Учебное пособие Новосибирск 2006 Утверждено к изучению на заседании кафедры «Гуманитарных, социально-экономических и естественных наук». Протокол №5 от 27 января 2006 г. Рекомендовано к изданию Ученым советом нф рап, протокол №6 от 22 мая 2006 г icon

Учебное пособие Новосибирск 2006 Утверждено к изучению на заседании кафедры «Гуманитарных, социально-экономических и естественных наук». Протокол №5 от 27 января 2006 г. Рекомендовано к изданию Ученым советом нф рап, протокол №6 от 22 мая 2006 г


3 чел. помогло.
Смотрите также:
Новосибирск
Учебно-методический комплекс Москва 2006 Одобрен на заседании кафедры гуманитарных и...
Стратегический менеджмент...
Учебная программа (Специальность 021100 «Юриспруденция») Москва 2006...
Программадисциплины по кафедре социологии...
Программадисциплины по кафедре социологии...
Учебное пособие Изд. 2-е, перераб и доп. Петрозаводск Издательство Петргу 2006...
Учебное пособие Изд. 2-е, перераб и доп. Петрозаводск Издательство Петргу 2006...
Учебное пособие для вузов Составитель Т. А. Тернова...
Учебное пособие Рекомендовано Научно-методическим советом университета белгород...
Справочное пособие рассмотрено и утверждено на заседании кафедры философских и социальных наук...
Справочное пособие рассмотрено и утверждено на заседании кафедры философских и социальных наук...



Загрузка...
страницы:   1   2   3   4   5   6   7
скачать


Российская академия предпринимательства

Новосибирский филиал





Е.С. Плюснина


ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА


Часть I


Учебное пособие


Новосибирск

2006

Утверждено к изучению на заседании кафедры «Гуманитарных, социально-экономических и естественных наук». Протокол № 5 от 27 января 2006 г.


Рекомендовано к изданию Ученым советом НФ РАП, протокол № 6 от 22 мая 2006 г.


Настоящая работа представляет учебное пособие по математике для студентов экономических специальностей. Первая часть пособия включает в себя разделы линейной алгебры, аналитической геометрии и линейные модели в экономике, посвященные применению вышеуказанных тем к задачам экономики. Пособие снабжено подробными примерами решения задач по всем темам, включенным в пособие. Также в пособие включены десять вариантов двух контрольных работ, необходимых для выполнения студентами всех форм обучения. Задачи, помещенные в сборнике, охватывают объем курса высшей математики, соответствующий требованиям государственного образовательного стандарта.


ББК 22.11 я7 П392


©Е.С. Плюснина, 2006

© НФ РАП, 2006

Содержание


Раздел №1. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии 5

1.1. Элементы линейной алгебры 5

1.1.1. Матрицы. Действия с матрицами 5

1.1.2. Определители 2-го и 3-го порядков 7

1.1.3. Метод Крамера решения систем алгебраических уравнений 8

1.1.4. Обратная матрица. Матричный метод решения систем линейных алгебраических уравнений 9

1.1.5. Ранг матрицы. Решение систем линейных уравнений методом Гаусса 13

1.2. Векторы 17

1.2.1. Понятие геометрического вектора 17

1.2.2. Модуль вектора 18

1.2.3. Базис 18

1.2.4. Разложение вектора по базису 18

1.2.5. Правая и левая тройки векторов 19

1.2.6. Проекция вектора на вектор 19

1.2.7. Ортонормированный базис 19

1.2.8. Скалярное произведение векторов и его свойства 19

1.2.9. Векторное произведение векторов и его свойства 20

1.2.10. Смешанное произведение векторов и его свойства 20

^ 1.3. Прямоугольная декартовая система координат (ПДСК) 21

1.3.1. Определение прямоугольной декартовой системы координат 21

1.3.2. Нахождение координат вектора, заданного двумя точками 22

1.3.3 Линейные операции над векторами 22

1.3.4. Произведения векторов в ПДСК 22

^ 1.4. Элементы аналитической геометрии 26

1.4.1. Плоскость в пространстве 26

1.4.2. Прямая в пространстве 26

1.4.3. Прямая на плоскости 27

1.4.4. Кривые 2-го порядка 30

1.4.5. Окружность 30

1.4.6. Эллипс 32

1.4.7. Гипербола 33

1.4.8. Парабола 34

^ 1.5. Линейные модели в экономике 35

1.5.1. Линейная модель оптимального планирования. 35

1.5.2. Модель Леонтьева 39

1.5.3. Модель Неймана 39

Контрольная работа № 1 56

Контрольная работа № 2 63

Литература 69



^

Раздел №1. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии

1.1. Элементы линейной алгебры

1.1.1. Матрицы. Действия с матрицами


Прямоугольная таблица вида называется матрицей, размерности . Числа называются элементами матрицы.

Если в матрице число строк совпадает с числом столбцов, то такая матрица называется квадратной.

Суммой двух матриц и называется матрица


.

Произведением числа на матрицу называется матрица .

Произведением двух матриц и называется матрица , каждый элемент которой, стоящий в -й строке и -м столбце, равен сумме произведений соответственных элементов -й строки матрицы и -го столбца матрицы . При этом по отношению к произведению двух матриц не выполняется .

^ Элементарными преобразованиями матриц называются следующие преобразования: 1) прибавление к одной строке (столбцу) другой строки (столбца), умноженного на одно и то же постоянное число; 2) перестановка двух любых строк (столбцов) в матрице.

Две матрицы называются эквивалентными, если они получены одна из другой с помощью цепочки элементарных преобразований.

Пример.

Даны матрица и матрица . Найти .

Решение: =


=.

Ответ: .
^

1.1.2. Определители 2-го и 3-го порядков


Определитель второго порядка, соответствующий таблице элементов , вычисляется следующим образом

^ Определитель третьего порядка, соответствующий таблице элементов может быть вычислен разложением по первой строке:





Определители выше третьего порядка также могут быть вычислены разложением по первой строке (см. [1,3,6]).
^

1.1.3. Метод Крамера решения систем алгебраических уравнений


Пусть дана система линейных алгебраических уравнений:



Здесь - постоянные, - неизвестные.

Она имеет единственное решение, если определитель системы не равен нулю:



Это решение может быть найдено по формулам Крамера:

где


^

1.1.4. Обратная матрица. Матричный метод решения систем линейных алгебраических уравнений


Матрица называется обратной по отношению к квадратной матрице , если , где - единичная матрица.

Обратная матрица существует для всякой квадратной матрицы, определитель которой отличен от нуля, , где - определитель матрицы , - алгебраические дополнения соответствующих элементов матрицы . Алгебраические дополнения находятся по формуле: , где - определитель, полученный вычеркиванием в определителе матрицы -й строки и - го столбца, называемый минором.

Пусть дана система линейных алгебраических уравнений:

Матрица называется основной матрицей системы. Вектор-матрица называется матрицей неизвестных. Вектор-матрица называется матрицей правых частей. Тогда исходную систему можно переписать в виде . Решение этой системы находится по формуле .

Пример.

Решить систему уравнений матричным методом: .

Решение. Найдем определитель основной матрицы системы . Так как определитель отличен от нуля, существует обратная матрица . Для нахождения обратной матрицы находим все алгебраические дополнения: ; ; ; ; ; ; ; ; . Тогда .

Решение системы , где .

Ответ: .
^

1.1.5. Ранг матрицы. Решение систем линейных уравнений методом Гаусса


Пусть задана произвольная матрица , с помощью цепочки элементарных преобразований приведем матрицу к «треугольному» виду, получим матрицу . Число ненулевых строк в матрице называется рангом матрицы и обозначается .

Рассмотрим систему линейных алгебраических уравнений назовем матрицу расширенной матрицей системы. Найдем и , где - основная матрица системы.

Если 1) = =, где - число неизвестных в системе, то система имеет одно решение;

2) = <, система имеет бесконечное множество решений;

3) , система не имеет решений.

В тех случаях, когда система имеет одно или множество решений по «треугольному» виду расширенной матрицы восстанавливаем систему и решаем ее снизу вверх.

Пример.

Исследовать совместность систем

а); б) . Решить совместную систему.

Решение:

а) Запишем расширенную матрицу системы и с помощью цепочки элементарных преобразований приведем ее к «треугольному» виду. ~ (умножим первую строку на 4 и сложим со второй строкой, затем умножим первую строку на (-2) и сложим с третьей) ~ ~ ~ (поменяем местами вторую и третью строки матрицы) ~ ~ (умножим вторую строку на 3 и сложим с третьей) ~ . Получили матрицу в «треугольном» виде. Найдем ранги основной и расширенной матрицы. В «треугольном» виде расширенной матрицы две ненулевых строки, следовательно, . «Треугольный» вид основной матрицы получаем из «треугольного» вида расширенной матрицы отбрасыванием последнего столбца, стоящего за чертой , здесь так же две ненулевые строки - . Так как система имеет бесконечное множество решений. Найдем их, для этого восстановим систему по «треугольному» виду расширенной матрицы. , из последнего уравнения найдем и подставим в первое уравнение .

б) Запишем расширенную матрицу системы и с помощью цепочки элементарных преобразований приведем ее к «треугольному» виду. ~ (умножим первую строку на 7 и сложим со второй, затем на2 и сложим с третьей) ~ ~ ( поменяем местами вторую и третью строки) ~ ~ (умножим вторую строку на (-3) и сложим с третьей) ~ . Найдем ранги основной и расширенной матрицы. В «треугольном» виде расширенной матрицы три ненулевых строки, следовательно, . «Треугольный» вид основной матрицы получаем из «треугольного» вида расширенной матрицы отбрасыванием последнего столбца, стоящего за чертой , здесь две ненулевые строки - . Так как система не имеет решений.

Ответ: а), б) система не имеет решений.




оставить комментарий
страница1/7
Дата02.10.2011
Размер0.55 Mb.
ТипУчебное пособие, Образовательные материалы
Добавить документ в свой блог или на сайт

страницы:   1   2   3   4   5   6   7
плохо
  2
отлично
  5
Ваша оценка:
Разместите кнопку на своём сайте или блоге:
rudocs.exdat.com

Загрузка...
База данных защищена авторским правом ©exdat 2000-2017
При копировании материала укажите ссылку
обратиться к администрации
Анализ
Справочники
Сценарии
Рефераты
Курсовые работы
Авторефераты
Программы
Методички
Документы
Понятия

опубликовать
Загрузка...
Документы

Рейтинг@Mail.ru
наверх