Рабочая программа, методические указания и контрольные задания для студентов специальности 220100 «Вычислительные машины, системы, комплексы и сети» Института дистанционного образования icon

Рабочая программа, методические указания и контрольные задания для студентов специальности 220100 «Вычислительные машины, системы, комплексы и сети» Института дистанционного образования


Смотрите также:
Рабочая программа...
Методические указания и контрольные задания для студентов заочников Специальности 230101...
Рабочая программа...
Рабочая программа...
Рабочая программа для студентов 3 курса по специальности (вэвм) 220100 Вычислительные машины...
Методические указания и контрольные задания Для студентов специальности 230101 «Вычислительные...
Методические указания и контрольные задания Для студентов специальности 230101 «Вычислительные...
Рабочая программа по дисциплине общий курс физики...
Рабочая программа по дисциплине общий курс физики...
Рабочая программа для студентов Vкурса специальности 220100 “Вычислительные машины, комплексы...
Рабочая программа для студентов IV курса специальности 230101 (220100) “Вычислительные машины...
Методические указания и контрольные задания Для студентов специальности 230101...



Загрузка...
скачать


Министерство образования Российской Федерации

Томский политехнический университет

__________________________________________________________________


УТВЕРЖДАЮ

Директор ИДО

________________А.Ф. Федоров

«____»________________2004 г.


ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ, МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА И СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ



Рабочая программа, методические указания и контрольные задания

для студентов специальности
220100 «Вычислительные машины, системы, комплексы и сети»

Института дистанционного образования



Семестр

4

5

Лекции, часов

2

12

Практические занятия, часов




6

Контрольная работа




1

Самостоятельная работа, часов




84

Формы контроля




экзамен



Томск 2004

УДК 519.2

ББК 22.17я73


Теория вероятностей, математическая статистика и случайные процессы: Рабочая программа, метод. указ. и контр. задания для студентов спец. 220100 «Вычислительные машины, системы, комплексы и сети» ИДО/ Сост. Ю.Я. Кацман. – Томск: Изд. ТПУ, 2004. – 16 c.


Рабочая программа, методические указания и контрольные задания рассмотрены и рекомендованы к изданию методическим семинаром кафедры вычислительной техники «_____»_____________ 2003г.


Зав. кафедрой, профессор, д.т.н. ______________Н.Г. Марков

Аннотация


Рабочая программа по дисциплине «Теория вероятностей, математическая статистика и случайные процессы» подготовлена для студентов специальности 220100 «Вычислительные машины, системы, комплексы и сети» ИДО ТПУ.

В дисциплине «Теория вероятностей, математическая статистика и случайные процессы» рассматриваются основные положения теории вероятностей. Большое внимание уделено изучению свойств независимых событий, вероятности сложных событий и вычислению обратных вероятностей. Рассмотрение биномиального, пуассоновского и нормального законов распределений имеет дальнейшее продолжение при изучении методов математической статистики и случайных процессов. Изучение одномерных (многомерных) случайных величин и их свойств позволяет вычислять корреляционные матрицы, строить статистические (регрессионные) модели.

В изучаемой дисциплине рассматриваются основные задачи математической статистики, оцениваются ошибки первого и второго рода при проверке гипотез.

При изучении случайных процессов используется аппарат цепей Маркова для описания функционирования вычислительных систем. Большое внимание уделено практическим вопросам, связанным с автоматическим управлением, обработкой опытных данных, установлении их точности и т.п.

Теоретические знания, подкрепляются на практических занятиях, которые посвящены решению типовых задач по основным разделам изучаемой дисциплины.



^

1. ЦЕЛИ И ЗАДАЧИ УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ


Современные научные и инженерные исследования, многие технологические разработки и достижения, особенно в компьютерных и сетевых технологиях, были бы невозможны без широкого использования некоторых наиболее известных разделов прикладной математики: теории вероятностей, математической статистики и теории случайных процессов.

Теория вероятностей изучает свойства массовых случайных событий, способных многократно повторяться при воспроизведении определенного комплекса условий. Предметом изучения дисциплины являются случайные события, случайные величины (одномерные и многомерные), функции распределения случайных величин, закон больших чисел и центральные предельные теоремы.

Математическая статистика, в основе которой лежат достижения теории вероятностей, – это наука о методах сбора и обработки статистических данных любых явлений, процессов общественного и производственного характера. Статистика позволяет увидеть закономерности в хаосе случайных данных, выделить устойчивые связи в них, определить (прогнозировать) наши действия с тем, чтобы увеличить долю правильно принятых решений. Основными разделами дисциплины являются:

  • Выборочное (точечное) оценивание.

  • Интервальное оценивание.

  • Проверка статистических гипотез.

Теория случайных процессов изучает закономерности случайных явлений (случайных функций) в динамике их развития. В теории случайных процессов особое место занимают марковские случайные процессы, которые тесно связаны с теорией массового обслуживания, с понятиями потока событий и т.п.

Теоретические знания, полученные на лекциях и при самостоятельной работе, подкрепляются на практических занятиях и закрепляются при выполнении индивидуальных заданий.

Целью данной дисциплины являются:

  • Обучение студентов методам теории вероятностей, изучение характеристик одномерных и многомерных случайных величин;

  • Изучение основных задач математической статистики, которые необходимы инженерам для грамотной эксплуатации и разработки элементов вычислительной техники и программного (математического) обеспечения.

  • Построение математической модели системы массового обслуживания (вычислительной системы) и оценка ее характеристик.

В соответствии с требованиями ГОС ВПО в результате изучения дисциплины студенты должны знать:

  • Основные методы решения задач теории вероятностей;

  • Стандартные методы статистической обработки экспериментальных данных.

  • Методы оценки (расчета) характеристик модели системы массового обслуживания (вычислительной системы).

Получив в процессе обучения опыт использования всех имеющихся на кафедре возможностей вычислительной техники и программного обеспечения, усвоив полученные знания на теоретических и практических занятиях, студенты должны уметь:

  • Решать типовые задачи теории вероятностей и математической статистики.

  • Производить статистическую обработку экспериментальных данных, методом наименьших квадратов находить коэффициенты аппроксимирующих функций, и т.п.

Содержание дисциплины “Теория вероятностей, математическая статистика и случайные процессы” по специальности 220100 базируется на материале следующих дисциплин: “Высшая математика”, “Линейная алгебра”, “Информатика”, “Дискретная математика” и “Теория графов”. Приобретенные знания и навыки будут использованы студентами при дальнейшем изучении общетехнических и специальных дисциплин: “Схемотехника”, “Моделирование”, “Сети ЭВМ и средства телекоммуникаций”, “Операционные системы” и др.

Изучение данной дисциплины предусматривает большой объем самостоятельной работы студентов всех форм обучения, особенно студентов – заочников, обучающихся по дистанционным технологиям.

Основным источником знаний при изучении дисциплины являются рекомендованные учебники, методические пособия и указания по курсу “Теория вероятностей, математическая статистика и случайные процессы” в бумажном и электронном (CD, дискета) виде. Методические, учебные и справочные материалы можно также получить на Web – сервере кафедры вычислительной техники: http://www.ce.cctpu.edu.ru.

Собственно самостоятельная работа студентов включает в себя:

  • изучение теоретического материала с обязательным самоконтролем, усвоенного материала;

  • выполнение индивидуальных заданий, требующих от студента умения четко уяснить проблему (задачу) и обоснованно выбрать метод решения.
^

2. СОДЕРЖАНИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКОГО РАЗДЕЛА ДИСЦИПЛИНЫ


    1. Комбинаторика, события

Элементарные комбинаторные соотношения. Пространство элементарных событий, случайные события, алгебра событий.

    1. Вероятность

Классическое, статистическое (частотное) и геометрическое определение вероятности. Законы сложения и умножения вероятностей. Несовместные и независимые события. Условная вероятность. Формула полной вероятности, формула Байеса (теорема гипотез).

    1. ^ Повторение испытаний

Схема Бернулли, наивероятнейшее число успехов. Полиномиальное распределение. Локальная и интегральная теоремы Муавра – Лапласа. Закон редких событий (Пуассона).

    1. ^ Случайные величины

Типы случайных величин (СВ). Законы распределения СВ. Интегральная функция распределения СВ и ее свойства. Непрерывные СВ, плотность распределения и ее свойства. Характеристики положения СВ: мода, медиана, квантили и процентные точки. Числовые характеристики одномерных СВ. Начальные и центральные моменты СВ. Математическое ожидание и его свойства. Дисперсия и ее свойства. Коэффициенты асимметрии и островершинности распределения.

    1. ^ Многомерные случайные величины

Двумерная функция распределения вероятности и ее свойства. Плотность вероятности двумерной случайной величины и ее свойства. Условная плотность распределения. Числовые характеристики многомерных СВ, начальные и центральные моменты. Ковариация, коэффициент корреляции и его свойства. Корреляционная матрица системы случайных величин.

    1. ^ Законы распределения случайных величин

Равномерный, показательный и нормальный законы распределения. Вероятность попадания на интервал, математическое ожидание, дисперсия, скос и эксцесс. Стандартное нормальное распределение. Функция надежности.

    1. ^ Закон больших чисел

Неравенство Чебышева. Теоремы Чебышева, Маркова и Бернулли.

    1. Элементы математической статистики

Основные понятия и задачи статистики. Выборочное распределение, объем выборки, ряд распределения, полигон и гистограмма частот. Выборочные значения и оценка параметров. Требование «хороших» оценок: несмещенность, эффективность и состоятельность.

    1. ^ Интервальное оценивание

Доверительная вероятность и доверительный интервал. Интервальная оценка для математического ожидания при известной дисперсии, при неизвестной дисперсии. Распределения Стьюдента. Интервальная оценка выборочной дисперсии. Распределение «хи-квадрат».

    1. ^ Проверка статистических гипотез и элементы
      корреляционного анализа


Критерий значимости и критическая область. Ошибки первого и второго рода. Различие между двумя выборочными средними ( критерий Стьюдента). Критерий Пирсона. Проверка гипотезы о значимом отличии выборочного коэффициента корреляции от ноля.

    1. ^ Элементы теории случайных процессов и теории
      массового обслуживания


Общее определение случайного процесса. Марковские случайные процессы. Стационарные распределения и цепи Маркова. Основы методов Монте-Карло. Моделирование детерминированных и стохастических процессов.
^

3. СОДЕРЖАНИЕ ПРАКТИЧЕСКОГО РАЗДЕЛА ДИСЦИПЛИНЫ


3.1. Тематика практических занятий

      1. Элементы комбинаторики. Элементарные события. Вероятность (классическая, статистическая и геометрическая). Решение типовых задач
        (1 час).

      2. Формулы сложения и умножения вероятностей. Формулы полной вероятности и Байеса. Решение типовых задач (1 час).

      3. Биномиальное распределение. Формулы Муавра – Лапласа, Пуассона. Решение типовых задач (1 час).

      4. Случайные величины. Числовые характеристики одномерных и многомерных СВ. Законы распределения СВ. Решение типовых задач
        (1 час).

      5. Элементы математической статистики. Точечное и интервальное оценивание. Проверка параметрических и непараметрических гипотез (1 час).

      6. Стационарные случайные процессы. Вычисление характеристик и параметров эффективности модели (стохастических систем) (1 час).

^ 4. КОНТРОЛЬНЫЕ РАБОТЫ

4.1. Общие методические указания

Варианты всех индивидуальных заданий для контрольной работы студенты получают непосредственно у преподавателя. При отсутствии студентов на установочной сессии, утере варианта и т. п. контрольное задание можно получить по электронной почте (katsman@ce.cctpu.edu.ru). Пожалуйста, при отправке письма преподавателю не забудьте указать свои данные (фамилию, имя, отчество, номер группы и название дисциплины, по которой хотите получить контрольное задание).

Контрольная работа включает 10 задач по соответствующим разделам дисциплины.

Это задание студенты выполняют дистанционно, и по мере решения задач высылают их на проверку преподавателю.

^ 4.2. Методические указания по выполнению контрольной работы

Каждый студент на установочной сессии получает у преподавателя вариант индивидуального контрольного задания, которое, как правило, состоит из 10 задач. Эти задачи охватывают основные разделы дисциплины, согласно рабочей программе:


задачи

Тема раздела

1, 3, 4

Комбинаторика, алгебра событий, вероятность классическая и статистическая. Законы сложения и умножения вероятностей.

2

Геометрическая вероятность.

5, 6

Формула полной вероятности, формула Байеса.

7, 8

Схема Бернулли, формулы Муавра - Лапласа, закон Пуассона.

9, 10

Случайные величины и их числовые характеристики.

Ниже приведен образец контрольного задания с подробными решениями каждой задачи.


^ Индивидуальное задание по теории вероятностей
вариант №#


Задача 1. Меню в студенческой столовой включает три первых, пять - вторых и четыре третьих блюда. Сколько дней можно покупать различные обеды, если считать, что обед состоит из трех блюд и любое сочетание блюд равновозможно?

Решение: При решении данной задачи применим правило произведения (комбинаторика), и учтем, что строка состоит из трех элементов. Первое блюдо (первый элемент строки) можно выбрать тремя различными способами, второе - пятью различными способами независимо от выбора первого. Таким образом, первые два блюда можно выбрать различными комбинациями. Учитывая выбор третьего блюда, окончательно получим:




Задача 2. Найти вероятность того, что сумма двух случайно выбранных чисел из промежутка [-1,1] больше нуля, а их произведение отрицательно.

Решение: Сначала построим множество всех чисел, удовлетворяющих условию Множество всех чисел, удовлетворяющих этому условию, ограничено квадратом, построенным на декартовой плоскости (см. рисунок).

Нас интересуют только те пары чисел (событие ), произведение, которых отрицательно. Ясно, что эти числа лежат во втором и четвертом квадрантах. Если при этом мы еще учтем, что их сумма должна быть положительной, то эти числа должны лежать выше прямой . Все пары чисел, удовлетворяющие данным ограничениям, лежат в заштрихованной площади (см. рисунок). Тогда искомая вероятность определяется отношением заштрихованной площади к площади квадрата:



Задача 3. Взятая наудачу деталь может оказаться либо первого (событие A), либо второго (событие B), либо третьего (событие C) сорта. Что представляют собой следующие события:

Решение: По условию задачи события A, B, C составляют полную группу попарно несовместных событий. То есть, наугад выбранная деталь может быть первого, второго или третьего сорта и никакой другой. С другой стороны, деталь второго сорта не может быть одновременно и деталью третьего сорта и т.п. Следовательно, это событие, которое состоит в том, что выбрана деталь первого или второго сорта. Событие - не взята деталь первого и третьего сорта, значит, выбрана деталь второго сорта. События - невозможные события, так как деталь не может быть первого и третьего (второго) сорта одновременно. И, наконец, - взята деталь третьего сорта.

Задача 4. Полная колода карт (52 листа) делится случайным образом на две одинаковые колоды по 26 листов. Какова вероятность следующих событий:

в каждой пачке окажется по два туза;

в одной из пачек не будет ни одного туза, а в другой - все четыре;

в одной из пачек будет один туз, а в другой - три?

Решение: Ясно, что одна комбинация из 26 листов отличается от другой хотя бы одной картой, причем порядок карт в колоде из 26 листов не существенен. Общее число различных комбинаций (способов), которыми можно извлечь 26 карт из 52 равно числу сочетаний: .

Число комбинаций, благоприятных событию A, можно вычислить, используя правило произведения. Действительно, колоду из 26 листов можно представить в виде строки, состоящей из двух компонент: . Здесь компоненту - два туза можно выбрать способами, а компоненту - любые 24 карты, кроме тузов, могут быть выбраны способами. Тогда число комбинаций, благоприятствующих событию A, равно . Вероятность события равна:



Событие может реализоваться двумя равно возможными способами: в первой колоде четыре туза, а во второй - ни одного, либо тузы - во второй колоде, а в первой - тузов нет:



Аналогичным образом определяем вероятность событие , когда в одной из пачек будет три туза, а в другой - один туз:



Задача 5. Имеются три одинаковые урны, в первой урне содержатся два белых и один черный шар; во второй урне - три белых и один черный, а в третьей - два белых и два черных шара. Какова вероятность того, что некто подойдет и из произвольной урны вынет белый шар?

Решение: Нас интересует вероятность события А – вынуть белый шар. Рассмотрим три гипотезы:

Н1 – выбор 1 урны;

Н2 – выбор 2 урны;

Н3 – выбор 3 урны.

. Условные вероятности события А при этих гипотезах соответственно равны: По формуле полной вероятности получим:



Задача 6. Прибор может собираться из высококачественных деталей и из деталей обычного качества. 40 % приборов собирается из высококачественных деталей и их надежность за время t равна 95 %. Приборы из обычных деталей за время t имеют надежность 0.7. Прибор испытан и за время t работал безотказно. Какова вероятность того, что он собран из высококачественных деталей?

Решение: Возможны 2 гипотезы:

Н1 – прибор собран из высококачественных деталей;

Н2 – прибор собран из обычных деталей.

Вероятность этих гипотез до опыта равна соответственно: В результате опыта наблюдалось событие – прибор безотказно проработал время t. Условные вероятности этого события при гипотезах Н1 и Н2 равны:

По формуле Байеса находим обратную вероятность:



Задача 7. Производится 4 независимых выстрела с вероятностью попадания р = 0.25 при каждом выстреле. Какова вероятность следующих событий: попасть ровно 1 раз, попасть не менее трех раз при четырех выстрелах?

Решение: Воспользуемся формулой Бернулли, отметив предварительно, что q = 1 - p = 0.75.






Задача 8. Вероятность появления бракованной детали равна р = 0.005. Какова вероятность того, что в партии из 10 000 деталей бракованных будет не более 70?

Решение: Согласно формуле Бернулли запишем:



Воспользуемся интегральной теоремой Муавра–Лапласа, учитывая, что в нашем случае



Здесь функция Лапласа. Теперь вычислим:



Значения функции Лапласа определим по таблицам, окончательно получим:





Задача 9. Произведено четыре опыта, в каждом из которых может произойти или не произойти событие . Вероятность события в одном опыте равна р = 0.3. Случайная величина количество появлений события в четырех опытах (дискретная СВ). Необходимо построить ряд распределения и функцию распределения СВ. Чему равно матожидание и дисперсия СВ

Решение: В результате 4 опытов событие может произойти 0, 1, 2, 3 или 4 раза. Соответствующие вероятности подсчитаем по формуле Бернулли и построим ряд распределения.


xi

0

1

2

3

4

pi

0.2401

0.4116

0.2646

0.0756

0.0081


Построим функцию распределения СВ




Вычислим . При вычислении дисперсии воспользуемся одним из ее свойств: .

Задача 10. Дана функция:



При каких значениях функция может быть принята за плотность вероятности случайной величины? Вычислите и .

Решение: Воспользуемся свойством плотности распределения:



Так как два крайних интеграла равны нулю, вычислим, при каком значении средний интеграл равен 1:



.

.

.
^

5. ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ


Билет № 1

  1. Комбинаторика: Правило произведения (строки). Пример.

  2. Чему равна вероятность полной группы событий, почему?

  3. Теорема Байеса.

  4. Вероятность попадания на интервал для дискретных и непрерывных СВ.

  5. Интервальное оценивание.


Билет № 2

  1. Элементарные события. Приведите пример.

  2. Классическое определение вероятности. Приведите пример.

  3. Закон редких событий и условия его применимости.

  4. Интегральная функция распределения и ее свойства.

  5. Проверка статистических гипотез. Приведите пример.


Билет № 3

  1. Чему равна вероятность противоположного события, почему?

  2. Формула полной вероятности.

  3. Характеристики положения одномерной СВ.

  4. Функция надежности.

  5. Неравенство Чебышева.


Билет № 4

  1. Сравните перестановки и размещения. В чем сходство и отличия?

  2. Частотное (статистическое) определение вероятности.

  3. Чему равно наивероятнейшее число успехов в схеме Бернулли?

  4. Центральные моменты одномерной СВ. Дисперсия и ее свойства.

  5. Теорема Чебышева и обобщенная теорема Чебышева (суть).



Билет № 5

  1. Чему равна вероятность достоверного, невозможного события?

  2. Теорема: Вероятность произведения.

  3. Вероятность попадания на симметричный относительно математического ожидания интервал для стандартного N(0,1) распределения.

  4. Показательное распределение.

  5. Теоремы Маркова и Бернулли (суть).


Билет № 6

  1. Комбинаторика: Размещения с повторениями. Пример.

  2. Алгебра событий. (A = B U C; D = ). Дайте примеры.

  3. Интегральная теорема Муавра-Лапласа. Условия ее применимости.

  4. Многомерные СВ (на примере двумерных).

  5. Требование “хороших” оценок в статистике.


Билет № 7

  1. Случайное событие. Проиллюстрируйте диаграммой или примером события: D = A U B, K = A \ B, L = B \ A.

  2. Геометрическая вероятность.

  3. Начальный и центральный моменты двумерной СВ?

  4. Понятия независимости и некоррелированности СВ - эквивалентны?

  5. Критерий Пирсона.


Билет № 8

  1. Сочетания и размещения из N элементов по M. В чем сходство и различие?

  2. Несовместные события. В какой теореме (теоремах) учитываются эти свойства?

  3. Какие события описываются схемой Бернулли?

  4. Плотность распределения двумерной СВ, ее свойства?

  5. Выборочное оценивание.


Билет № 9

  1. Диаграммы Эйлера-Вьенна (D = A ∩ B; D = A \ B).

  2. Что такое гипотеза? В чем ее сходство и отличие от элементарного события?

  3. Начальные моменты одномерной СВ. Свойства математического ожидания.

  4. Распределение “хи-квадрат”, где используется?

  5. Ошибки первого и второго рода.


Билет № 10

  1. Понятия “элементарные события” и “полная группа событий” эквивалентны?

  2. Вероятность суммы событий.

  3. На каком основании биномиальное (дискретное) распределение заменяется формулой Муавра-Лапласа?

  4. Нормальное распределение.

  5. Основы линейного корреляционного анализа.


Билет № 11

  1. Алгебра событий?

  2. Дайте определения ряда распределения, многоугольника распределения, плотности распределения СВ.

  3. Равномерное распределение.

  4. Корреляционная матрица.

  5. Доверительный интервал для выборочной дисперсии.


Билет № 12

  1. Несовместные и независимые события, приведите примеры.

  2. Биномиальное распределение, локальная и интегральная теоремы Муавра- Лапласа - область применения?

  3. Плотность распределения одномерной СВ и ее свойства.

  4. Коэффициент корреляции.

  5. Распределение Стьюдента. В каких случаях мы его используем?



^

6. УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ


6.1. Литература обязательная


  1. Лазарева Л.И., Михальчук А.А. Теория вероятностей. Математическая статистика: Учебное пособие. – Томск: Изд. ТПУ, 1999.- 117 с.

  2. Гмурман В. Е. Теория вероятностей и математическая статистика. –М., 1998. – 480 с.

  3. Гмурман В. Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математическая статистика. – М., 1979. – 400 с.

  4. Кремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебник для вузов. – М.: ЮНИТИ – ДАНА, 2002. – 543 с.

^ 6.2. Литература дополнительная

  1. Вентцель Е. С., Овчаров Л. А. Теория вероятностей. - М.,1973.– 364с.

  2. Гнеденко Б.В. Курс теории вероятностей. – М., 1965, 1969. – 400 с.

  3. Бендат Дж., Пирсол А. Прикладной анализ случайных данных: Пер. с англ. – М.: Мир, 1989. – 540 с.



ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ, МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА И СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ



Рабочая программа, методические указания и контрольные задания.


Составитель: Юлий Янович Кацман


Рецензент: В.И. Рейзлин, к.т.н., доцент каф. ИПС АВТФ


Подписано к печати

Формат 60х84/16. Бумага ксероксная.

Плоская печать. Усл. печ.л. 0,93. Уч.-изд.л. 0,84.

Тираж экз. Заказ . Цена свободная.

ИПФ ТПУ. Лицензия ЛТ №1 от 18.07.94.

Типография ТПУ. 634034, Томск, пр. Ленина, 30.





Скачать 185,26 Kb.
оставить комментарий
Дата02.10.2011
Размер185,26 Kb.
ТипРабочая программа, Образовательные материалы
Добавить документ в свой блог или на сайт

средне
  1
Ваша оценка:
Разместите кнопку на своём сайте или блоге:
rudocs.exdat.com

Загрузка...
База данных защищена авторским правом ©exdat 2000-2017
При копировании материала укажите ссылку
обратиться к администрации
Анализ
Справочники
Сценарии
Рефераты
Курсовые работы
Авторефераты
Программы
Методички
Документы
Понятия

опубликовать
Загрузка...
Документы

наверх