭВМ программными методами.

Математическая теория цифровых фильтров переносит на случай дискретных сигналов все основные положения теории линейных систем, преобразующих непрерывные сигналы.

Математически работа линейного дискретного фильтра (ДФ) описывается уравнением вида [3, 5]:

(16)

где и  соответственно дискретные отсчеты входного и выходного сигналов фильтра;

и – постоянные, называемые коэффициентами фильтра с постоянными параметрами;

– числа, определяющие порядок фильтра.

Из анализа уравнения (16) следует, что для непосредственной реализации дискретных фильтров необходимы устройства, выполняющие следующие операции: запоминание информации, умножение и сложение.

Цифровой фильтр представляет собой цифровое устройство, реализующее алгоритм (16). При этом входной и выходной сигналы являются цифровыми, то есть в устройстве операции выполняются только над двоичными кодами.

Поскольку операция умножения отсчетов цифрового сигнала на число иногда выполняется неточно из-за округления или усечения, в общем случае цифровое устройство неточно реализует алгоритм (16) и выходной сигнал отличается от точного решения уравнения (16).


Существует четыре источника погрешности цифрового фильтра:

  • аппроксимация заданных характеристик (погрешность связана с определением коэффициентов фильтра);

  • неточное представление коэффициентов фильтра (округление значений коэффициентов до определенного числа разрядов);

  • ошибки квантования входных сигналов;

  • округление (усечение) результатов арифметических операций при вычислении выходных отсчетов фильтра.

Различают два вида реализации цифрового фильтра: аппаратный и программный. Аппаратные цифровые фильтры реализуются на элементах интегральных схем, тогда как программные реализуются с помощью программ, выполняемых процессором или микроконтроллером. Преимуществом программных фильтров перед аппаратными является лёгкость воплощения, настройки и изменений, а также то, что в себестоимость такого фильтра входит только труд программиста. Недостатком – низкая скорость, зависящая от быстродействия процессора, а также трудная реализуемость цифровых фильтров высокого порядка.


^ 2.1 Классификация цифровых и дискретных фильтров


Дискретные и цифровые фильтры принято делить на два класса: нерекурсивные и рекурсивные.

Если в уравнении (16) все коэффициенты равны нулю, то фильтр, реализующий алгоритм

, (17)

называют нерекурсивным (НФ).

Если в уравнении (16) хотя бы один из коэффициентов не равен нулю, то фильтр называют рекурсивным (РФ).

Очевидно, что нерекурсивные фильтры представляют собой устройства без обратной связи, а рекурсивные – устройства с обратной связью.

Если в уравнении (16) в первой сумме суммирование ведется при то фильтр, реализующий такой алгоритм, называют физически неосуществимым (нереализуемым).

Используется и иная классификация дискретных и цифровых фильтров:

- фильтры с конечной импульсной характеристикой (КИХ-фильтры);

- фильтры с бесконечной импульсной характеристикой (БИХ-фильтры).

Любой нерекурсивный фильтр является КИХ-фильтром, а рекурсивный фильтр, как правило, БИХ-фильтром.

Следует отметить, что «конечность» и «бесконечность» импульсной характеристики понимают с точки зрения длительности функции.

Импульсной характеристикой дискретного фильтра называют реакцию фильтра при нулевых начальных условиях на входной сигнал вида:

(18)

Воздействие (18) называют дискретным дельта-импульсом.

Зная импульсную характеристику фильтра и входной сигнал, можно рассчитать выходной сигнал, используя соотношение:

.


^ 2.2 Класс нерекурсивных сглаживающих фильтров


Рассчитаем сглаживающий пятерками нерекурсивный фильтр с симметричными коэффициентами () с позиции частотной характеристики. С этой целью раскроем сумму в выражении (17) при :

. (19)

Из пяти входных отсчетов фильтр формирует один выходной отсчет (отсюда ясен смысл названия – «сглаживающий пятерками» фильтр).

Для удобства введем новые обозначения коэффициентов:



и перепишем выражение (19):

.

Подадим на вход фильтра гармонический сигнал и на выходе получим:




.

Частотная характеристика фильтра будет найдена по соотношению:

. (20)

Выражение (20) определяет трехпараметрическое семейство фильтров.

Частотная характеристика является периодической функцией от частоты. Основной период . Частотная характеристика имеет смысл только на интервале длиной который обычно берется в пределах или для циклической частоты. Поскольку частотная характеристика определена через четные косинусные функции, период рассмотрения можно сократить вдвое: или для циклической частоты.

Как выбрать коэффициенты фильтра Ответ зависит от того, какой тип фильтра мы хотим получить.

Рассчитаем низкочастотный фильтр. Начнем с наложения двух условий на частотную характеристику: на низкочастотном конце диапазона потребуем выполнения условия , на верхнем конце –

Эти условия эквивалентны паре уравнений:

,

,

откуда ; .

Таким образом, получим выражение, определяющее однопараметрическое семейство фильтров:

.

Для различных значений a можно построить графически зависимость и выбрать нужную функцию, а можно наложить добавочное условие на частотную характеристику и рассчитать оставшийся неопределенным коэффициент a.

Рассмотрим иной способ расчета коэффициентов фильтра. Для этого еще раз проанализируем выражение

(21)

которое оказывается аналогичным косинусному ряду Фурье:

(22)

Из сравнения выражений (21) и (22) следует, что коэффициенты цифрового фильтра представляют собой уменьшенные вдвое коэффициенты Фурье в косинусном разложении.

При расчете коэффициентов фильтра через коэффициенты косинусного ряда Фурье необходимо помнить о том, что ряд Фурье имеет бесконечное число коэффициентов. На практике же всегда необходим расчет конечного фильтра, что требует усечение ряда Фурье до определенного числа гармоник. Это приведет к явлению Гиббса, которое может быть устранено с использованием сигма-факторов Ланцоша [2].

Вернемся к рассмотрению основного уравнения нерекурсивного фильтра:

(23)

Предположим, что входной сигнал фильтра представляет собой гармоническое колебание соответствующей амплитуды и частоты . Выходной сигнал также будет гармоническим с той же частотой, но с иной амплитудой . С учетом этого выражение (23) перепишется в виде:



откуда

(24)

Выражение (24) определяет комплексную частотную характеристику нерекурсивного дискретного фильтра.

^ 2.3 Дифференцирующий фильтр


Рассчитаем нерекурсивный фильтр, производящий оценку производной от некоторых входных данных. Из выражения для производной в непрерывном времени



видно, что необходимо аппроксимировать функцию

Выберем коэффициенты фильтра с нечетной симметрией, то есть . В этом случае выражение для выходного сигнала фильтра примет вид:

. (25)


Рассмотрим сумму только двух симметричных слагаемых, учитывая, что :







.

Распространим полученный результат на выражение (25):

.

Таким образом, частотная характеристика дифференцирующего фильтра примет вид:

.

Модуль частотной характеристики аналогичен ряду Фурье в синусном разложении:



Очевидно, что процесс дифференцирования усиливает высокие частоты гораздо больше, чем низкие. Высокая частота часто является шумом, а это значит, что фильтр должен отсекать частоты выше некоторого значения – частоты среза (рисунок 9).




Рисунок 9 – Амплитудно-частотная характеристика
дифференцирующего фильтра


Таким образом, для определения коэффициентов дифференцирующего фильтра необходимо рассчитать синусный ряд Фурье, аппроксимирующий функцию:




^ 2.4 Обостренные характеристики фильтров


Изучающим теорию фильтров может казаться очевидным, что если применение фильтра единожды дает хорошие результаты, то обработка данных тем же фильтром дважды может оказаться еще лучше.

Проанализируем обработку сигнала одним и тем же фильтром дважды – эту операцию обострения назовем «возведением в квадрат».

Рассмотрим фильтрацию последовательности входных данных дающую на выходе последовательность . Обозначим эту операцию , где − частотная характеристика исходного фильтра. Полученную последовательность вновь пропустим через фильтр:

.

Частотная характеристика результирующего фильтра примет вид:

.

Оценим качество обработки сигнала таким фильтром, то есть рассчитаем ошибки в полосах пропускания и подавления.




Рисунок 10 – Частотные характеристики идеального 1 и исходного 2 фильтров


Пусть частотная характеристика исходного низкочастотного фильтра в полосе пропускания достигает значения (рису- нок 10). Расхождение с идеальной характеристикой составляет . Для обостренного фильтра частотная характеристика примет значение . Расхождение с идеальной характеристикой составит .

Если в полосе подавления частотная характеристика исходного фильтра принимает значение , то расхождение с идеальной характеристикой составит . Для обостренного фильтра , .

Таким образом, при двукратной обработке сигнала одним и тем же фильтром небольшие ошибки в полосе пропускания удваиваются (что ухудшает результат), а в полосе подавления уменьшаются в среднем на порядок (рисунок 11).




Рисунок 11 – Частотные характеристики идеального 1, исходного 2

и обостренного 3 фильтров

Второй способ обострения характеристик исходного фильтра, называемый «удваиванием», включает следующую последовательность действий:

  • входные данные пропускаются через фильтр ;

  • рассчитывается разность , где I − оператор тождественного равенства ;

  • полученная разность прибавляется к исходному сигналу ;

  • сумма вновь пропускается через фильтр

.

Частотная характеристика обостренного фильтра примет вид:



Качество обработки сигнала таким фильтром оценим по аналогии с предыдущим случаем.

В полосе пропускания:





в полосе подавления:






В результате делаем вывод, что при «удваивании» небольшие отклонения от идеальной характеристики в полосе пропускания фильтра уменьшаются на порядок, а в полосе подавления – удваиваются (рисунок 12).

Рассмотренные частные случаи обострения подсказывают следующий подход к улучшению характеристик фильтра, который предусматривает приблизительное возведение в квадрат малых отклонений от идеальных характеристик как в полосе пропускания, так и в полосе подавления.

Представим графически зависимость обостренной частотной характеристики фильтра от исходной характеристики для двух способов обострения – «возведения в квадрат» и «удваивания» (рисунок 13).





Рисунок 12 – Частотные характеристики идеального 1, исходного 2

и обостренного 3 фильтров




1 – без преобразования; 2 – для «возведения в квадрат»;
3 – для «удваивания»


Рисунок 13 – Зависимость обостренной характеристики фильтра

от исходной характеристики


Анализируя рисунок 13, можно утверждать, что кривая изменения амплитуды частотной характеристики синтезируемого фильтра должна касаться горизонтали как в нуле, так и в единице (рисунок 14).

Полином, обладающий таким свойством, является кубической параболой:

.

Для определения коэффициентов полинома необходимо воспользоваться следующими условиями:





1 – без преобразования; 2 – для синтезируемого фильтра


Рисунок 14 – Зависимость обостренной характеристики фильтра

от исходной характеристики


В результате получим , и полином примет вид:

.

Частотная характеристика фильтра, полученная таким способом, носит название сильно обостренной характеристики:

.

Метод обостренных характеристик эффективен только для достаточно «хороших» фильтров, в противном случае обострение может только ухудшить их характеристики. Под «хорошим» понимают фильтр, имеющий незначительные отклонения от идеальных характеристик.


^ 2.5 Рекурсивные фильтры


Рекурсивный фильтр определяется соотношением



и обладает большей «памятью», чем нерекурсивный фильтр, который охватывает только значения в диапазоне от до .

Примером рекурсивного фильтра служат формулы интегрирования, которые «помнят» все прошлые значения, включая значение на нижнем пределе интегрирования. Правило трапеций для интегрирования имеет вид:

,

где ;

– шаг интегрирования;

формула Симпсона – ,

где .

Даже небольшой набор коэффициентов в рекурсивном фильтре позволяет запомнить все его прошлые значения.

В простейшем случае уравнение фильтра имеет вид:

, .

Пусть все , за исключением , и все для отрицательных индексов также равны нулю, тогда

…,

то есть получена геометрическая прогрессия значений для в которой значение дает о себе знать постоянно.

Различные рекурсивные фильтры широко применяются в задачах с «реальным временем», в которых значения входных и выходных данных для индексов недоступны для использования в тот момент, когда вычисляется величина . Такие фильтры называют физически реализуемыми в том смысле, что в них при вычислении значения данные для не используются из будущего. Подобные рассуждения имеют буквальный смысл только тогда, когда работа ведется в реальном масштабе времени без предварительной записи массива данных в оперативную память.

Таким образом, физически реализуемый рекурсивный фильтр описывается уравнением:

. (26)

Он относится к БИХ-фильтрам за способность давать отклик от одиночного импульса произвольно долго в будущем.

Поскольку линейные системы не преобразуют частоты входных сигналов, то можно записать:

, ,

где – амплитуды соответственно входного и выходного сигналов.

Тогда согласно (26) выражение для частотной характеристики рекурсивного фильтра примет вид:

(27)

Анализ данной формулы позволяет сделать вывод о втором положительном свойстве рекурсивных фильтров: переходная полоса от пропускания до подавления в них может быть достаточно узкой. Это следует из того, что при стремлении к нулю полинома в знаменателе частотная характеристика может изменяться очень быстро, резко возрастая.

Согласно формуле (27) частотная характеристика рекурсивного фильтра представляет собой рациональную функцию относительно экспоненты. Упростим данное выражение с помощью подстановки «тангенса половинного угла»:

.

Для рациональной функции имеется широкий класс подстановок, не изменяющих основную форму и сложность. Можно, например, использовать дробно-линейное преобразование:

, (28)

где один из коэффициентов выбирается произвольно и может быть приравнен единице.




Рисунок 15 – Частотная характеристика фильтра низких частот


Для низкочастотного фильтра (рисунок 15) рассчитаем коэффициенты преобразования (28).

1. При получим , откуда

.

В результате .

2. При получим , откуда

.

В результате .

3. При получим , откуда

.

В итоге преобразование (28) примет вид:

. (29)

Чтобы исключить мнимость коэффициентов, при расчетах используют мощностную характеристику фильтра – коэффициент передачи мощности:

.


^ 2.6 Устойчивость рекурсивных фильтров


Замена частотной характеристики рекурсивного фильтра коэффициентом передачи мощности удваивает степень знаменателя функции, а значит, и число полюсов. Поэтому необходимо проанализировать устойчивость фильтра с такой характеристикой.

Под устойчивостью системы понимают то, что ограниченная функция на ее входе производит ограниченную последовательность выходных значений.

Вернемся вновь к исходному уравнению рекурсивного фильтра (26):



и оценим, какие ограничения должны быть наложены на его решение для достижения устойчивости.

Выражение (26) представляет собой разностное уравнение с постоянными коэффициентами и вынуждающей силой (первое слагаемое). Теория таких уравнений близка к теории обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, решение которых ищется в виде экспоненты. Теория фильтров требует, чтобы решение в виде экспоненты было ограничено, то есть чтобы выполнялось условие .

Таким образом, для устойчивости системы, описываемой уравнением (26), необходимо, чтобы корни уравнения располагались внутри окружности единичного радиуса комплексной плоскости Z (рисунок 16). Граница области соответствует границе устойчивости системы.




Рисунок 16 – Область устойчивости переменной Z


Определим область устойчивости решений уравнения (26) на комплексной плоскости . С этой целью выразим переменную через переменную Z и рассмотрим предельные значения последней:

.

Граница области устойчивости для переменной Z соответствует для переменной значению , то есть представляет собой ось абсцисс.

Значение из области устойчивости переменной Z, например , соответствует для переменной значению .

Таким образом, область устойчивости переменной в виде круга единичного радиуса отображается для переменной на верхнюю полуплоскость комплексной плоскости (рисунок 17).





Рисунок 17 – Область устойчивости переменной W





оставить комментарий
страница2/5
Дата02.10.2011
Размер0,81 Mb.
ТипКонспект, Образовательные материалы
Добавить документ в свой блог или на сайт

страницы: 1   2   3   4   5
отлично
  3
Ваша оценка:
Разместите кнопку на своём сайте или блоге:
rudocs.exdat.com

Загрузка...
База данных защищена авторским правом ©exdat 2000-2017
При копировании материала укажите ссылку
обратиться к администрации
Анализ
Справочники
Сценарии
Рефераты
Курсовые работы
Авторефераты
Программы
Методички
Документы
Понятия

опубликовать
Загрузка...
Документы

наверх