Вступительные экзамены по математике проводятся в письменной форме icon

Вступительные экзамены по математике проводятся в письменной форме


Смотрите также:
Программа вступительного экзамена Москва 2011...
При поступлении на сокращенные программы впо вступительные испытания проводятся в виде...
Программа вступительного экзамена по литературе пояснительная записка...
Материалы для подготовки к экзамену по дисциплине «Теория государства и права» Вступительные...
Программы вступительных испытаний в фгоу впо «Орловский государственный институт искусств и...
Выставляется за глубокие...
Поступление на первый курс в вуз в 2011 году происходит как на основании Единого...
Памятка поступающему в аспирантуру...
Программа вступительных испытаний для лиц, поступающих на направление подготовки 050100...
Программа вступительных испытаний для лиц, поступающих на направление подготовки 050100...
Программа вступительного испытания по математике...
Как легко учиться и сдавать экзамены...



Загрузка...
страницы:   1   2   3   4
скачать
МАТЕМАТИКА


Вступительные экзамены по математике проводятся в письменной форме.

Типовые варианты билетов дают представление об уровне требований, предъявляемых к поступающим в Горный институт.

Каждый билет содержит десять заданий. Эти задания включают преобразование алгебраического выражения, решение показательного, логарифмического, тригонометрического или иррационального уравнений, системы уравнений (алгебраических или показательно-логарифмических), задач на нахождение или применение производной, на прогрессию, на составление алгебраического уравнения или системы уравнений и задач по геометрии. В билет также входят задачи на решение алгебраического, иррационального, тригонометрического или показательно-логарифмического неравенств, нахождение области определения функции. Включены также задачи с параметром.

При выполнении заданий следует представить все необходимые математические выкладки.

Задания в билете разной сложности, что следует учитывать при решении, так как оценка каждого задания зависит от уровня его сложности.

Все числовые ответы должны быть приведены точно, т.е. не нужно переводить обыкновенные дроби в десятичные.

В билеты не включены задания на вычисление и применение интегралов. В целом материал не выходит за рамки программы средней общеобразовательной школы.

Часть примеров приведена с решениями и указаниями, к остальным даны ответы. Все указания надо изучить внимательно, поскольку они носят общий характер и их надо учитывать при решении задач.

Билет 1


1. Упростить выражение



при

2. Решить уравнение

3. Найти интервалы монотонности и экстремумы функции .

4. Собрано 100 кг грибов, влажность которых равна 99 %. После сушки влажность снизилась до 98 %. Какой стала масса грибов?

5. В прямоугольном треугольнике биссектриса острого угла делит противоположный катет на отрезки длиной 4 и 5 см. Определить площадь треугольника.

6. Решить уравнение

7. Решить уравнение .

8. Решить систему уравнений



9. Решить неравенство



10. При каких значениях параметра р уравнение имеет единственный вещественный корень?

Решения


1. Прежде чем приводить дроби к общему знаменателю, надо упростить каждую дробь: для первой дроби используем формулу



для второй



Тогда





Окончательно



Ответ: 0.


2. Для всех уравнений надо находить ОДЗ. Проверка делается при необходимости (например, в случае появления иррациональных выражений).

Если в процессе решения были сделаны нетождественные преобразования, то проверку надо делать обязательно.

В данном примере ОДЗ: хR.

Представим 22х – 1 = 22(х – 1/2) = 4х – 1/2 и соберем степени с одинаковыми основаниями в левой и правой частях уравнения:



Вынесем общие множители за скобки:



Разделим обе части уравнения на 3х – 1/2 и 3:



по свойству степеней получим



Ответ:


3. Найдем область определения функции : .

Вычислим .

Найдем стационарные точки функции: .

Исследуем производную на знак в области определения функции, результаты исследования представим в виде таблицы:


х







0











0

+




+

0





















Ответ: функция возрастает на интервалах и , убывает на интервалах и ,  точка минимума,  точка максимума, , .


4. Масса грибов без воды составляет 1 % от 100 кг, т.е. 1 кг. После сушки 1 кг грибов есть уже 2 % от новой массы, которую обозначим как х кг. Получим пропорцию

x кг – 100 %

1 кг – 2 %,

откуда х = 1100/2 = 50 кг.

Ответ: 50 кг.


5. Сделаем чертеж (рис.1). CD – биссектриса, АD = 4 см, ВD = 5 см; обозначим АС = х, ВС = у.




Воспользуемся тем, что биссектриса любого угла треугольника делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам. Тогда



катет АВ = 4 + 5 = 9 см. По теореме Пифагора



и площадь треугольника см2.

Ответ: площадь треугольника 54 см2.


6. Для решения уравнения используем формулу двойного угла cos2x = 2cos2x – 1. Получим





Возможны два случая:

 ;

 



Ответ:


7. Найдем ОДЗ данного уравнения. Для этого выпишем два условия. Первое условие: подкоренное выражение неотрицательно; второе: правая часть должна быть неотрицательна в силу того, что в левой части стоит квадратный корень, который по определению неотрицателен. Получим систему неравенств

    .

Теперь можно возвести обе части уравнения в квадрат:

    .

Решения уравнения и , причем ОДЗ. Как сказано выше, в иррациональных уравнениях обязательна проверка.

Проверка. Подставим в левую и правую части уравнения по отдельности и убедимся, что левая часть равна правой. Получим 2  2.

Ответ: .


8. ОДЗ заданной системы уравнений



так как функция f(x) = log a x задана при х > 0.

В первом уравнении представим 1 = 30. Тогда



Во втором уравнении воспользуемся свойством т.е.



Потенцируя уравнение, получим (у + 2)2 = 5х – 1. Итак, имеем алгебраическую систему



1-й случай:



что невозможно, так как (у + 2)2  0.

2-й случай:



Ответы удовлетворяют ОДЗ.

При решении любой системы уравнений достаточно сложно установить тождественность всех преобразований (это может занять больше времени, чем само решение системы), поэтому следует всегда делать проверку.

Проверка. Подставим х и у в левую часть первого уравнения и в левую и правую части второго уравнения по отдельности и убедимся, что левые части тождественно равны (или не равны) правым. При х = 2 и у = 1 получим



При х = 10 и у = 5



Таким образом, обе пары корней являются решениями системы.

Ответ:


9. Раскроем данное неравенство по правилу x  а  –а  x  a, т.е.



Получим двойное неравенство. Решим каждое неравенство отдельно. Первое неравенство



Решение неравенств следует начинать с нахождения ОДЗ. ОДЗ: Далее переносим все выражения из правой части в левую и приводим к общему знаменателю:



Умножим обе части неравенства на –1, знак неравенства изменится на противоположный:






Решим данное неравенство по методу интервалов: если исключены сомножители в четной степени, то левая часть неравенства меняет знак при переходе переменной х через корни по правилу «змейки» (рис.2).

С учетом ОДЗ получим х(–2, 8/5]  (2, +).

Второе неравенство



Найдем ОДЗ: х  2. Решаем аналогично:



В соответствии с методом интервалов нарисуем график (рис.3).



С учетом ОДЗ получим

.

Поскольку оба неравенства должны выполняться одновременно, учтем только общие промежутки.

Ответ:


10. Рассмотрим два случая:

. Решение единственное: .

. Обозначив , получим квадратное уравнение

.

Найдем его решения: . Здесь также возможны два случая:

и . Следовательно, существует единственное решение: .

, тогда решений два. Если одно из решений не удовлетворяет условию y > 0, т.е., например, y1 < 0, а y2 > 0, то решение y2 – единственное. По теореме Виета произведение корней y1y2 = –p/4 и, ввиду того, что корни должны иметь разные знаки, выражение –p/4 < 0. Получим систему неравенств

.

Ответ найдем, объединяя все случаи: р = 0, р = –25/16 и р > 0.

Ответ: .


Билет 2


1. Упростить выражение



при .

2. Решить уравнение .

3. Найти уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой .

4. Даны три первых члена геометрической прогрессии –27/40; 9/20; –3/10; … Найти номер члена этой прогрессии, равного 4/45.

5. Два туриста выезжают одновременно на мопедах из пунктов М и N навстречу друг другу. Расстояние MN равно 50 км. Встретившись через 1 ч, они продолжают путь с той же скоростью. Первый приехал в пункт N на 50 мин раньше, чем второй в пункт М. Найти скорость, с которой ехали туристы.

6. Решить уравнение

7. Решить уравнение

8. Решить неравенство .

9. Решить неравенство

.

10. Решить систему уравнений





Скачать 275,34 Kb.
оставить комментарий
страница1/4
Дата02.10.2011
Размер275,34 Kb.
ТипДокументы, Образовательные материалы
Добавить документ в свой блог или на сайт

страницы:   1   2   3   4
Ваша оценка этого документа будет первой.
Ваша оценка:
Разместите кнопку на своём сайте или блоге:
rudocs.exdat.com

Загрузка...
База данных защищена авторским правом ©exdat 2000-2017
При копировании материала укажите ссылку
обратиться к администрации
Анализ
Справочники
Сценарии
Рефераты
Курсовые работы
Авторефераты
Программы
Методички
Документы
Понятия

опубликовать
Загрузка...
Документы

Рейтинг@Mail.ru
наверх