Учебно-методическое пособие Рекомендовано методической комиссией механико-математического факультета для студентов ннгу, обучающихся по направлению подготовки 010500 «Прикладная математика и информатика» icon

Учебно-методическое пособие Рекомендовано методической комиссией механико-математического факультета для студентов ннгу, обучающихся по направлению подготовки 010500 «Прикладная математика и информатика»


1 чел. помогло.
Смотрите также:
Учебное пособие Рекомендовано методической комиссией механико-математического факультета для...
Учебно-методическое пособие Рекомендовано методической комиссией факультета управления и...
Методические указания по выполнению курсовых работ по курсу...
Учебно-методическое пособие Рекомендовано методической комиссией финансового факультета для...
Учебно-методическое пособие Рекомендовано методической комиссией филологического факультета для...
Практикум Рекомендовано методической комиссией факультета международных отношений для студентов...
Учебно-методическое пособие для студентов экономического факультета специальности 060800...
Учебное пособие Рекомендовано методической комиссией факультета социальных наук для студентов...
Пособие для преподавателей русского языка, ведущих занятия с иностранными студентами...
Учебно-методическое пособие по английскому языку...
Практикум по ценообразованию...
Учебное пособие для студентов ммф томск 2007...



Загрузка...
страницы: 1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   13
вернуться в начало
скачать
^

2. Метод взвешенных невязок с использованием базисных функций

2.1. Аппроксимация функций с использованием систем базисных функций



Рассмотренный выше метод конечных разностей позволяет свести решение дифференциальных уравнений для непрерывных функций к численному решению системы алгебраических уравнений путем разностной аппроксимации производных в узлах сеточной области. В результате решения такой задачи удается определить значения искомой функции в конечном числе точек.

Однако существует много других способов аппроксимации функций, которые могут быть использованы для численного решения дифференциальных уравнений. В частности широкое распространение получили методы, основанные на применении базисных функций, определенных на всей области решения поставленной задачи [1].

Пусть требуется аппроксимировать заданную функцию f в области V, ограниченной поверхностью Г и принимающую на этой поверхности заданные значения .

С этой целью введем функцию , удовлетворяющую условию , а также систему линейно-независимых базисных функций , удовлетворяющих на граничной поверхности Г условиям для всех m.

Тогда аппроксимацию функции f можно представить в виде


, (2.1)


где (m=1,2…M) - некоторые константы, определяемые из условия наилучшего приближения функции .

Система базисных функций должна обеспечивать улучшение аппроксимации функции (т.е. сходимость ) при увеличении числа М базисных функций. Для этого комбинация (1.1) должна удовлетворять условиям полноты, т.е. обеспечивать возможность сколь угодно точного представления произвольной функции f, удовлетворяющей условиям на границе .

Таким образом, для получения хорошей аппроксимации функции с помощью комбинации типа (1.1) необходимо решить следующие вопросы:

  • подобрать функцию , удовлетворяющую условию ;

  • выбрать систему базисных функций Nm, удовлетворяющих условиям полноты;

  • выбрать способ определения констант при выбранных базисных функциях Nm.

Первый вопрос обычно решается сравнительно просто, поэтому ниже основное внимание будет направлено на вопросы выбора базисных функций и способа вычисления констант.

В настоящее время известен ряд классов функций, которые могут быть использованы в качестве базисных в аппроксимациях типа (2.1).

В частности широко используются базисные функции в виде степенных полиномов, приводящие к аппроксимации функций алгебраическими многочленами вида


, (2.2)

; .

Многочлены типа (2.2) хорошо изучены и удобны в использовании: легко вычисляются, без труда дифференцируются и интегрируются.

Для вычисления параметров может быть использован способ интерполяции, согласно которому искомая функция заменяется аппроксимирующей, совпадающей с искомой в ряде различных точек (узлах интерполяции). При этом параметры интерполяции определяются из решения системы алгебраических уравнений


;

;

;

или

. (2.3)


Эта система однозначно разрешима, если узлы интерполяции попарно различны.

Далее аппроксимацию (2.2) можно привести к виду

;

; .

Следует отметить, однако, что на практике такой способ определения параметров и представления аппроксимации вида (2.2) используется достаточно редко, т.к. функции Nm определены неявно из решения системы (2.3), которая обычно оказывается плохо обусловленной.

В связи с этим более широкое применение находят другие формы аппроксимации функций алгебраическими многочленами, в которых функции Nm определены в явном виде, например в форме многочленов Лагранжа


, (2.4)

где .


Особенностью аппроксимации типа (2.4) является то, что в ней принимается , а базисные функции обладают свойством


(2.5)




В качестве базисных функций также часто используются тригонометрические функции, приводящие к аппроксимации вида

, (2.6)


где - длина отрезка , - линейная функция, принимающая на границе отрезка значения

.

На основе теории рядов Фурье коэффициенты этой аппроксимации могут быть получены в виде

. (2.7)

Возможны и другие частные способы построения аппроксимаций типа (1.1). При этом существует общий метод определения констант в аппроксимации (1.1), на основе которого можно получить все рассмотренные выше подходы. Этот метод носит название – метод взвешенных невязок [1].





оставить комментарий
страница5/13
Дата02.10.2011
Размер0,69 Mb.
ТипУчебно-методическое пособие, Образовательные материалы
Добавить документ в свой блог или на сайт

страницы: 1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   13
плохо
  2
отлично
  2
Ваша оценка:
Разместите кнопку на своём сайте или блоге:
rudocs.exdat.com

Загрузка...
База данных защищена авторским правом ©exdat 2000-2017
При копировании материала укажите ссылку
обратиться к администрации
Анализ
Справочники
Сценарии
Рефераты
Курсовые работы
Авторефераты
Программы
Методички
Документы
Понятия

опубликовать
Загрузка...
Документы

наверх