Учебная программа по специальности 01. 02. 00 Прикладная математика и информатика

Введение

• 
  Познакомить студентов с основными численными методами и реализующими их алгоритмами;
  
• 
  Подготовить студентов к решению практических задач, требующих, как правило, применения комбинации численных методов, и относящихся к самым различным сферам приложения: кибернетика, прикладная математика, математическое моделирование, оптимизация, автоматизированные системы управления и т.п.
  

• 
  этапы решения задачи на ЭВМ;
  
• 
  виды и причины возникновения погрешностей;
  
• 
  основные вычислительные методы, их идеи, порядки привносимых погрешностей.
  

• 
  Обоснованно выбрать численный метод решения задачи;
  
• 
  Оценить параметры метода в зависимости от заданной точности расчетов;
  
• 
  Построить алгоритм и программу реализации метода;
  
• 
  Подобрать примеры и с их помощью иллюстрировать действие методов.
  
• 
  Проводить доказательства (выводить формулы) в несложных ситуациях.
  
• 
  Решать стандартные задачи.
  

1. 
   Число обусловленности матриц. Плохо обусловленные матрицы.
   
2. 
   Унитарные матрицы. Разложение унитарных матриц.
   
3. 
   Нахождение определителя с использованием мультипликативных разложений унитарными матрицами.
   
4. 
   Проблема собственных значений. Метод Леверье.
   
5. 
   Метод левой прогонки решения СЛАУ с трехдиагональной матрицей.
   
6. 
   Метод наискорейшего спуска решения систем нелинейных скалярных уравнений.
   
7. 
   Метод левой дифференциальной прогонки.
   
8. 
   Методы Рунге-Кутта высоких порядков (Мерсона, Фельберга, Бетчера, Дормана-Принса).
   
9. 
   Метод левой прогонки решения начально-краевой задачи для уравненения параболического типа.
   
10. 
    Метод Ритца для краевой задачи математической физики.
    

1. 
   Разработка библиотечной программной процедуры реализации заданного преподавателем метода.
   
2. 
   Алгоритмы разложения специальных матриц.
   
3. 
   Нахождение спектра специального линейного оператора.
   
4. 
   Решение СЛАУ с разряженными матрицами большой размерности.
   
5. 
   Решение некорректных задач для СЛАУ с переопределенными матрицами.
   
6. 
   Квадратурные формулы наивысшей степени точности с весами.
   
7. 
   Интегрирование быстро осциллирующих функций.
   
8. 
   Сравнительный анализ численных методов решения задачи Коши.
   
9. 
   Разностные схемы на согласованных неравномерных сетках.
   
10. 
    Методы решения двумерных интегральных уравнений Вольтерра и Фредгольма.
    

1. 
   Разработка библиотечного программного модуля реализации группы численных методов решения задачи.
   
2. 
   Решение некорректных задач для СЛАУ.
   
3. 
   Численное исследование математической модели задачи матфизики разностным методом на согласованных неравномерных сетках.
   
4. 
   Численное исследование математической модели задачи матфизики методами интегральных уравнений.
   
5. 
   Численное исследование математической модели задачи матфизики вариационными методами.
   
6. 
   Численное исследование математической модели обратной задачи матфизики.
   

1. 
   Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы. – М.: Наука,1989.
   
2. 
   Вержбицкий В.М. Основы численных методов. – М.: Высшая школа, 2002.
   
3. 
   Кризский В.Н. Численные методы. // [Электронный ресурс.] http://www.sgpa.bashtel.ru/ Fizmat / ПОСОБИЯ / Численные методы.
   

1. 
   Демидович Б.П., Марон И.А., Шувалова Э.З. Численные методы анализа. – М.: Наука, 1962.
   
2. 
   Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. – М.: Наука, 1980.
   
3. 
   Крылов В.И., Шульгина Л.Т. Справочная книга по численному интегрированию. – М.: Наука,1966.
   
4. 
   Хайрер Э., Нерсетт С., Ваннер Г. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. – М.: Мир, 1990.
   
5. 
   Самарский А.А. Теория разностных схем. – М.: Наука, 1983.
   

1. 
   Этапы решения задачи на ЭВМ. Виды погрешностей. Полная погрешность задачи.
   
2. 
   Корректность задач по Адамару и по Тихонову. Аппроксимация, сходимость, устойчивость.
   
3. 
   -разложение квадратной матрицы, -разложение диагональных матриц.
   
4. 
   -разложение эрмитовых матриц, схема Холецкого.
   
5. 
   Ортогональные и унитарные матрицы. Матрицы вращения Гивенса. Разложение матриц с применением матриц вращения.
   
6. 
   Ортогональные и унитарные матрицы. Матрицы отражения Хаусхолдера. Разложение матриц с применением матриц отражения.
   
7. 
   Нахождение определителя матрицы с использованием мультипликативных разложений.
   
8. 
   Проблема собственных значений. Метод Данилевского.
   
9. 
   Проблема собственных значений. Метод Леверье.
   
10. 
    Проблема собственных значений. Метод вращений Якоби.
    
11. 
    Проблема собственных значений. Степенной метод.
    
12. 
    Проблема собственных значений. Методы на основе мультипликативных разложений матриц.
    
13. 
    Точные методы решения СЛАУ. Метод Гаусса.
    
14. 
    Точные методы решения СЛАУ. Метод -разложений.
    
15. 
    Метод правой прогонки решения СЛАУ с трехдиагональной матрицей.
    
16. 
    Метод левой прогонки решения СЛАУ с трехдиагональной матрицей.
    
17. 
    Точные методы решения СЛАУ. Метод квадратного корня.
    
18. 
    Точные методы решения СЛАУ. Метод вращений.
    
19. 
    Точные методы решения СЛАУ. Метод отражений.
    
20. 
    Итерационные методы решения СЛАУ. Метод простых итераций.
    
21. 
    Итерационные методы решения СЛАУ. Метод Якоби.
    
22. 
    Итерационные методы решения СЛАУ. Метод Зейделя.
    
23. 
    Итерационные методы решения СЛАУ. Метод последовательной релаксации.
    
24. 
    Нахождение и уточнение элементов обратной матрицы.
    
25. 
    Скалярное нелинейное уравнение. Метод половинного деления.
    
26. 
    Скалярное нелинейное уравнение. Метод хорд.
    
27. 
    Скалярное нелинейное уравнение. Метод касательных.
    
28. 
    Скалярное нелинейное уравнение. Метод секущих.
    
29. 
    Скалярное нелинейное уравнение. Комбинированный метод хорд и касательных.
    
30. 
    Скалярное нелинейное уравнение. Метод простых итераций.
    
31. 
    Система скалярных нелинейных уравнений. Метод простых итераций.
    
32. 
    Система скалярных нелинейных уравнений. Метод наискорейшего спуска.
    
33. 
    Система скалярных нелинейных уравнений. Метод Ньютона.
    
34. 
    Метод наискорейшего спуска решения СЛАУ.
    
35. 
    Аппроксимация функций. Интерполяционный многочлен Лагранжа. Оценка погрешности.
    
36. 
    Аппроксимация функций. Интерполяционный многочлен Ньютона (1 и 2 формулы). Оценка погрешности.
    
37. 
    Аппроксимация функций методом наименьших квадратов.
    
38. 
    Сходимость интерполяционных процессов. Интерполирование сплайнами. Кубические сплайны.
    
39. 
    Постановка задачи численного интегрирования. Квадратурные формулы Ньютона-Котеса (общие положения).
    
40. 
    Формула трапеций. Общая формула трапеций. Остаточный член.
    
41. 
    Формула Симпсона. Общая формула Симпсона. Остаточный член.
    
42. 
    Формула Ньютона численного интегрирования. Общая формула Ньютона.
    
43. 
    Квадратурные формулы наивысшей степени точности. Метод Гаусса.
    
44. 
    Интегрирование быстро осциллирующих функций. Косинус-преобразование Фурье.
    
45. 
    Интегрирование быстро осциллирующих функций. Синус-преобразование Фурье.
    

1. 
   Аппроксимация производных. Вывод формул численного дифференцирования.
   
2. 
   Численные методы решения задачи Коши. Методы на основе разложения функции в ряд.
   
3. 
   Численные методы решения задачи Коши. Метод Пикара.
   
4. 
   Численные методы решения задачи Коши. Метод Эйлера.
   
5. 
   Численные методы решения задачи Коши. Методы Рунге-Кутта.
   
6. 
   Численные методы решения задачи Коши. Методы Адамса-Башфорта.
   
7. 
   Численные методы решения задачи Коши. Методы Адамса-Моултона.
   
8. 
   Численные методы решения задачи Коши. Методы типа «предиктор-корректор».
   
9. 
   Общий вид линейных многошаговых методов. Условия согласованности.
   
10. 
    Устойчивость, неустойчивость, жесткость решений задачи Коши.
    
11. 
    Методы решения краевых задач для ОДУ второго порядка. Метод «стрельбы».
    
12. 
    Методы решения краевых задач для ОДУ второго порядка. Метод редукции.
    
13. 
    Методы решения краевых задач для ОДУ второго порядка. Метод правой дифференциальной прогонки.
    
14. 
    Методы решения краевых задач для ОДУ второго порядка. Метод левой дифференциальной прогонки.
    
15. 
    Методы решения краевых задач для ОДУ второго порядка. Метод конечных разностей.
    
16. 
    Методы решения краевых задач для ОДУ второго порядка. Метод коллокаций.
    
17. 
    Методы решения краевых задач для ОДУ второго порядка. Метод Галеркина.
    
18. 
    Методы решения краевых задач для ОДУ второго порядка. Метод конечных элементов (проекционно-разностный).
    
19. 
    Методы решения краевых задач для ОДУ второго порядка. Метод Ритца.
    
20. 
    Методы решения краевых задач для ОДУ второго порядка. Вариационно-разностные методы.
    
21. 
    Основные понятия теории разностных схем. Аппроксимация, сходимость, устойчивость.
    
22. 
    Задача Дирихле для уравнения Лапласа. Метод Либмана.
    
23. 
    Метод правой прогонки для уравнения параболического типа.
    
24. 
    Метод левой прогонки для уравнения параболического типа.
    
25. 
    Метод сеток для уравнения гиперболического типа.
    
26. 
    Метод квадратур решения интегрального уравнения Вольтера первого и второго рода.
    
27. 
    Метод квадратур решения интегрального уравнения Фредгольма второго рода.
    
28. 
    Решение интегрального уравнения Фредгольма второго рода. Случай вырожденного ядра.