Понятие функции одного переменного и способы задания функций icon

Понятие функции одного переменного и способы задания функций


1 чел. помогло.
Смотрите также:
Задания Теоретические вопросы и контрольная работа к первому экзамену по дисциплине: «Высшая...
Программа по математике...
1. Функции, их свойства и графики Числовая функция. Способы задания функции...
Вопросы к экзамену по высшей математике и информатике для студентов...
Тема Основы математической логики Высказывания. Операции над высказываниями...
Рабочий план изучения курса “Математический анализ” для института Открытого образования...
Рабочая учебная программа дисциплины Теория функций комплексного переменного Направление...
Рабочая учебная программа дисциплины Теория функций комплексного переменного Направление...
Основные способы задания двоичных функций...
Программа второго семестра содержит следующие разделы: • интегральное исчисление функции одного...
Рабочая учебная программа дисциплины «математика» для студентов, обучающихся по специальности...
Программа вступительного экзамена в аспирантуру цэми ран по специальности 01. 01. 09...



Загрузка...
страницы:   1   2   3   4
скачать

  1. Понятие функции одного переменного и способы задания функций.

Термин "функция" появился в одной из рукописей Готфрида Вильгельма Лейбница в 1673 году. Однако, он употреблял этот термин в очень узком смысле. Речь шла об отрезках касательных к кривым, об их проекциях на оси координат и о "другого рода линиях, выполняющих для данной фигуры некоторую функцию".

В 1718 году Иоганн Бернулли впервые дает определение функции, свободное от геометрических представлений: "функцией переменной называется количество, образованное каким угодно способом из этой величины постоянных". Под "каким угодно способом" во времена Бернулли понимали арифметические операции, операции извлечения корней, тригонометрические и обратные тригонометрические, показательные и логарифмические "операции", а также их различные комбинации. Такие функции теперь называют элементарными.

Привычное для нас обозначение функции — f(x) — принадлежит Эйлеру.

^ Задать функцию означает установить правило (закон), с помощью которого по данным значениям независимой переменной следует находить соответствующие им значения функции:

^ Табличный спосо.

Заключается в задании таблицы отдельных значений аргумента и соответствующих им значений функции. Такой способ задания функции применяется в том случае, когда область определения функции является дискретным конечным множеством.

При табличном способе задания функции можно приближенно вычислить не содержащиеся в таблице значения функции, соответствующие промежуточным значениям аргумента. Для этого используют способ интерполяции.

Преимущества табличного способа задания функции состоят в том, что он дает возможность определить те или другие конкретные значения сразу, без дополнительных измерений или вычислений. Однако, в некоторых случаях таблица определяет функцию не полностью, а лишь для некоторых значений аргумента и не дает наглядного изображения характера изменения функции в зависимости от изменения аргумента.

^ Графический способ.

Графиком функции y = f(x) называется множество всех точек плоскости, координаты которых удовлетворяют данному уравнению.

Графический способ задания функции не всегда дает возможность точно определить численные значения аргумента. Однако он имеет большое преимущество перед другими способами - наглядность. В технике и физике часто пользуются графическим способом задания функции, причем график бывает единственно доступным для этого способом.

Чтобы графическое задание функции было вполне корректным с математической точки зрения, необходимо указывать точную геометрическую конструкцию графика, которая, чаще всего, задается уравнением. Это приводит к следующему способу задания функции.

^ Аналитический способ.

Чаще всего закон, устанавливающий связь между аргументом и функцией, задается посредством формул. Такой способ задания функции называется аналитическим.

Этот способ дает возможность по каждому численному значению аргумента x найти соответствующее ему численное значение функции y точно или с некоторой точностью.

Если зависимость между x и y задана формулой, разрешенной относительно y, т.е. имеет вид y = f(x), то говорят, что функция от x задана в явном виде.

Если же значения x и y связаны некоторым уравнением вида F(x,y) = 0, т.е. формула не разрешена относительно y, что говорят, что функция y = f(x) задана неявно.

Функция может быть определена разными формулами на разных участках области своего задания.

Аналитический способ является самым распространенным способом задания функций. Компактность, лаконичность, возможность вычисления значения функции при произвольном значении аргумента из области определения, возможность применения к данной функции аппарата математического анализа — основные преимущества аналитического способа задания функции. К недостаткам можно отнести отсутствие наглядности, которое компенсируется возможностью построения графика и необходимость выполнения иногда очень громоздких вычислений.

^ Словесный способ.

Состоит в том, что функциональная зависимость выражается словами.

Пример 1: функция E(x) — целая часть числа x. Вообще через E(x) = [x] обозначают наибольшее из целых чисел, которое не превышает x. Иными словами, если x = r + q, где r — целое число (может быть и отрицательным) и q принадлежит интервалу [0; 1), то [x] = r. Функция E(x) = [x] постоянна на промежутке [r; r+1) и на нем [x] = r.

Пример 2: функция y = {x} — дробная часть числа. Точнее y ={x} = x - [x], где [x] — целая часть числа x. Эта функция определена для всех x. Если x — произвольное число, то представив его в виде x = r + q ( r = [x]), где r — целое число и q лежит в интервале [0; 1), получим {x} = r + q - r=q

Основными недостатками словесного способа задания функции являются невозможность вычисления значений функции при произвольном значении аргумента и отсутствие наглядности. Главное преимущество же заключается в возможности задания тех функций, которые не удается выразить аналитически.



  1. ^ Сложные и обратные функции.

Сложная функция, функция от функции. Если величина y является функцией от u, то есть у = f (u), а и, в свою очередь, функцией от х, то есть u = j(х), то у является С. ф. от х, то есть y = f [(x)], определённой для тех значений х, для которых значения j(х) входят в множество определения функции f (u). В таком случае говорят, что у является С. ф. независимого аргумента х, а u — промежуточным аргументом. Например, если у = u2, u =sinx, то у = sin2х для всех значений х. Если же, например, , , то , причём, если ограничиваться действительными значениями функции, С. ф. у как функция х определена только для таких значений х, для которых sin ³ 0, то есть для  , где k = 0, ± 1, ± 2,...

Производная С. ф. равна произведению производной данной функции по промежуточному аргументу на производную промежуточного аргумента по независимому аргументу. Это правило (цепное правило) распространяется на С. ф. с двумя, тремя и т. д. промежуточными аргументами: если у = f (u1), u1 = j(u2),..., uk-1 = jk-1(uk), uk = jk (x), то


Обратная функция. Если   -- взаимно-однозначное отображение (биекция), то для любого   однозначно определен такой элемент , что . Тем самым однозначно определено соответствие , называемое обратной функцией по отношению к функции .





оставить комментарий
страница1/4
Дата02.10.2011
Размер0.66 Mb.
ТипДокументы, Образовательные материалы
Добавить документ в свой блог или на сайт

страницы:   1   2   3   4
плохо
  2
средне
  1
хорошо
  2
отлично
  1
Ваша оценка:
Разместите кнопку на своём сайте или блоге:
rudocs.exdat.com

Загрузка...
База данных защищена авторским правом ©exdat 2000-2017
При копировании материала укажите ссылку
обратиться к администрации
Анализ
Справочники
Сценарии
Рефераты
Курсовые работы
Авторефераты
Программы
Методички
Документы
Понятия

опубликовать
Загрузка...
Документы

Рейтинг@Mail.ru
наверх