Учебно-методическое пособие Рекомендовано методической комиссией механико-математического факультета для студентов ннгу, обучающихся по направлению подготовки 010500 «Прикладная математика и информатика» icon

Учебно-методическое пособие Рекомендовано методической комиссией механико-математического факультета для студентов ннгу, обучающихся по направлению подготовки 010500 «Прикладная математика и информатика»


1 чел. помогло.
Смотрите также:
Учебное пособие Рекомендовано методической комиссией механико-математического факультета для...
Учебно-методическое пособие Рекомендовано методической комиссией факультета управления и...
Методические указания по выполнению курсовых работ по курсу...
Учебно-методическое пособие Рекомендовано методической комиссией финансового факультета для...
Учебно-методическое пособие Рекомендовано методической комиссией филологического факультета для...
Практикум Рекомендовано методической комиссией факультета международных отношений для студентов...
Учебно-методическое пособие для студентов экономического факультета специальности 060800...
Учебное пособие Рекомендовано методической комиссией факультета социальных наук для студентов...
Пособие для преподавателей русского языка, ведущих занятия с иностранными студентами...
Учебно-методическое пособие по английскому языку...
Практикум по ценообразованию...
Учебное пособие для студентов ммф томск 2007...



Загрузка...
страницы: 1   ...   5   6   7   8   9   10   11   12   13
вернуться в начало
скачать
^

2.4. Использование в МВН функций, не удовлетворяющих априори краевым условиям



В связи с трудностью подбора аппроксимирующих функций, удовлетворяющих всем краевым условиям, можно потребовать выполнения этих условий приближенно, в рамках метода взвешенных невязок. В частности аппроксимирующую функцию f можно представить в виде

, (2.22)

где не удовлетворяет заранее каким-либо краевым условиям.

Для приближенного удовлетворения этих условий к невязке Rv дифференциального уравнения можно добавить невязку краевых условий RГ


(2.23)

и потребовать выполнения условий


(2.24)


где - некоторая система весовых функций, выбираемая по аналогии с Wn.

Подставляя (2.22) и (2.23) в (2.24) можно получить систему алгебраических уравнений типа (2.21) для определения параметров .


;

; (2.25)

.


Например, для решения рассмотренной выше задачи теплопроводности





с краевыми условиями Т=0 при x=0 и T=1 при x=1 можно использовать систему базисных функций .

В данном случае граничные условия задаются для двух точек x=0 и x=1. При этом условие (2.24) приводится к виду


.


Если в качестве весовых функций принять , то уравнение МВН для рассматриваемой задачи может быть записано

;


;

.


При M=1; ;

;

R1=-1; =1/3;


При M=3; ;

N1=1; N2=x; N3=x2;

;

;

;

и т.д.

;

; .


В результате решения системы


a1=0,068; a2=0,632; a3=0,226

или .


Для сравнения в таблице 2.2 приведены результаты решения задачи для M=1,2 и 3 и точного решения для двух точек отрезка x=0 и x=1.


Таблица 2.2

Значения температур для х=0 и х=1 на основе точного решения (ТР) и приближенных решений при М=1,2,3



X

M=1

M=2

M=3

TP

0

1/3

-0,095

0,068

0

1

1/3

0,762

0,925

1
^

2.5. Естественные краевые условия



Рассмотренный выше вариант МВН позволяет избавиться от необходимости подбирать для аппроксимации решений функции, удовлетворяющие краевым условиям. Однако при этом усложняется схема расчета, требуется больше параметров для достижения заданной точности решения, появляется необходимость вычисления интегралов вдоль границ, содержащих производные от искомой функции. Вычисление таких интегралов может оказаться затруднительным, если граничные поверхности криволинейны или имеют особенности.

Для преодоления перечисленных недостатков можно преобразовать первое слагаемое в (2.24) к виду [1]:


(2.26)

где - линейные дифференциальные операторы более низкого порядка, чем D.

При подстановке (2.26) в исходное уравнение (2.24) может оказаться, что часть второго слагаемого в (2.24) и последнее слагаемое в (2.26) отличаются лишь весовыми функциями.

Поэтому, выбирая определенным образом весовые функции , можно добиться, чтобы эти слагаемые (содержащие интегралы от производных функций f по граничной поверхности Г) взаимно уничтожались. Такая ситуация возможна лишь для определенных краевых условий, называемых естественными. Сама же формулировка задачи, основанная на преобразовании (2.26), носит название слабой формулировки МВН.

В качестве примера рассмотрим решение задачи теплопроводности.




при краевых условиях .

Аппроксимацию искомой функции примем в виде (2.16)

удовлетворяют условию T=0 при x=0, но не удовлетворяют условию .

В качестве конкретных значений таких функций можно принять


.

Тогда в соответствии с выражением (2.24) уравнение МВН для рассматриваемой задачи примет вид


.


Первое слагаемое этого уравнения преобразуем согласно (2.26)




Тогда уравнение МВН приобретет вид




Выберем в качестве весовых функций




Тогда уравнение МВН в окончательном виде может быть записано




В этом уравнении не содержится слагаемых, содержащих производную на границе x=1, а краевое условие при x=1 является естественным.

Параметры разрешающей системы алгебраических уравнений для рассматриваемой задачи принимают вид

;

.


Используя метод Галеркина Wn = Nn и выбирая базисные функции в виде Nm =xm можно получить:

,

.

При М=2 из решения системы получаются следующие значения параметров am : a1=11.758 a2=3.458.

Cоответствующие значения для точек x=0.5 и x=1.0, производной в точке x=1.0 и сравнения их с точными значениями приведены в таблице 2.3.

Таблица 2.3 

Результаты решения задачи на основе точного решения (ТР) и метода Галеркина (МГ) при М=2


Функция

МГ

ТР



6.743

6.754



15.216

15.232



18.67

20.0




оставить комментарий
страница8/13
Дата02.10.2011
Размер0,69 Mb.
ТипУчебно-методическое пособие, Образовательные материалы
Добавить документ в свой блог или на сайт

страницы: 1   ...   5   6   7   8   9   10   11   12   13
плохо
  2
отлично
  2
Ваша оценка:
Разместите кнопку на своём сайте или блоге:
rudocs.exdat.com

Загрузка...
База данных защищена авторским правом ©exdat 2000-2017
При копировании материала укажите ссылку
обратиться к администрации
Анализ
Справочники
Сценарии
Рефераты
Курсовые работы
Авторефераты
Программы
Методички
Документы
Понятия

опубликовать
Загрузка...
Документы

наверх