Учебная программа по специальности 01. 02. 00 Прикладная математика и информатика icon

Учебная программа по специальности 01. 02. 00 Прикладная математика и информатика


Смотрите также:
Программа вступительного экзамена по математике подготовки магистров по направлению 010500...
Учебная программа по дисциплине «Системное и прикладное программное обеспечение» Специальность:...
Рабочая программа по курсу “Дискретная математика” ( наименование дисциплины по учебному плану )...
Программа дисциплины опд. Фз...
Рабочая программа по дисциплине «теория сложности алгоритмов и вычислений» для специальности...
Рабочая программа по дисциплине «Методы и средства защиты компьютерной информации» для...
Программа дисциплины дс. 11...
Программа дисциплины ф дифференциальные уравнения для студентов специальности 010501 (прикладная...
Программа дисциплины дс...
Программа дисциплины дс...
Программа государственного экзамена «Вычислительная математика» для студентов проходящих...
Программа дисциплины ен. Ф...



Загрузка...
скачать


Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

Стерлитамакская государственная

педагогическая академия


ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ


Учебная программа


по специальности

01.02.00 – Прикладная математика и информатика


Стерлитамак 2007

ББК


Учебная программа по дисциплине «Численные методы» составлена в соответствии с требованиями государственного образовательного стандарта Российской Федерации. Предназначена для студентов специальности 01.02.00 – «Прикладная математика и информатика»


Составители: Кризский В.Н., д.ф.-м.н., профессор; Викторов С.В. – к-ф.-м.н., ст. преп.; Галиаскарова Г.Р. – к-ф.-м.н., ст. преп., Беляева М.Б. – ассистент.


Утверждена на заседании кафедры математического
моделирования СГПА 12 октября 2006 г., протокол № 2



© Кризский В.Н., Викторов С.В.,
Галиаскарова Г.Р., Беляева М.Б., 2007

© Стерлитамакская государственная педагогическая академия, 2007

Введение



Программа составлена на основе ГОС ВПО специальности 01.02.00 – Прикладная математика и информатика (номер государственной регистрации – 199 ЕН/СП).

Цель дисциплины ОПД.Ф.09 "Численные методы" – дать студентам в пользование инструментарий численного решения прикладных задач на ЭВМ – методы и алгоритмы вычислительной математики, научить их правильно, с учетом погрешности, выбирать метод решения, строить алгоритм и реализовывать его в виде программы на каком-либо языке высокого уровня.

Изложение теории численных методов дается на основе традиционных курсов математического анализа, линейной алгебры, дифференциальных уравнений, уравнений математической физики.

Курс состоит из разделов: Численные методы решения систем линейных алгебраических уравнений, скалярных нелинейных уравнений и систем, решение спектральных задач линейной алгебры, интерполирование, аппроксимация, дифференцирование и интегрирование функций, решение начально-краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений в частных производных.

Материал по курсу "Численные методы" необходим для выполнения студентами курсовых и дипломных работ, а также для обеспечения прикладных студенческих научно-исследовательских работ.

^

Организационно-методические указания



Курс занимает важное место среди прикладных математических дисциплин. В процессе работы над курсом студенты должны на основе рассмотренных примеров освоить процедуру обоснованного выбора численного метода исследования математической модели социальных, экономических, физических процессов и явлений.

Курс «Численные методы» преследует две основные цели:

  • Познакомить студентов с основными численными методами и реализующими их алгоритмами;

  • Подготовить студентов к решению практических задач, требующих, как правило, применения комбинации численных методов, и относящихся к самым различным сферам приложения: кибернетика, прикладная математика, математическое моделирование, оптимизация, автоматизированные системы управления и т.п.

Этим целям соответствует набор изучаемого материала и расстановка акцентов. Кроме того, курс «Численные методы» необходим для выполнения студентами курсовых и дипломных работ, а также для обеспечения студенческих научно-исследовательских работ.

В результате изучения данного курса

Студенты должны знать:

  • этапы решения задачи на ЭВМ;

  • виды и причины возникновения погрешностей;

  • основные вычислительные методы, их идеи, порядки привносимых погрешностей.
^

Студенты должны уметь:


  • Обоснованно выбрать численный метод решения задачи;

  • Оценить параметры метода в зависимости от заданной точности расчетов;

  • Построить алгоритм и программу реализации метода;

  • Подобрать примеры и с их помощью иллюстрировать действие методов.

  • Проводить доказательства (выводить формулы) в несложных ситуациях.

  • Решать стандартные задачи.

Студенты должны быть знакомы с учебной и научной литературой по «Численным методам».

Курс «Численные методы» общим объемом 150 часов изучается в течение двух семестров – в 5-м и в 8-м семестрах. В 5-м семестре изучаются численные методы линейной алгебры и анализа, 8-й семестр ориентирован на численные методы решения задач для обыкновенны дифференциальных уравнений, уравнений математической физики и интегральных уравнений. В ходе изучения данного курса студент слушает лекции, посещает практические и лабораторные занятия, занимается индивидуально. Освоение курса предполагает также выполнение контрольных, курсовых и дипломных работ. Особое место в овладении данным курсом отводится самостоятельной работе студентов.

Особенность данного курса состоит в том, чтобы научить студентов строить вычислительные алгоритмы и программы в средах программирования для языков высокого уровня (Pascal, Delphi, C++), а для сравнительных целей и графического отображения результатов моделирования – пользоваться одним из пакетов прикладных программ “MathCad”, “MathLab”, “Maple”.

Каждый семестр завершается экзаменом. При этом студент должен показать знание теоретического материала, приводить примеры применения методов, уметь решать типовые задачи. Важным фактором является умение экзаменуемого оперировать в своем ответе ссылками на соответствующие положения в учебной и научной литературе.


^ Содержание курса


Тема №1. Математическое моделирование. Этапы решения задачи на ЭВМ. Вычислительные модели и методы. Виды погрешностей. Полная погрешность задачи. Особенности машинной арифметики.


Тема №2. Корректность. Аппроксимация. Операторное уравнение. Корректность задач по Адамару. Корректность задач по Тихонову. Аппроксимация, сходимость, устойчивость. Изоморфизм пространства линейных операторов в конечномерных пространствах пространству матриц.


Тема №3. Векторы и матрицы. Основные числовые характеристики. Норма. Число обусловленности. Аддитивные и мультипликативные разложения матриц. -разложение квадратной матрицы, -разложение диагональных матриц. -разложение эрмитовых матриц, схема Холецкого. Ортогональные и унитарные матрицы. Матрицы вращения Гивенса. Матрицы отражения Хаусхолдера. Разложение матриц с применением ортогональных и унитарных матриц.

Нахождение определителя с использованием мультипликативных разложений матриц.


Тема №4. Проблема собственных значений. Полная и неполная проблема. Прямые и итерационные методы. Метод Данилевского. Метод Леверье. Метод вращений Якоби. Степенной метод. Методы на основе мультипликативных разложений матриц.


Тема №5. Решение систем линейных алгебраических уравнений. Точные методы. Метод Гаусса. Метод -разложений. Уточнение решения СЛАУ. Метод прогонки. Метод квадратного корня. Мера обусловленности системы, оценка погрешности приближенного решения системы. Понятие о методе регуляризации решения систем линейных алгебраических уравнений. Итерационные методы. Метод простых итераций. Критерий сходимости, достаточные условия сходимости. Оптимизация скорости сходимости итерационных процессов. Метод Якоби. Метод Зейделя. Метод последовательной релаксации.

Обратная матрица. Уточнение элементов обратной матрицы.


Тема №6. Скалярные нелинейные уравнения. Итерационные численные методы решения уравнений с одним неизвестным: метод половинного деления, метод хорд, касательных, секущих, комбинированный метод хорд и касательных, метод простых итераций. Система скалярных нелинейных уравнений. Метод простых итераций. Метод скорейшего спуска. Метод Ньютона. Метод скорейшего спуска решения СЛАУ.


Тема №7. Численная интерполяция. Интерполяционный многочлен Лагранжа. Интерполяционная схема Эйткина. Конечные и разделенные разности. Интерполяционный многочлен Ньютона (1 и 2 формулы). Узлы Чебышева. Сходимость интерполяционных процессов. Интерполирование сплайнами. Кубические сплайны. В-сплайны.


Тема №8. Приближение функций. Наилучшие приближения в нормированных пространствах. Наилучшие приближения в гильбертовых пространствах. Наилучшее среднеквадратичное приближение функции алгебраическими многочленами. Многочлены Чебышева, наименее уклоняющиеся от нуля и их свойства. Метод наименьших квадратов.


Тема №9. Численное интегрирование. Подходы построения квадратурных формул. Интерполяционные квадратурные формулы. Квадратурные формулы Ньютона-Котеса. Формула трапеций. Формула Симпсона. Остаточный член. Квадратурные формулы наивысшей степени точности. Метод Гаусса. Интегрирование быстро осциллирующих функций. Косинус-преобразование Фурье. Синус-преобразование Фурье. Сходимость квадратурных процессов.


Тема №10. Численное дифференцирование. Формулы численное дифференцирование на основе интерполяционных многочленов. Некорректность задачи.


Тема №11. Численное интегрирование обыкновенных дифференциальных уравнений. Задача Коши. Интегрирование с помощью степенных рядов. Метод последовательных приближений Пикара. Метод Эйлера. Методы Рунге-Кутта. Методы Адамса-Башфорта. Методы Адамса-Моултона. Методы прогноза и коррекции. Общий вид линейных многошаговых методов. Условия согласованности. Разностные уравнения. Устойчивость, неустойчивость, жесткость.


Тема №12. Краевые задачи для ОДУ второго порядка. Методы сведения к задаче Коши: метод «стрельбы», метод редукции, метод дифференциальной прогонки. Метод конечных разностей. Метод коллокаций. Метод Галеркина. Метод конечных элементов (проекционно-разностный). Метод Ритца. Вариационно-разностные методы.


Тема №13. Дифференциальные уравнения в частных производных. Начальные и краевые условия. Классификация краевых задач. Основные понятия теории разностных схем. Аппроксимация, сходимость, устойчивость. Метод Либмана решения задачи Дирихле для уравнения Пуассона. Метод сеток для уравнения параболического типа. Метод прогонки для уравнения теплопроводности. Метод сеток решения краевой задачи уравнения колебания струны.


Тема №14. Интегральные уравнения. Метод квадратур решения интегрального уравнения Вольтерра первого и второго рода. Метод квадратур решения интегрального уравнения Фредгольма второго рода. Случай вырожденного ядра. Некорректность задачи для интегрального уравнения Фредгольма первого рода.



Методические рекомендации по изучению курса


План самостоятельной работы студентов


Форма контроля: коллоквиум, экзамен.

Срок отчетности: 5 семестр – ноябрь, январь,

8 семестр – апрель, июнь.


Вопросы, выносимые на самостоятельное изучение


  1. Число обусловленности матриц. Плохо обусловленные матрицы.

  2. Унитарные матрицы. Разложение унитарных матриц.

  3. Нахождение определителя с использованием мультипликативных разложений унитарными матрицами.

  4. Проблема собственных значений. Метод Леверье.

  5. Метод левой прогонки решения СЛАУ с трехдиагональной матрицей.

  6. Метод наискорейшего спуска решения систем нелинейных скалярных уравнений.

  7. Метод левой дифференциальной прогонки.

  8. Методы Рунге-Кутта высоких порядков (Мерсона, Фельберга, Бетчера, Дормана-Принса).

  9. Метод левой прогонки решения начально-краевой задачи для уравненения параболического типа.

  10. Метод Ритца для краевой задачи математической физики.

Примерная тематика лабораторных работ


5 семестр

Лабораторная работа № 1. Мультипликативные разложения матриц. Нахождение определителя, собственных значений матриц. Точные и итерационные методы решения систем линейных алгебраических уравнений.


Лабораторная работа № 2. Численные методы решения скалярных нелинейных уравнений и систем.


Лабораторная работа № 3. Численные методы интерполирования и интегрирования функций.


8 семестр

Лабораторная работа № 1. Численные методы решения задач Коши и краевых задач для ОДУ.


Лабораторная работа № 2. Численные методы решения краевых задач для ДУ с ЧП.


Лабораторная работа № 3. Численные методы решения интегральных уравнений.


Примерная тематика контрольных работ


5 семестр

Контрольная работа № 1. Мультипликативные разложения матриц. Нахождение определителя, собственных значений матриц. Точные и итерационные методы решения систем линейных алгебраических уравнений.


Контрольная работа № 2. Численное интерполирование и интегрирование функций.


8 семестр

Контрольная работа № 1. Методы решения задачи Коши и краевых задач для ОДУ.


Контрольная работа № 2. Методы решения краевых задач для ДУ с ЧП.


Примерные темы курсовых работ


Форма контроля: дифференцированный зачет.

Срок отчетности – апрель.


  1. Разработка библиотечной программной процедуры реализации заданного преподавателем метода.

  2. Алгоритмы разложения специальных матриц.

  3. Нахождение спектра специального линейного оператора.

  4. Решение СЛАУ с разряженными матрицами большой размерности.

  5. Решение некорректных задач для СЛАУ с переопределенными матрицами.

  6. Квадратурные формулы наивысшей степени точности с весами.

  7. Интегрирование быстро осциллирующих функций.

  8. Сравнительный анализ численных методов решения задачи Коши.

  9. Разностные схемы на согласованных неравномерных сетках.

  10. Методы решения двумерных интегральных уравнений Вольтерра и Фредгольма.


Примерные темы дипломных работ


  1. Разработка библиотечного программного модуля реализации группы численных методов решения задачи.

  2. Решение некорректных задач для СЛАУ.

  3. Численное исследование математической модели задачи матфизики разностным методом на согласованных неравномерных сетках.

  4. Численное исследование математической модели задачи матфизики методами интегральных уравнений.

  5. Численное исследование математической модели задачи матфизики вариационными методами.

  6. Численное исследование математической модели обратной задачи матфизики.



^

Список рекомендованной литературы

Основная литература


  1. Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы. – М.: Наука,1989.

  2. Вержбицкий В.М. Основы численных методов. – М.: Высшая школа, 2002.

  3. Кризский В.Н. Численные методы. // [Электронный ресурс.] http://www.sgpa.bashtel.ru/ Fizmat / ПОСОБИЯ / Численные методы.


Дополнительная литература


  1. Демидович Б.П., Марон И.А., Шувалова Э.З. Численные методы анализа. – М.: Наука, 1962.

  2. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. – М.: Наука, 1980.

  3. Крылов В.И., Шульгина Л.Т. Справочная книга по численному интегрированию. – М.: Наука,1966.

  4. Хайрер Э., Нерсетт С., Ваннер Г. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. – М.: Мир, 1990.

  5. Самарский А.А. Теория разностных схем. – М.: Наука, 1983.



^
Вопросы к экзамену

«Численные методы (алгебра и анализ)» ( 5 семестр)


  1. Этапы решения задачи на ЭВМ. Виды погрешностей. Полная погрешность задачи.

  2. Корректность задач по Адамару и по Тихонову. Аппроксимация, сходимость, устойчивость.

  3. -разложение квадратной матрицы, -разложение диагональных матриц.

  4. -разложение эрмитовых матриц, схема Холецкого.

  5. Ортогональные и унитарные матрицы. Матрицы вращения Гивенса. Разложение матриц с применением матриц вращения.

  6. Ортогональные и унитарные матрицы. Матрицы отражения Хаусхолдера. Разложение матриц с применением матриц отражения.

  7. Нахождение определителя матрицы с использованием мультипликативных разложений.

  8. Проблема собственных значений. Метод Данилевского.

  9. Проблема собственных значений. Метод Леверье.

  10. Проблема собственных значений. Метод вращений Якоби.

  11. Проблема собственных значений. Степенной метод.

  12. Проблема собственных значений. Методы на основе мультипликативных разложений матриц.

  13. Точные методы решения СЛАУ. Метод Гаусса.

  14. Точные методы решения СЛАУ. Метод -разложений.

  15. Метод правой прогонки решения СЛАУ с трехдиагональной матрицей.

  16. Метод левой прогонки решения СЛАУ с трехдиагональной матрицей.

  17. Точные методы решения СЛАУ. Метод квадратного корня.

  18. Точные методы решения СЛАУ. Метод вращений.

  19. Точные методы решения СЛАУ. Метод отражений.

  20. Итерационные методы решения СЛАУ. Метод простых итераций.

  21. Итерационные методы решения СЛАУ. Метод Якоби.

  22. Итерационные методы решения СЛАУ. Метод Зейделя.

  23. Итерационные методы решения СЛАУ. Метод последовательной релаксации.

  24. Нахождение и уточнение элементов обратной матрицы.

  25. Скалярное нелинейное уравнение. Метод половинного деления.

  26. Скалярное нелинейное уравнение. Метод хорд.

  27. Скалярное нелинейное уравнение. Метод касательных.

  28. Скалярное нелинейное уравнение. Метод секущих.

  29. Скалярное нелинейное уравнение. Комбинированный метод хорд и касательных.

  30. Скалярное нелинейное уравнение. Метод простых итераций.

  31. Система скалярных нелинейных уравнений. Метод простых итераций.

  32. Система скалярных нелинейных уравнений. Метод наискорейшего спуска.

  33. Система скалярных нелинейных уравнений. Метод Ньютона.

  34. Метод наискорейшего спуска решения СЛАУ.

  35. Аппроксимация функций. Интерполяционный многочлен Лагранжа. Оценка погрешности.

  36. Аппроксимация функций. Интерполяционный многочлен Ньютона (1 и 2 формулы). Оценка погрешности.

  37. Аппроксимация функций методом наименьших квадратов.

  38. Сходимость интерполяционных процессов. Интерполирование сплайнами. Кубические сплайны.

  39. Постановка задачи численного интегрирования. Квадратурные формулы Ньютона-Котеса (общие положения).

  40. Формула трапеций. Общая формула трапеций. Остаточный член.

  41. Формула Симпсона. Общая формула Симпсона. Остаточный член.

  42. Формула Ньютона численного интегрирования. Общая формула Ньютона.

  43. Квадратурные формулы наивысшей степени точности. Метод Гаусса.

  44. Интегрирование быстро осциллирующих функций. Косинус-преобразование Фурье.

  45. Интегрирование быстро осциллирующих функций. Синус-преобразование Фурье.
^
Вопросы к экзамену

«Численные методы (дифференциальные и
интегральные уравнения)» ( 8 семестр)


  1. Аппроксимация производных. Вывод формул численного дифференцирования.

  2. Численные методы решения задачи Коши. Методы на основе разложения функции в ряд.

  3. Численные методы решения задачи Коши. Метод Пикара.

  4. Численные методы решения задачи Коши. Метод Эйлера.

  5. Численные методы решения задачи Коши. Методы Рунге-Кутта.

  6. Численные методы решения задачи Коши. Методы Адамса-Башфорта.

  7. Численные методы решения задачи Коши. Методы Адамса-Моултона.

  8. Численные методы решения задачи Коши. Методы типа «предиктор-корректор».

  9. Общий вид линейных многошаговых методов. Условия согласованности.

  10. Устойчивость, неустойчивость, жесткость решений задачи Коши.

  11. Методы решения краевых задач для ОДУ второго порядка. Метод «стрельбы».

  12. Методы решения краевых задач для ОДУ второго порядка. Метод редукции.

  13. Методы решения краевых задач для ОДУ второго порядка. Метод правой дифференциальной прогонки.

  14. Методы решения краевых задач для ОДУ второго порядка. Метод левой дифференциальной прогонки.

  15. Методы решения краевых задач для ОДУ второго порядка. Метод конечных разностей.

  16. Методы решения краевых задач для ОДУ второго порядка. Метод коллокаций.

  17. Методы решения краевых задач для ОДУ второго порядка. Метод Галеркина.

  18. Методы решения краевых задач для ОДУ второго порядка. Метод конечных элементов (проекционно-разностный).

  19. Методы решения краевых задач для ОДУ второго порядка. Метод Ритца.

  20. Методы решения краевых задач для ОДУ второго порядка. Вариационно-разностные методы.

  21. Основные понятия теории разностных схем. Аппроксимация, сходимость, устойчивость.

  22. Задача Дирихле для уравнения Лапласа. Метод Либмана.

  23. Метод правой прогонки для уравнения параболического типа.

  24. Метод левой прогонки для уравнения параболического типа.

  25. Метод сеток для уравнения гиперболического типа.

  26. Метод квадратур решения интегрального уравнения Вольтера первого и второго рода.

  27. Метод квадратур решения интегрального уравнения Фредгольма второго рода.

  28. Решение интегрального уравнения Фредгольма второго рода. Случай вырожденного ядра.



Лицензия на издательскую деятельность, выданная Министерством Российской

Федерации по делам печати, телерадиовещания и средств массовой коммуникации,

серия ИД № 05649, код 21 от 20.08.2001 г.


Лицензия на полиграфическую деятельность, выданная Министерством печати и

массовой информации Республики Башкортостан, Б 848063, № 57 от 27.07.1999 г.


Подписано в печать ___.___. 2007 г. Бумага офсетная. Формат 60x84 1/16.

Компьютерный набор. Гарнитура «Arial». Печать оперативная.

Усл.-печ. л. 1.0. Усл.-изд. л. 0,8. Тираж ____ экз. Заказ ________.


Редакционно-издательский отдел Стерлитамакской государственной

педагогической академии: 453103, Стерлитамак, пр. Ленина, 49





Скачать 164.75 Kb.
оставить комментарий
Дата02.10.2011
Размер164.75 Kb.
ТипПрограмма, Образовательные материалы
Добавить документ в свой блог или на сайт

Ваша оценка этого документа будет первой.
Ваша оценка:
Разместите кнопку на своём сайте или блоге:
rudocs.exdat.com

Загрузка...
База данных защищена авторским правом ©exdat 2000-2017
При копировании материала укажите ссылку
обратиться к администрации
Анализ
Справочники
Сценарии
Рефераты
Курсовые работы
Авторефераты
Программы
Методички
Документы
Понятия

опубликовать
Загрузка...
Документы

Рейтинг@Mail.ru
наверх