Задачи Сколько трехзначных чисел можно составить из множества цифр 1, 2, 3, 4, 5 без повторений? Решение icon

Задачи Сколько трехзначных чисел можно составить из множества цифр 1, 2, 3, 4, 5 без повторений? Решение


6 чел. помогло.
Смотрите также:
Учебно-методический комплекс дисциплины «Математика» Специальность...
Α Множество всех подмножеств данного множества называется булеаном данного множества...
Интегрированный урок: обж/окружающий мир, межпредметная связь с уроком математики...
Требования к обязательному минимуму содержания основной образовательной программы подготовки...
Лекция Понятия множества и элементы множества. Способы задания множеств...
Лекция будет посвящена разнообразным свойствам особых чисел, называемых попросту "цэшками"...
Программа государственного аттестационного экзамена по математике и информатике по специальности...
К вопросу о генерации случайных чисел...
К. К. Андреев Вопросы к коллоквиуму...
Решение. Взависимости от направления обхода...
Лекция №1. Тема. Принципы комбинаторики. Генеральная совокупность без повторений...
Генератор псевдослучайных чисел 4 3 Методы получение псевдослучайных чисел...



Комбинаторика


  1. Логика Перебора.

  2. Правило умножения и сложения.

  3. Размещения (с повторениями, без повторений).

  4. Перестановки (без повторений, с повторениями).

  5. Сочетания (без повторений, с повторениями).

  6. Формула степени бинома Ньютона, треугольник Паскаля.

  7. Решение различных комбинаторных задач.


Элементы теории вероятности


  1. События и их классификация.

  2. Относительная частота событий и ее свойства.

  3. Вероятность события и ее свойства.

  4. Независимые испытания. Формулы сложения и умножения вероятностей. Условная вероятность.

  5. Совместные события. Формула сложения вероятностей.

  6. Формула полной вероятности. Формула Байеса.

  7. Серия независимых испытаний. Формула Бернулли. Наивероятнейшее число наступлений события.



Таня и Ваня могут сесть рядом 20-ю способами


Размещения (без повторений)


Размещениями из n элементов по R элементов называются подмножества k элементов, отличающихся одно от другого или самими элементами или их порядком.


Теорема

Ank=n · (n-1)(n-2)…(n-(k-1)).

Ank=n! : (n-k)!


Задачи


  • Сколько трехзначных чисел можно составить из множества цифр 1, 2, 3, 4, 5 без повторений?

Решение:

n=5; k=3; Ank=5·4·3=60


  • Сколькими способами можно распределить два билета в театр между четырьмя людьми? (12 способов).




  • Сколькими способами можно разложить 7 разных монет в 3 кармана? (210 способов).




  • Код замка состоит из 4 цифр. Сколько существует способов набора этих цифр, если цифры не повторяются? (5040 способов).




  • Номер автомашины состоит из 3 цифр. Сколько существует разных номеров, если все цифры разные? (720 номеров). А из четырех цифр? (5040 номеров).




  • Сколько существует номеров телефона, состоящего из шести различных цифр? (1663200 номеров).




  • В высшей лиге по футболу 18 команд. Борьба идет за золотые, серебряные и бронзовые медали. Сколькими способами они могут быть распределены между командами? (4896 способов).


Размещения с повторениями


Теорема


Anm=nm


Задачи


  • Сколько можно составить различных трехзначных номеров для машин?

Решение:

A103=103=1000


  • Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 1; 2; 3; 4; 5? (125 чисел).




  • Сколько чисел, меньших 105, можно записать с помощью цифр 7; 6; 4?

Решение:

Числа могут быть однозначные, их три; двузначные, их 32=9; трехзначные 33=27 и т.д.

3+32+33+34+35=363


  • Сколько существует пятизначных номеров:

  1. не содержащих цифру 8? (59059 номеров).

  2. не содержащих 0 и 8? (32768 номеров).

  3. составленных из цифр 2; 3; 5; 7? (1024 номера).




    • Сколько существует шестизначных номеров телефона? (1000000 номеров).




    • Сколько разных четырехзначных чисел можно составить из цифр 0; 1; 2, если цифры могут повторяться?

Решение:

Всего можно составить: A34=34=81, но числа с нулем впереди не являются четырехзначными, поэтому: A34 – A33=81-27=54


  • Сколькими способами можно отослать 6 писем разным адресам, если их будут разносить 3 курьера? (729 способов).




  • Четыре студента сдают экзамен. Сколько может быть вариантов распределения оценок, если все они сдали экзамен? (81 вариант).


Перестановки (без повторений)


Перестановками из данных n элементов называются множества из n элементов, различающихся только порядком.


Теорема


Pn=n!


Задачи


  • К кассе за получением денег подошли одновременно 4 человека. Сколькими способами они могут выстроиться в очередь?

Решение:

P4=4!=1·2·3·4=24


  • Сколько разных пятизначных чисел можно составить из цифр 1; 2; 3; 4; 5? (120 чисел).




  • Сколькими способами можно расположить на шахматной доске 8 ладей, чтобы они не могли взять друг друга? (40320 способов).




  • Укротитель хищных зверей хочет вывести на арену цирка 5 львов и 4 тигра, при этом нельзя, чтобы 2 тигра шли друг за другом. Сколько существует способов размещения зверей?

Решение:

Поставим сначала львов: P5=5!=120. Тигров можно поставить на 6 мест (впереди львов, сзади и между ними): A46=6! : (6-4)!=360. Всего: 120·360=43200 способов.


  • Сколькими способами можно посадить за круглым столом 5 мальчиков и 5 девочек, чтобы лица одного пола не сидели рядом?

Решение:

Сначала рассадим девочек: P5=5!. Способов рассадить мальчиков столько же: P5=5! Значит всего (5!)2. Но так как можно рассадить сначала мальчиков, а потом девочек, то всего будет: 2·(5!)2=28800 (способов).


Перестановки с повторениями


Теорема


Pk1,k2,…kn=k!:(k1!·k2!·…·kn!)


Задачи


  • Сколько разных слов можно образовать при перестановке букв слова

    1. математика;

    2. задача?

Решение:

м-2; а-3; т-2

P10 =10!:(2!·3!·2!)=2·3·4·5·6·7·8·9·10:(2·2·3·2)=151200

P6 =6!:3!=6·5·4=120


  • Сколько слов можно составить при перестановке букв в слове:

    1. толпа? (120 слов).

    2. топот? (30 слов).




      • Найти сумму четырехзначных чисел, получаемых при возможных перестановках цифр

  1. 1; 1; 4; 4; (16665).

  2. 0; 0; 4; 4. (12444).




    • Мать купила 2 яблока, 3 груши и 4 апельсина. Девять дней подряд она предлагает сыну по 1-ому фрукту. Сколькими способами она может выдавать фрукты? (1260 способов).


Сочетания (без повторений).


Сочетаниями, содержащими k элементов, выбранных из n элементов заданного множества называются всевозможные множества, различающиеся хотя бы одним элементом. (Порядок расположения не важен).


Теорема


Cnk=n!:(k!·(n-k)!)


Задачи


  • На тренировках занимается 12 баскетболистов. Сколько может быть составлено тренером различных стартовых пятерок?

Решение:

C125=12!:(5!·7!)=792


  • Имеется 6 штаммов бактерий. Для определения скорости их роста необходимо выбрать 3. Сколькими способами можно это сделать? (20 способов).




  • В ящике 20 шаров, среди которых 12 белых, остальные черные. Отбирается наугад 2 шара. Сколькими способами можно отобрать:

    1. 2 белых шара (66 способов);

    2. 2 черных шара (28 способов);

    3. 1 белый, 1 черный шар? (96 способов).




      • Из вазы, в которой стоят 10 красных, 4 розовых и 6 белых гвоздик выбирается 3 красных, 1 розовая и 2 белых. Сколькими способами это можно сделать?

Решение:

C103·C41·C62=10!·4!·6!:(3!·7!·3!·2!·4!)=7200


  • Экипаж корабля состоит из командира, 2-х бортинженеров, врача и 3-х космонавтов. Всего имеются на роль командира 2, на роль бортинженера ─ 3, на роль врача ─ 4, на роль космонавта ─ 5. Сколькими способами можно составить экипаж корабля?

Решение:

C21·C32·C41·C53=240


  • В классе 22 ученика. Надо выбрать командира и 3 звеньевых. Сколькими способами это можно сделать? (7315 способов).




  • Сколько разных стартовых шестерок можно образовать из 10 волейболистов? (210).




  • Для полета на Марс необходимо укомплектовать следующий экипаж корабля: командир, 1-ый помощник, 2-ой помощник, 2 бортинженера и 1 врач. Можно отобрать из 25 летчиков, 20 специалистов и 8 медиков. Сколькими способами можно укомплектовать экипаж корабля?

Решение:

При выборе командира и его помощников важно определить, какой из летчиков лучше справляется с теми или иными функциями, поэтому: A253=25·24·23=13800

C202=190 (способов выбора бортинженеров)

C81=8 (способов выбора врача)

A253·C202·C81·=20 976 000


Сочетания с повторениями


Объем выборки k, а множество, из которого строятся выборки, содержит n элементов.


Теорема


Cnk=(k+n-1)!:(k!·(n-1)!)


Задачи


  • В гастрономе имеются конфеты в коробках 3-х сортов. Сколькими способами можно заказать 5 коробок?

Решение:

n=3; k=5

C35=(5+3-1)!:(5!·(3-1)!)=7!:(5!·2!)=21


  • В продажу поступили открытки 10 разных видов. Сколькими способами можно отобрать 12 открыток? (293 930 способов).




  • Сколько существует различных треугольников, длины сторон которых принимают значения 8; 10; 12 и 14 см? Сколько среди них равнобедренных, равносторонних?

Решение:

C43=20 ─ всего треугольников

Разносторонних C43=4

Равносторонних 4

Равнобедренных 20-4-4=12


  • Сколько существует различных треугольников, длины сторон которых принимают значения 5; 6; 7; 8; 9? (35 треугольников).




  • Сколько наборов из 7 пирожных можно составить, если в продаже 4 сорта? (120 наборов).


Элементы теории вероятностей


  1. События и их классификация.




      1. Несовместные события.

События называются несовместными, если появление одного из них исключает появление другого в одном и том же испытании. В противном случае события называются совместными.

Несовместность более чем двух испытаний означает их попарную несовместность.


      1. Невозможные события.

Событие называется невозможным, если при испытании оно не может произойти.


      1. Случайные события.

Случайным называется событие, которое может либо произойти, либо не произойти.


      1. Равновозможные события.

События называются равновозможными, если ни одно из них не является более возможным, чем другое.


      1. Противоположные события.

Два единственно возможных события, образующих полную группу, называются противоположными.

Несколько событий образуют полную группу, если в результате испытания появится хотя бы одно из них.


      1. Достоверные события.

Событие называется достоверным, если оно обязательно произойдет при данном испытании.


Пример 1.

При одном выстреле по мишени возможны следующие события:

      1. А ─ попадание в цель;

      2. В ─ промах.

А и В ─ противоположные, несовместные, случайные.


Пример 2.

Камень подбрасывается вверх.

      1. А ─ камень упадет на землю;

      2. В ─ камень улетит в космос.

А ─ достоверное; В ─ невозможное.


Пример 3.

Из партии посевного зерна отбираются 2 зерна.

      1. А ─ 1-ое зерно взойдет;

      2. В ─ 2-ое зерно взойдет.

А и В ─ случайные, совместные.


Пример 4.

Подбрасывается монета.

      1. А ─ выпадает «орел»;

      2. В ─ выпадет «цифра».

А и В ─ случайные, противоположные, несовместные, равновозможные.


Задачи


Какими являются следующие события?

      1. У человека есть сердце.

      2. После воскресенья наступит вторник.

      3. В феврале 28 дней.

      4. У человека есть родители.

      5. У человека есть дети.

      6. Город находится в России.

      7. Число ─ четное.

      8. Река впадает в Каспийское море.

      9. Земля вращается вокруг Солнца.

      10. Утром светит солнце.

      11. Ночью идет дождь.

      12. Летом цветут цветы.

      13. Ученик получил оценку «5».

      14. Человек умеет плавать.

      15. Квадрат не имеет углов.

      16. Круг желтого цвета.

      17. Птицы имеют крылья.


Суммой А+В двух событий А и В называются события, состоящие в появлении события А или события В, или обоих этих событий.


Пример 5.

Произведены 2 выстрела.

А ─ попадание при первом выстреле;

В ─ при втором.

А+В ─ стрелок попал (один или два раза).


Суммой нескольких событий называется событие, которое состоит в появлении хотя бы одного из этих событий.


Произведением А · В называется событие, состоящее в совместном появлении этих событий.

А · В ─ попал и 1, и 2 раз.


Относительная частота событий и ее свойства


Относительной частотой (частостью) события называется число


Р*(А)=m:n

m ─ число появлений события А;

n ─ общее число проведенных испытаний.


Пример 1.

Стрелок сделал 1000 выстрелов по мишеням и попал 90 раз.

А={стрелок попал}

Р*(А)=90:100=0,9


Пример 2.

Посадили 70 деревьев, прижилось 50.

А={дерево прижилось}

Р*(А)=50:70=5/7


Свойства

  1. 0≤Р*(А)≤1

  2. А ─ достоверное, то Р*(А)=1

  3. В ─ невозможное, то Р*(В)=0

  4. С ─ случайное, то 0<Р*(С)<1


При переходе от одной серии испытаний к другой Р*(А) почти не меняется. Это число называется вероятностью. Вероятность вычисляется до опытов, а относительная частота ─ после проведения испытаний.


Вероятность события и ее свойства


Вероятностью любого события А называют отношение

Р(А)=m:n


m ─ число благоприятствующих этому событию;

n ─ общее число всех исходов.


Свойства те же, что и у относительной частоты.


Пример 1.

В ящике 20 шаров, из них 10 белых, 7 голубых, 2 желтых и 1 синий.

А={шар белый} Р(А)=10:20=0,5

В={шар голубой} Р(В)=7:20=0,35

С={шар желтый} Р(С)=2:20=0,1

D={шар синий} Р(D)=1:20=0,05


Пример 2.

Найти вероятность события А={выигрыш наибольшей суммы при игре в лото по 1-ому билету}, если для этого надо угадать 5 из 36.

m=1; n=C365=376922

P(A)=1:376922


Пример 3.

В ящике 20 шаров, из них 12 белых, остальные красные. Извлекается 2 шара. Какова вероятность: А={оба шара белые}; B={оба шара красные}; C={один шар белый, один красный}.

n=C202=190; m=C122=66

P(A)=66:190=33/95


Задачи


  • Из 5-и букв разрезной азбуки составлено слово «книга». Ребенок, не умеющий читать, рассыпал их, а потом сложил. Какова вероятность, что получилось слово «книга»? (≈0,83%).




  • На 32-х карточках написаны буквы алфавита. Наугад выбирается 5 карточек и укладывается на столе. Какова вероятность, что появится слово «книга»?




  • На 32-х карточках написаны буквы алфавита. Наугад выбирается 5 карточек и укладывается на столе. Какова вероятность, что появится слово «кокос»?




  • В хозяйстве 6 участков земли, которые надо закрепить под 6 разных культур. Какова вероятность, что произвольное закрепление культур за участками совпадет с запланированным?




  • Ученик знает 10 вопросов из 25. Какова вероятность, что он ответит на вопрос? (40%).




  • Первенство по баскетболу оспаривают 18 лучших команд, которые путем жеребьевки распределяются на 2-е группы по 9 команд. 5 команд занимают 1-ые места. Какова вероятность попадания всех лидирующих команд в 1-у группу?

Решение:

n=C189=18!:(9!·9!)=48 620

m=2·C134=1430 P(A)=m:n=1:34≈2,41%

Событию А благоприятствует столько событий, сколькими способами 5 лидирующих команд могут образовать девятки с 4-мя командами из числа остальных 13. Как 1-ая, так и 2-ая девятка может быть образована C134 способами.


  • Таня и Ваня договорились встречать Новый год в компании из 10-и человек. Они хотят сидеть рядом. Но друзья распределяют мест путем жребия. Какова вероятность исполнения их желания?

Решение:

n=P10=10!

. Сначала посадим Таню (10 способов). Ваня может сесть слева и справа от нее. Друзья могут сесть на оставшиеся места 8! способами.

m=20·8!

P(A)=m:n=(20·8!):10!=2/9


  • Номер телефона состоит из 6-и цифр. Какова вероятность, что цифры наугад набранного номера разные?

Решение:

m=A106=10!:(10-6)!=5·6·7·8·9·10

n=A106=106

P(A)=m:n=0,15120


  • Номер автомобиля состоит из 3-х цифр. Какова вероятность, что у проезжающей мимо машины все цифры одинаковые?

Решение:

m=10 n=A103=103=1000

P(A)=m:n=0,01


  • Бросаются одновременно 2 кубика. Какова вероятность того, что сумма очков будет 10?

Решение:

10=5+5=6+4=4+6 m=3

n=A62=62=36

P(A)=m:n=1/12


  • Имеются 20 шаров, из которых 8 белых, 12 красных. Не глядя вынимается 3 шара. Какова вероятность, что: а) все шары белые;

б) 2 шара белые;

в) хотя бы 1 шар белый?


Независимые испытания.

Формулы сложения и умножения вероятностей.

Условная вероятность


Два события могут быть:


  1. несовместимыми, если появление одного исключает появление другого.




  1. независимыми, если появление одного не изменяет вероятность появления другого.




  1. совместными, если появление одного меняет вероятность появления другого. Такие события еще называют зависимыми.




  1. противоположными, если они несовместимы, но одно из них обязательно произойдет.


Суммой событий называется событие, состоящее в появлении хотя бы одного из событий.


Произведением событий называется событие, состоящее в одновременном исполнении всех событий.


Если А и В ─ независимые, то


Р(А+В)=Р(А)+Р(В)

Р(А·В)=Р(А)·Р(В)


Задачи


  • Пусть вероятность того, что в магазине первой будет пара мужской обуви 44-ого размера равна 0,12; а 45-ого ─ 0,04. Найти вероятность того, что будет продана пара мужской обуви не менее 44-ого размера?

Решение:

Р(А+В)=Р(А)+Р(В)=0,12+0,04=0,16


  • Летчик получил задание уничтожить 3 рядом расположенных склада противника. Любое Попадание вызывает взрыв остальных складов. На борту самолета одна бомба. Вероятность попадания в 1 склад ─ 0,01; во 2-ой ─ 0,008; в 3-ий ─ 0,025. Какова вероятность, что склады будут уничтожены?

Решение:

Р(А+В+С)=0,01+0,008+0,025=0,043


Условной вероятностью РА(В) называют вероятность события В, вычисленную в предположении, что событие А уже наступило.


  • Бросаются 2 кубика. Какова вероятность появления на первом нечетного числа очков, на втором 5 очков.

Решение:

Р(А)=3:6=1.2 Р(В)=1.6

Р(АВ)=0,5·1/6=1/12


  • В одном ящике 10 шаров, из них 3 белые, остальные черные, в другом 20 шаров, из них 15 белых. Вытаскиваются 2 шара. Какова вероятность, что:

    1. оба шара белые;

    2. один белый, другой черный;

    3. оба черные?

  • У ученика вероятность получить «5» по алгебре 0,8; а по русскому языку 0,6. Какова вероятность, что ученик получит две пятерки?

Решение:

Р(А)=0,8·0,6=0,48


  • Вероятность того, что ребенку на День Рождения мама подарит куклу 0,2; бабушка подарит куклу 0,5 тетя подарит куклу 0,8. Какова вероятность получить:

  1. 3 куклы в подарок;

  2. 2 куклы в подарок;

  3. одну куклу;

  4. ни одной куклы?


Совместные события.

Формула сложения вероятностей


Если А и В зависимые, то


Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(АВ)

Р(АВ)=Р(А)·РА(В)

_

В ─ событие, противоположное В _

Р(В)=1-Р(В)


Задачи


  • В ящике 10 шаров, из них 6 белых. Какова вероятность вытащить:

  1. 2 белых шара подряд;

  2. 3 белых шара?




    • Вероятность попадания в цель при первом выстреле 0,1; при втором 0,4; при третьем 0,7. Найти вероятность того, что:

      1. ни одна пуля не попала в цель;

      2. 1 пуля попала;

      3. 2 пули попали;

      4. 3 пули попали?

Решение:

p1=0,1 p2=0,4 p3=0,7

q1=0,9 q2=0,6 q3=0,3

  1. P0=q1·q2·q3=0,9·0,6·0,3=0,162

  2. P1=p1·q2·q3+p2·q1·q3+p3·q1·q2

P1=0,1·0,6·0,3+0,4·0,9·0,3+0,7·0,9·0,6=0,504

  1. P2=0,306

  2. P3=p1·p2·p3=0,1·0,4·0,7=0,028




    • Найти вероятность того, что выбранное изделие является первосортным, если известно, что 4% всей продукции бракованная, а 75% не бракованных деталей удовлетворяют требованиям первого сорта.




    • Три друга-студента сдают экзамен. Вероятность того, что первый сдаст экзамен на «5» равна 0,6; второй ─ 0,7; третий ─ 0,2. Найти вероятность того, что:

  1. хотя бы один сдаст экзамен на «5»;

  2. только один сдаст на»5»;

  3. все сдадут на»5»?

Решение:

    1. Р(А)=1-0,4·0,3·0,8=1-0,096=0,904

    2. Р(А)=p1·q2·q3+p2·q1·q3+p3·q1·q2

Р(А)=0,6·0,3·0,8+0,7·0,4·0,8+0,2·0,4·0,3=0,144+0,224+0,024=0,392

    1. Р(А)=0,6·0,7·0,2=0,084




    • Вероятность того, что семя было обработано раствором 0,95. Вероятность того, что обработанное семя взошло 0,99. Вероятность того, что необработанное семя взошло 0,85. Какова вероятность того, что случайно выбранное семя взошло?



    • Студент знает 20 из 25 вопросов программы. Найти вероятность того, что студент знает ответы на 3 предложенные вопроса?

Решение:

Р(А)=20/25·19/24·18/23≈0,496

    • Для сигнализации об аварии установлены три независимо работающих устройства. Вероятность того, что при аварии сработает первое устройство 0,9; второе ─ 0,95; третье ─ 0,85. Найти вероятность того, что сработает

  1. только одно устройство;

  2. два устройства;

  3. три устройства;

  4. хотя бы одно?




    • Деталь попадает на проверку к одному из контролеров. Вероятность того, что к 1-ому ─ 0,6; ко 2-ому ─ 0,4. Вероятность того, что деталь будет признана стандартной 1-ым контролером 0,94; 2-ым ─ 0,98. Какова вероятность, что деталь признана стандартной?

Решение:

Обозначим события:

А ─ деталь признана стандартной;

В ─ проверял 1-ый контролер;

С ─ проверял 2-ой контролер.

Р(В)=0,6; Р(С)=0,4; РВ(А)=0,94; РС(А)=0,98

Р(А)=0,6·0,94+0,4·0,98=0,564+0,392=0,956


Формула полной вероятности.

Формула Байеса


Если события попарно несовместны и в результате произойдет одно из них, то эти события образуют полную группу.

Если А, В, С образуют полную группу, то:


Р(А)+Р(В)+Р(С)=1


Пример


  • При посадке дерева возможны события: А={дерево приживается}, В={дерево не приживается}.

Решение:

Р(А)+Р(В)=1


Теорема


  • Вероятность события А, которое может произойти при условии осуществления одного из несовместных событий В12,…Вn, образующих полную группу, определяется формулой:


Р(А)=Р(В1)·РВ1(А)+Р(В2)·РВ2(А)+…


Задачи


  • Имеется два набора деталей. Вероятность того, что деталь первого набора стандартная 0,8; а второго 0,9. Найти вероятность, что наудачу взятая деталь (из наугад взятого набора) стандартная.

Решение:

Обозначим события:

А ─ деталь стандартная

В ─ деталь из 1-ого набора

С ─ деталь из 2-ого набора

РВ(А)=0,8; РС(А)=0,9; Р(В)=0,5; Р(С)=0,5

Р(А)=0,8·0,5+0,9·0,5=0,85


  • Охотник сделал три выстрела. Вероятность попадания первым выстрелом 0,4; вторым 0,5; третьим 0,7. Одним попаданием кабана можно убить с вероятностью 0,2; двумя попаданиями 0,6; а тремя ─ 1. Найти вероятность того, что кабан будет убит.

Решение:

Обозначим события:

А0 ─ промах

А1 ─ одно попадание

А2 ─ два попадания

А3 ─ три попадания

Р(А)=Р(А0)·РА0(А)+Р(А1)·Р(А)+Р(А2)·РА2(А)+Р(А3)·РА3(А)

_ _ _

А01·В2·В3

_ _ _ _ _ _

А11·В2·В31·В2·В3+ В1·В2·В3


А2= В1·В2·В31·В2·В3+ В1·В2·В3


А31·В2·В3

Р(А0)=0,6·0,5·0,3=0,09

Р(А1)=0,36; Р(А2)=0,41 Р(А3)=0,14

Тогда:

Р(А)=0,09·0+0,36·0,2+0,41·0,6+0,14·1=0,458


Формула Байеса


РА1)=Р(А1)·РА1(А)/Р(А)


Примеры


  • Вероятность того, что семя было обработано раствором 0,95. Вероятность того, что обработанное семя взошло 0,99. Вероятность того, что необработанное семя взошло 0,85. Семя взошло, какова вероятность, что оно было обработано?

Решение:

Р(В1)=0,95; Р(В2)=0,05

РВ1(А)=0,99; РВ2(А)=0,85

Р(А)=0,95·0,99+0,05·0,85=0,983

РВ1(А)=0,95·0,99/0,983=0,957


  • Деталь попадает на проверку к одному из 2-х контролеров. Вероятность, что деталь попадет к 1-ому ─ 0,6; ко 2-ому ─ 0,4. Вероятность, что будет признана стандартной у 1-ого контролера ─ 0,99; у 2-ого ─ 0,95. Деталь признана годной. Какова вероятность, что эту деталь проверял 1-ый контролер?




  • В двух ящиках имеется по 6 шаров, из которых 4 красных и 2 черных. Из первого ящика вынимается наудачу шар и перекладывается во второй. Затем из второго ящика вынимается один шар.

    1. Найти вероятность того, что он ─ красный.

    2. Шар, вынутый второй раз, оказался красным. Какова вероятность того, что первый раз вынули черный шар?




  • Из 10 учеников, которые пришли на экзамен по математике, 3 подготовились отлично, 4 ─ хорошо, 2 ─ удовлетворительно, а 1 совсем не готовился! В билетах 20 вопросов. Отлично подготовившиеся могут ответить на 20 вопросов, на «хорошо» ─ на 16 вопросов, удовлетворительно ─ на 10 вопросов и не подготовленные ─ на 5. Каждый ученик получает 3 вопроса из 20. Приглашенный первым ученик ответил на «5». Какова вероятность, что он ─ отличник?

Решение:

Обозначим события:

В1 ─ отвечал отличник

В2 ─ отвечал хорошист

В3 ─ отвечал троечник

В4 ─ отвечал двоечник

А ─ ответил отлично

Р(В1)=0,3; Р(В2)=0,4; Р(В3)=0,2; Р(В4)=0,1

РВ1(А)=1; РВ2(А)=16/20·15/19·14/18≈0,491

РВ3(А)=10/20·9/19·8/18≈0,105; РВ4(А)=5/10·4/9·3/8≈0,09

Р(А)=0,3·1+0,4·0,491+0,2·0,105+0,1·0,09=0,5183

РА(В1)=0,3·1/0,5183=0,579


  • Рабочий обслуживает 5 станков. 20% он уделяет 1 станку, 10% ─ 2, 15% ─ 3, 25% ─ 4 и 30 ─ 5. Какова вероятность, что случайно заглянувший мастер найдет рабочего у 2-ого станка?

  • Турист, заблудившись в лесу, вышел на полянку, от которой в разные стороны ведут 5 дорог. Если он пойдет по 1-ой дороге, то вероятность выхода из леса в течение часа составит 0,6; по 2-ой ─ 0,3; по 3-ей ─ 0,2; по 4-ой ─ 0,1; по 5-ой ─0,1. Какова вероятность, что он пошел по1-ой дороге, если через час он вышел из леса?

Решение:

Вероятность пойти по какой-то определенной дороге ─ 0,2; т.к. дорог 5 и все они равновероятны.

Р(А)=0,2(0,6+0,3+0,2+0,1+0,1)=0,26

РА1)=0,2·0,6/0,26≈0,462


  • Два зенитных орудия ведут огонь по одному и тому же самолету. Вероятность попадания выстрелом из первого орудия ─ 0,2; из второго ─ 0,6. Первым залпом попали только из одного орудия. Какова вероятность того, что попали из первого орудия?

Решение:

Р(А)=0,2·0,4+0,6·0,8=0,56 ─ вероятность попадания

РА1)=0,2·0,4/0,56=1/7


  • Две группы людей придерживались разных диет. После 10 лет пребывания на этих диетах возникновение сердечно-сосудистых заболеваний составило 31% и 48%. Случайно выбранный человек оказался болен. Какова вероятность, что он из второй группы?

Решение:

Р(А)=0,5·0,31+0,5·0,48=0,395

РА2)=0,5·0,48/0,395=0,61


Серии независимых испытаний. Формула Бернулли

Наивероятнейшее число наступлений события


Pk,n=Cnk·pk·qn-k ─ формула Бернулли.


Задачи


  • Монета подбрасывается 10 раз. Какова вероятность, что 2 раза выпадет герб?

Решение:

р=0,5; q=1-0,5=0,5; n=10; k=2

P2,10=C102·(0,5)2·(0,5)8=45/1024=0,0439


  • Вероятность попадания в мишень одним выстрелом 1/8. Какова вероятность того, что из 5 выстрелов не будет ни одного попадания?




  • Посеяно 15 семян, вероятность того, что они взойдут 80%. Какова вероятность, что взойдет 12 семян?




  • Два равносильных шахматиста играют в шахматы. Что вероятнее: выиграть одну партию из двух или две партии из четырех?

Решение:

P1,2=C21·p1·q1=2·0,5·0,5=0,5

P2,4=C42·p2·q2=2·3·4/2·1/4·1/4=3/8

Вероятность выиграть одну партию из двух выше.


  • Рабочий обслуживает 12 одинаковых станков. Вероятность того, что в течение часа станок потребует регулировки, равна 1/3. Какова вероятность, что в течение часа придется регулировать 4 станка?




  • В магазин зашли 8 человек. Вероятность того, что каждый что-то купит 0,3. Найти вероятность того, что 3 человека что-то купят.


n·p-q≤k0≤n·p+p ─ наивероятнейшее число появлений события при повторном испытании


Задачи


  • Садовод сделал осенью 6 прививок. По опыту прошлых лет известно, что после зимовки 7 из каждых 10 удачные. Какое число прижившихся черенков наиболее вероятно?

Решение:

n=6; p=0,7; q=1-0,7=0,3

6·0,7-0,3≤k0≤6·0,7+0,7

3,9≤k0≤4,9

k0=4

P4,6=C64·p4·q2=5·6/2·(0,7)4·(0,3)2=0,324


  • Из всей продукции обувной фабрики 30% составляют изделия высшего сорта. Сколько пар ботинок высшего сорта можно надеяться найти среди 75 пар, поступивших в продажу?




    • Чему равно вероятнейшее число ясных дней в сентябре, если по опыту прошлых лет в среднем 11 дней пасмурные?




Скачать 268,68 Kb.
оставить комментарий
Дата02.10.2011
Размер268,68 Kb.
ТипРешение, Образовательные материалы
Добавить документ в свой блог или на сайт

плохо
  1
не очень плохо
  1
средне
  1
отлично
  8
Ваша оценка:
Разместите кнопку на своём сайте или блоге:
rudocs.exdat.com

База данных защищена авторским правом ©exdat 2000-2014
При копировании материала укажите ссылку
обратиться к администрации
Анализ
Справочники
Сценарии
Рефераты
Курсовые работы
Авторефераты
Программы
Методички
Документы
Понятия

опубликовать
Документы

Рейтинг@Mail.ru
наверх