Тема Основные понятия и аксиомы статики icon

Тема Основные понятия и аксиомы статики


47 чел. помогло.
Смотрите также:
Тематический план лекционного курса Тема и план лекции...
Самостоятельная работа Лекции...
Самостоятельная работа Лекции...
План обучения/ экзаменационные вопросы Статика твердого тела. Основные понятия и аксиомы статики...
Тематическое планирование по геометрии 10 класс...
Учебно- тематическое планирование Наименование разделов и тем Все...
План урока: Орг момент. Повторение изученного. Объявление темы. Изучение нового материала...
Лекция №1 Тема: “...
Тема Основные термины и понятия дисциплины 3 Тема Информация и бизнес 8...
Структурно курс состоит из 15 тем: Тема Введение. Предмет...
Структурно курс состоит из 15 тем: Тема Введение. Предмет...
Физический смысл тепла и температуры девятая лекция аксиомы Единства Посвящается искателям...



страницы: 1   2   3   4   5   6   7   8   9
вернуться в начало
Тема 2.3. Практические расчеты на срез и смятие.

Основные предпосылки расчетов и расчетные формулы


Иметь представление об основных предпосылках и условно­стях расчетов о деталях, работающих на срез и смятие.

^ Знать внутренние силовые факторы, напряжения и деформа­ции при сдвиге и смятии, условия прочности.

Уметь определять площади среза и смятия.

Детали соединений (болты, штифты, шпонки, заклепки) рабо­тают так, что можно учитывать только один внутренний силовой фактор — поперечную силу. Такие детали рассчитываются на сдвиг.


^ Сдвиг (срез)


Сдвигом называется нагружение, при котором в поперечном се­чении бруса возникает только один внутренний силовой фактор - поперечная сила.

Рассмотрим брус, на который дей­ствуют равные по величине, противоположно направленные, перпендикулярные продольной оси силы (рис. 23.1).

Применим метод сечений и определим внутренние силы упругости из усло­вия равновесия каждой из частей бруса:

ΣFy = 0; FQ = 0; F = Q ,

где Q — поперечная сила. Естественно считать, что она вызовет появление толь­ко касательных напряжений т.

Рассмотрим напряженное состояние в точке В поперечного сечения.

Выделим элемент в виде бесконечно малого параллелепипеда, к граням кото­рого приложены напряжения (рис. 23.2).




Рис.




Рис.

Исходя из условия равновесия точки В, внутри бруса при возникновении касательного напряжения г на правой вертикальной площадке такое же напря­жение должно возникнуть и на левой площадке. Они образуют пару сил. На горизонтальных площадках возникнут такие же напряжения, образующие такую же пару обратного направления (рис. 23.3).

Такое напряженное состояние называется чистым сдвигом. Здесь действует закон парности касательных напряжений:

При сдвиге в окрест­ностях точки на взаим­но перпендикулярных пло­щадках возникают рав­ные по величине каса­тельные напряжения, на­правленные на соседних площадках либо от ребра, либо к ребру (рис. 23.3а).


В результате площад­ки сдвигаются на угол у, называемый углом сдви­га.

При сдвиге выполняется закон Гука, который в данном случае записывается следующим образом:

.

Здесь τ — напряжение; G — модуль упругости сдвига; γ — угол сдвига.

При отсутствии специальных



Рис.

испытаний G можно рассчитать по формуле G0,4Е, Е — модуль упругости при растяжении. [G] = МПа.

Расчет деталей на сдвиг носит условный характер. Для упрощения расчетов принимается ряд допущений:

  • при расчете на сдвиг изгиб деталей не учитывается, хотя силы, действующие на деталь, образуют пару;

  • при расчете считаем, что силы упругости распределены по сечению равномерно;

  • если для передачи нагрузки используют несколько деталей, считаем, что внешняя сила распределяется между ними равномерно.

Откуда формула для расчета напряжений имеет вид:

; ,

где тс — касательное напряжение; Q — поперечная сила; Ас — площадь сдвига; F — внешняя сдвигающая сила; z — количество дета­лей.


Условие прочности при сдвиге (срезе)


,

[τс] — допускаемое напряжение сдвига, обычно его определяют по формуле

[τс] = (0,25 ÷ 0,35) σт.

При разрушении деталь перерезается поперек. Разрушение де­тали под действием поперечной силы называют срезом.


Смятие


Довольно часто одновременно со сдвигом происходит смятие бо­ковой поверхности в месте контакта в результате передачи нагрузки от одной поверхности к другой. При этом на поверхности возникают сжимающие напряжения, называемые напряжениями смятия, σсм.

Расчет также носит условный характер. Допущения подобны принятым при расчете на сдвиг (см. выше), однако при расчете боковой цилиндрической поверхности напряжения по поверхности распределены не равномерно, поэтому расчет проводят для наибо­лее нагруженной точки (на рис. 23.46). Для этого вместо боковой поверхности цилиндра в расчете используют плоскую поверхность, проходящую через диаметр. На рис. 23.4 показана примерная схема передачи давления на стержень заклепки.

Таким образом, условие прочности при смятии можно выразить соотношением

;

Асм = , где d — диаметр окружности сечения; δ — наименьшая высота соединяемых пластин; Асм — расчетная площадь смятия; допускаемое напряжение смятия: [σсм] = (0,35 ÷ 0,4)σт; F — сила взаимодействия между деталями.



Рис.


Примеры деталей, работающих на сдвиг (срез) и смятие


1. Ось (рис. 23.5).

В случае, если толщина детали 2 меньше, Асм = ;

; i = 2 — количество площадей среза.

2. Болт (рис. 23.6). Ac = πdh; .



Рис.



Рис.



Рис.


3. Шпонки (рис. 23.7) работают на срез и смятие, но рассчитываются только на смятие.

Ac = bl; Aсм = lt;

где l — длина шпонки;

t — высота выступающей части;

b — ширина шпонки.


4. Заклепка односрезная (рис. 23.8), двухсрехная (рис. 23.9).




Рис.




Рис.

5. Сварное соединение (рис. 23.10).





Рис.


Угловой шов разрушается под углом 45° к плоскости разъема в результате среза. К – катет углового шва, подбирается по толщине свариваемого листа.

Двухсторонний шов: Ас = 2 · 0,7 Kb.

Контрольные вопросы и задания


1. Какие внутренние силовые факторы возникают при сдвиге и смятии?

2. Сформулируйте закон парности касательных напряжений.

3. Как обозначается деформация при сдвиге?

4. Запишите закон Гука при сдвиге.

5. Какой физический смысл у модуля упругости?

6. Укажите единицы измерения напряжений сдвига и смятия и модуля упругости.

7. Как учесть количество деталей, использованных для передачи нагрузки при расчетах на сдвиг и смятие?

8. Запишите условия прочности на сдвиг и смятие.

9. Почему при расчете на смятие цилиндрических деталей вме­сто боковой цилиндрической поверхности подставляют плоскость, проходящую через диаметр?

10. Чем отличается расчет на прочность при сдвиге односрезной заклепки от двухсрезной?

11. Запишите формулу для расчета сварного соединения. Стержни круглого поперечного сечения сварены угловым швом (рис. 24.5).




Рис.


Тема 2.4. Геометрические характеристики

плоских сечений


Иметь представление о физическом смысле и порядке определения осевых, центробежных и полярных моментов инерции, о главных центральных осях и главных центральных моментах инерции.

^ Знать формулы моментов инерции простейших сечений, спо­собы вычисления моментов инерции при параллельном переносе осей.

При растяжении, сжатии, смятии и сдвиге деталь сопротивля­ется деформации всем сечением одинаково. Здесь геометрической ха­рактеристикой сечения является площадь.

При кручении и изгибе сечение сопротивляется деформации не одинаково, при расчетах напряжений появляются другие геометрические характеристики сечения, влияющие на сопротивления сече­ния деформированию.


^ Статический момент площади сечения


Рассмотрим произвольное сечение (рис. 25.1).




Рис.

Если разбить сечение на бесконечно малые площадки dA и умножить каждую площадку на расстояние до оси координат и проинтегрировать полученное выраже­ние, получим статический момент площа­ди сечения:

1) относительно оси Ox ;

2) относительно оси Oy .

Для симметричного сечения статические моменты каждой по­ловины площади равны по величине и имеют разный знак. Следова­тельно, статический момент относительно оси симметрии равен нулю.

Статический момент используется при определении положения центра тяжести сечения:

; ; .

Формулы для определения положения центра тяжести можно записать в виде

; .


^ Центробежный момент инерции


Центробежным моментом инерции сечения называется взятая то всей площади сумма произведений элементарных площадок на обе координаты:

.

Центробежный момент инерции может быть положительным, отрицательным и равным нулю. Центробежный момент инерции от­носительно осей, проходящих через центр тяжести сечения, равен нулю.

Оси, относительно которых центробежный момент равен нулю, называются главными. Главные оси, проходящие через центр тяже­сти, называют главными центральными осями сечения.


Осевые моменты инерции


^ Осевым моментом инерции сечения относительно некоторой оси, лежащей в этой же плоскости, называется взятая по всей пло­щади сумма произведений элементарных площадок на квадрат их расстояния до этой оси:

1) осевой момент инерции сечения относительно оси Ох

;

2) осевой момент инерции сечения относительно оси Оу

.


^ Полярный момент инерции сечения


Полярным моментом инерции сечения относительно некоторой точки (полюса) называется взятая по всей площади сумма произведений элементарных площадок на квадрат их расстояния до этой точки:

,

где р — расстояние до полюса (центра поворота) (рис. 25.1).

Поскольку р2 = х2 - у2, получим: полярный момент инерции сечения равен сумме осевых:

Jp = Jx + Jy.

Осевые моменты инерции характеризуют сопротивление сече­ния повороту относительно соответствующей оси.

Полярный момент инерция характеризует сопротивление сече­ния повороту вокруг полюса (начала координат). Единицы измере­ния моментов инерции: м4; см4; мм4.


^ Моменты инерции простейших сечений


Осевые моменты инерции прямоугольника (рис. 25.2)

Представим прямоугольник высотой h и шириной b в виде сечения, составленного из бесконеч­но тонких полос. Запишем площадь такой полосы: bdy=dA. Подставим в формулу осевого момента инерции относительно оси Ох:





Рис.

;

; получим: .

По аналогии, если разбить прямоугольник на вертикальные полосы, рассчитать площади полос и подставить в формулу для осе­вого момента инерции относительно оси Оу, получим:

.

Очевидно, что при h > b сопротивление повороту относительно оси Ох больше, чем относительно Оу.

Для квадрата: h = b; .

Полярный момент инерции круга

Для круга вначале вычисляют поляр­ный момент инерции, затем - осевые.

Представим круг в виде совокупности бесконечно тонких колец (рис. 25.3).

Площадь каждого кольца можно рас­считать как площадь прямоугольника с длинной стороной, равной длине соответ­ствующей окружности, и высотой, равной толщине кольца: dA = 2πpdp.

Подставим это выражение для площа­ди в формулу для полярного момента инер­ции:




Рис.

; .

Получим формулу для расчета полярного момента инерции круга:

.

Подобным же образом можно получить формулу для расчета полярного момента инерции кольца:

,

где d - наружный диаметр кольца; dBH - внутренний диаметр ко­льца.

Если обозначить dBH / d = с, то

.


Осевые моменты инерции круга и кольца


Используя известную связь между осевыми и полярным момен­тами инерции, получим:

; ;

(круг); (кольцо).


Моменты инерции относительно параллельных осей


Оси Охо и Ох параллельны (рис. 25.4).




Рис.

При параллельном переносе прямоугольной системы осей уоОхо в новое положение уоОх зна­чения моментов инерции JX, Jy, Jxy заданно­го сечения меняются. Задается формула переход без вывода.

Jx = Jxo + Aa2,

Здесь Jx – момент инерции относительно оси Ох;

Jxo – момент инерции относительно оси Охо;

А — площадь сечения;

а — расстояние между осями Ох и Oxо.


Главные оси и главные моменты инерции


Главные оси это оси, относительно которых осевые момен­ты инерции принимают экстремальные значения: минимальный ж максимальный.

Главные центральные моменты инерции рассчитываются отно­сительно главных осей, проходящих через центр тяжести.

^ Контрольные вопросы и задания


  1. Диаметр сплошного вала увеличили в 2 раза. Во сколько раз увеличатся осевые моменты инерции? (.)

  2. Осевые моменты сечения равны соответственно Jx = 2,5 мм4 и Jy = 6,5 мм. Определите полярный момент сечения.

  3. Осевой момент инерции кольца относительно оси Ох Jx = 4 см4. Определите величину Jр.

  4. В каком случае Jx наименьшее (рис. 25.7)?




Рис.

5. Какая из приведенных формул для определения Jx подойдет для сечения, изображенного на рис. 25.8?



Рис.

Варианты ответа:

1. ; 2. ;

3. ; 4. .

6. момент инерции швеллера № 10 относительно главной центральной оси Jxо = 174 см4; площадь поперечного сечения 10,9 см2.

Определите осевой момент инерции относительно оси, проходящей через основание швеллера (рис. 25.9).

7. Сравнить полярные моменты инерции двух сечений, имеющих практически одинаковые площади (рис. 25.10).

8. Сравнить осевые моменты инерции относительно оси Ох прямоугольника и квадрата, имеющих одинаковые площади (рис. 25.11).



Рис.



Рис.



Рис.


^ Тема 2.5. Кручение.

Внутренние силовые факторы при кручении.

Построение эпюр крутящих моментов


Иметь представление о деформациях при кручении, о внутрен­них силовых факторах при кручении.

^ Уметь строить эпюры крутящих моментов.


Деформации при кручении


Кручение круглого бруса происходит при нагружении его па­рами сил с моментами в плоскостях, перпендикулярных продольной оси. При этом образующие бруса искривляются и разворачиваются на угол γ называемый углом сдвига (угол поворота образующей Поперечные сечения разворачиваются на угол ip, называемый углом закручивания (угол поворота сечения, рис. 26.1).

Длина бруса и размеры поперечного сечения при кручении не изменяются.



Рис.


Связь между угловыми деформациями определяется соотношением

;

l - длина бруса; R — радиус сечения.

Длина бруса значительно больше радиуса сечения, следователь­но, φ»γ.

Угловые деформации при кручении рассчитываются в радианах.


^ Гипотезы при кручении


1. Выполняется гипотеза плоских сечений: поперечное сечение бруса, плоское и перпендикулярное продольной оси, после деформациии остается плоским и перпендикулярным продольной оси.

2. Радиус, проведенный из центра поперечного сечения бруса, после деформации остается прямой линией (не искривляется).

3. Расстояние между поперечными сечениями после деформации не меняется. Ось бруса не искривляется, диаметры поперечных сечений не меняются.


^ Внутренние силовые факторы при кручении


Кручением называется нагружение, при котором в поперечном сечении бруса возникает только один внутренний силовой фактор - крутящий момент.

Внешними нагрузками также являются две противоположно на­травленные пары сил.

Рассмотрим внутренние силовые факторы при кручении круглого бруса (рис. 26.1).

Для этого рассечем брус плоскостью I и рассмотрим равновесие сеченной части (рис. 26.1а). Сечение рассматриваем со стороны отброшенной части.

Внешний момент пары сил разворачивает участок бруса про­тив часовой стрелки, внутренние силы упругости сопротивляются повороту. В каждой точке сечения возникает поперечная сила dQ рис. 26.16). Каждая точка сечения имеет симметричную, где возникает поперечная сила, направленная в обратную сторону. Эти силы разуют пару с моментом dm=pdQ; p — расстояние от точки до центра сечения. Сумма поперечных сил в сечении равна нулю: ΣdQ = 0.

С помощью интегрирования получим суммарный момент сил упругости, называемый крутящим моментом:

.

Практически крутящий момент определяется из условия равновесия отсеченной части бруса.

^ Крутящий момент в сечении равен сумме моментов внешних сил, действующих на отсеченную часть (рис. 26.1в):

, т.е. ; .


^ Эпюры крутящих моментов


Крутящие моменты могут меняться вдоль оси бруса. После определения величин моментов по сечениям строим график-эпюру крутящих моментов вдоль оси бруса.

^ Крутящий момент считаем положительным, если моменты внешних пар сил направлены по часовой стрелке, в этом случае мо­мент внутренних сил упругости направлен против часовой стрелки (рис. 26.2).



Рис.


Порядок построения эпюры моментов аналоги­чен построению эпюр про­дольных сил. Ось эпюры параллельна оси бруса. значения моментов откла­дывают от оси вверх или вниз, масштаб построе­ния выдерживать обяза­тельно.



^ Примеры решения задач


Пример 1. На распределительном валу (рис. 26.3) установлены четыре шкива, на вал через шкив 1 подается мощность 12 кВт, кото­рая через шкивы 2, 3, 4 передается потребителю; мощности распре­деляются следующим образом: Р2 = 8 кВт, Рз = 3 кВт, Р4 = 1кВ.

зал вращается с постоянной скоростью ω = 25 рад/с. Построить эпюру крутящих моментов на валу.




Рис.


Решение


1. Определяем моменты пар сил на шкивах.

Вращающий момент определяем из формулы мощности при вращательном движении P = , .

Момент на шкиве 1 движущий, а моменты на шкивах 2, 3, 4 - моменты сопротивления механизмов, поэтому они имеют противо­положное направление. Брус скручивается между движущим момен­том и моментами сопротивления. При равновесии момент движущий равен сумме моментов сопротивления:

; ;

; ;

; .

2. Определяем крутящие моменты в поперечных сечениях бруса с помощью метода сечений.



Рис.


Сечение I/(рис. 26.4а):

- m4 + Mk1 = 0; Mk1 = 40 Н·м - крутящий момент отрицательный.

Сечение II (рис. 26.46):

- m4m3 + Mk2 = 0; Mk2 = m4 + m3; Mk2 = 40 + 120 = 160 Н·м - крутящий момент отрицательный.

Сечение III (рис. 26.4в):

- m4m3 + m1Mk3 = 0; - Mk3 = m4 + m3m1;

-Mk3 = 40 + 120 – 480; Mk3 = 320 Н·м - крутящий момент поло­жительный.

Сечение IV:

Mk4 = - m4m3 + m1m2 = 0.

3. Строим эпюру крутящих моментов. Заметим, что скачок на эпюре всегда численно равен приложенному вращающему момену.

Выбираем соответствующий масштаб.

Откладываем значения моментов, штрихуем эпюру поперек, обводим по контуру, записываем значения моментов (см. эпюру под схемой вала (рис. 26.3)). Максимальный крутящий момент на участке Ш МКз = 320 Н·м.


Пример 2. Выбрать рациональное расположение колес на валу (рис. 26.5). m1 = 280 Н·м; m2 = 140 Н·м; m3 = 80 Н·м.

Примечание. Меняя местами колеса (шкивы) на валу можно изменять величины крутящих моментов. Рациональным р. положением является такое, при котором крутящие моменты принимают минимальные из возможных значения.

mo = m1 + m2 + m3 = 280 + 140 + 80 = 500 Н·м.

Рассмотрим нагрузки на валу при различном расположении колес.

Из представленных вариантов наиболее рационально располо­жение шкивов в третьем случае, здесь значения крутящих момен­тов минимальны. Вывод: при установке шкивов желательно, чтобы мощность подавалась в середине вала и по возможности равномерно распределялась направо и налево.




Рис.


Первый вариант: .

Второй вариант: .

Третий вариант: .

Контрольные вопросы и задания


  1. Какие деформации возникают при кручении?

  2. Какие гипотезы выполняются при деформации кручения?

  3. Изменяются ли длина и диаметр вала после скручивания?

  4. Какие внутренние силовые факторы возникают при кручении7

  5. Что такое рациональное расположение колес на валу?

6. Для заданного вала (рис. 26.6) выбрать соответствующую эпюру крутящих моментов (а, б, в). m1 = 40 Н·м; m2 = 180 Н·м; m0 = 280 Н·м.




Рис.


7. В каком порядке рациональнее расположить шкивы на валу для уменьшения нагрузки на валу (рис. 26.7)?




Рис.

Варианты ответов:

1. mo; m1; m2; m3; m4.

2. m2; m3; m0; m4; m1.

3. m3; m4; m0; m1; m2.

4. m4; m3; m0; m1; m2.







оставить комментарий
страница6/9
Дата02.10.2011
Размер1,82 Mb.
ТипДокументы, Образовательные материалы
Добавить документ в свой блог или на сайт

страницы: 1   2   3   4   5   6   7   8   9
плохо
  23
не очень плохо
  3
средне
  13
хорошо
  22
отлично
  78
Ваша оценка:
Разместите кнопку на своём сайте или блоге:
rudocs.exdat.com

База данных защищена авторским правом ©exdat 2000-2014
При копировании материала укажите ссылку
обратиться к администрации
Анализ
Справочники
Сценарии
Рефераты
Курсовые работы
Авторефераты
Программы
Методички
Документы
Понятия

опубликовать
Документы

Рейтинг@Mail.ru
наверх