Методические указания для студентов педагогического колледжа Канск icon

Методические указания для студентов педагогического колледжа Канск


1 чел. помогло.
Смотрите также:
Практикум модульное обучение канск 2006 Печатается по решению научно-методического совета...
Практикум канск 2006 Печатается по решению научно-методического совета Канского педагогического...
Методическое пособие для преподавателей и студентов по факультативной дисциплине дф...
Методические материалы к модульной программе по введению в теорию языка Канск...
Методическое пособие Канск 2006 Печатается по решению научно-методического совета Канского...
Методические указания и контрольные задания для студентов-заочников Салаватского индустриального...
Методические указания и контрольные задания для студентов-заочников Салаватского индустриального...
Методические указания и контрольные задания для студентов-заочников Салаватского индустриального...
Методические указания и контрольные задания для студентов-заочников Салав атского...
Методические указания по выполнению курсовых работ для студентов специальности спо 032002...
Рабочая программа дисциплины «Технические средства обучения с методикой применения в...
Методические указания и контрольные задания для студентов-заочников Салаватского индустриального...



Загрузка...
скачать


Агентство образования администрации

Красноярского края

КГОУ СПО «Канский педагогический колледж»





ТИПОВОЙ РАСЧЕТ

ПО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ



Методические указания для студентов

педагогического колледжа


Канск

2003

Печатается по решению кафедры технологии Канского педагогического колледжа.


Автор-составитель: В.С. Головкова, преподаватель кафедры математики Канского педагогического колледжа

Рецензент: Л.В. Шкерина, доктор педагогических наук, профессор КГПУ.


Методические указания для студентов педагогического колледжа. 2003. -43 с.


Рецензируемые методические рекомендации предназначены для студентов педагогического колледжа, изучающих дисциплину «Дифференциальные уравнения и уравнения в частных производных». Они содержат: введение, теоретические вопросы, методические указания к решению задач, варианты заданий и список рекомендуемой литературы.

Набор, предлагаемых студентам теоретических вопросов, достаточно полно отражает содержание дисциплины «Дифференцированные уравнения и уравнения в частных производных».

Предлагаемые в методичке указания к решению задач. Являются своего рода ориентировочной основой для самостоятельной работы студентов по выполнению заданий вариантов.


© Автор – составитель:

Головкова В.С.,


© КГОУ СПО «Канский педагогический колледж»

СОДЕРЖАНИЕ


Введение ……………………………………………………..

4


1. Теоретические вопросы …………………………………..

5


2. Методические указания к решению некоторых задач …

6


3. Варианты заданий ………………………………………...

12


4. Литература ………………………………………………...


42



ВВЕДЕНИЕ



Настоящие методические рекомендации предназначены для студентов 3 курса (специальность 050201 «Математика») Канского педагогического колледжа.

В них представлены теоретические вопросы, 30 вариантов индивидуальных заданий и образцы решений. Набор заданий каждого варианта способствует углубленному изучению раздела «Дифференциальные уравнения и системы уравнений».

Рекомендации призваны помочь в организации самостоятельной работы студентов.


ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ


  1. Дифференциальное уравнение, основные понятия.

  2. Общее и частное решение дифференциального уравнения первого порядка.

  3. Задача Коши для дифференциального уравнения первого порядка. Теорема существования и единственности решения задачи Коши.

  4. Дифференциальные уравнения первого порядка: с разделяющимися переменными, однородные.

  5. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Уравнения Бернулли.

  6. Общее и частное решения дифференциального уравнения n-го порядка.

  7. Задача Коши для дифференциального уравнения n-го порядка. Формулировка теоремы существования и единственности решения задачи Коши.

  8. Дифференциальные уравнения второго порядка, допускающие понижение порядка.

  9. Линейные дифференциальные уравнения. Линейный дифференциальный оператор. Свойства решений линейного дифференциального уравнения n-го порядка.

  10. Линейно-зависимые и линейно-независимые системы функций. Определитель Вронского. Необходимое условие линейной зависимости функций.

  11. Условие линейной независимости решений линейного однородного дифференциального уравнения.

  12. Структура общего решения линейного однородного дифференциального уравнения.

  13. Структура общего решения неоднородного дифференциального уравнения.

  14. Метод вариации произвольных постоянных.

  15. Линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Решение их с помощью характеристического многочлена.

  16. Отыскание частного решения неоднородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами по виду правой части.

  17. Системы дифференциальных уравнений. Основные определения.

  18. Задача Коши для нормальной системы дифференциальных уравнений. Теорема существования и единственности решения задачи Коши.

  19. Решение нормальных систем дифференциальных уравнений методом исключения.

  20. Структура общего решения линейных однородных и неоднородных систем дифференциальных уравнений. Матричная запись линейных систем дифференциальных уравнений.

  21. Решение линейных однородных систем дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами с помощью характеристического многочлена (случай простых корней).



МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РЕШЕНИЮ

НЕКОТОРЫХ ЗАДАЧ


Решение задач физики или механики с помощью дифференциальных уравнений распадается на следующие этапы:

а) составление дифференциального уравнения;

б) решение этого уравнения;

в) исследование полученного решения.

При этом рекомендуется следующая последовательность действий:

1. Установить величины, изменяющиеся в данном явлении, и выявить физические законы, связывающие их.

2. Выбрать независимую переменную и функцию этой переменной, которую мы хотим найти.

3. Исходя из условий задачи, определить начальные или краевые условия.

4. Выразить все фигурирующие в условии задачи величины через независимую переменную, искомую функцию и ее производные.

5. Исходя из условий задачи и физического закона, которому подчиняется данное явление, составить дифференциальное уравнение.

6. Найти общее решение или общий интеграл дифференциального уравнения.

7. По начальным или краевым условиям найти частное решение.

8. Исследовать полученное решение.

При решении геометрических задач с помощью дифференциальных уравнений рекомендуется следующая последовательность действий:

  1. Сделать чертеж и ввести обозначения.

  2. Отделить условия, имеющие место в произвольной точке искомой линии, от условий, выполняющихся лишь в отдельных точках, т.е. начальных условий.

  3. Выразить все упомянутые в задаче величины через координаты произвольной точки и через значение производной в этой точке, учитывая геометрический смысл производной.

  4. По условию задачи составить дифференциальное уравнение, которому удовлетворяет искомая кривая.

  5. Найти общее решение этого уравнения и получить из него с помощью начальных условий уравнение искомой линии.

При решении геометрических задач с помощью дифференциальных уравнений можно пользоваться уравнением касательной Yy = y (Xx), проведенной в любой точке М (х, у) к кривой y = f(x) и нормали , где Х, Y – текущие координаты точки касательной или нормали.


МК – длина отрезка касательной; ВК – длина подкасательной; MN – длина отрезка нормали; NB – длина поднормали.



Рис. 1

З а д а ч а 1. Найти уравнение кривой, проходящей через точку (3, 1), у которой длина нормали в любой ее точке равна расстоянию этой точки от начала координат.

Пусть М (х, у) – любая точка касания. MN – длина нормали; МО – расстояние точки М от начала координат.


Возьмем уравнение нормали , где X, Y – текущие координаты точки нормали. Положив в уравнении нормали Y = 0, найдем координаты


Рис. 2

точки ^ N – пересечения нормали с осью Ох.

; Х = х + уу.

Следовательно, N (х + уу, 0).

Длина нормали

MN = .

Расстояние МО = .

По условию задачи МО = MN, тогда

=или

х2 + у2 = (уу)2 + у2, у2(у)2 = х2.

Отсюда условию задачи соответствуют два дифференциальных уравнения: , .

Разделив переменные в этих уравнениях, имеем уdyxdx = 0, уdy + xdx = 0. Проинтегрировав, соответственно получим:

. (1)

Таким образом, кривой может быть или равносторонняя гипербола, или окружность с центром в начале координат.

Подставив координаты точки (3, 1) в уравнения (1), найдем произвольную постоянную ^ С.

Следовательно, кривая будет иметь уравнение

у2 х2 = 8 или х2 + у2 = 10.

З а д а ч а 2. Скорость распада радия в каждый момент времени прямо пропорциональна его наличному количеству. Найти, какой процент от первоначального количества радия распадется за 200 лет, если известно, что период полураспада радия (период времени, в течение которого распадется половина наличной массы радия) равен 1590 лет.

Пусть ^ R – количество радия в момент времени t, R0 первоначальное количество его, т.е. количество радия в момент времени t = 0. Тогда по условию задачи скорость распада радия:

(1)

где k – положительное число.

Скорость отрицательна, потому что количество радия R есть убывающая функция от t. Разделив переменные и проинтегрировав уравнение (1), имеем:

, ln R = –kt + ln C.

Отсюда

R = Cekt. (2)

Найдем произвольную постоянную С, пользуясь начальными условиями: R = R0 при t = 0.

R = Cek0, С = R0.

Подставив С = R0 в (2), получим

R = R0 еkt. (3)

Параметр k определим из дополнительных условий задачи: при t = 1590.

Положив в (3) , t = 1590, имеем , , .

Подставив k = 0,00044 в (3), найдем частное решение уравнения (1):

R(t) = R0l–0,00044t.

Теперь определим количество радия, которое не распадается через 200 лет:

R(200) = R0l–0,00044 200 = 0,915 R0.

Таким образом, за 200 лет распадается 8,5% от первоначального количества радия.

З а д а ч а 3. Решить дифференциальное уравнение

ху = 2у + (1 + х3).

Данное уравнение – уравнение второго порядка. Вторая произвольная у выражается через функцию, которая не содержит явным образом у. Следовательно, уравнение допускает понижение порядка после замены у = р(х). Сделаем эту замену.

Тогда у = (у) = р(х). Подставим выражение у и у в уравнение, получим уравнение 1-го порядка:

х р = 2р + (1 + х3).

Это линейное уравнение 1-го порядка. Найдем его решение в виде р = u (x) v(x). При этом р = u v + u v. Подставив в уравнение, получим х (u v + u v) = 2 u v + (1 + х3). Делаем преобразования

х u v +(х u v – 2 u v) = 1 + х3

или

х v u +(х v – 2 v) u = 1 + х3.

Найдем функцию v из условия, что х v– 2 v = 0 – это уравнение с разделяющимися переменными.

Решим его:

, ,

ln |v| = 2ln |x|, v = x2.

Подставим найденную функцию v и получим уравнение с разделяющимися переменными относительно функции u:

xх2u = 1 + x3, ,

или .

Найдем р(х) = u (x) v(x) = .

Но р(х) = у (х), значит получим еще одно уравнение 1-го порядка: .

- общее решение данного уравнения.

Дифференциальные уравнения широко применяют при анализе электрических цепей.

Основными величинами, характеризующими состояние электрической цепи, являются электрический ток и напряжение.

Для составления дифференциальных уравнений используют законы Кирхгофа. Так, по первому закону: в любой момент алгебраическая сумма токов ветвей, сходящихся в узле электрической цепи, равна нулю, или для каждого узла цепи сумма всех токов, направленных к узлу, равна сумме всех токов, направленных от узла.

Согласно второму закону Кирхгофа в любой момент времени алгебраическая сумма напряжений ветвей в контуре равна нулю, или алгебраическая сумма падений напряжений на приемнике контура равна алгебраической сумме ЭДС, действующих на этом контуре.

Падение напряжения на сопротивлении ^ R определяется законом Ома и равна Ri. Напряжение на индуктивном элементе определяется скоростью изменения тока, т.е. , где ^ L – коэффициент самоиндукции. Падение напряжения на конденсаторе емкостью С находят по формуле , где q – заряд конденсатора.

Продифференцировав выражение (*), установим связь между током в конденсаторе и напряжением на нем:

, .

Например, при последовательном подключении реальной катушки с сопротивлением R и индуктивности L к источнику напряжения u0, получим электрическую цепь, которая описывается уравнением

uL + uR = u0, .

Это линейное дифференциальное уравнение первого порядка. Решив уравнение, найдем ток i(t) в цепи в любой момент времени.


ВАРИАНТЫ ЗАДАНИЙ


Вариант 1


  1. Найти такую кривую, проходящую через точку (1, 2), чтобы в каждой ее точке длина подкасательной равнялась удвоенной ее абсциссе.




  1. Найти закон изменения тока в цепи, электрическое состояние которой описывается уравнением , где L, Rconst, u = kt, если при t = 0, i = 0.




  1. Решить дифференциальные уравнения и проверить правильность их решения:

3.1. xdy – (y + )dx = 0;

    1. xy – y = x2 ex;

    2. y + 4y = cos2 x;

    3. y – y = x2 – 3x + 2.




  1. Решить задачу Коши и проверить правильность ее решения:

(х2 – 6у) + 2х y = 0,

.


5. Указать вид частного решения:

5.1. y + 4y + 4у = (x + 2)е –2х ;

5.2. y – 2y + 2у = cos x;

5.3. y + 3y – 4у = е х x2 + 1.


6. Решить систему дифференциальных уравнений:

а) методом исключения;

б) с помощью характеристического многочлена.


.

Вариант 2





  1. Найти кривую, проходящую через точку (3, 4), у которой отрезок любой касательной, заключенный между осями координат, делится в точке касания пополам.




  1. Тело массой 2 кг, брошенное вверх со скоростью v = 20 м/с, испытывает сопротивление воздуха силой F = 0,04 v. Через сколько секунд тело достигнет наивысшего положения?




  1. Решить дифференциальные уравнения и проверить правильность их решения:

    1. x2 dy – (y2 +ху)dx = 0;

    2. ;

    3. ;

    4. y + 4y = 2sin 2x.




  1. Решить задачу Коши и проверить правильность ее решения::

(1 – х2 ) y – х y = 1,

y(0) = 1.


5. Указать вид частного решения:

5.1. y – 5y = x2 + 5 ;

5.2. y – 2y – 8у = 8xe–2x ;

5.3. y + y = 5е х + sin x.


6. Решить систему дифференциальных уравнений:

а) методом исключения;

б) с помощью характеристического многочлена.


.

Вариант 3


  1. У какой кривой, проходящей через точку (4, 2), отрезок любой касательной, заключенной между точкой касания и осью абсцисс, делится осью ординат пополам?




  1. Напряжение на зажимах реальной катушки в течение 10 с равномерно уменьшается от u0 = 2В до u1 = 1В. Активное сопротивление катушки R = 0,12 Ом, индуктивность L = 0,1Гм. Каков будет ток в конце десятой секунды, если в начале опыта он был равен ?

3. Решить дифференциальные уравнения и проверить правильность их решения:

    1. ;

    2. 2уу + (у)2 + (у )4 = 0;

    3. ;

    4. y – 6y + 9у = 2е3x.




  1. Решить задачу Коши и проверить правильность ее решения:

y + уtg x = cos2 x,

y(0) = 2.


5. Указать вид частного решения:

5.1. y + y – 6y = 2e–3x ;

5.2. y + 4y + 4у = x + sin 3x ;

5.3. y + y = sin2 x.


6. Решить систему дифференциальных уравнений:

а) методом исключения;

б) с помощью характеристического многочлена.


.

Вариант 4


  1. Найти кривую, проходящую через точку (0, а), у которой длина нормали есть постоянная величина а.




  1. При движении тела массой 98 кг в неоднородной среде сила сопротивления изменяется по закону , где v – скорость тела (м/с); S – пройденный путь (м). Определить пройденный путь как функцию времени, если начальная скорость v0 = 5 м/с.


3. Решить дифференциальные уравнения и проверить правильность их решения:

    1. ;

    2. 4ху – (у)2 = 4у;

    3. ;

    4. y – 5y + 6у = 2хеx.




  1. Решить задачу Коши и проверить правильность ее решения:

хy + у = ху2 ln x,

y(1) = 2.


5. Указать вид частного решения:

5.1. y – 9y + 14y = x3 – 2x + 1;

5.2. y – 2y = xe2x ;

5.3. y + 4y = sin 2x + ex .


6. Решить систему дифференциальных уравнений:

а) методом исключения;

б) с помощью характеристического многочлена.


.

Вариант 5


  1. Найти кривую, проходящую через точку (1, 1), для которой отрезок на оси ординат, отсекаемый любой касательной, равен абсциссе точки касания.




  1. По закону Ньютона скорость охлаждения тела в воздухе пропорциональна разности между температурой тела и температурой воздуха. Найти закон охлаждения тела, если температура воздуха 20 С и тело в течение 20 мин. охлаждается от 100 С до 60 С. Сколько времени его температура будет понижаться до 30 С?


3. Решить дифференциальные уравнения и проверить правильность их решения:

    1. ;

    2. ;

    3. ;

    4. y – 2y = х2 х.




  1. Решить задачу Коши и проверить правильность ее решения:

,

y(1) = 1.


5. Указать вид частного решения:

5.1. y + y + 2y = sin 3x;

5.2. y – 7y + 6y = (x – 2)ex ;

5.3. y + 5y + 6y = xex + e2x .


6. Решить систему дифференциальных уравнений:

а) методом исключения;

б) с помощью характеристического многочлена.


.

Вариант 6


  1. Найти кривую, проходящую через точку , если угловой коэффициент касательной к ней в любой точке втрое больше углового коэффициента радиуса – вектора точки касания.




  1. Материальная точка массой m совершает прямолинейное движение под действием силы, изменяющейся по закону F = F0 cos wt, где F0, w – const. В начальный момент точка имела скорость v0. Найти уравнение движения точки.


3. Решить дифференциальные уравнения и проверить правильность их решения:

    1. ;

    2. у + у tg x = sin 2x;

    3. ;

    4. y – 4y + 4у = хе2x.




  1. Решить задачу Коши и проверить правильность ее решения:

хy + у – ex = 0,

y(1) = –e.


5. Указать вид частного решения:

5.1. y – y = x2x;

5.2. y + y = cos 2x;

5.3. y + y + 2y = ex + sin x.


6. Решить систему дифференциальных уравнений:

а) методом исключения;

б) с помощью характеристического многочлена.


.

Вариант 7


  1. Найти кривую, проходящую через точку (2, 1), у которой отрезок, отсекаемый любой касательной на оси ОY, равен соответствующей поднормали.




  1. Конденсатор емкостью С подключают к источнику с напряжением u и внутренним сопротивлением R. Определить заряд q конденсатора в момент t после включения.


3. Решить дифференциальные уравнения и проверить правильность их решения:

    1. ;

    2. у  = (у)2 ;

    3. ;

    4. y  + y = х2 + x.




  1. Решить задачу Коши и проверить правильность ее решения:



y(1) = 1.


5. Указать вид частного решения:

5.1. y + 2y + y = е–2х;

5.2. y – 4y + 4у = xe2x ;

5.3. y + y = cos x + sin 2x.


6. Решить систему дифференциальных уравнений:

а) методом исключения;

б) с помощью характеристического многочлена.


.

Вариант 8


  1. Найти кривую, проходящую через точку (1, 2), у которой квадрат длины отрезка, отсекаемого любой касательной от оси ординат, равен произведению координат точки касания.




  1. С некоторой высоты брошено вертикально вниз тело массой m. Найти закон изменения скорости v падения этого тела, если на него действует сила тяжести и тормозящая сила сопротивления воздуха, пропорциональная скорости.


3. Решить дифференциальные уравнения и проверить правильность их решения:

    1. ;

    2. 2(у)2 = (у – 1)у;

    3. y + 4y = sin2х;

    4. y – 2y+ у = 4(sin х + cos x).




  1. Решить задачу Коши и проверить правильность ее решения:

y + у = ху3,

y(0) = .


5. Указать вид частного решения:

5.1. y + y = 2x2x;

5.2. y – 2y – 3y = 4xex ;

5.3. y + 2y + y = e2x + sin x.


6. Решить систему дифференциальных уравнений:

а) методом исключения;

б) с помощью характеристического уравнения.


.

Вариант 9


  1. Найти кривую, проходящую через точку (1, 3), у которой отрезок, отсекаемый любой касательной на оси ординат, на 2 единицы масштаба меньше абсциссы точки касания.




  1. Моторная лодка движется в спокойной воде со скоростью v0 = 20 км/ч. На полном ходу ее мотор выключается и через 40 с после этого скорость лодки уменьшается до v1 = 8 км/ч. Сопротивление воды пропорционально скорости движения лодки. Определить скорость лодки через 2 мин. после остановки мотора.


3. Решить дифференциальные уравнения и проверить правильность их решения:

    1. (4xy)dx + (x + y)dy = 0;

    2. уtg x = у + 1;

    3. ;

    4. 2y + 5y = 2х2 – 2x – 1.




  1. Решить задачу Коши и проверить правильность ее решения:

,

.


5. Указать вид частного решения:

5.1. y + 6y + 9y = 2e–3x;

5.2. y + 2y + 2y = 10sin x;

5.3. y + y = cos x + x2 – 1.


6. Решить систему дифференциальных уравнений:

а) методом исключения;

б) с помощью характеристического уравнения.


.

Вариант 10


  1. Найти кривую, проходящую через точку (2, 4), у которой отрезок, отсекаемый любой ее касательной на оси абсцисс, равен квадрату абсциссы точки касания.


2. Реальную индуктивную катушку с сопротивлением R и индуктивностью L при t = 0 подключают к источнику постоянного напряжения U. Найти закон изменения тока.


3. Решить дифференциальные уравнения и проверить правильность их решения:

    1. ;

    2. 2уу = (у)2 + 1;

    3. ;

    4. y – 4y + 5у = хе2x.




  1. Решить задачу Коши и проверить правильность ее решения:

y + х2 у = х2 ,

y(0) = 1.


5. Указать вид частного решения:

5.1. y + 4y + 3y = 9e 3x ;

5.2. y – 2y + 10у = sin 3x;

5.3. y + 4y = 4ex + x2 .


6. Решить систему дифференциальных уравнений:

а) методом исключения;

б) с помощью характеристического уравнения.


.


Вариант 11


  1. Найти кривую, проходящую через точку (1, 5), у которой отрезок, отсекаемый любой ее касательной на оси ОY, равен квадрату ординаты точки касания.




  1. Тело охладилось за 10 мин от 100 до 60. Температура окружающего воздуха поддерживается равной 20. За какое время тело остынет до 25, если скорость остывания тела пропорциональна разности температур тела и окружающей среды.?


3. Решить дифференциальные уравнения и проверить правильность их решения:

    1. ;

    2. у  = еу ;

    3. ;

    4. y  – y = 1 – 3x.




  1. Решить задачу Коши и проверить правильность ее решения:

хy – yх3 = 0

y(2) = 0.


5. Указать вид частного решения:

5.1. y + 4y – 5y = хех;

5.2. y + 4y + 4у = sin 2x;

5.3. y + 4y = 2x + cos 2x.


6. Решить систему дифференциальных уравнений:

а) методом исключения;

б) с помощью характеристического уравнения.


.

Вариант 12


  1. Найти кривую, проходящую через точку (1, 6), если отрезок, отсекаемый ее нормалью на оси ОХ, на две единицы масштаба больше абсциссы точки касания.




  1. Цепь с последовательным соединением резистора сопротивлением ^ R и конденсатора емкостью С подключена к источнику напряжения, которое изменяется по закону u = Um sin wt. Найти закон изменения тока в цепи.


3. Решить дифференциальные уравнения и проверить правильность их решения:

    1. ;

    2. у  + 2у (у)3 = 0;

    3. ;

    4. y  – y = 5х2 + x.




  1. Решить задачу Коши и проверить правильность ее решения:

y + 2ху = 2хе –х2 ,

y(1) = е–1.


5. Указать вид частного решения:

5.1. y – 4y + 3y = (2х2 + 1) ех;

5.2. y + 2y + 2у = sin 2x + 2cos 2x;

5.3. y – 4y + 4y = 2x + е2х.


6. Решить систему дифференциальных уравнений:

а) методом исключения;

б) с помощью характеристического многочлена.


.

Вариант 13


  1. Найти кривую, проходящую через точку (1, 1), у которой подкасательная равна сумме абсциссы и ординаты точки касания.




  1. Замедляющее действие трения на диск, вращающейся в жидкости, пропорционально угловой скорости вращения. Найти зависимость угловой скорости от времени, если известно, что диск, начав вращаться со скоростью 200 оборотов в минуту, по истечении одной минуты вращается со скоростью 120 об/мин.


3. Решить дифференциальные уравнения и проверить правильность их решения:

    1. 4ху – 4ху + у2 = 0;

    2. у  tg y = 2(у)2;

    3. ;

    4. y  – 5y + 6y = (12х – 7)ex.




  1. Решить задачу Коши и проверить правильность ее решения:

xy + у x – 1 = 0 ,

y(2) = 3.


5. Указать вид частного решения:

5.1. y + 2y + 3y = х2 + 2;

5.2. y + 4y = 2cos 2x – 3sin 2x;

5.3. y – 3y = е2х + 2x.


6. Решить систему дифференциальных уравнений:

а) методом исключения;

б) с помощью характеристического многочлена.


.


Вариант 14


  1. Найти кривую, проходящую через точку (1, 4), у которой отрезок, отсекаемый на оси ординат любой касательной, удвоенной абсциссе точки касания.




  1. Тело массой m = 10 кг движется под действием силы F = 10(1 – t), где t – время в секундах. Через сколько секунд тело остановится, если в начальный момент скорость тела v0 = 20 м/с и сила совпадает по направлению со скоростью тела. Какой путь тело пройдет до остановки?


3. Решить дифференциальные уравнения и проверить правильность их решения:

    1. ;

    2. 2ху  = у;

    3. ;

    4. y  + 5y + 6у = 12 cos 2х – 8 sin 2x.




  1. Решить задачу Коши и проверить правильность ее решения:

,

y(0) = 1.


5. Указать вид частного решения:

5.1. y + 2y + y = хе–х;

5.2. 2y + 5y = 5x2 x;

5.3. y + y = (x2 + 1) ех + е2х.


6. Решить систему дифференциальных уравнений:

а) методом исключения;

б) с помощью характеристического многочлена.


.

Вариант 15


  1. Найти кривую, проходящую через точку (а, а), если подкасательная в любой ее точке равна удвоенной абсциссе точки касания.




  1. Тело, находившееся в начальный момент в жидкости, погружается в нее под действием собственного веса без начальной скорости. Сопротивление жидкости прямо пропорционально скорости тела. Найти закон движения тела, если его масса m.


3. Решить дифференциальные уравнения и проверить правильность их решения:

    1. ;

    2. х3у  + х2у = 1;

    3. у  + 4у = tg x;

    4. y  – 4y + 5у = 2х2еx.




  1. Решить задачу Коши и проверить правильность ее решения:

хy + у – 3 = 0 ,

y(–3) = 0.


5. Указать вид частного решения:

5.1. y + 9y = х2 + 1;

5.2. y + 2y – 8у = x2е2х;

5.3. y – 2y + 2y = sin x + 4ех.


6. Решить систему дифференциальных уравнений:

а) методом исключения;

б) с помощью характеристического уравнения.


.


Вариант 16


  1. Найти кривую, проходящую через точку (0, 1), у которой отрезок, отсекаемый на оси ОY, равен соответствующей поднормали.




  1. Известно, что изолированный проводник вследствие несовершенства изоляции теряет сообщенный ему заряд, причем скорость потери заряда пропорциональна наличному заряду в данный момент. В начальный момент проводнику сообщен заряд 2000 СГСq. За первые две минуты проводник теряет 150 СГСq. Определить, через сколько минут заряд проводника станет равен половине начального.


3. Решить дифференциальные уравнения и проверить правильность их решения:

    1. ;

    2. у х ln x = y;

    3. ;

    4. y  + 2y + 5y = 10cos х.




  1. Решить задачу Коши и проверить правильность ее решения:

xy – у = х2ех ,

y(1) = 0.


5. Указать вид частного решения:

5.1. y – 4y + 3y = (2х2 + 1) ех;

5.2. y – 2y + 5у = x3 + 2x;

5.3. y – 9y = 3е9х + 2x – 1.


6. Решить систему дифференциальных уравнений:

а) методом исключения;

б) с помощью характеристического многочлена.


.


Вариант 17


  1. Найти кривую, проходящую через точку (1, 0), у которой отрезок, отсекаемый касательной на оси ОY, равен полярному радиусу точки касания.




  1. Изолированному проводнику сообщен заряд q = 1000 СГСq. Вследствие несовершенства изоляции проводник постепенно теряет свой заряд. Скорость потери заряда в данный момент пропорциональна наличному заряду проводника. Какой заряд останется на проводнике по истечение 10 мин, если за первую минуту потеряно 100 СГСq?


3. Решить дифференциальные уравнения и проверить правильность их решения:

    1. у(3ху) = х + 3у;

    2. уу  + (у)2 = 1;

    3. у  + 4у = ctg x;

    4. y  – 4y + 3у = –4хеx.




  1. Решить задачу Коши и проверить правильность ее решения:



y(–1) = –1.


5. Указать вид частного решения:

5.1. y – y = х3 – 5х + 3;

5.2. y + y – 6у = е2х;

5.3. y – 2y – 8y = ех – 8cos 2x.


6. Решить систему дифференциальных уравнений:

а) методом исключения;

б) с помощью характеристического многочлена.


.


Вариант 18


  1. Найти кривую, проходящую через точку (1, 1), если отрезок, отсекаемый любой ее касательной на оси ОY, равен произведению координат точки касания.




  1. Точка массой m движется прямолинейно. На нее действует сила, пропорциональная времени (коэффициент пропорциональности k1). Кроме того, точка испытывает сопротивление среды, пропорциональное скорости (коэффициент пропорциональности k2). Найти зависимость скорости от времени, считая, что в начальный момент скорость равна нулю.


3. Решить дифференциальные уравнения и проверить правильность их решения:

    1. у(хух2) = у2;

    2. 3уу  + (у)2 = 0;



    3. y  + 2y – 3у = х2еx.




  1. Решить задачу Коши и проверить правильность ее решения:

y + 2y = у2еx,

.


5. Указать вид частного решения:

5.1. y + 5y + 6у = sin 2х;

5.2. y – y = x2х;

5.3. y + 9y = е–3х + cos 3x.


6. Решить систему дифференциальных уравнений:

а) методом исключения;

б) с помощью характеристического многочлена.


.


Вариант 19


  1. Найти кривую, проходящую через точку (1, 2), у которой нормаль в любой ее точке равна расстоянию от этой точки до начала координат.




  1. Напряжение и сопротивление цепи равномерно изменяются в течение минуты соответственно от 0 до 120 В и от 0 до 120 Ом. Индуктивность цепи постоянна (1 Генри). Начальный ток i0. Найти зависимость между током и временем в течение первой минуты.


3. Решить дифференциальные уравнения и проверить правильность их решения:

    1. ;

    2. (1 – х2) у  = ху;

    3. ;

    4. y  + y – 2у = 3хеx.




  1. Решить задачу Коши и проверить правильность ее решения:

хy + (х + 1) y = 3х2еx,

у(1) = е–1.


5. Указать вид частного решения:

5.1. y – 3y + 4у = 2х2 + х;

5.2. y + 4y = sin 2x – 2cos 2х;

5.3. 2y – 4y = ехx2 + 1.


6. Решить систему дифференциальных уравнений:

а) методом исключения;

б) с помощью характеристического многочлена.


.

Вариант 20


  1. Найти кривую, проходящую через точку (1, 0), у которой площадь прямоугольника, построенного на абсциссе любой точки и ординате, отсекаемой касательной в этой точке, есть величина постоянная, равная а2.




  1. Определить путь S, пройденный телом за время t, если его скорость пропорциональна проходимому пути и если тело проходит 100 м в 10 с и 200 м в 15 с.


3. Решить дифференциальные уравнения и проверить правильность их решения:

    1. ;

    2. у  (1 + у) – 5(у)2 = 0;

    3. ;

    4. y  + 9y = cos 3х.




  1. Решить задачу Коши и проверить правильность ее решения:

,

.


5. Указать вид частного решения:

5.1. y + 4y – 5у = хе 2х;

5.2. y – 8y = x2 – 5х;

5.3. y – 8y + 15у = 4хе3х + cos 5x.


6. Решить систему дифференциальных уравнений:

а) методом исключения;

б) с помощью характеристического многочлена.


.

Вариант 21


  1. Найти кривую, проходящую через точку (2, 1), у которой абсцисса точки пересечения любой ее касательной с осью абсцисс вдвое меньше абсциссы точки касания.




  1. Частица брошена вертикально вверх со скоростью v0. На нее действует сила тяжести mg и сила сопротивления 2 kmv. Найти расстояние частицы от точки бросания в момент времени t.


3. Решить дифференциальные уравнения и проверить правильность их решения:

    1. ;

    1. 2хуу  = (у)2 + 1;



    2. y  – 3y + 2у = cos 2х.




  1. Решить задачу Коши и проверить правильность ее решения:

y = y ctg x + sin2 x,

.


5. Указать вид частного решения:

5.1. y – 2y + у = х2ex ;

5.2. y – 4y = x2х;

5.3. y – 3y – 4y = 2е4х + sin 4x.


6. Решить систему дифференциальных уравнений:

а) методом исключения;

б) с помощью характеристического многочлена.


.

Вариант 22


  1. Найти кривую, проходящую через точку (0, 2), у которой поднормаль имеет постоянную длину а.




  1. Напряжение на зажимах реальной катушки в течение 5 с равномерно уменьшается от u0 = 4В до u1 = 2В. Активное сопротивление R = 0,12 Ом, индуктивность L = 0,1 Гн. Каков будет ток в конце пятой секунды, если в начале опыта он был А?

3. Решить дифференциальные уравнения и проверить правильность их решения:

    1. (ху х2) у = у2;

    2. у  = (у – 1 )ctg x;

    3. y  + y = cos x cos 2х

    4. y  + 6y + 9у = 10e–3х.




  1. Решить задачу Коши и проверить правильность ее решения:

xy y = –2x lnx,

y(1) = 2.


5. Указать вид частного решения:

5.1. y + y = 2х2 + x;

5.2. y + y = 3cos 2x + sin 2х;

5.3. y – 6y + 8y = 5xе + ex.


6. Решить систему дифференциальных уравнений:

а) методом исключения;

б) с помощью характеристического многочлена.


.


Вариант 23


  1. Найти кривую, проходящую через точку (1, 2), у которой произведение абсциссы точки касания и абсциссы точки пересечения нормали с осью ОХ равно удвоенному квадрату расстояния от начала координат до точки касания.




  1. Моторная лодка массой 300 кг движется прямолинейно с начальной скоростью 66 м/с. сопротивление воды пропорционально скорости и равно 98 Н при скорости 1 м/с. Через сколько времени скорость будет равна 8 м/с?


3. Решить дифференциальные уравнения и проверить правильность их решения:

    1. 2х3 у = у(2х2 у2) ;

    2. у  (х2 + 1) = 2xу;



    3. y  – 4y = 6х2 + 1.




  1. Решить задачу Коши и проверить правильность ее решения:

y = 2x(y + ех2),

y(0) = 3.


5. Указать вид частного решения:

5.1. y + 7y + 10у = 2е 2х ;

5.2. y + 4y + 4у = sin х;

5.3. y + y = xе–х + х2.


6. Решить систему дифференциальных уравнений:

а) методом исключения;

б) с помощью характеристического многочлена.


.

Вариант 24


  1. Найти кривую, проходящую через точку (2, 1), если отрезок любой касательной, заключенный между осями координат, делится в токе касания в отношении 1 : 2 (считая от оси ОХ).




  1. Материальная точка массой 1 г движется прямолинейно под действием силы, прямо пропорциональной времени, отсчитываемому от момента t = 0, и обратно пропорциональной скорости движения точки. В момент t = 10 с скорость равнялась 0,5 м/с, а сила 4  10–5 Н. Какова будет скорость, спустя минуту после начала движения?


3. Решить дифференциальные уравнения и проверить правильность их решения:

    1. ;

    2. ;

    3. y  – y = е2х cos (ех);

    4. y  – 2y + 5у = хе2х.




  1. Решить задачу Коши и проверить правильность ее решения:

,

у(–2) = –4.


5. Указать вид частного решения:

5.1. y + 7y + 10у = хе –5х;

5.2. y – 2y + у = x2 + 2х – 1;

5.3. y + 2y – 3у = е3х + sin x.


6. Решить систему дифференциальных уравнений:

а) методом исключения;

б) с помощью характеристического многочлена.


.

Вариант 25


  1. Найти кривую, проходящую через точку (1, 2), если в каждой точке кривой подкасательная есть среднее арифметическое координат точки касания.




  1. Пуля входит в доску толщиной h = 10 см со скоростью v0 = 200 м/с, а вылетает из доски, пробив ее, со скоростью v1 = 80 м/с. Считая, что сила сопротивления доски движению пули пропорциональна квадрату скорости движения, найти время движения пули через доску.


3. Решить дифференциальные уравнения и проверить правильность их решения:

    1. ;

    2. уy = (y)2;



    3. y  + 4y – 12у = 8sin 2х.




  1. Решить задачу Коши и проверить правильность ее решения:

,

у(1) = 1.


5. Указать вид частного решения:

5.1. y – 9y = х2е –3х;

5.2. y – 2y + 5у = x3 + 2х;

5.3. y + y = sin x + 2x.


6. Решить систему дифференциальных уравнений:

а) методом исключения;

б) с помощью характеристического многочлена.


.

Вариант 26


  1. Найти кривую, проходящую через точку (2, 2), для которой радиус – вектор любой точки равен длине касательной между точкой касания и осью ОХ.




  1. Корабль замедляет свое движение под действием силы сопротивления воды, которое пропорционально скорости корабля. Начальная скорость корабля 10 м/с, скорость его через 5 с станет 8 м/с. Когда скорость корабля уменьшится до 1 м/с?


3. Решить дифференциальные уравнения и проверить правильность их решения:

    1. ;

    2. y  = y + х;

    3. ;

    4. y  + 5y + 6у = 12cos 2х.




  1. Решить задачу Коши и проверить правильность ее решения:

y + у tg x = sin 2х,

у(0) = 0.


5. Указать вид частного решения:

5.1. y – 4y + 4у = хе2х;

5.2. y + 3y = x2 + 2;

5.3. y – 2y + 2у = sin x + ex.


6. Решить систему дифференциальных уравнений:

а) методом исключения;

б) с помощью характеристического многочлена.


.


Вариант 27


  1. Найти кривую, проходящую через точку (–1, –2), если поднормаль ее в каждой точке равна 2.




  1. Найти закон изменения тока в цепи, электрическое состояние которой описывается уравнением , если i = i0 при t = 0, u = um sin wt, L, R – const.


3. Решить дифференциальные уравнения и проверить правильность их решения:

    1. ;

    2. (у )2 = у;

    3. y  + у = cos x sin 2х

    4. y  – 2y + у = 16eх.




  1. Решить задачу Коши и проверить правильность ее решения:

,

.


5. Указать вид частного решения:

5.1. y – 5y + 6у = х2 + 3x – 2;

5.2. y + y = sin x;

5.3. y + 2y + y = х + 2x – 3.


6. Решить систему дифференциальных уравнений:

а) методом исключения;

б) с помощью характеристического многочлена.


.

Вариант 28


  1. Найти кривую, проходящую через точку (1, 1), у которой расстояние любой касательной от начала координат равно абсциссе точки касания.




  1. Цепь с последовательным соединением резистора сопротивления R и конденсатора С подключена к источнику напряжения, которое меняется по закону u = vm sin wt. Найти закон изменения тока в цепи.


3. Решить дифференциальные уравнения и проверить правильность их решения:

    1. ;

    2. ху  + 2 у = х3 ;



    3. y  – 4y + 13у = 26х + 5.




  1. Решить задачу Коши и проверить правильность ее решения:

ху + у(х – 1)+ х2 = 0,

у(1) = 1.


5. Указать вид частного решения:

5.1. y + 4y – 12у = хе2х ;

5.2. y + y = x2 – 2х + 3;

5.3. y – 9y = sin 3x + 3ех.


6. Решить систему дифференциальных уравнений:

а) методом исключения;

б) с помощью характеристического многочлена.


.


Вариант 29


  1. Найти кривую, проходящую через точку (1, 0), для которой расстояние от начала координат до касательной в произвольной точке равно расстоянию от начала координат до нормали в той же точке.




  1. За 30 дней распалось 50% первоначального количества радиоактивного вещества. Через сколько времени останется 1% от первоначального количества, если количество радиоактивного вещества, распадающегося за единицу времени, пропорционально количеству этого вещества, имеющегося в рассматриваемый момент.


3. Решить дифференциальные уравнения и проверить правильность их решения:

    1. ;

    2. у ctg y = 2(y)2;

    3. y  + у = x + 1 + 3eх

    4. y  – 4y = 6x2 + 1.




  1. Решить задачу Коши и проверить правильность ее решения:

,

y(–2) = –4.


5. Указать вид частного решения:

5.1. y – 7y + 10у = е2х;

5.2. y + y = 2 cos x;

5.3. y – 2y – 3y = xех + 3x.


6. Решить систему дифференциальных уравнений:

а) методом исключения;

б) с помощью характеристического многочлена.


.

Вариант 30


  1. Найти кривую, проходящую через начало координат, зная, что середина отрезка ее нормали от любой точки кривой до оси ОХ находится на параболе у2 = ах.




  1. Температура вынутого из печи хлеба в течение 20 мин падает от 100 до 60. Температура воздуха 25. Через сколько времени от момента начала охлаждения температура хлеба понизится до 30, если скорость охлаждения пропорциональна разности температур хлеба и окружающей среды?


3. Решить дифференциальные уравнения и проверить правильность их решения:

    1. (х2 + y2)у = 2ху;

    2. х2у  = (y)2;



    3. y  – y = 4x2 – 3х + 2.




  1. Решить задачу Коши и проверить правильность ее решения:

(х + y2)dу = уdх,

y(–1) = 1.


5. Указать вид частного решения:

5.1. y + 4y = sin x + 2cos x;

5.2. y – 7y + 10y = xе5х;

5.3. y + 3y + 2y = е2х cos x.


6. Решить систему дифференциальных уравнений:

а) методом исключения;

б) с помощью характеристического многочлена.


.


ЛИТЕРАТУРА


  1. Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа. – М.: Наука, 1972, 1975.

  2. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. Ч,2. –М.: Высшая школа, 1980.

  3. Задачи и упражнения по математическому анализу для втузов. /Под ред. Б.П. Демидовича. – М.: Наука, 19709, 1974, 1978.

  4. Задачник по курсу математического анализа. Ч.2. /Под ред. Н.Я. Виленкина. – М.: Просвещение, 1971.

  5. Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифферен-циальным уравнениям. – М.: Наука, 1979.



Оригинал – макет и компьютерная верстка:

А.П. Афанасьева, Т.Н Вахрушева, Е.Н.Федоров






Скачать 406.41 Kb.
оставить комментарий
В.С. Головкова
Дата02.10.2011
Размер406.41 Kb.
ТипМетодические указания, Образовательные материалы
Добавить документ в свой блог или на сайт

плохо
  4
Ваша оценка:
Разместите кнопку на своём сайте или блоге:
rudocs.exdat.com

Загрузка...
База данных защищена авторским правом ©exdat 2000-2017
При копировании материала укажите ссылку
обратиться к администрации
Анализ
Справочники
Сценарии
Рефераты
Курсовые работы
Авторефераты
Программы
Методички
Документы
Понятия

опубликовать
Загрузка...
Документы

Рейтинг@Mail.ru
наверх