Практикум по дифференциальным уравнениям icon

Практикум по дифференциальным уравнениям


Смотрите также:
Отчет Белова Ю. Я., д ф. м н. профессора кафедры ма и ду им сфу за 2006 2010г г...
Вопросы к экзамену по дифференциальным уравнениям в частных производных...
Косновным уравнениям математической физики относятся следующие дифференциальные уравнения в...
Электронный лабораторный практикум по вычислительной математике...
Практикум Томск 2005 Социодинамика культуры. Практикум. Томск: тпу, 2005...
Практикум Ставрополь, 2008 Психология управления: Практикум. Ставрополь: Изд-во ски бупк, 2008...
Лекция 1
Практикум по орфографии и пунктуации Введение в языкознание...
Практикум для всех экономических специальностей www...
1- раздел. Дифференциал ьные уравнения первого порядка Глоссарий...
Практикум по химии Анкудимова И. А., Гладышева И. В...
Курс условия накопления баллов и критерии оценки обязательные...



Загрузка...
страницы:   1   2   3   4   5
скачать
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ


Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«Нижегородский государственный университет им Н.И. Лобачевского»


А. В. Гончар

ПРАКТИКУМ
по
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ
УРАВНЕНИЯМ




Нижний Новгород

2004 г.


Учебное пособие предназначено для студентов, обучающихся по специальности «При-
кладная математика и информатика». Первая часть включает в себя тематику и содержание
практических занятий по дисциплине «Дифференциальные уравнения». Количество предлагаемых
заданий сравнительно невелико; однако все они тщательно подобраны в соответствии с методи-
ческими воззрениями автора и подлежат обязательному выполнению в процессе аудиторных и
домашних занятий. Вторая часть пособия содержит вопросы и задачи для повторения всего кур-
са и может служить проводником и помощником при подготовке к экзамену по дисциплине.

Вопросы носят достаточно развёрнутый характер и в большинстве своём содержат наводящие
на правильный ответ подсказки. Все задачи второй части используются автором в курсе его

лекций по дифференциальным уравнениям в качестве иллюстративного материала.


Содержание.

Часть 1. Практикум.

Раздел 1. Дифференциальные уравнения первого порядка . . . . . . . . . . . . 4

Тема 1. Основные понятия и определения. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

Тема 2. Метод изоклин . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4

Тема 3. Уравнения с разделяющимися переменными . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5

Тема 4. Однородные уравнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6

Тема 5. Линейные уравнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

Тема 6. Уравнения, сводящиеся к линейным . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

Тема 7. Уравнения в полных дифференциалах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

Тема 8. Уравнения, не разрешённые относительно производной . . . . . . . . . . . . 9

Тема 9. Особые точки дифференциальных уравнений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 Тема 10. Особые решения дифференциальных уравнений . . . . . . . . . . . . . . . . 11

Тема 11. Задачи о траекториях . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

Тема 12. Метод последовательных приближений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

Раздел 2. Дифференциальные уравнения высших порядков . . . . . . . . . .13

Тема 13. Уравнения, допускающие понижение порядка . . . . . . . . . . . . . . . . . . .13

Тема 14. Линейная независимость функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .14

Тема 15. Линейные уравнения с переменными коэффициентами . . . . . . . . . . 15

Тема 16. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами . . . . . . . . . . 16

Тема 17. Уравнения Эйлера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .17

Раздел 3. Системы дифференциальных уравнений . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

Тема 18. Системы дифференциальных уравнений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .18

Тема 19. Метод интегрируемых комбинаций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .19

Тема 20. Линейные системы с постоянными коэффициентами . . . . . . . . . . . . 19

Тема 21. Элементы теории устойчивости. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .21

Ответы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

^ Часть 2. Вопросы и задачи для повторения.

Вопросы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .29

Задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .39

Ответы к задачам для повторения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .44

Рекомендуемая литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .51


Часть 1. ПРАКТИКУМ.


Раздел 1.
Дифференциальные уравнения
первого порядка.



Тема 1. Основные понятия и определения.

Области единственности решений дифференциального уравнения.

Выделить области, в которых данные уравнения имеют единственные
решения:
1. . 2. . 3. = 1ctg y .

Проверка решений дифференциальных уравнений.

Показать, что данные функции являются решениями указанных диффе-
ренциальных уравнений:
4. , xy' + y = cos x .
5. y = 2 + C, C = const, (1x 2) y' + xy = 2x.

Составление дифференциальных уравнений семейств линий.


Составить дифференциальные уравнения следующих семейств линий:

6. y 2 = 2Cx + C 2 . 7. y = ex (ax + b) . 8. y = C1x + + C3.


Тема 2. Метод изоклин.


9. Найти угол α между интегральными линиями уравнений y' = x + y
и y' = xy в точке М (2;1).
Методом изоклин построить интегральные кривые следующих дифферен-циальных уравнений:
- 4 -
10. y' = (x2y + 3). 11. y' = x2 – y 2 . 12. y' = y - x2.
13. y' = cos (xy).


Тема 3. Уравнения с разделяющимися переменными.


Уравнения с разделяющимися переменными.

Проинтегрировать уравнения:
14. (1 + y 2) dx + xy dy = 0. 15. y 2sin x dx + cos2 x ln y dy = 0.
16. e - y(1 + y' ) = 1.


Уравнения, приводящиеся с помощью линейной замены
к уравнениям с разделяющимися переменными.




Проинтегрировать уравнения:
17. y' = ax + by + c (a, b, c – const). 18. y' = sin (xy).


Задача Коши.


Решить задачу Коши для следующих дифференциальных уравнений:
19. y' sin x – y cos x = 0; y = 1.

20. y' + sin (x – y) = sin (x + y); y= .

21. y + xy' = a(1 + xy); y= - a.

22. x2y' + cos 2y = 1; y → при x → + ∞.


Уравнения, не разрешённые относительно производной.


Проинтегрировать уравнения:

23. sin y' = x. 24. e y' = x.
- 5 -

Геометрические и физические задачи.


25. Найти кривую, обладающую тем свойством, что отрезок касательной
к кривой, заключённый между осями координат, делится в точке касания
пополам.
26. Найти кривую, для которой площадь Q, ограниченная кривой, осью Ox и двумя прямыми Х = 0, Х = х, является данной функцией от у: Q = a2 ln.

27. Корабль замедляет своё движение под действием силы сопротивления
воды, которое пропорционально скорости корабля. Начальная скорость кораб-
ля 10 м / с, скорость его через 5 с станет 8 м / с. Когда скорость уменьшится
до 1 м / с?

28. Пуля входит в доску толщиной h = 10 см со скоростью v0 = 200 м /с,
а вылетает из доски, пробив её, со скоростью v1 = 80 м /c. Считая, что сила сопротивления доски движению пули пропорциональна квадрату скорости
движения, найти время движения пули через доску.

29. По закону Ньютона скорость охлаждения какого-либо тела в воздухе
пропорциональна разности между температурой ^ Т тела и температурой воз-духа Т0. Если температура воздуха равна 20 0 С, и тело в течение 20 мин
охлаждается от 100 0 до 60 0, то через сколько времени его температура по-
низится до 30 0 ?


Тема 4. Однородные уравнения.


Однородные уравнения.


Проинтегрировать уравнения:

30. xy' = y + x cos2. 31. x2dy = (y 2xy + x2)dx.


Уравнения c правой частью, дробно-линейно зависящей от х и у.


Проинтегрировать уравнения:

32. (3y – 7x + 7)dx – (3x – 7y – 3)dy = 0.
33. 8x + 4y + 1 + (4x + 2y + 1) y' = 0. 34. (y' +1) ln = .


- 6 -



Обобщённые однородные уравнения.


Проинтегрировать уравнения:

35. 2xy' (x – y 2) + y 3 = 0. 36. (x + y 3)dx + 3(y 3x) y 2dy = 0.


Геометрические задачи.


37. Найти кривую, у которой точка пересечения любой касательной с
осью абсцисс одинаково удалена от точки касания и от начала координат.

38. Найти кривую, для которой произведение абсциссы какой-нибудь точ-
ки на величину отрезка, отсекаемого нормалью на оси ^ Оу, равно удвоенному
квадрату расстояния от этой точки до начала координат.


Тема 5. Линейные уравнения.


Метод вариации произвольной постоянной.

Проинтегрировать уравнения:

39. xy' – 2y = x3cos x. 40. y' = .


Замена искомой функции произведением.


Проинтегрировать уравнение: 41. y' x ln x – y = 3x3 ln 2 x.


Задача Коши.


Решить задачу Коши для следующих дифференциальных уравнений:

  1. y' – y tg x = ; y= 0.

  2. x2 y' + y = (x2 + 1)e x; y → 1 при x → - ∞.


Прикладные задачи.


44. Точка массы m движется прямолинейно. На неё действует сила, про-
порциональная времени (коэффициент пропорциональности k1). Кроме того,
точка испытывает сопротивление среды, пропорциональное скорости (коэф-фициент пропорциональности k2). Найти зависимость скорости от времени,
- 7 -
считая, что в начальный момент скорость равна нулю.
45. Найти кривые, обладающие тем свойством, что отрезок, который каса-
тельная в любой точке кривой отсекает на оси Оу, равен квадрату абсциссы
точки касания.


Тема 6. Уравнения, сводящиеся к линейным.


Замена переменной в уравнении Бернулли.


Проинтегрировать уравнения:

46. y' + 2xy = 2xy 2. 47. (x3 + e y) y' = 3x2.


Замена искомой функции произведением в уравнении Бернулли.


Проинтегрировать уравнение: 48. y' – y cos x = y 2cos x.


Метод вариации постоянной при решении уравнения Бернулли.


Проинтегрировать уравнение: 49. y' – 2ye x = 2e x.


Уравнение Риккати.


50. Проинтегрировать уравнение xy' – y 2 + (2x + 1) y = x2 + 2x,
зная его частное решение y1 = x.


Замена переменных.


С помощью замены переменных свести уравнения к линейным и проин-тегрировать их: 51. y' – tg y = e x . 52. yy' + 1 = (x1)e.


Метод дифференцирования.

53. С помощью дифференцирования решить уравнение: = x2 + y(x).




- 8 -

Тема 7. Уравнения в полных дифференциалах.

Уравнения в полных дифференциалах.


Проинтегрировать уравнения:
54. x(2x2 + y 2) + y (x2 + 2y 2) y' = 0.
55. + = 0; y= 1.


Интегрирующий множитель.


Проинтегрировать уравнения:
56. (x + sin x + sin y) dx + cos y dy = 0.
57. (2xy 23y 3) dx + (73xy 2) dy = 0.

Зная вид интегрирующего множителя, проинтегрировать уравнения:

58. (x2 + y 2 + 1) dx – 2xy dy = 0; µ = φ (y 2 – x2).
59. x dx + y dy + x(x dy – y dx) = 0; µ = φ (x2 + y 2).


Тема 8. Уравнения, не разрешённые относительно
производной.



Степенные уравнения относительно производной.


Проинтегрировать уравнения:

60. x2( y' )2 + 3xyy' + 2y 2 = 0. 61. (y')3 – y(y')2 – x2y' + x2y = 0.


Уравнение, не содержащее независимой переменной и разрешимое
относительно искомой функции.


62. Проинтегрировать уравнение y' = е.


Уравнение, не содержащее искомой функции и разрешимое
относительно независимой переменной.


63. Проинтегрировать уравнение x(y')2 = e.


- 9 -

Метод параметризации.
64. Проинтегрировать уравнение у+ (y')= а.

Общий метод введения параметра.


Проинтегрировать уравнения:
65. y = 2xy' + + (y')2. 66. (y' )4 = 4y (xy' – 2y)2.
Указание. Разрешить уравнение относительно х и дифференцировать по у.



Уравнение Лагранжа.


67.
Проинтегрировать уравнение: y = x(1 + y') + (y')2.



Уравнение Клеро.
68.
Проинтегрировать уравнение: y = xy' + .
69.
Найти кривую, для которой отрезок касательной, заключённый между
координатными осями, имеет постоянную длину а.


Тема 9. Особые точки дифференциальных уравнений.

Особые точки линеаризованных уравнений.


70. Найти и исследовать особые точки данных уравнений. Дать качест-венную картину поведения интегральных кривых:
а) ; б) ; в) ;
г) ; д) .


Особые точки нелинеаризованных уравнений.


71. Найти и исследовать особые точки данных уравнений. Дать качест-венную картину поведения интегральных кривых:
- 10 –


а) ; б) ; в).


Тема 10. Особые решения дифференциальных уравнений.


Особые точки плоских кривых.

Выяснить характер особых точек кривых: 72. (у – х2)2 = х5.

73. (х2 + у 2)(х – а)2 = b 2 х2 (а > 0, b > 0).

Рассмотреть три случая: 1) а > b ; 2) a = b; 3) a < b.


Огибающие.
74. Найти огибающую семейства окружностей (х – а)2 + у 2 = .
75.
Найти кривую, которую огибает отрезок длины l, когда его концы
скользят по осям координат.
76. Найти огибающую эллипсов постоянной площади S, оси симметрии
которых совпадают.
77. Уравнение траектории движения снаряда, выпущенного из точки О
с начальной скоростью v0 под углом a к горизонту (без учёта сопротивле-ления воздуха), будет у = х tg a - . Принимая угол a за пара-метр, найти огибающую всех траекторий снаряда, расположенных в одной и
той же вертикальной плоскости.

Особые решения.

Проинтегрировать уравнения, выделить особые решения и сделать чертёж:
78. (у¢ + 1)3 = 27 (х + у)2. 79. у 2(у¢ )22хуу¢ + 2у 2 – х2 = 0.
80.
у (у – 2ху¢ )2 = 2у¢. 81. (у¢ )3 = 3(ху¢ - у).


- 11 -

Тема 11. Задачи о траекториях.


Ортогональные траектории.



Найти ортогональные траектории для данных семейств кривых:
82.
х2 – у 2 = а 2. 83. cos y = aex.

Изогональные траектории.



84. Найти изогональные траектории для семейства кривых 3х2 + у 2 = С,
пересекающие эти кривые под углом j = 30 0.


Тема 12. Метод последовательных приближений.



Найти три первых последовательных приближения в задаче Коши:
85. у¢ = х2 – у 2; = 0. 86. ху¢ = 2х – у; = 2.


- 12 -

Раздел 2. Дифференциальные уравнения
высших порядков.



Тема 13. Уравнения, допускающие понижение порядка.


Нормальные уравнения с правой частью, зависящей только от х.

Проинтегрировать уравнения:
87. у¢¢¢ = х + cos x. 88. у¢¢ (х + 2)5 = 1; у (- 1) = , у¢(- 1) = - .

Уравнения, не содержащие искомой функции и её первых производных.

Проинтегрировать уравнения:
89. у¢¢¢ = . 90. 2у¢¢ = + ; y(1) = , y¢(1) =.

Уравнения, не содержащие независимую переменную.

Проинтегрировать уравнения:
91. 3y¢у¢¢ = 2у; у(0) = y¢(0) = 1.
92. у¢¢¢ = 3уy¢ ; у(0) = y¢(0) = 1, у¢¢(0) = .

Уравнения, однородные относительно искомой функции и её производных.

Проинтегрировать уравнения:
93. хуу¢¢ - х(y¢ )2 = уy¢. 94. уу¢¢ = (y¢ )2 + 15у 2.

Обобщённые однородные уравнения.

Проинтегрировать уравнения:
95. 4х2у 3у¢¢ = х2 – у 4. 96. х2(уу¢¢ - (y¢ )2) + хуy¢ = (2хy¢ - 3у).


- 13 -

Уравнения, обе части которых есть точные производные.

Проинтегрировать уравнения:

97. у¢¢ + у¢ cos xy sin x = 0. 98. 2(у¢ )2 = (y1)у¢¢.

Физические и геометрические задачи.

99.
Тело массой т падает с некоторой высоты с начальной скоростью
v = 0. При падении тело испытывает сопротивление, пропорциональное квадра-ту скорости (k – коэффициент пропорциональности). Найти закон падения тела.
100. Найти кривую, проходящую через начало координат и такую, что пло-
щадь треугольника, образованного касательной к кривой в некоторой точке,
ординатой этой точки и осью ^ Ох, пропорциональна площади криволинейной
трапеции, образованной кривой, осью Ох и ординатой этой точки.


Тема 14. Линейная независимость функций.

Исследование системы функций на линейную независимость.

Исследовать, являются ли данные функции линейно независимыми в их
области определения:
101. е х, хе х, х2е х. 102. 1, arcsin x, arccos x.

Определитель Вронского.


Найти определитель Вронского для указанных систем функций:
103. 2, cos x, cos 2x. 104. 4, sin2 x, cos 2x.

Определитель Грама.


С помощью теоремы Грама установить линейную зависимость или неза-
висимость указанных функций на отрезке [- p ; p ]:
105. 5, cos2 x, sin2 x. 106. 1, 2х, х2.

Составление дифференциальных уравнений по заданной
фундаментальной системе решений.


Составить дифференциальные уравнения, для которых данные системы
- 14 –

функций образуют фундаментальные системы решений:
107. у1(х) = х, у2(х) = ех. 108. y1(x) = x, y2(x) = sin x, y3(x) = cos x.
109. Доказать правило дифференцирования функционального определителя:
производная по х определителя, составленного из функций от х, равна сумме n определителей, из которых у первого в первой строке функции заменены их производными, а остальные не изменены, у второго во второй строке функции заменены их производными и т.д., у n-го в последней строке функции заменены их производными, то есть
Указание. Воспользоваться методом математической индукции.


Тема 15. Линейные уравнения с переменными
коэффициентами.

^ Интегрирование однородных уравнений 2-го порядка с одним
известным частным решением при помощи формулы
Остроградского-Лиувилля.


Найти общие решения данных уравнений, зная их частные решения:
110. (ех + 1) у¢¢ - 2у¢ - ех у = 0 ; у1 = ех1.
111.
у¢¢ + (tg x2 ctg x) у¢ + 2 ctg 2x= 0 ; y1 = sin x.

Однородные уравнения с известными частными решениями.

Найти общие решения данных уравнений, зная их частные решения:
112. х2(2х – 1) у¢¢¢ + (4х – 3)ху¢¢ - 2ху¢ + 2у = 0; у1 = х, у2 = .
113. (х22х + 3)у¢¢¢ - (х2 + 1)у¢¢ + 2ху¢ - 2у = 0; у1 = х, у2х.

Неоднородные уравнения с известными частными решениями
соответствующих однородных уравнений.


Проинтегрировать уравнения, если известны частные решения однород-
ных уравнений:
- 15 -
114. х2у¢¢ - ху¢ - 3у = 5х 4 ; у1 = .
115. (2х + 1) у¢¢ + (2х – 1) у¢ - 2у = х2 + х ;
частное решение однородного уравнения – некоторый многочлен.

Неоднородные уравнения с известными частными решениями.

Найти общие решения данных уравнений, зная их частные решения:
116. (х2 1) у¢¢ + 4ху¢ + 2у = 6х ; у1 = х, у2 = .
117. (3х3 + х) у¢¢ + 2у¢ - 6ху = 4 12х2 ; у1 = 2х, у2 = (х + 1)2.

Интегрирование неоднородных уравнений методом
вариации постоянных.


Проинтегрировать уравнения:
118. ху¢¢ - (1 + 2х2) у¢ = 4х3е.
119.
(1 + х2) у¢¢ + 2ху¢ = ; у = , у¢(0) = 0.


Тема 16.
Линейные уравнения с постоянными
коэффициентами.

Однородные уравнения.


Проинтегрировать уравнения:
120. у¢¢¢ - 3у¢¢ + 3у¢ - у = 0 ; у(0) = 1, у¢(0) = 2, у¢¢(0) = 3.
121.
у¢¢¢ + 6у¢¢ + 11у¢ + 6у = 0. 122. y VI + 2y V + y IV = 0.
123. у¢¢¢ - 8y = 0. 124. y IV + 4у¢¢¢ + 10у¢¢ + 12у¢ + 5у = 0.
125. y V + 4y IV + 5у¢¢¢ - 6у¢ - 4у = 0.

Интегрирование неоднородных уравнений методом
вариации постоянных.


Проинтегрировать уравнения:
- 16 -
126. у¢¢ + 2у¢ + 2у = . 127. у¢¢¢ + у¢¢ = .

Неоднородные уравнения с квазиполиномиальными правыми частями.

Проинтегрировать уравнения:
128. у¢¢ + 4у¢ + 4у = 8е2х. 129. у¢¢ + у¢ + у = (х + х2) е х.
130. у¢¢ + у = 4х cos x. 131. у¢¢ + 2у¢ = 4e x(sin x + cos x).
132. у¢¢¢ - у¢¢ + у¢ - y = x2 + x. 133. у¢¢¢ - 3у¢¢ + 3у¢ - y = e x cos 2x.

Принцип суперпозиции.


Проинтегрировать уравнения:
134. у¢¢ - у¢ - 2у = 4х – 2е х. 135. y V + 4у¢¢¢ = ex + 3 sin 2x + 1.
136. y IV + 2у¢¢¢ + 2у¢¢ + 2у¢ + у = xe x + cos x.
137. у¢¢ + у = cos2 2x + sin2.



Тема 17. Уравнения Эйлера.

Однородные уравнения.


Проинтегрировать уравнения:
138. х2у¢¢ + 2ху¢ + 6у = 0. 139. (2х + 1)2 у¢¢¢ + 2(2х + 1) у¢¢ + у¢ = 0.

Неоднородные уравнения.


Проинтегрировать уравнения:
140. х2у¢¢ + ху¢ + у = х(6ln x).
141. х2у¢¢ + 4ху¢ + 2у = 2 ln 2x + 12x.


- 17 -





оставить комментарий
страница1/5
и подлежат
Дата02.10.2011
Размер0.72 Mb.
ТипУчебное пособие, Образовательные материалы
Добавить документ в свой блог или на сайт

страницы:   1   2   3   4   5
плохо
  1
Ваша оценка:
Разместите кнопку на своём сайте или блоге:
rudocs.exdat.com

Загрузка...
База данных защищена авторским правом ©exdat 2000-2017
При копировании материала укажите ссылку
обратиться к администрации
Анализ
Справочники
Сценарии
Рефераты
Курсовые работы
Авторефераты
Программы
Методички
Документы
Понятия

опубликовать
Загрузка...
Документы

Рейтинг@Mail.ru
наверх