Учебно-методическое пособие Рекомендовано методической комиссией механико-математического факультета для студентов ннгу, обучающихся по направлению подготовки 010500 «Прикладная математика и информатика» icon

Учебно-методическое пособие Рекомендовано методической комиссией механико-математического факультета для студентов ннгу, обучающихся по направлению подготовки 010500 «Прикладная математика и информатика»


1 чел. помогло.
Смотрите также:
Учебное пособие Рекомендовано методической комиссией механико-математического факультета для...
Учебно-методическое пособие Рекомендовано методической комиссией факультета управления и...
Методические указания по выполнению курсовых работ по курсу...
Учебно-методическое пособие Рекомендовано методической комиссией финансового факультета для...
Учебно-методическое пособие Рекомендовано методической комиссией филологического факультета для...
Практикум Рекомендовано методической комиссией факультета международных отношений для студентов...
Учебно-методическое пособие для студентов экономического факультета специальности 060800...
Учебное пособие Рекомендовано методической комиссией факультета социальных наук для студентов...
Пособие для преподавателей русского языка, ведущих занятия с иностранными студентами...
Учебно-методическое пособие по английскому языку...
Практикум по ценообразованию...
Учебное пособие для студентов ммф томск 2007...



Загрузка...
страницы: 1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   13
вернуться в начало
скачать
^

Уравнения теплопроводности



Рассмотрим закономерности распределения температуры T в теле, занимающем объем V, ограниченный поверхностью .

Баланс тепла в единичном объеме за единицу времени соответствует дифференциальному уравнению


, (i=1-3), (1.22)


где qi – поток тепла в направлении xi на единицу длины за единицу времени, Q=Q(xi,t) – тепло, генерируемое в элементарном объеме за единицу времени (источник тепла), - изменение тепла за счет изменения температуры T=T(xi,t), , c – плотность и теплоемкость материала.

В свою очередь поток тепла в изотропной среде в произвольном направлении n связан с изменением температуры T соотношением

, (1.23)


где k – коэффициент теплопроводности материала.

Записывая выражения для потоков тепла в направлениях xi () можно привести уравнение баланса (1.22) к виду


. (1.24)


Уравнение (1.24) описывает задачи распределения температур в пространственно-временной области, характеризуемой независимыми переменными xi, t. Для решения задач нестационарной теплопроводности к уравнению (1.24) необходимо добавить начальные условия, характеризующие распределение температуры в некоторый начальный момент времени и граничные условия на границе области , которые сводятся к двум основным типам:

- заданию температуры на части границы


(1.25)

- заданию потока на части в направлении нормали к границе n


. (1.26)


В случае установившихся процессов теплопроводности распределение температур перестает зависеть от времени и уравнение (1.24) упрощается


, (1.27)

где T=T(xi), Q=Q(xi).

Решение уравнения (1.27) стационарной теплопроводности требует задания лишь граничных условий типа (1.25) и (1.26).

Формальную запись совокупности уравнений, описывающих стационарную задачу теплопроводности, можно представить в виде:







В общем случае задача теплопроводности (1.25) - (1.27) является нелинейной, так как коэффициент теплопроводности k может зависеть от температуры. Если такая зависимость отсутствует и k=const, то уравнение (1.27) становится линейным

. (1.28)


При исследовании процессов теплопроводности в двумерной постановке уравнения (1.25), (1.26), (1.28) приобретают вид


(V – двумерная область, занимаемая телом),

(1.29)

(- части контура области V).


В одномерном случае аналогичные уравнения сводятся к выражениям


(V –отрезок оси x , L – длина отрезка)

и (или) (1.30)

    1. ^

      Конечно-разностные аппроксимации производных



Среди численных методов решения задач математической физики широкое применение находят разностные методы. При использовании этих методов рассматриваемая область аппроксимируется сеточной областью, а значения производных искомых функций заменяются разностными отношениями через значения этих функций в узлах сетки. Далее для каждого узла сеточной области составляются соответствующие разностные аналоги исходных функциональных уравнений, составляются разностные аналоги заданных граничных условий и задача сводится к решению системы алгебраических уравнений.

Для построения простейших разностных аппроксимаций функций в одномерном случае запишем выражение для функции f(x) в малой окрестности x+Δx с помощью разложения ее в ряд Тейлора


(1.31)


Пусть функция f(x) задана в виде таблицы , .

Тогда, ограничиваясь двумя членами разложения, можно записать


,

где



или

(1.32)


Погрешность этой формулы имеет порядок .

Такое представление производной носит название аппроксимации первой производной разностью вперед.

Аналогичное выражение можно получить для аппроксимации производной разностью назад


(1.33)


Для получения более точных формул можно представить выражение для функций в узлах i-1 и i+1 в виде


, (1.34)

, (1.35)


Вычитая эти равенства одно из другого можно получить


. (1.36)

Погрешность E этой аппроксимации определяется .


Удерживая в выражениях (1.34), (1.35) слагаемые, содержащие и складывая результаты можно получить разностное выражение для второй производной


, (1.37)

где .


Подобным образом можно построить разностные выражения для производных высших порядков


; (1.38)


. (1.39)


Аналогичная техника может быть использована для построения разностных аппроксимаций частных производных в двумерном и пространственном случаях. В частности на двумерной сетке в окрестности узла с индексами i, k частные производные второго порядка функции f(x,y) могут быть записаны в виде:


; (1.40)


; (1.41)


. (1.42)





оставить комментарий
страница3/13
Дата02.10.2011
Размер0,69 Mb.
ТипУчебно-методическое пособие, Образовательные материалы
Добавить документ в свой блог или на сайт

страницы: 1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   13
плохо
  2
отлично
  2
Ваша оценка:
Разместите кнопку на своём сайте или блоге:
rudocs.exdat.com

Загрузка...
База данных защищена авторским правом ©exdat 2000-2017
При копировании материала укажите ссылку
обратиться к администрации
Анализ
Справочники
Сценарии
Рефераты
Курсовые работы
Авторефераты
Программы
Методички
Документы
Понятия

опубликовать
Загрузка...
Документы

наверх