скачать
Кафедра теории чисел
2007/2008 уч.год.
Утверждена на заседании кафедры
Протокол № от
Зав.кафедрой теории чисел,
профессор В.Г.Чирский
Рабочая программа курса «Числовые системы»
для студентов III курса по специальностям
«информатика с дополнительной специальностью математика» и «математика с дополнительной специальностью информатика»
Тема
|
Лекции
(часы)
|
Семинары
(часы)
|
Аксиоматические теории.
Аксиоматические теории. Формальные и неформальные аксиоматические теории. Схема построения неформальной аксиоматической теории. Интерпретация и модель аксиоматической теории. Формулировка аксиоматической теории. Свойства аксиоматических теорий: непротиворечивость, категоричность, полнота, независимость.
|
1
|
|
Аксиоматическая теория натуральных чисел.
Система натуральных чисел как алгебраическая система с двумя тернарными и одним унарным отношениями. Первичные термины и аксиомы. Свойства сложения и умножения. Порядок на множестве натуральных чисел. Теоремы, подготавливающие введение порядка. Определение отношений >, < во множестве N. Линейно и строго упорядоченное полукольцо. Теорема о дискретности. Теорема Архимеда. Отрезок натурального ряда, начальный отрезок натурального ряда. Наибольший и наименьший элемент множества. Ограниченное множество. Теоремы о наибольшем и наименьшем элементах. Теорема об однозначности линейного и строгого порядка в N. Конечные множества и их свойства. Теоремы о конечных множествах. Бесконечные и счётные множества. Кратные элементы полугруппы. Теорема о кратных элементах полугруппы. Категоричность аксиоматической теории натуральных чисел. Независимость аксиомы индукции и её роль в обосновании арифметики. Система аксиом Пеано. Эквивалентность двух формулировок аксиоматической теории натуральных чисел.
|
12
|
14
|
Упорядоченные системы.
Упорядоченные полугруппы, группы, полукольца, кольца, тела, поля и их свойства. Положительный элемент упорядоченного полукольца. Архимедов порядок. Критерий линейно строго упорядоченного кольца. Критерий однозначности линейного и строгого порядка в кольце. Критерий продолжения порядка. Примеры колец с неоднозначным или неархимедовым порядком. Пример поля, допускающего бесконечно много упорядочиваний. Теорема о линейно и строго упорядоченном поле.
|
5
|
4
|
Аксиоматическая теория целых чисел.
Аксиоматическое определение. Свойства целых чисел. Теорема о порядке кольца целых чисел. Категоричность и непротиворечивость аксиоматической теории целых чисел.
|
4
|
2
|
Аксиоматическая теория рациональных чисел.
Система аксиом, определяющих рациональные числа. Свойства рациональных чисел. Категоричность и непротиворечивость аксиоматической теории рациональных чисел.
|
1
|
4
|
Последовательности в нормированных полях.
Нормированное поле. Примеры норм: тривиальная, естественная, р-адическая нормы. Теоремы о свойствах нормы. Ограниченная, фундаментальная, сходящаяся последовательности, эквивалентные последовательности, нулевая последовательность. Подпоследовательность последовательности. Теоремы о свойствах последовательностей в нормированных полях. Примеры последовательностей с бесконечным множеством пределов, последовательностей, сходящихся (ограниченных, фундаментальных) относительно одного подполя и расходящихся (неограниченных, нефундаментальных) относительно другого подполя; фундаментальных, но неограниченных последовательностей.
|
6
|
6
|
Аксиоматическая теория действительных чисел.
Первичные термины и аксиомы. Свойства действительных чисел. Теорема о двойной последовательности. Теорема о существовании корня натуральной степени из положительного числа. Теорема о сечении. Теорема о порядке. Категоричность и непротиворечивость аксиоматической теории действительных чисел.
|
5
|
6
|
Аксиоматическая теория комплексных чисел.
Первичные термины и аксиомы. Свойства комплексных чисел. Категоричность и непротиворечивость аксиоматической теории комплексных чисел.
|
2
|
|
Итого:
|
36
|
36
|
Литература: В.И.Нечаев «Числовые системы».
С. Феферман «Числовые системы».
Иконникова Т.К.
канд. ф.-м. наук, доцент
Добавить документ в свой блог или на сайт
|
