Неопределенный интеграл Вкурсе дифференциального исчисления рассматривалась операция дифференцирования как операция перехода от функции к функции, где  прои icon

Неопределенный интеграл Вкурсе дифференциального исчисления рассматривалась операция дифференцирования как операция перехода от функции к функции, где  прои


Смотрите также:
Теоретические вопросы Понятие первообразной функции. Теорема о первообразных...
Первообразная функции...
Основной задачей дифференциального исчисления являлось нахождение производной...
Пространство соболева...
Методическая разработка лекции на тему: “Элементы дифференциального и интегрального исчисления”...
Модуль Неопределенный интеграл Первообразная. Неопределенный интеграл и его свойства...
Лекция 12. Первообразная и неопределённый интеграл...
Лекция 12. Первообразная и неопределённый интеграл...
Вопросы к экзамену по дисциплине «Математический анализ» для студентов 3 курса специальности...
Программа экспресс-анализа изображений и видео дипломная работа...
«Лизинговая операция: как распутать клубок противоречий» президиум высшего арбитражного суда...
Ы: экономическая сущность, функции, характеристика основных элементов...



Загрузка...
страницы:   1   2
скачать




I. Неопределенный интеграл


В курсе дифференциального исчисления рассматривалась операция дифференцирования как операция перехода от функции к функции , где  производная. На основании формулы при этом решается задача нахождения дифференциала функции . Рассмотрим теперь обратные операции, осуществляющие переход от функции к функции и от дифференциала к функции .

Определение 1. Пусть функция определена на некотором конечном или бесконечном промежутке числовой оси . Функция , определенная на этом же промежутке, называется первообразной функцией (или просто первообразной) функции на , если:

  1. непрерывна на ;

2) во всех внутренних точках промежутка функция имеет производную , а дифференциальное выражение служит для дифференциалом, т. е. .

Соотношение определяет неоднозначно. Так, например, равенство показывает, что является первообразной функции . В то же время справедливо равенство , из которого следует, что является первообразной той же самой функции . При этом первообразные и отличаются на постоянную:

.

Это свойство первообразных можно доказать и в общем случае:

Т е о р е м а. Пусть и  первообразные для на . Тогда найдется постоянная , такая, что всюду на этом интервале .

Определение 2. Совокупность всех первообразных функции , определенных на некотором промежутке , называется неопределенным интегралом от на этом промежутке и обозначается через .

Символ называется знаком интеграла,  подынтегральной функцией. Интервал обычно является интервалом непрерывности функции и поэтому при записи неопределенного интеграла не указывается. Из приведенной теоремы и определения 2 следует, что функции из совокупности функций отличаются друг от друга на постоянную. Поэтому, если  какая-либо первообразная, то можно записать равенство , где постоянная пробегает множество действительных чисел. Таким образом, фигурные скобки обозначают совокупность функций. Для краткости записи фигурные скобки опускают и пишут .

Выше мы определили неопределенный интеграл от функции . Теперь определим неопределенный интеграл от дифференциала.

Определение 3. Неопределенным интегралом от дифференциала на промежутке называется совокупность всех первообразных для функции на этом промежутке. Он, как и неопределенный интеграл от функции, обозначается символом .

Если на , то по свойству дифференциала последний под знаком интеграла можно записать в одном из следующих видов: .

Неопределенный интеграл от дифференциала и неопределенный интеграл от функции задают одну и ту же совокупность функций. Поэтому оставим для них общее обозначение . Из контекста будет ясно, о каком из неопределенных интегралов идет речь. Переменная указывает, от какой переменой зависит соответствующая совокупность первообразных, поэтому .

Нахождение первообразной или вычисление неопределенного интеграла в основном состоит в преобразовании подынтегрального выражения таким образом, чтобы получить следующие табличные интегралы:

; ); ;

; ;

; ;

; ;

;

; ;

; ;

;

.

Эти формулы проверяются непосредственным дифференцированием. Справедливы также следующие правила вычисления неопределенных интегралов:

  1. ;

  2. .

При вычислении неопределенных интегралов от дифференциалов оказываются полезными следующие равенства:





Для каждой из формул ясно, на каком промежутке она справедлива.

Непосредственным вычислением можно проверить, что

. Поэтому для случая интеграла от дифференциала справедливо:

3) .

Пример

. .

Обозначение часто опускают, когда ясно, о каком идет речь. Так, например:

.

.

При сведении интегралов к табличным иногда используются такие тождества:

,

, .

Пример

.

.



.

Для дифференциала в случае непрерывно дифференцируемых функций и имеет место равенство . С помощью этого равенства можно установить важное для непосредственного интегрирования правило интегрирования по частям:

или, что все равно, . При использовании этой формулы приходим к интегралу который оказывается проще, чем . Этот метод интегрирования применяется, когда под интегралом стоит произведение разнородных функций, например и , и , и , и и т. д.

Пример.

.

Здесь обозначили

и вычислили .

Формулу интегрирования по частям иногда приходится применять несколько раз, например:



.

Второе правило  правило замены переменной. Оно задается формулой

, где  дифференцируемая функция от . Функция подбирается таким образом, чтобы подынтегральное выражение приняло более удобный вид для интегрирования. Выбор ее определяется конкретным видом подынтегрального выражения.

Пример.

Для интегралов вида , где  рациональная функция своих аргументов, используется замена:  общий знаменатель дробей .



.

При вычислении этого интеграла сделана замена .

Пример

Рассмотрим интегралы вида , где  постоянные, отличные от , а  рациональные числа. Первообразная для функции является элементарной функцией в следующих трех случаях:

а)  целое. Тогда имеем случай, рассмотренный в примере 4.

б)  целое. Тогда делаем замену , где  знаменатель дроби .

в)  целое. Тогда делаем замену , где  знаменатель дроби .

, где .

Здесь сделана замена , поскольку  целое.



.

Сделана замена , поскольку  целое.

Пример.

Если подынтегральная функция содержит трансцендентную функцию сложного аргумента , то можно сделать замену .



.

Здесь сделана замена . Тогда .

Пример.

Интегралы вида , где  рациональная функция своих аргументов, вычисляются с помощью подстановки . При этом имеем .

Рассмотрим интегрирование функций вида , где и  многочлены от . Если степень многочлена больше или равна степени многочлена , то делением на выделяем целую часть  многочлен , т. е. , где степень многочлена меньше степени многочлена . Для интегрирования рациональной дроби , называемой правильной, используется разложение этой дроби на сумму простейших дробей. Вид этого разложения зависит от разложения на множители. Если , где  действительные корни многочлена , а трехчлены не имеют действительных корней, то разложение дроби на сумму простейших дробей ищется в виде



,

где неопределенные коэффициенты находятся следующим образом: правая часть разложения на простейшие дроби приводится к общему знаменателю (им будет многочлен ), и у получившегося в числителе многочлена и у многочлена приравниваются коэффициенты при одинаковых степенях . В результате получается система линейных уравнений, из которой находятся неопределенные коэффициенты.

Пример.

Вычислим . Разложение дроби на сумму простейших дробей ищем в виде . Коэффициенты определяем из равенства

.

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях , приходим к системе уравнений



Следовательно:

.

Для упрощения вычисления данных интегралов иногда полезно проводить некоторые преобразования, делать замены переменных.

Пример.

.


^ II. Определенный интеграл, геометрические приложения


Интеграл в смысле Римана. Пусть функция определена на отрезке . Разобьем отрезок на части точками . Положим ,

 произвольно выбранные точки из . Определенным интегралом (Римана) функции на называется число . Функции , для которых предел в правой части равенства существует независимо от выбора точек и разбиения, называются интегрируемыми на , а числа и называются соответственно верхним и нижним пределами интегрирования. В частности, интегрируемы на любом конечном интервале следующие функции: а) непрерывные; б) ограниченные, имеющие конечное число точек разрыва; в) ограниченные монотонные.

Ограниченность функции является необходимым условием интегрируемости. Если функция не ограничена на , то она не-интегрируема (но можно рассматривать несобственные интегралы, о которых говорится ниже).

Вычисляются определенные интегралы с помощью неопределенных: если имеет первообразную на то справедлива формула Ньютона-Лейбница: . Используется также формула интегрирования по частям: , где , непрерывно дифференцируемые функции на отрезке , и замена переменной:

при условиях: 1) непрерывна на ; 2) непрерывна вместе со своей производной на , где , ; 3) сложная функция определена и непрерывна на .

Вычисление площадей плоских фигур. Определенный интеграл для непрерывной функции геометрически представляет собой площадь криволинейной трапеции, ограниченной кривой , осью и двумя линиями . Вычисление площадей фигур, отличных от криволинейных трапеций, также осуществляется с помощью определенных интегралов. Так, например, если заданы две непрерывные кривые и и прямые , тогда площадь фигуры, ограниченной этими линиями, вычисляется по формуле . Если кривая задается в параметрическом виде уравнениями , , тогда .

Пусть теперь уравнения задают замкнутую кривую и при изменении параметра от до кривая проходится один раз в положительном направлении, т. е. против часовой стрелки (при этом обходе кривая ограничивает слева от себя фигуру с площадью ). Тогда . Если с возрастанием кривая проходит в отрицательном направлении (по часовой стрелке), то в этих трех формулах знак меняется на противоположный.

В полярной системе координат площадь сектора, ограниченного непрерывной кривой и двумя полупрямыми , вычисляется по формуле .

Примеры. 1) Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривыми и . Находим точки пересечения кривых: .

Тогда .

2) Вычислить площадь области, ограниченной осью ОХ и одной аркой циклоиды: , . Чтобы получилась одна арка, должно быть , при этом меняется от 0 до .



3) Вычислить площадь эллипса , , .

Уравнения задают замкнутую кривую, поэтому для вычисления площади используем любую из трех приведенных выше формул, например, последнюю:

.

^ Вычисление длины дуги. Пусть задана гладкая (непрерывно дифференцируемая) кривая в прямоугольной системе координат. Длина дуги соответствующего отрезка кривой равна .

Если кривая задана параметрически: , то

.

В полярных координатах, если кривая задана уравнением , то

.

Примеры. 1) Найти длину дуги параболы . Вычислим , тогда по первой формуле имеем . Неопределенный интеграл (обозначим) проинтегрируем по частям:



. Из этого уравнения относительно найдем его значение, перенося в левую часть равенства: и делим на 2. Окончательно имеем .

2) Найти длину четверти астроиды . Заметив, что , по второй формуле получим

.

3) Найти длину дуги логарифмической спирали от точки до точки .

Так как , то , тогда по третьей формуле имеем .

Вычисление объемов тел вращений. Пусть задана криволинейная трапеция , , где  непрерывная однозначная функция. Пространственная фигура, полученная вращением вокруг оси этой трапеции, называется телом вращения, и ее объем равен . Если криволинейную трапецию вращать вокруг оси , то объем вычисляется по формуле .

В более общем случае объем тела, образованного вращением вокруг оси фигуры , , где и  непрерывные неотрицательные функции, равен . Аналогично при вращении вокруг оси объем равен .

Примеры. Пусть фигура ограничена линиями . Найдем точки пересечения линий: . Следовательно, объемы соответствующих тел вращения равны:

,

.





Скачать 215,29 Kb.
оставить комментарий
страница1/2
Дата02.10.2011
Размер215,29 Kb.
ТипДокументы, Образовательные материалы
Добавить документ в свой блог или на сайт

страницы:   1   2
Ваша оценка этого документа будет первой.
Ваша оценка:
Разместите кнопку на своём сайте или блоге:
rudocs.exdat.com

Загрузка...
База данных защищена авторским правом ©exdat 2000-2017
При копировании материала укажите ссылку
обратиться к администрации
Анализ
Справочники
Сценарии
Рефераты
Курсовые работы
Авторефераты
Программы
Методички
Документы
Понятия

опубликовать
Загрузка...
Документы

Рейтинг@Mail.ru
наверх