Типовая учебная программа для высших учебных заведений по специальности 1-31 03 01 «Математика» (по направлениям)
скачать Министерство образования Республики Беларусь Учебно-методическое объединение вузов Республики Беларусь по естественнонаучному образованию УТВЕРЖДАЮ Первый заместитель Министра образования Республики Беларусь ________________ А.И. Жук «___» __________2008 г. Регистрационный № ТД-______/тип. ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО Типовая учебная программа для высших учебных заведений по специальности 1-31 03 01 «Математика» (по направлениям) ^
Минск 2008 СОСТАВИТЕЛИ: Зверович Э.И. – профессор кафедры теории функций Белорусского государственного университета, доктор физико-математических наук, профессор Килбас А. А. – заведующий кафедрой теории функций Белорусского государственного университета, доктор физико-математических наук, профессор Рогозин С.В. – доцент кафедры теории функций Белорусского государственного университета, кандидат физико-математических наук, доцент Толочко М.Э. – доцент кафедры теории функций Белорусского государственного университета, кандидат физико-математических наук, доцент РЕЦЕНЗЕНТЫ: Кафедра математического анализа Учреждения образования «Белорусского государственного университета им. М. Танка» Рябушко Антон Петрович – профессор кафедры высшей математики учреждения образования «Белорусский государственный аграрный технический университет», доктор физико-математических наук, заслуженный работник образования, профессор. ^ Кафедрой теории функций механико-математического факультета Белорусского государственного университета (протокол № 9 от 7 марта 2008 г.) Научно-методическим советом Белорусского государственного университета (протокол № 3 от 27 марта 2008 г.) Научно-методическим советом по математике и механике Учебно-методического объединения вузов Республики Беларусь по естественнонаучному образованию (протокол № 3 от 10 апреля 2008 г.); Ответственный за выпуск: Килбас Анатолий Александрович ^ Дисциплина «Теория функций комплексного переменного» относится к числу дисциплин, составляющих основу математического образования. Этот курс тесно связан с такими дисциплинами как «Математический анализ», «Дифференциальные уравнения», «Функциональный анализ и интегральные уравнения», «Уравнения математической физики». В рамках дисциплины «Теория функций комплексного переменного» обобщаются на случай комплексных переменных теория функциональных рядов, теория интегрирования, рассматриваемые при изучении дисциплины «Математический анализ». С другой стороны, аналитические методы, разрабатываемые на основе базовых понятий дисциплины «Теория функций комплексного переменного» используются при изучении таких разделов как «Дифференциальные уравнения в комплексной области» (дисциплины «Дифференциальные уравнения» и «Уравнения математической физики»). На базе теории функций комплексного переменного строятся примеры, иллюстрирующие основные элементы теории метрических, нормированных и гильбертовых пространств (дисциплина «Функциональный анализ и интегральные уравнения»). Свойства функций комплексного переменного используются при построении спектральной теории операторов и теории разрешимости некоторых классов интегральных уравнений (дисциплина «Функциональный анализ и интегральные уравнения»). В соответствии с типовым учебным планом по специальности 1-31 03 01 «Математика» (по направлениям) на изучение дисциплины «Теория функций комплексного переменного» выделяется 224 часа. Из них 120 часов аудиторных занятий, в том числе лекционных – 60 ч., практических – 60 ч. На изучение дисциплины «Теория функций комплексного переменного» по специальности 1-31 03 02 «Механика» (по направлениям), выделяется, как правило, 174 часа. Из них – 102 часа аудиторных занятий, в том числе лекционных –52 ч., практических – 50 ч. В материале данной дисциплины изучается аппарат некоторых классических и современных разделов естествознания. Освоение дисциплины «Теория функций комплексного переменного» позволит студентам самостоятельно решать теоретические и прикладные задачи современного анализа. Цель дисциплины "Теория функций комплексного переменного": повышение уровня профессиональной компетентности студентов, формирование понятия о технических возможностях одного из разделов современного анализа.^Развивающая цель: формирование у студентов умений использования технических возможностей комплексного анализа, самостоятельного построения и исследования математических моделей. Основные задачи, решаемые в рамках изучения дисциплины «Теория функций комплексного переменного»: – освоение важнейших понятий теории функций комплексного переменного (предел, непрерывность, дифференцируемость); – знакомство с понятием многозначных функций комплексного переменного и понятия аналитического продолжения; – изучение основ теории интегрирования и освоение специальных приемов интегрирования функций комплексного переменного, в том числе различных аспектов теории вычетов; – изучение основ геометрической теории функций комплексного переменного и обработка навыков построения специальных отображений элементарными функциями; – разработка элементов теории рядов в комплексной области и характеризации особых точек однозначного характера. В результате изучения дисциплины обучаемый должен: знать:
уметь:
^ "Теория функций комплексного переменного" для специальности 1-31 03 01 «Математика» (по направлениям)
* для направления 1-31 03 01 – 03 «Математика» (экономическая деятельность) ^ "Теория функций комплексного переменного" для специальности 1-31 03 02 «Механика» (по направлениям)
Предмет теории функций комплексного переменного. Основные определения и факты, связанные с комплексными числами. Топология комплексной плоскости. ^ Формы задания функций комплексного переменного и их геометрическое изображение. Предел функции. Различные формы непрерывности. Кривые и области на комплексной плоскости. Область с краем. Непрерывность функции в области с краем. Дифференцируемые функции комплексного переменного. Условия Коши-Римана. Аналитические функции. Геометрический смысл аргумента и модуля производной. Гармонические функции, их связь с аналитическими. Принцип максимума, теорема единственности, теорема о среднем. Интегралы Пуассона и Шварца. Понятие о конформных отображениях. Однолистность. Принцип сохранения области. Критерий локальной однолистности. Понятие о теореме Римана и о соответствии границ при конформном отображении. Понятие о многозначных аналитических функциях, их точках ветвления и римановых поверхностях. ^ Линейная и дробно-линейная функции. Конформность и групповое свойство. Круговое свойство. Неподвижные точки. Сохранение симметрии.Степенная функция. Функция Жуковского. Профили Жуковского. Показательная функция и комплексный логарифм. Тригонометрические и гиперболические функции. ^ Пути и кривые на плоскости. Интеграл по комплексному переменному. Первообразная, формула Ньютона – Лейбница. Интегральная теорема Коши для простого и составного контуров. Интегральная формула Коши. Интеграл типа Коши. Бесконечная дифференцируемость аналитических функций, формулы Коши для производных аналитических функций. Теорема Морера. ^ Функциональные последовательности и ряды. Виды сходимости. Сходимость, равномерная внутри области. Теорема Вейерштрасса о последовательностях и рядах аналитических функций. Степенной ряд, теорема Абеля. Радиус сходимости. Формула Коши – Адамара. Аналитичность суммы степенного ряда. Разложение аналитической функции в степенной ряд, единственность разложения, ряд Тейлора. Действия со степенными рядами. Нули аналитической функции, порядок нуля. Теорема единственности для аналитических функций. Принцип максимума модуля. Лемма Шварца. ^ Ряд Лорана, область его сходимости. Разложение аналитической функции в ряд Лорана, единственность разложения. Формулы для коэффициентов разложения, неравенства Коши. Теорема об устранимой особой точке и теорема Лиувилля. Классификация изолированных особых точек однозначного характера. Полюс и существенно особая точка, различные их определения. Случай бесконечно удаленной точки. Теорема Сохоцкого, понятие о теореме Пикара. ^ Определение вычета, теорема о вычетах. Формулы для вычисления вычетов. Применение к вычислению интегралов. Логарифмический вычет, принцип аргумента. Теорема Руше, теорема Гурвица. ^ Аналитический элемент и его продолжение. Аналитическое продолжение вдоль пути. Полная аналитическая функция в смысл Вейерштрасса, понятие о ее римановой поверхности. Изолированные особые точки многозначного характера. Аналитическое продолжение через границу области. Принцип симметрии. Формула Кристоффеля-Шварца. ^ Порядок и тип целой функции. Теорема Вейерштрасса. Мероморфные функции. Теорема Миттаг-Леффлера. ЛИТЕРАТУРАОсновная
Дополнительная
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Ваша оценка этого документа будет первой.
Ваша оценка: 