Учебно-методическое пособие Рекомендовано методической комиссией механико-математического факультета для студентов ннгу, обучающихся по направлению подготовки 010500 «Прикладная математика и информатика» icon

Учебно-методическое пособие Рекомендовано методической комиссией механико-математического факультета для студентов ннгу, обучающихся по направлению подготовки 010500 «Прикладная математика и информатика»


1 чел. помогло.
Смотрите также:
Учебное пособие Рекомендовано методической комиссией механико-математического факультета для...
Учебно-методическое пособие Рекомендовано методической комиссией факультета управления и...
Методические указания по выполнению курсовых работ по курсу...
Учебно-методическое пособие Рекомендовано методической комиссией финансового факультета для...
Учебно-методическое пособие Рекомендовано методической комиссией филологического факультета для...
Практикум Рекомендовано методической комиссией факультета международных отношений для студентов...
Учебно-методическое пособие для студентов экономического факультета специальности 060800...
Учебное пособие Рекомендовано методической комиссией факультета социальных наук для студентов...
Пособие для преподавателей русского языка, ведущих занятия с иностранными студентами...
Учебно-методическое пособие по английскому языку...
Практикум по ценообразованию...
Учебное пособие для студентов ммф томск 2007...



Загрузка...
страницы: 1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   13
вернуться в начало
скачать
^

1. Общая характеристика уравнений теории упругости и теплопроводности. Метод конечных разностей

    1. Уравнения теории упругости



Математическая теория упругости изучает количественные соотношения, характеризующие деформации или внутренние относительные смещения в твердом теле при заданных внешних воздействиях, в виде объемных сил, распределенных по объему тела V, а также поверхностных сил и граничных перемещений, заданных на поверхностях и , соответственно.

В теории упругости тело рассматривается как непрерывная сплошная среда, для которой считаются справедливыми гипотезы упругости (способности тела полностью восстанавливать свою форму после устранения причин, вызвавших деформацию), однородности (независимости свойств материала в пределах рассматриваемого объема тела) и линейной зависимости между возникающими в теле напряжениями и деформациями.

Пусть некоторое тело, занимающее объем V, ограниченный поверхностью , находится в условиях статического равновесия при постоянной температуре Т=const. под действием объемных сил , поверхностных сил , а также граничных перемещений , заданных на части поверхности . В условиях перечисленных воздействий точки тела получают перемещения , удовлетворяющие условию


(1.1)


Кроме того, за счет смещения отдельных точек относительно друг друга, в теле возникнут деформации, характеризуемые симметричным тензором 2ого ранга и связанные с перемещениями точек тела известными дифференциальными соотношениями.

В случае если перемещения и деформации в теле малы, то эти соотношения линейны и имеют вид


. (1.2)


В литературе зависимости (1.2) известны как соотношения Коши. В матричной форме эти соотношения можно представить в виде


, (1.3)


где - векторы компонент тензора деформаций (в силу симметрии тензора в вектор включены лишь 6 независимых компонентов, причем сдвиговые компоненты приняты в виде ) и перемещений в точке




(1.4)


[d] - матричный дифференциальный оператор


. (1.5)


Появление деформаций в теле в свою очередь вызывает появление в нем силовых полей, характеризуемых тензорным полем напряжений . В упругом теле напряжения связаны с деформациями известными соотношениями упругости (обобщенный закон Гука):


. (1.6)


В общем случае число независимых компонент тензора (с учетом симметрии тензоров ) равно 21. В случае изотропных тел число независимых величин, определяющих компоненты , сокращается до 2


, (1.7)


где e - шаровая составляющая тензора деформации


,


- упругие постоянные Ламе ( - модуль деформации сдвига)


, (1.8)


где - модуль объемной деформации, - коэффициент поперечной деформации.

В матричной форме соотношения (1.6) могут быть записаны в виде


, (1.9)


где - вектор компонент тензора напряжений (содержащий 6 независимых компонент)


. (1.10)


- матрица коэффициентов упругости материала, составленная из коэффициентов . Для упругого изотропного материала эта матрица имеет вид


(1.11)


Напряжения в теле, находящемся в равновесии под действием сил , и граничных смещений , должны удовлетворять дифференциальным уравнениям равновесия в объеме тела V:


(1.12)

и уравнениям равновесия на части границы ,


, (1.13)

где - направляющие косинусы нормали к поверхности границы .

В матричной форме эти уравнения могут быть переписаны в виде


, (1.14)

, (1.15)


где - матричный дифференциальный оператор, определенный соотношением (1.5), {F} и {P} - векторы объемных и поверхностных сил




(1.16)


- матрица направляющих косинусов нормали к поверхности


(1.17)


Приведенные уравнения (кинематические (1.1) − (1.3), физические (1.6) − (1.11) и статические (1.12) − (1.17)) составляют полный комплект уравнений, статических задач линейной теории упругости.

При непосредственном решении таких задач приведенные уравнения обычно преобразуются к некоторому виду разрешающих уравнений, в которых в качестве основных неизвестных фигурируют поля какого-либо одного типа, например, напряжений или перемещений .

В частности для решения задач в перемещениях в уравнениях (1.12) и (1.13) напряжения выражаются через перемещения с помощью соотношений (1.2) и (1.6).




(1.18)

где




. (1.19)


В результате решение задачи теории упругости сводится к решению системы дифференциальных уравнений в частных производных 2-го порядка относительно функций перемещений при граничных условиях, заданных на частях поверхности и


(1.20)


, (1.21)


где - единичная матрица.





    1. оставить комментарий
      страница2/13
      Дата02.10.2011
      Размер0,69 Mb.
      ТипУчебно-методическое пособие, Образовательные материалы
Добавить документ в свой блог или на сайт

страницы: 1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   13
плохо
  2
отлично
  2
Ваша оценка:
Разместите кнопку на своём сайте или блоге:
rudocs.exdat.com

Загрузка...
База данных защищена авторским правом ©exdat 2000-2017
При копировании материала укажите ссылку
обратиться к администрации
Анализ
Справочники
Сценарии
Рефераты
Курсовые работы
Авторефераты
Программы
Методички
Документы
Понятия

опубликовать
Загрузка...
Документы

наверх