Учебно-методическое пособие Рекомендовано методической комиссией механико-математического факультета для студентов ннгу, обучающихся по направлению подготовки 010500 «Прикладная математика и информатика» icon

Учебно-методическое пособие Рекомендовано методической комиссией механико-математического факультета для студентов ннгу, обучающихся по направлению подготовки 010500 «Прикладная математика и информатика»


1 чел. помогло.
Смотрите также:
Учебное пособие Рекомендовано методической комиссией механико-математического факультета для...
Учебно-методическое пособие Рекомендовано методической комиссией факультета управления и...
Методические указания по выполнению курсовых работ по курсу...
Учебно-методическое пособие Рекомендовано методической комиссией финансового факультета для...
Учебно-методическое пособие Рекомендовано методической комиссией филологического факультета для...
Практикум Рекомендовано методической комиссией факультета международных отношений для студентов...
Учебно-методическое пособие для студентов экономического факультета специальности 060800...
Учебное пособие Рекомендовано методической комиссией факультета социальных наук для студентов...
Пособие для преподавателей русского языка, ведущих занятия с иностранными студентами...
Учебно-методическое пособие по английскому языку...
Практикум по ценообразованию...
Учебное пособие для студентов ммф томск 2007...



Загрузка...
страницы: 1   ...   5   6   7   8   9   10   11   12   13
вернуться в начало
скачать
^

4.5. Сирендипово семейство элементов



Перечисленные выше недостатки лагранжевых элементов в меньшей степени присущи элементам сирендипова семейства, функции, формы которых были найдены путем непосредственного подбора [3]. Одномерные элементы сирендипова семейства, а также двумерные и пространственные элементы первого порядка полностью совпадают с аналогичными лагранжевыми элементами. Двумерные и пространственные сирендиповы элементы второго и третьего порядков, в отличие от аналогичных лагранжевых элементов, не содержат внутренних узлов и при одинаковых законах изменения функций вдоль сторон, имеют значительное различие в изменении этих функций внутри элемента. Для сравнения, на рис.4.6 изображены некоторые функции формы элементов сирендипова и лагранжева семейств второго порядка.




Рис. 4.6. Характер изменения функций в сирендиповых Лагранжевых элементах


Как уже говорилось, функции формы сирендиповых прямоугольных элементов первого порядка совпадают с лагранжевыми и определяются соотношениями 4.12.

Функции формы элементов второго порядка могут быть определены следующими выражениями:


- угловые узлы:

; (4.15)

- на сторонах:



- на сторонах:

.


Функции формы элементов сирендипова семейства удовлетворяют условиям непрерывности вдоль граней и сторон элемента и условиям геометрической изотропии и также представляют функции в элементе в виде неполных полиномов порядка p+1 (где p - порядок полинома вдоль сторон элемента). Однако в отличие от лагранжевых элементов они не содержат членов более высокого порядка. В частности, характеристический полином для сирендипова элемента второго порядка будет содержать лишь первые восемь членов в выражении (4.14).
^

4.6. Треугольные элементы



Одним из существенных недостатков рассмотренных выше четырехугольных и шестигранных элементов является невозможность построения для них базисных функций, соответствующих представлению функции в виде полного полинома соответствующего порядка. Для треугольных и тетраэдральных элементов построение координатных функций в виде полных полиномов не вызывает каких-либо затруднений [2,3,5].

Действительно, рассмотрим семейство конечных элементов, полученных в результате деления сторон треугольника на m равных частей при последовательном увеличении m, начиная от m=1. Каждому уровню такого разделения соответствует элемент порядка m, имеющий узлы на пересечении сторон треугольника и линий, соединяющих точки деления сторон (см. рис. 4.7). Общее число таких узлов точно равно числу неопределенных параметров в полном полиноме степени m.





Рис. 4.7. Схема иерархии треугольных конечных элементов


При этом проблемы непрерывности функций вдоль границ таких элементов не возникает, так как на каждой стороне всегда имеется необходимое число узлов для однозначного определения функции на стороне.

Если обозначить номера узлов элемента в соответствии с рис. 4.8, то функции формы элемента порядка m в треугольных локальных координатах могут быть получены на основе соотношения


, (4.16)

,



(4.17)





Рис. 4.8. Схема нумерации узлов треугольных элементов различных порядков


Для элементов первого порядка (m=1) функции формы совпадают с L координатами








. (4.18)


Связь L координат с глобальными координатами X и Y осуществляется на основе соотношения (4.7).

Для элементов второго порядка (m=2) функции формы элемента принимают следующий вид:






. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (4.19)

.


Аналогичным образом, на основе соотношений (4.17) могут быть получены функции формы для элементов более высоких порядков.

При вычислении матриц жесткости и внутренних характеристик элементов, функции, формы которых записаны в L координатах, приходится вычислять производные от различных выражений по глобальным координатам и интегрировать их по элементу. Дифференцирование таких выражений производится на основе обычных правил дифференцирования сложных функций. Например, в квадратичном элементе




и т.д.

При интегрировании по площади треугольника величин, зависящих от L координат, может быть использовано следующее соотношение [5]


(4.20)


Все приведенные выше соотношения для треугольных элементов легко распространяются на пространственные элементы в виде тетраэдров.


4.7. Изопараметрические элементы и численное интегрирование


При формулировке рассмотренных в предыдущих разделах конечных элементов предполагалось, что их форма образована пересечением прямолинейных отрезков, или плоских поверхностей. Такие «простые» элементы позволяют точно аппроксимировать геометрию областей, ограниченных прямолинейными границами или плоскими гранями. При этом точность получаемых решений будет, в основном, определяться погрешностями математической дискретизации исходной задачи, связанными с качеством аппроксимаци искомых функций. Однако при решении реальных задач часто приходится иметь дело с областями, имеющими криволинейные границы.

Применение для аппроксимации криволинейных границ рассмотренных «простых» элементов может привести к значительному снижению точности получаемых решений за счет дополнительных погрешностей геометрической дискретизации и потребует существенно увеличить число используемых конечных элементов. Альтернативным выходом из создавшейся ситуации может служить применение конечных элементов, имеющих искривленную форму границ. При этом могут быть существенно снижены порядок разрешающей системы уравнений и общая трудоемкость решения задачи.

Среди множества различных методов построения криволинейных элементов в настоящее время наибольшее распространение получил метод, основанный на отображении регулярных элементов, имеющих прямолинейные стороны, ребра и грани в локальной системе координат, на порождаемые криволинейные элементы в глобальной декартовой системе [2]. При этом для установления однозначного соответствия между локальной и глобальной системами координат используются функции формы, подобные тем, которые применяются для аппроксимации в элементах неизвестных функций.

Идея использования функций формы для введения криволинейных координат принадлежит Тайгу, а ее развитие для широкого класса различных элементов связано с именами Айронса и Зенкевича. Отображение из локальной системы координат в декартову x,y,z осуществляется посредством соотношений (см. рис.3.9)






(4.21)


где - функции формы элемента, являющиеся функциями локальных координат - декартовы координаты базовых узлов элемента, m - число базовых узлов.

При этом функции формы для описания геометрии элемента и число базовых узлов могут отличаться от аналогичных величин, используемых для аппроксимации искомой функции.

Например, в локальной системе координат изменение функции в этом же элементе может быть записано в виде


(4.22)

Если порядок функции выше, чем порядок (соответственно m >n), то элемент носит название "суперпараметрический", если наоборот, то элемент - "субпараметрический". Чаще всего порядок функций и сами функции принимаются одинаковыми (m=n), и такие элементы носят название "изопараметрических".

Вообще говоря, для всех перечисленных типов элементов, которые для краткости будем называть просто изопараметрическими, наряду с традиционным требованием непрерывности функций дополнительно возникают требования геометрической совместности элементов. Иначе говоря, при отображениях в сетке криволинейных элементов не должно возникать щелей между элементами. Как показано в [2], для выполнения перечисленных условий необходимо, чтобы им удовлетворяли соответствующие функции формы в локальной порождающей системе координат. Рассмотренные выше функции формы лагранжева и сирендипова семейства позволяют удовлетворить всем необходимым условиям непрерывности вдоль границ элементов.

Применение изопараметрической технологии позволяет также устранить недостатки произвольных четырехугольных и шестигранных элементов, для которых при построении базисных функций в обобщенных координатах нарушались условия непрерывности функций вдоль границ элементов.

В то же время непосредственная реализация изопараметрических элементов требует решения ряда дополнительных вопросов, которые не возникли при использовании рассмотренных ранее “простых элементов”.

В частности при построении матриц жесткости изопараметрических конечных элементов для вычисления производных от функций по глобальным координатам приходится обращать матрицу [J], связывающую глобальную систему координат с локальной системой . Поскольку компоненты этой матрицы в элементе являются функциями локальных координат, осуществить обращение этой матрицы в явном виде в большинстве случаев не представляется возможным. В связи с этим при вычислении жесткостных характеристик изопараметрических элементов обычно используют численное интегрирование, сводящее вычисление интеграла в некоторой области к вычислению значений подынтегральных выражений в фиксированных точках этой области, для которых получение значений матрицы [J] и ее обратной матрицы не составляет труда.

Кроме этого при использовании изопараметрических элементов определенные трудности возникают при интегрировании функций по элементам, ограниченным криволинейными поверхностями.

В соответствии с (3.25) вычисление ее коэффициентов матрицы жесткости элемента сводится к интегрированию матрицы


. (4.23)


Элементарный объем в криволинейных координатах преобразуется по известной формуле


. (4.24)


Если криволинейные координаты являются нормализованными координатами, рассмотренными ранее в разделе 4.3, то интеграл (4.23) может быть записан в виде


. (4.25)


Интегрирование здесь осуществляется по объему куба, а не искривленной призмы, поэтому пределы интегрирования записываются просто. Для одномерных и двумерных элементов получаются интегралы по одной и двум переменным соответственно с простыми пределами интегрирования.

Как отмечалось выше, в связи с необходимостью обращения матрицы преобразования , выражения для коэффициентов матрицы оказываются весьма сложными, и получить их в явном виде не представляется возможным за исключением некоторых простейших элементов. Поэтому в большинстве случаев построение матрицы жесткости изопараметрических элементов осуществляется с помощью численного интегрирования.

При выборе метода интегрирования в МКЭ принимают во внимание необходимость получения возможно более высокой точности результата при минимальном числе внутренних точек, т.к. вычисление подынтегральных функций связано со значительными затратами машинного времени. Поэтому в большинстве случаев при выполнении численного интегрирования в МКЭ используются квадратурные формулы Гаусса.

Интеграл от одномерной функции в нормализованных координатах, согласно формуле Гаусса, может быть представлен в виде


, (4.26)


где - весовые коэффициенты, значения которых зависят от числа точек интегрирования . Формула Гаусса позволяет точно вычислить интеграл от полинома степени 2n-1, где n - число точек интегрирования. Положения точек Гаусса и соответствующие значения весовых коэффициентов для нескольких значений n приводятся ниже




(4.27)




При вычислении интегралов по двум и трем переменным, формулы интегрирования по схеме Гаусса имеют вид


, (4.28)

,


где - количество точек интегрирования по каждому из направлений.

Координаты и весовые коэффициенты совпадают с соответствующими значениями для одномерного случая.

При использовании численного интегрирования для вычисления матриц жесткости элементов возникает вопрос о допустимой точности интегрирования или о выборе точек интегрирования. Точность интегрирования будет тем выше, чем больше этих точек, но с увеличением их числа возрастает трудоемкость решения и, кроме того, некоторое нарушение точности интегрирования в ряде случаев [2,4] позволяет значительно повысить точность получаемых результатов. Поэтому, очевидно, следует говорить о минимальном числе точек, обеспечивающих точное интегрирование всех членов энергии деформации и числе точек, обеспечивающих минимально допустимый порядок интегрирования.

В первом случае порядок интегрирования легко установить, оценив максимальный порядок полиномов, входящих в выражение энергии деформации элемента. В частности, для рассмотренных выше элементов сирендипова и лагранжева семейств для точного интегрирования требуется следующее количество точек n вдоль каждого направления, в зависимости от порядка элемента P


P = 1; n = 2,

P = 2; n = 3,

P = 3; n = 4. (4.29)


Минимально допустимый порядок интегрирования определяется требованием, чтобы точно вычислялся объем конечного элемента [2,3], определяемый выражением (4.24). Использование более низкого порядка интегрирования может привести к нарушению сходимости решения по мере сгущения сетки элементов. В случае изопараметрических элементов, входящий в выражение (4.24) det J представляет собой полином от локальных координат , порядок которого легко установить, зная функции формы элемента. В частности, для рассмотренных элементов минимально допустимое число точек будет таким


P = 1; n = 1,

P = 2; n = 2, (4.30)

P = 3; n = 3.


При определении минимально допустимого порядка интегрирования следует также иметь в виду, что, согласно имеющимся исследованиям [6], максимальная скорость сходимости конечно-элементных решений сохраняется при точном интегрировании всех членов энергии деформации, соответствующих полному полиному наивысшего порядка, представленному в функции формы элемента. Минимально допустимое число точек согласно этому условию для рассмотренных выше элементов совпадает с (4.30).


Литература




1. Зенкевич О., Морган К. Конечные элементы и аппроксимация. М.: Мир, 1986. 318 с.

2. Капустин С.А. Метод конечных элементов в задачах механики деформируемых тел. Учебное пособие. Н.Новгород, 2002. 180 с.

3. Зенкевич О.К. Метод конечных элементов в технике. M.:Мир,1975. 544 с.

4. Стренг Г., Фикс Дж. Теория метода конечных элементов. M.:Мир, 1977. 349 с.

5. Норри Д., де Фриз Ж. Введение в метод конечных элементов. М.: Мир, 1981. 304с

6. Fried I. Numerical Integration in the Finite Element Method //Int. J.Comput. and Struct. 1974. V.4, N 5, p.921-932.





оставить комментарий
страница13/13
Дата02.10.2011
Размер0,69 Mb.
ТипУчебно-методическое пособие, Образовательные материалы
Добавить документ в свой блог или на сайт

страницы: 1   ...   5   6   7   8   9   10   11   12   13
плохо
  2
отлично
  2
Ваша оценка:
Разместите кнопку на своём сайте или блоге:
rudocs.exdat.com

Загрузка...
База данных защищена авторским правом ©exdat 2000-2017
При копировании материала укажите ссылку
обратиться к администрации
Анализ
Справочники
Сценарии
Рефераты
Курсовые работы
Авторефераты
Программы
Методички
Документы
Понятия

опубликовать
Загрузка...
Документы

наверх