Задача Коши icon

Задача Коши


Смотрите также:
Задача для системы обыкновенных дифференциальных уравнений (оду)...
Решение обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений в частных производных в химии и...
При необходимости более детального просмотра увеличьте масштаб документа!...
Программа дисциплины Уравнения математической физики для направления 010500...
Задача Коши
Задача Коши
Задача Коши для растущих полигармонических функциях...
Вопросы к экзамену по учебной дисциплине «Дифференциальные уравнения»...
Уравнения первого порядка...
Задача Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений...
Вопросы к экзамену по курсу высшей математики за 3 семестр...
Задача Коши ду вп...



Загрузка...
скачать

2.06

2.6. Численные методы решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений. Понятия сходимости, аппроксимации и устойчивости разностных схем.


Задача Коши:


Дискретизация задачи Коши:

Поводи вычисление на отрезке . Введем сетку , назовем узлами сетки , назовем шагом сетки.

Задача в нахождении решения задачи Коши в узлах сетки. Заменим уравнение на дискретный аналог: – k-шаговый метод.


Явный метод Эйлера



Неявный метод Эйлера




Устойчивость

Разностная схема устойчива, если существует (независимая от h – шага сетки):

;

это означает непрерывную зависимость погрешности решения от погрешности входных данных.


Аппроксимация

Аналогично, вводится понятие аппроксимации дифференциальной задачи с порядком a:




Сходимость

Сходимость решения разностной задачи: , d – порядок сходимости.


Th Лакса:

Т.е. устойчивая схема обеспечивает сходимость решения с порядком аппроксимации.

Доказательство:,


Определение. Решение задачи (8.3) uτ сходится при к решению исходной задачи (8.2), если



при .

При этом, если имеет место оценка



то имеет место сходимость порядка p.

Определение. Говорят, что задача (8.3) аппроксимирует задачу (8.2) на ее решении, если невязка



при , где ; при этом, если имеет место оценка



то говорят, что имеет место аппроксимация порядка p.

Определение. Задача (8.3) устойчива, если из соотношений

Lτ(uτ) - Fτ = ξτ ,

Lτ(vτ) - Fτ = ητ

следует



Теорема 1 (В.С.Рябенького - П. Лакса) . Решение задачи (8.3) сходится к решению исходной задачи (8.2), если задача (8.3) устойчива и аппроксимирует задачу (8.2); если аппроксимация имеет порядок p, то сходимость также имеет порядок p.

Доказательство.

В силу аппроксимации имеем оценку: . Тогда из определения устойчивости, положив vτ = Uτ , получим



поскольку в данном случае

|| ητ || = 0

и, кроме того,

|| rτ || = || ξτ ||.








Скачать 19,63 Kb.
оставить комментарий
Дата02.10.2011
Размер19,63 Kb.
ТипЗадача, Образовательные материалы
Добавить документ в свой блог или на сайт

Ваша оценка этого документа будет первой.
Ваша оценка:
Разместите кнопку на своём сайте или блоге:
rudocs.exdat.com

Загрузка...
База данных защищена авторским правом ©exdat 2000-2017
При копировании материала укажите ссылку
обратиться к администрации
Анализ
Справочники
Сценарии
Рефераты
Курсовые работы
Авторефераты
Программы
Методички
Документы
Понятия

опубликовать
Загрузка...
Документы

наверх