Учебно-методический комплекс дисциплины Бийск бпгу имени В. М. Шукшина

Утверждаю

Кафедра математики и методики обучения математике

• 
  выполнять деление одного целого числа на другое с остатком, знать свойства делимости, иметь четкое представление о простых и составных числах, уметь разлагать составное число на простые множители, находить наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное целых чисел, как по их каноническому разложению, так и с помощью алгоритма Евклида;
  
• 
  уметь доказывать основные теоремы теории чисел и применять их к решению задач (нахождение остатка от деления с помощью теорем Эйлера и Ферма и др.);
  
• 
  знать определение сравнимых по модулю чисел, основные свойства сравнений и уметь применять их к решению сравнений с одним неизвестным и решению неопределенных уравнений вида ах+by=c;
  
• 
  уметь решать системы сравнений первой степени;
  
• 
  уметь определять порядок числа (класса вычетов) по данному модулю, знать, что такое индекс числа (класса вычетов) по простому модулю, знать свойства индексов и уметь ими пользоваться при решении двучленных сравнений по простому модулю, уметь находить символ Лежандра;
  
• 
  знать, как представить рациональное число конечной цепной дробью, уметь применять свойства подходящих дробей к решению конкретных задач, уметь решать сравнения и неопределенные уравнения вида ах+by+с=0 с помощью подходящих дробей;
  
• 
  знать о представлении чисел цепными дробями, уметь определять погрешность замены;
  
• 
  иметь представление об алгебраических и трансцендентных числах;
  
• 
  знать признаки делимости, уметь определять длину периода и вид десятичной дроби, в которую обращается заданное рациональное число.
  

Модуль	Трудоемкость		№№ раздела, темы	Лекционный курс		Занятия (номера)		Индивидуальные занятия		Самостоятельная работа студентов		Формы контроля
	В кредитах	В часах		Вопросы, изучаемые на лекции	Часы	семинарские	Лабораторно-практические	Содержание	Часы	Содержание (или номера заданий)	Часы
№1		6	Раздел I, Тема 1	Делимость целых чисел. Теорема о делении с остатком. Наибольший общий делитель. Наименьшее общее кратное. Простые и составные числа. Признак простоты числа. Основная теорема арифметики. Бесконечность множества простых чисел. Неравенство Чебышева для π(х).	2		Занятие 1. Занятие 2.	.		(5) 1, 30, 31. (6) 1-51. Изучение теоретичес-кого материала, выполнение ИЗ. (5) 22-29, 36-38. Изучение теоретичес-кого материала, выполнение ИЗ.	3 3	Проверка на занятии. Проверка на занятии. Самостоятельная работа.
№2		4	Раздел I, Тема 1	Конечные цепные дроби. Разложение рационального числа в конечную цепную дробь. Подходящие дроби. Свойства подходящих дробей.	2		Занятие 3.			(6) 75-98, 125-162 (5) 249-254. Работа с определениями и доказательствами теорем. Выполнение ИЗ.	3	Контрольный опрос.
№3		6	Раздел I, Тема 1	Сравнения по модулю, их основные свойства. Кольцо классов вычетов. Полная и приведенная системы вычетов. Мультипликативная группа обратимых элементов в кольце классов вычетов. Поле классов вычетов по простому модулю. Функция Эйлера. Теоремы Эйлера и Ферма.	2		Занятие 4. Занятие 5.			(6) 75-98, 125-162 (5) 249-254. Выполнение ИЗ. Изучение теоретического материала. (5) 97-101, 109-110, 152-159 (6) 367-388.	3 3	Проверка задания на занятии. Самостоятельная работа.
		6	Раздел I, Тема 2	Сравнения с неизвестной величиной. Сравнения первой степени. Критерий разрешимости и число реше-ний. Решение методом подбора, методом преобразова-ния коэффи-циентов, по формуле Эйлера, с по-мощью подходящих дробей.	2		Занятие 6. Занятие 7.			(5)174-176. Подготовка к колок-виуму. (5)179-181, 194-198. (6)163-208, 253-304. Подготовка к коллоквиуму.	3 3	Проверка задания на занятии. Теоретичес-кий опрос. Проверка задания на занятии.
		6	Раздел I, Тема 3	Сравнения по простому мо-дулю. Сведе-ние к наиболее простому виду. Макси-мальное число решений. Сравнения по степени простого числа. Редук-ция сравнения по составному модулю к сравнению по степени простого числа и к сравне-ниям по прос-тому модулю.	2		Занятие 8.	Коллоквиум	2	(5)184-186, 199-202, 209-211. (6)305-330	4	Теоретичес-кий опрос. Проверка заданий на занятии.
		4	Раздел II, Тема 1	Показатели чисел и классов по данному модулю. Число классов с заданным показателем. Теорема о су-ществовании первообразно-го корня по простому модулю. Индексы чисел и классов по простому модулю. Основные свойства индексов. Таблицы индексов. Применение индексов к ре-шению дву-членных срав-нений по простому мо-дулю. Квадра-тичные выче-ты и невычеты Символ Лежандра.			Занятие 9.			(5) 246 (6) 389-391 Изучение теоретического материала.	3	Проверка заданий на занятии.
		4	Раздел III, Тема 1	Арифметические приложения теории сравнений. Вычисление остатков при делении на данное число. Признаки делимости. Определение длины периода, получающегося при обра-щении обыкновенной дроби в десятичную.	2		Занятие 10.			(5) 229-232 Подготовка теоретического материала. Выполнение ИЗ.	3	Проверка заданий на занятии. Самостоятельная работа
№4		8	Раздел I, Тема 1	Бесконечные цепные дроби. Сходимость бесконечных цепных дро-бей. Разложе-ние действии-тельных чисел в цепные дроби. Квад-ратичные иррациональности и пери-одические цепные дроби. Теорема Лагранжа о квадратичной иррациональности.	2		Занятие 11. Занятие 12.	Защита ИЗ.	2	(5) 234-242. Выполнение ИЗ. Изучение теоретического материала. (5) 212-217, 243. Подготовка к контрольной работе.	3 4	Проверка заданий на занятии. Контрольный опрос.
		6	Раздел I, Тема 2	Приближение действительных чисел подхо-дящими дро-бями. Теорема Дирихле, ее применение к представле-нию простого числа в виде суммы двух квадратов Алгебраичес-кие и транс-цендентные числа. Теорема Лиувилля и ее применение к построению трансцендент- ных чисел и к доказательству иррациональности.	2		Занятие 13. Занятие 14.			(5) 255-260, 264-266 (6) 99	3 3	Контрольная работа.

1. 
   Виноградов И.М. Основы теории чисел. – М.: Наука, 1972.
   
2. 
   Бухштаб А.А. Теория чисел. – М.: Просвещение, 196
   
3. 
   Сизый С.В. Лекции по теории чисел. - М.: Флинта, 2006.
   
4. 
   Смолин Ю.Н. Алгебра и теория чисел. - М.: Флинта, 2006.
   
5. 
   Грибанов В.У., Титов П.И. Сборник упражнений по теории чисел. – М.: Просвещение, 1964.
   

6. 
   Кочева А.А. Задачник-практикум по алгебре и теории чисел. Часть III. – М., Просвещение, 1984.
   
7. 
   Михелович Ш.Х. Теория чисел. – М.: Высшая школа, 1962.
   
8. 
   Куликов Л.Я. Алгебра и теория чисел. – М.: Высшая школа, 1979.
   
9. 
   Феферман С.Ф. Числовые системы. – М.: Наука, 1971.
   
10. 
    Нечаев В.А. Числовые системы. – М., Просвещение, 1975.