Учебно-методическое пособие Рекомендовано методической комиссией механико-математического факультета для студентов ннгу, обучающихся по направлению подготовки 010500 «Прикладная математика и информатика» icon

Учебно-методическое пособие Рекомендовано методической комиссией механико-математического факультета для студентов ннгу, обучающихся по направлению подготовки 010500 «Прикладная математика и информатика»


1 чел. помогло.
Смотрите также:
Учебное пособие Рекомендовано методической комиссией механико-математического факультета для...
Учебно-методическое пособие Рекомендовано методической комиссией факультета управления и...
Методические указания по выполнению курсовых работ по курсу...
Учебно-методическое пособие Рекомендовано методической комиссией финансового факультета для...
Учебно-методическое пособие Рекомендовано методической комиссией филологического факультета для...
Практикум Рекомендовано методической комиссией факультета международных отношений для студентов...
Учебно-методическое пособие для студентов экономического факультета специальности 060800...
Учебное пособие Рекомендовано методической комиссией факультета социальных наук для студентов...
Пособие для преподавателей русского языка, ведущих занятия с иностранными студентами...
Учебно-методическое пособие по английскому языку...
Практикум по ценообразованию...
Учебное пособие для студентов ммф томск 2007...



Загрузка...
страницы: 1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   13
вернуться в начало
скачать
^

1.4. Решение одномерных задач методом конечных разностей



В качестве примера решения методом конечных разностей (МКР) одномерных уравнений второго порядка рассмотрим решение задачи теплопроводности в одномерном случае.

Пусть требуется определить функцию T(x), удовлетворяющую дифференциальному уравнению на отрезке 0<x<L.

Граничные условия задачи соответствуют заданию на каждом конце отрезка температуры или потока .

Для решения задачи МКР отрезок, на котором ищется функция, разбивается определенным числом равностоящих точек с координатами . При этом .

Далее для всех внутренних точек сетки составляется конечно-разностный аналог исходного дифференциального уравнения на основе применения полученных выше формул конечно-разностного представления второй производной. В типичном узле это уравнение будет иметь вид


. (1.43)


Если на обоих краях отрезка заданы значения температуры , то в первом и последнем узлах уравнения не составляются, а во втором и предпоследнем уравнениях известные значения температуры переносятся в правую часть.





В результате получается система ^ L-1 алгебраических уравнений (АУ) относительно L-1 неизвестных значений в узлах сеточной области


(1.44)


В матричном представлении полученную систему уравнений можно записать в виде


, (1.45)


где - вектор неизвестных узловых значений температур ,

[K] – матрица системы


(1.46)


{R} – вектор правых частей системы


(1.47)


Следует отметить, что матрица [K] получается симметричной и узколенточной (трехдиагональной).

Таким образом, исходная задача определения неизвестных непрерывных функций заменяется задачей решения системы АУ относительно дискретных значений T1 . . .TL-1. Иначе говоря, МКР дает информацию о значениях функций в узлах сеточной области, но не дает информации о значениях функций между точками, т.е. дифференциальное уравнение аппроксимируется только в конечном числе точек.

Рассмотрим также случай, при котором на одном из концов отрезка (например, при x=L) задан поток тепла

при x=L. (1.48)


При этом, поскольку значение температуры TL оказывается неизвестным для определения всех узловых температур к системе (1.44) необходимо добавить еще одно уравнение. Такое уравнение можно получить, записав в конечных разностях уравнение (1.48) в узле x=L.

Если аппроксимировать производную разностью назад, то уравнение (1.48) примет вид


(1.49)


Добавляя уравнение (1.49) к системе (1.44) получим систему L уравнений, необходимых для определения L неизвестных значений температур.


(1.50)


Полученная таким образом система обладает существенным недостатком, связанным с различным порядком аппроксимации решения внутри области и на границе .

Этого недостатка можно избежать, если добавить к системе (1.44) уравнение (1.43) в узле x=L и использовать для условия (1.48) аппроксимацию производной в центральных разностях. В результате система алгебраических уравнений примет вид


(1.51)


где TL+1 – значение температуры в законтурной точке.

В качестве примера решения МКР уравнений четвертого порядка рассмотрим задачу изгиба балки, нагруженной равномерно распределенной по длине поперечной нагрузкой.

Дифференциальное уравнение изгиба балки


, (1.52)


где - функция поперечного перемещения (прогиба) балки, p - интенсивность поперечной нагрузки, D – жесткость балки на изгиб, l - длина балки.

В качестве граничных условий задачи на каждом из торцов балки могут быть заданы следующие варианты условий:

- перемещение W балки на опоре или значение перерезывающей силы ;

- угол поворота или значение изгибающего момента на торце балки .

По аналогии с задачей теплопроводности, для решения задачи отрезок оси x, на котором ищется функция W(x) разбивается системой равноотстоящих точек на n отрезков с координатами . Кроме этого для реализации граничных условий на концах балки добавляются еще по одной или по две законтурные точки .

Для каждого из внутренних узлов сетки составляется конечно-разностный аналог дифференциального уравнения (1.52) с использованием конечно-разностного представления производной четвертого порядка. В типовом узле i такое уравнение будет иметь вид


; (1.53)

.

Аналогичные уравнения записываются и для граничных узлов, если в них значения функций W являются неизвестными.

Уравнения, содержащие известные значения прогибов в граничных узлах, корректируются путем перенесения известных слагаемых в правую часть. Далее осуществляется конечно-разностная аппроксимация граничных условий, записанных в виде производных для функции W. Получающиеся при этом разностные уравнения позволяют определить значения функции W в законтурных узлах, появляющихся при записи уравнений в узлах .

Примеры


Задача 1

Найти решение уравнения (0< x<1.) при краевых условиях

x=0, T0=0; x=1, TL=1.

Используем для решения сетку n=3; шаг сетки

Согласно краевым условиям T0=0., T3=1. Неизвестны T1 и T2

Уравнение в точке x=xi имеет вид

Конечно-разностный аналог уравнения в узле i:

Ti+1-2Ti+Ti-1-Ti Δx2=0

Система АУ принимает вид (уравнения составляются в узлах i=1, 2)

-1/9T1+T2=0

T1-2T2+T3-1/9T2=0

или

Решение системы: T1=0.2893; T2=0.6107

Точное аналитическое решение T1=0.2889; T2=0.6102.

Задача 2

Найти решение уравнения задачи 1 при краевых условиях

x=0; T=0. x=1; .

При использовании рассмотренной выше конечно-разностной сетки в задаче известны T0=0, неизвестны T1, T2, T3.

Конечно-разностные уравнения для узлов i=1 и 2 остаются без изменения. Для узла i=3 составим уравнение для потока с использованием разности назад (погрешность аппроксимации. 0(Δx)): (T2-T3)/(1/3)=1.

Результирующая система АУ примет вид




Точное аналитическое решение T1=0.220, T2=0.4648, T3=0.7616.


Задача 3

Найти решение задачи 1 при краевых условиях задачи 2 с использованием конечно-разностной аппроксимации с погрешностью 0(Δx)2.

Первые два конечно-разностных уравнения остаются такими же, как в примере 2.

Добавляются уравнения в узле i=3:

=0 (^ T4 – значение температуры в законтурной точке)

и уравнение для потока в узле i=3 с использованием производной в центральных разностях (погрешность аппроксимации 0(Δx)2)



Результирующая система АУ принимает вид



Результаты получаются более точными, но нарушается симметрия матрицы.


Задача 4

Вычислить функцию прогиба W(x) балки длиной l=1 м., жестко заделанной по торцу x=0 и опертой на непроседающую опору по торцу x=l , находящейся под действием равномерно распределенной поперечной нагрузки p и опорного момента . Жесткость балки на изгиб ; p=1 н/м;

Дифференциальное уравнение изгиба балки



Граничные условия





Схема дискретизации


Конечно-разностный аналог уравнения изгиба для внутреннего (i-го) узла можно представить в виде

;

Конечно-разностные уравнения на левой опоре x=0:

в узле “0” уравнение не составляется

.

Конечно-разностные уравнения на правой опоре x=l:

; в узле n уравнение не составляется

;, .

или .

Результирующая система имеет вид



Неизвестные функции

Общее число неизвестных





оставить комментарий
страница4/13
Дата02.10.2011
Размер0,69 Mb.
ТипУчебно-методическое пособие, Образовательные материалы
Добавить документ в свой блог или на сайт

страницы: 1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   13
плохо
  2
отлично
  2
Ваша оценка:
Разместите кнопку на своём сайте или блоге:
rudocs.exdat.com

Загрузка...
База данных защищена авторским правом ©exdat 2000-2017
При копировании материала укажите ссылку
обратиться к администрации
Анализ
Справочники
Сценарии
Рефераты
Курсовые работы
Авторефераты
Программы
Методички
Документы
Понятия

опубликовать
Загрузка...
Документы

наверх