Косновным уравнениям математической физики относятся следующие дифференциальные уравнения в частных производных второго порядка
1 чел. помогло. | скачать Основные типы уравнений математической физики К основным уравнениям математической физики относятся следующие дифференциальные уравнения в частных производных второго порядка.
 .Это уравнение является простейшим уравнением гиперболического типа. К его исследованию приводит изучение процессов поперечных колебаний струны, продольных колебаний стержня, электрических колебаний в проводах и т.д.
 .Это уравнение является простейшим уравнением параболического типа. К его исследованию приводит рассмотрение процессов распространения тепла, фильтрации жидкости и газа в пористой среде, изучение некоторых вопросов теории вероятностей и т.д.
 .Это уравнение относится к простейшим уравнениям эллиптического типа. К его исследованию приводит изучение задач об электрических и магнитных полях, о стационарном тепловом состоянии, задач гидродинамики и т.д. В выписанных уравнениях искомая функция u зависит от двух переменных t, x или x, y. Рассматриваются также уравнения и для функций с большим числом переменных. Например, волновое уравнение с тремя независимыми переменными имеет вид  ,уравнение теплопроводности  и уравнение Лапласа  .Уравнение колебаний струны. ^ В математической физике струной называют гибкую упругую нить. Пусть струна в начальный момент времени расположена на отрезке 0≤x≤l оси O  x. Предположим, что ее концы закреплены в точках x=0 и x=l. Если струну отклонить от первоначального положения, а потом предоставить самой себе или придать ее точкам некоторую скорость, то точки струны будут совершать движение. Задача заключается в определении формы струны в любой момент времени и в определении закона движения каждой точки струны в зависимости от времени.Если предположить, что движение точек струны происходит перпендикулярно оси ^ и в одной плоскости, то процесс колебания струны описывается одной функцией u(x,t), которая определяет величину перемещения точки струны с абсциссой x в момент t. Доказано, что при отсутствии внешней силы функция u(x,t) должна удовлетворять дифференциальному уравнению в частных производных второго порядка .Для полного определения движения струны одного уравнения недостаточно. Искомая функция u(x,t) должна удовлетворять граничным условиям, указывающим, что делается на концах струны (при x=0 и x=l), и начальным условиям, описывающим состояние струны в начальный момент (t=0). Совокупность граничных и начальных условий называется краевыми условиями. Пусть, например, концы струны при x=0 и x=l неподвижны. Тогда при любом t должны выполняться равенства u(0,t)=0, u(l,t)=0. Это – граничные условия для рассматриваемой задачи. В начальный момент t=0 струна имеет определенную форму, которую мы ей придали. Пусть эта форма определяется функцией f(x), т.е. u(x,0)=f(x). Далее в начальный момент должна быть задана скорость в каждой точке струны, которая определяется функцией φ(x), т.е.  .Эти два условия называются начальными условиями. Колебания бесконечной струны. ^ для волнового уравнения Прежде чем решать задачу о колебаниях закрепленной струны, рассмотрим более простую задачу – о колебаниях бесконечной струны. Если представить очень длинную струну, то ясно, что на колебания, возникающие в ее средней части, концы струны не будут оказывать заметного влияния. Рассматривая свободные колебания, мы должны решить однородное уравнение при начальных условиях  ,  ,где функции f(x) и g(x) заданы на всей числовой оси. Такая задача называется задачей с начальными условиями или задачей Коши. Преобразуем волновое уравнение к каноническому виду, содержащему смешанную производную. Уравнение характеристик  распадается на два уравнения: dx – adt=0 и dx + adt=0, интегралами которых служат прямые x – at=C1, x + at=C2. Введем новые переменные ξ=x – at, η=x + at и запишем волновое уравнение для переменных ξ и η. Вычисляя производные  ,  , , ,и подставляя их в исходное уравнение, видим, что уравнение колебания струны в новых координатах будет  .Интегрируя полученное равенство по η при фиксированном ξ, придем к равенству  . Интегрируя это равенство по ξ при фиксированном η, получим ,где φ и ψ являются функциями только переменных ξ и η соответственно. Следовательно, общим решением исходного уравнения является функция  . (8)Найдем функции φ и ψ так, чтобы удовлетворялись начальные условия:  . , .Интегрируя последнее равенство, получим:  ,где х0 и С – постоянные. Из системы уравнений  находим  Таким образом, мы определили функции φ и ψ через заданные функции f и g, причем полученные равенства должны иметь место для любого значения аргумента. Подставляя в (8) найденные значения φ и ψ, будем иметь  или  .Найденное решение называется формулой Даламбера решения задачи Коши для волнового уравнения Пример. Решить уравнение при начальных условиях  ,  .^   .^ методом разделения переменных (метод Фурье) Метод разделения переменных применяется для решения многих задач математической физики. Пусть требуется найти решение волнового уравнения , (9)удовлетворяющее краевым условиям u(0,t)=0, u(l,t)=0, (10), (11) u(x,0)=f(x), . (12),(13)Частное решение уравнения (9), удовлетворяющее граничным условиям (10) и (11), ищут в виде произведения двух функций: u(x,t)=X(x)·T(t). Подставляя функцию u(x,t) в уравнение (9) и преобразовывая его, получим  .В левой части этого уравнения стоит функция, которая не зависит от x, а в правой – функция, не зависящая от t. Равенство возможно только в том случае, когда левая и правая части не зависят ни от x, ни от t, т.е. равны постоянному числу. Обозначим  , где λ>0. (14)Из этих уравнений получаем два однородных дифференциальных уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами  и  . (15)Общее решение этих уравнений  , ,где A, B, C, D – произвольные постоянные. Постоянные A и B подбирают так, чтобы выполнялись условия (10) и (11), из которых следует, что X(0)=X(l)=0, так как T(t)≠0 (в противном случае u(x,t)=0). Учитывая полученные равенства, находим А=0 и  .Так как B≠0 (иначе, было бы X=0 и u=0, что противоречит условию), то должно выполняться равенство  ,откуда,  .Найденные значения λ называют собственными значениями для данной краевой задачи. Соответствующие им функции X(x) называются собственными функциями. Заметим, что, если в равенстве (14) вместо – λ взять число λ (λ>0), то первое из уравнений (15) будет иметь решение в виде  .Отличное от нуля решение в такой форме не может удовлетворять граничным условиям (10) и (11). Зная  , можем записать .Для каждого n получаем решение уравнения (9)  .Так как исходное уравнение (9) линейное и однородное, то сумма решений также является решением, и потому функция  (16)будет решением дифференциального уравнения (9), удовлетворяющим граничным условиям (10) и (11). Найденное частное решение должно еще удовлетворять начальным условиям (12) и (13). Из условия (12) получим  .Далее, дифференцируя члены ряда (16) по переменной t, из условия (13) будем иметь  .Правые части двух последних равенств есть ряды Фурье для функций f(x) и φ(x), разложенных по синусам на интервале (0, l). Поэтому  . (17)Итак, ряд (16), для которого коэффициенты Cn и Dn определяются по выписанным формулам, если он допускает двукратное почленное дифференцирование, представляет решение уравнения (9), удовлетворяющее граничным и начальным условиям. Пример. Найти решение краевой задачи для волнового уравнения  , 0<x<1, 0<t<∞,удовлетворяющее начальным условиям u(x,0)=x(x-1),  и граничным условиям u(0,t)=0, u(1,t)=0. Так как  , то согласно формуле (16) решение заданного уравнения ищем в виде .Коэффициенты Cn и Dn найдем по формулам (17). При вычислении интегралов используем формулу интегрирования по частям.     .Итак, искомое решение уравнения имеет вид  .^ Р  ассмотрим однородный стержень длины l. Предположим, что боковая поверхность стержня теплонепроницаема и во всех точках поперечного сечения стержня температура одинакова. Если стержень предоставить самому себе, то заключенное в нем тепло будет протекать от более нагретых мест к менее нагретым, и температура стержня с течением времени станет выравниваться. На этот процесс будет влиять также режим, который поддерживается на концах стержня. Задача состоит в том, чтобы, зная этот режим и распределение температуры в начальный момент времени t=0, найти это распределение в последующие моменты.Ось ^ располагают так, что один конец стержня совпадает с точкой x=0, а другой – с точкой x=l. Обозначим через u(x,t) температуру в сечении стержня с абсциссой х в момент времени t. Функция u(x,t) должна удовлетворять дифференциальному уравнению .Это уравнение и называется уравнением распространения тепла (уравнением теплопроводности) в однородном стержне. Чтобы решение уравнения было определенно, функция u(x,t) должна удовлетворять краевым условиям, соответствующим физическим условиям задачи. Так называемая первая краевая задача для 0≤t<∞, 0<x<l заключается в следующем:u(x,0)=φ(x), u(0,t)=ψ1(t), u(l,t)=ψ2(t). (18), (19), (20) Начальное условие (18) соответствует тому, что при t=0 в различных сечениях стержня задана температура, равная φ(x). Граничные условия (19) и (20) соответствуют тому, что на концах стержня при x=0 и x=l поддерживается температура, равная ψ1(t) и ψ2(t) соответственно. ^ Пусть в начальный момент времени задана температура в различных сечениях стержня. Концы стержня погружены в тающий лед, т.е. в них поддерживается постоянная температура равная нулю. Требуется определить распределение температуры в стержне в последующие моменты времени. Таким образом, нужно найти решение дифференциального уравнения ,удовлетворяющее краевым условиям u(x,0)=φ(x), u(0,t)=u(l,t)=0. Применяя к решению поставленной задачи метод разделения переменных можно получить решение уравнения, удовлетворяющее граничным условиям, в виде  . (21)Коэффициенты Аn выбираются так, чтобы удовлетворялось начальное условие, согласно которому будем иметь  .Заметим, что из равенства (21) следует, что при t→+∞ функция u(x,t)→0. Физический смысл этого соотношения ясен: с течением времени в стержне установится температура льда, в который погружены его концы. Если стержень очень длинный, то на процессы, протекающие в его средней части, главное влияние оказывает начальное распределение температуры. В задачах такого типа стержень считается бесконечным. Краевые условия при этом не учитываются, и на искомую функцию u(x,t) накладывают только начальное условие u(x,0)=φ(x), (22) где функция φ(x) определена на всей числовой оси. Задача решения уравнения теплопроводности при условии (22) называется задачей Коши. Метод разделения переменных позволяет найти решение уравнения в следующем виде  .Функции А(λ) и В(λ) выбирают так, чтобы выписанное решение удовлетворяло начальному условию (22). Полагая в последнем равенстве t=0, получим  .Сравнивая интеграл в правой части равенства с интегралом Фурье для функции φ(x):   ,видим, что  , .Подставляя найденные выражения А(λ) и В(λ) в функцию u(x,t) и преобразовывая ее, окончательно получим  .^ К уравнениям эллиптического типа приводит изучение стационарных, т.е. не меняющихся во времени процессов различной физической природы. Простейшим уравнением эллиптического типа является уравнение Лапласа .Например, если имеется однородная пластина, занимающая область ^ , ограниченную линией L, то можно показать, что температура в различных точках пластины должна удовлетворять уравнению .Если процесс установившийся, т.е. температура не зависит от времени, а зависит только от координат точек пластины, то  и, следовательно, температура удовлетворяет уравнению Лапласа. (23)Функции, удовлетворяющие уравнению Лапласа, называются гармоническими. В каждой задаче, связанной с уравнением Лапласа, искомое решение выделяется из множества всех гармонических функций с помощью дополнительного условия, которое чаще всего является краевым. Так, чтобы температура на пластине определялась однозначно, нужно знать температуру на контуре L пластины. Таким образом, требуется найти функцию u(x,y), удовлетворяющую уравнению (23) внутри области D и принимающую в каждой точке M кривой L заданные значения:  . (24)Эта задача называется задачей Дирихле или первой краевой задачей для уравнения (23). Если на границе ^ температура неизвестна, а известен тепловой поток в каждой точке кривой, который пропорционален производной функции u по направлению вектора  , где - единичный вектор, направленный по нормали к кривой, то вместо условия (24) на границе области будем иметь условие . (25)Задача нахождения решения уравнения (23), удовлетворяющего краевому условию (25), называется задачей Неймана или второй краевой задачей. Если вместо плоской пластины задано однородное тело ^ , ограниченное поверхностью σ, то функция u будет функцией трех переменных и должна удовлетворять уравнению .Краевые условия (24) или (25) в этом случае должны выполняться на поверхности σ. Заметим, что задача Дирихле решается просто в одномерном случае, т.е. когда в соответствующей системе координат неизвестная функция u зависит только от одной из координат. В случае декартовых координат одномерное уравнение Лапласа принимает вид  и его решением является линейная функция u=Ax+B. Задача Дирихле в этом случае имеет решение  , где u(0)=u0, u(l)=ul.Уравнение Лапласа в цилиндрических координатах. Решение задачи Дирихле для кольца Пусть u(x,y,z) – гармоническая функция. Тогда или Δu=0.Рассмотрим цилиндрические координаты  ,откуда  .Заменяя независимые переменные x, y, z на r, φ и z, придем к функции u(r,φ,z). Используя правило дифференцирования сложной функции нескольких переменных, можно доказать, что найденная функция u(r,φ,z) должна удовлетворять уравнению  .Это и есть уравнение Лапласа в цилиндрических координатах. Если функция u не зависит от z, а только от x и y, то функция u(r,φ) будет удовлетворять уравнению  , (26)где r и φ – полярные координаты на плоскости. Найдем решение уравнения Лапласа в области ^ , ограниченной окружностями L1: x2+y2=R12 и L2: x2+y2=R22 , если это решение принимает следующие граничные значения:  , (27)где u1, u2 –постоянные. Решим эту задачу в полярных координатах. Целесообразно искать решение, не зависящее от φ, так как граничные условия от φ не зависят. Уравнение (26) в этом случае примет вид  .Получили обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка, допускающее понижение порядка. Интегрируя уравнение, найдем  . (28)Постоянные С1 и С2 определяются из граничных условий (27)  ,  .Подставляя найденные значения С1 и С2 в формулу (28), окончательно получим  .Замечание. Фактически мы решили следующую задачу: найти функцию u, удовлетворяющую уравнению Лапласа в области, ограниченной поверхностями (в цилиндрических координатах): r=R1, r=R2, z=0, z=H, и следующим граничным условиям:  .(задача Дирихле-Неймана). ^ для уравнения Лапласа в круге Рассмотрим на плоскости xOy круг с центром в начале координат радиуса R. Пусть на его окружности задана некоторая функция r=f(φ), где φ – полярный угол. Найдем функцию u(r,φ), удовлетворяющую внутри круга уравнению Лапласа (29)и на окружности принимающую заданные значения  .Решение задачи ищут методом разделения переменных, полагая  .Подставляя эту функцию в уравнение (29), получим  ,или  .Левая часть этого равенства не зависит от r, а правая от φ, следовательно, они равны постоянному числу, которое обозначили через -k2. Таким образом, нашли два дифференциальных уравнения  , (30) . (31)Общее решение первого из этих уравнений будет  .Второе уравнение является уравнением Эйлера. Его решение найдем в виде  . Подставив выписанную функцию в уравнение (31), найдем два частных линейно независимых решения rk и r-k. Тогда общее решение уравнения (31) запишется в виде .Итак,  . (32)Полученная функция будет решением данного уравнения при любом значении k, отличном от нуля. Если k=0, то уравнения (30) и (31) принимают вид  .Откуда получаем  .Так как решение должно быть периодической функцией от φ с наименьшим положительным периодом 2π, то в найденном выражении для u0 B0=0. Далее функция u(r,φ) должна быть непрерывной и конечной в круге, поэтому D0=0 и Dk=0. Решение исходной задачи будем составлять в виде суммы решений (32). Сумма должна быть периодической функцией от φ. Для этого k должно принимать целые значения. Итак,  . (33)Постоянные An и Bn находят так, чтобы выполнялось краевое условие задачи. Подставляя в выражение для u(r,φ) значение r=R, получим  .Найденная сумма является рядом Фурье для функции f(φ) на интервале (-π, π). Следовательно, An и Bn должны определяться по формулам  ,  ,  . (34)Таким образом, ряд (33) с коэффициентами, определенными по формулам (34), будет решением поставленной задачи, если он допускает почленное двукратное дифференцирование по r и φ. Пример. Найти решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа Δu=0 в круге 0≤r<2, принимающее на границе круга значения  .Решение задачи будем искать в виде .Найдем коэффициенты ряда по формулам (34).  .  .  .Итак,  .Литература
|
отлично
2 Разместите кнопку на своём сайте или блоге: