Кобыкновенным дифференциальным уравнения приводят многие вопросы естествознания. Вкачестве иллюстрации рассмотрим пример icon

Кобыкновенным дифференциальным уравнения приводят многие вопросы естествознания. Вкачестве иллюстрации рассмотрим пример


Смотрите также:
Авторское право © Антон Серго Общие вопросы Вкачестве иллюстрации высокой актуальности этой темы...
Решением дифференциального уравнения является некоторая функция...
Вопросы к экзамену по курсу уравнения математической физики...
1- раздел. Дифференциал ьные уравнения первого порядка Глоссарий...
Вопросы к экзамену по учебной дисциплине «Дифференциальные уравнения»...
Вопросы к экзамену по дифференциальным уравнениям в частных производных...
Практикум по дифференциальным уравнениям...
Вопросы к коллоквиуму...
Лекция №4. Характеристики типовых звеньев сар...
Пузанов В. П
Элективный курс. Математика. Уравнения высших степеней...
«Дед-Равняло»



Загрузка...
скачать
Дифференциальные уравнения

Обыкновенным дифференциальным уравнением 1-го порядка называется уравнение вида

(1)

или

, (2)

связывающее независимую переменную , функцию и ее производную .

Уравнение (2) называется уравнением, разрешенным относительно производной.

Функция , определенная и дифференцируемая на некотором промежутке , называется решением этого дифференциального уравнения на , если после подстановки ее в уравнение вместо , а ее производной вместо , оно обращается на в тождество.

К обыкновенным дифференциальным уравнения приводят многие вопросы естествознания. В качестве иллюстрации рассмотрим пример.

Пример. Допустим, что в каждый момент времени известна скорость точки, движущейся по оси , пусть она равна , где - непрерывная функция. Будем считать, что известна координата этой точки в некоторый определенный момент времени . Требуется найти закон движения точки. Задача сводится к нахождению того решения д.у. , которое при обращается в . Из интегрального исчисления известно, что такое решение дается формулой .

Из примера видно, что у дифференциального уравнения может быть много решений. Для определения искомой функции надо задать не только дифференциальное уравнение, но и начальные значения.

Определение. Общим решением дифференциального уравнения (2) в некоторой области называется однопараметрическое семейство функций , зависящих от переменной и одной произвольной постоянной (параметра), такое, что

  1. при любом допустимом значении постоянной функция является решением уравнения (2);

  2. каково бы ни было начальное условие , можно подобрать такое значение постоянной , что решение будет удовлетворять начальному условию .

Геометрическая интерпретация

Будем рассматривать д.у. (2)

,

где функция определена в некоторой области плоскости .

Говорят, что уравнение (2) определяет в области поле направлений. Чтобы его построить, надо в каждой точке провести маленький отрезок касательной к графику решения уравнения, проходящему через эту точку (с угловым коэффициентом равным ).

Тогда поставленную прежде задачу нахождения решения д.у. можно сформулировать так: требуется найти кривую , которая в каждой своей точке имеет заданную уравнением (2) касательную или, как часто говорят, заданное уравнением (2) направление.

Будем допускать, что поле направлений в некоторой точке параллельно . Соответственно, будем наряду с д.у. (2) рассматривать уравнение

(3)

Задачу интегрирования д.у. (2), (3) представим так: в области найти все линии, имеющие в каждой точке направление, заданное уравнениями (2), или (3). Эти линии мы будем называть интегральными линиями (интегральными кривыми) уравнений (2), (3).

Ясно, что график каждого решения д.у. (2) является интегральной кривой, но не всякая интегральная кривая есть график решения.

Задача Коши для дифференциального уравнения (1)



состоит в отыскании решения , удовлетворяющего начальному условию

.

Величины называются начальными значениями.

Теорема. Пусть функция определена в некоторой области . Выберем произвольную точку . Если существует окрестность этой точки, в которой функция

  1. непрерывна по совокупности аргументов;

  2. имеет ограниченную частную производную .

То найдется интервал оси , на котором существует, и притом единственная, функция , являющаяся решением задачи Коши

. (4)

Сформулированная теорема дает достаточные, но отнюдь не необходимые условия существования и единственности решения начальной задачи. Последнее утверждение мы можем проиллюстрировать следующим примером.

Пример. Рассмотрим уравнение

. (5)

Перепишем уравнение в виде . Тогда , .

Функция, стоящая в правой части уравнения (5) не определена при . Следовательно, на оси не выполнены условия теоремы. Однако, через каждую точку на проходит, и притом единственная, интегральная кривая . Правда на производная бесконечна.

Но все-таки нарушение условий теоремы Коши часто указывает на точки, через которые либо не проходит ни одной интегральной кривой, либо проходит несколько.

Пример. Решим уравнение

. (6)

У (5) есть стационарное решение, график которого совпадает с осью , а вне уравнение (6) эквивалентно уравнению

,

решениями которого являются функции или . Видим, что через каждую точку оси проходит бесконечно много интегральных кривых.

Уравнение вида

(7)

называется дифференциальным уравнением с разделенными переменными. Здесь и - известные непрерывные функции своих аргументов.

Покажем, как найти решение этого уравнения. Пусть и - первообразные функций и соответственно. Равенство (7) равносильно тому, что дифференциалы этих функций должны совпадать:

.

Отсюда следует, что

,

где - произвольная постоянная.

Разрешая последнее уравнение относительно , получим функцию (может быть, и не одну) , которая обращает уравнение (7) в тождество и значит, является его решением.

Например,



уравнение с разделенными переменными. Записав его в виде



и интегрируя обе части, найдем общий интеграл данного уравнения:

.

Уравнение вида



в котором коэффициенты при дифференциалах распадаются на множители, зависящие только от и только от , называется дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными. Оно имеет стационарные решения и , где нули функции , а нули функции . Путем деления на это уравнение приводится к уравнению с разделенными переменными



Пример. Проинтегрировать уравнение



Стационарное решение , далее разделяем переменные

,

Интегрируем:



Ответ:

Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение вида

, (8)

где коэффициенты уравнения , и его правая часть - известные непрерывные функции, заданные на некотором интервале .

Если на , то это уравнение называется однородным, в противном случае оно называется неоднородным. Считая на и деля обе части уравнения (1) на , приведем (1) к виду

(9)

Мы его будем решать методом вариации постоянной. Сначала решается однородное уравнение

, (10)

это уравнение с разделяющимися переменными:

,

где - какая-либо первообразная функции . Тогда - общее решение однородного уравнения (10). Решение неоднородного уравнения (9) ищется в виде

, (11)

где - неизвестная функция. Для того, чтобы ее определить, подставляем (11) в (9):

,

;

. (12)

В формуле (12) общего решения неопределенные интегралы можно заменить определенными интегралами с переменным верхним пределом:

, (13)

где роль произвольной постоянной играет начальное значение искомой функции .

Формула (13) является общим решением уравнения (9) в форме Коши.

Пример. Решим уравнение :

однородное уравнение – , его общее решение – . Заменяем константу функцией и подставляем в исходное уравнение:

,

то есть и

Ответ: .

Метод Эйлера – один из методов приближенного решения задачи Коши для дифференциального уравнения 1-го порядка. Приближение заключается в том, что интегральная кривая, проходящая через заданную точку, заменяется ломаной, звенья которой являются отрезками касательных к «близким» интегральным кривым. Итак, пусть требуется найти приближенное решение задачи Коши

. (14)

Будем предполагать, что в некотором прямоугольнике функция непрерывна и имеет непрерывные частные производные достаточно высокого порядка по всем аргументам, так что решение задачи Коши (14) существует,, единственно и является функцией, дифференцируемой достаточное число раз.

Строим ломаную с узлами в точках . Значения - заданные,

,

где - заданный параметр, - отрезок касательной к интегральной кривой, проходящей через точку , угловой коэффициент которой равен , то есть , тогда

.

Пример.

Методом Эйлера найти численное решение задачи Коши , .

Результаты вычислений занесем в таблицу











точное решение

0

0

1

2

0,2

1

1

0,1

1,2

2,3

0,23

1,22

2

0,2

1,43

2,63

0,26

1,46

3

0,3

1,69

2,99

0,3

1,75

4

0,4

1,99

3,39

0,34

2,08

5

0,5

2,33

3,83

0,38

2,45

6

0,6

2,71

4,31

0,43

2,87

7

0,7

3,14

4,84

0,48

3,34

8

0,8

3,62

5,42

0,54

3,88

9

0,9

4,16

6,06

0,6

4,48

10

1

4,76







5,15

Точное решение задачи .







Скачать 82.01 Kb.
оставить комментарий
Дата02.10.2011
Размер82.01 Kb.
ТипДокументы, Образовательные материалы
Добавить документ в свой блог или на сайт

Ваша оценка этого документа будет первой.
Ваша оценка:
Разместите кнопку на своём сайте или блоге:
rudocs.exdat.com

Загрузка...
База данных защищена авторским правом ©exdat 2000-2017
При копировании материала укажите ссылку
обратиться к администрации
Анализ
Справочники
Сценарии
Рефераты
Курсовые работы
Авторефераты
Программы
Методички
Документы
Понятия

опубликовать
Загрузка...
Документы

Рейтинг@Mail.ru
наверх