Учебно-методическое пособие Рекомендовано методической комиссией механико-математического факультета для студентов ннгу, обучающихся по направлению подготовки 010500 «Прикладная математика и информатика» icon

Учебно-методическое пособие Рекомендовано методической комиссией механико-математического факультета для студентов ннгу, обучающихся по направлению подготовки 010500 «Прикладная математика и информатика»


1 чел. помогло.
Смотрите также:
Учебное пособие Рекомендовано методической комиссией механико-математического факультета для...
Учебно-методическое пособие Рекомендовано методической комиссией факультета управления и...
Методические указания по выполнению курсовых работ по курсу...
Учебно-методическое пособие Рекомендовано методической комиссией финансового факультета для...
Учебно-методическое пособие Рекомендовано методической комиссией филологического факультета для...
Практикум Рекомендовано методической комиссией факультета международных отношений для студентов...
Учебно-методическое пособие для студентов экономического факультета специальности 060800...
Учебное пособие Рекомендовано методической комиссией факультета социальных наук для студентов...
Пособие для преподавателей русского языка, ведущих занятия с иностранными студентами...
Учебно-методическое пособие по английскому языку...
Практикум по ценообразованию...
Учебное пособие для студентов ммф томск 2007...



Загрузка...
страницы: 1   2   3   4   5   6   7   8   9   10   ...   13
вернуться в начало
скачать
^

2.3. Аппроксимация решений дифференциальных уравнений



Рассмотренный выше общий метод аппроксимации функций может быть легко распространен на аппроксимацию решений дифференциальных уравнений.

Рассмотрим дифференциальное уравнение в области V для некоторой функции

, (2.12)


где D – линейный дифференциальный оператор, P=P(xi) – заданная функция координат области V.

Решение уравнения (2.12) должно удовлетворять краевым условиям на границе области Г, которые в общем виде могут быть записаны


, (2.13)


где G – линейный оператор, а р(Г) – заданная функция координат границы Г.

Например, для рассмотренных выше двумерных задач теплопроводности функции , , а уравнения (2.12) и (2.13) примут вид


; (2.14)



(2.15)


По аналогии с предыдущим разделом искомую функцию f можно аппроксимировать с помощью базисных функций


, (2.16)


удовлетворяющих краевым условиям на границе области Г


. (2.17)


Если функции Nm непрерывны в V и все их производные существуют, то на основе (2.16) можно получить аппроксимации производных функций f


; (2.18)

.


Поскольку представление функции f в виде (2.16) удовлетворяет краевым условиям на Г, для получения аппроксимации f вычислим невязку Rv уравнения (2.12)


. (2.19)


Выбирая по аналогии с предыдущим разделом систему весовых функций {Wn; n=1,2,..} потребуем выполнения условия Rv=0 в V в виде


. (2.20)


Поскольку Wn, Ψ, Nm и P являются заданными функциями координат, систему уравнений (2.20) можно привести к системе алгебраических уравнений


;

; (2.21)

;

.

Если каждая из функций Wn и Nm определена на всем пространстве области V, то в общем случае матрица системы (2.21) оказывается заполненной.

Для получения конкретных значений элементов системы (2.21) необходимо выбрать соответствующие системы базисных Nm и весовых Wn функций, причем от того, насколько удачно выбраны эти функции, будет зависеть качество и общая эффективность численного решения.

Пример.

Рассмотрим пример решения задачи теплопроводности f=T(x) для отрезка

,

при краевых условиях

T=0 при x=0 и T=1 при x=1,

или



Gf=T, =0 при x=0 и p = -1 при x=1.

В качестве функции можно выбрать функцию , удовлетворяющую краевым условиям при x=0 и x=1.

В качестве базисных функций выберем систему , удовлетворяющую условиям Nm=0 при x=0 и x=1 для всех m.

Тогда предложенная выше комбинация будет удовлетворять заданным краевым условиям и может быть использована для аппроксимации искомой функции.

Рассмотрим два варианта выбора весовых функций Wn при M=2:

  • поточечную коллокацию при x1=1/3 и x2=2/3;

  • метод Галеркина ;

Метод поточечной коллокации.

;

;

n=1 m=1 ;

m=2 ;

R1=1/3;

n=2 m=1 ;

m=2 .

В результате решения полученной системы могут быть найдены параметры аm

a1 = -0.05312; a2= 0.004754.

Подставляя полученные значения параметров в приближенное представление функции Т можно вычислить значения температуры в узлах x=1/3 и x=2/3: T1= 0,2914 и T2= 0,6165.


Метод Галеркина.








n=1 m=1 ; m=2 ;

R1=;

n=2 m=1 ; m=2

R2= .

Из решения полученной системы можно получить

a1= -0,05857; a2= 0,007864

Значения температуры при этом в узлах x1=1/3 и x2=2/3 получаются равными

Т1= 0,2894; T2= 0,6091.

Для сравнения в таблице 2.1 приведены результаты решения этой задачи, полученные на основе поточечной коллокации, метода Галеркина (МГ), метода конечных разностей (МКР) и точного решения (ТР) для двух точек отрезка x=1/3 и x=2/3.

Таблица 2.1

Значения температур для х=1/3 и х=2/3 на основе точного решения (ТР), методов коллокации (ПК), Галеркина (МГ) и конечных разностей (МКР)


X

ПК

МГ

МКР

ТР

1/3

0,2914

0,2894

0,2893

0,2889

2/3

0,6165

0,6091

0,6107

0,6102



  ^ Метод наименьших квадратов



;

Таким образом, в методе наименьших квадратов Wn=DNn- отличается от метода Галеркина, в котором Wn= N n.




оставить комментарий
страница7/13
Дата02.10.2011
Размер0,69 Mb.
ТипУчебно-методическое пособие, Образовательные материалы
Добавить документ в свой блог или на сайт

страницы: 1   2   3   4   5   6   7   8   9   10   ...   13
плохо
  2
отлично
  2
Ваша оценка:
Разместите кнопку на своём сайте или блоге:
rudocs.exdat.com

Загрузка...
База данных защищена авторским правом ©exdat 2000-2017
При копировании материала укажите ссылку
обратиться к администрации
Анализ
Справочники
Сценарии
Рефераты
Курсовые работы
Авторефераты
Программы
Методички
Документы
Понятия

опубликовать
Загрузка...
Документы

наверх