Программа дисциплины ен. Ф. 4 Геометрия и линейная алгебра для студентов специальности 010501 (прикладная математика и информатика), направления 010500 (прикладная математика и информатика)
| скачать Федеральное агентство по образованию Российской Федерации  ОБНИНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ АТОМНОЙ ЭНЕРГЕТИКИ (ИАТЭ)
^ ЕН.Ф.4 ГЕОМЕТРИЯ И ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА для студентов специальности 010501 (прикладная математика и информатика), направления 010500 (прикладная математика и информатика) Форма обучения: очная Объем дисциплины и виды учебной работы по очной форме в соответствии с учебным планом
Обнинск 2008 Программа составлена в соответствии с Государственным образовательным стандартом высшего профессионального образования по специальности 010501 (прикладная математика и информатика), направлению 010500 (прикладная математика и информатика). ЕН.Ф.01 Геометрия и алгебра: аналитическая геометрия, теория матриц; системы линейных алгебраических уравнений; линейные пространства и операторы. ____________________ Н.Э. Клиншпонт, доцент, к.ф.-м.н. Программа рассмотрена на заседании кафедры высшей математики ОИАТЭ (протокол № 2 от 16.10.2008 г.) Заведующий кафедрой высшей математики ОИАТЭ ___________________ Е.А. Сатаев “____”_____________ 200 г. СОГЛАСОВАНО
^ Научить студентов применять метод координат при исследовании геометрических объектов, решать системы линейных уравнений, решать задачи линейной алгебры. ^ В результате изучения дисциплины студент должен знать: основные понятия векторной алгебры, свойства кривых и поверхностей 1 и 2 порядков, теорию решения линейных систем, основные понятия теории линейных пространств и линейных операторов, теории билинейных и квадратичных форм; уметь: решать задачи методом координат, исследовать кривые и поверхности 2 порядка, решать линейные системы, находить размерность и базис линейного пространства, решать задачи на собственные значения, приводить матрицу оператора к жорданову виду, производить измерения длин и углов в евклидовом пространстве, ортогонализовать систему векторов, приводить квадратичную форму к каноническому виду, исследовать квадратичную форму на знакоопределенность. иметь навыки: решать задачи на тему «прямая и плоскость», исследовать кривые 2 порядка, решать линейные системы (в том числе находить фундаментальную систему решений), решать стандартные задачи линейной алгебры на темы: размерность, базис, сумма и пересечение подпространств, собственные значения и векторы, жорданова форма, измерения в евклидовом пространстве, ортогонализация, приведение квадратичной формы к каноническому виду, исследование квадратичной формы на знакоопределенность. ^ 3.1. Лекции 1. Векторы и операции над ними. Компланарность, коллинеарность векторов. Линейная зависимость и независимость векторов. Базис. Координаты вектора в базисе и действия с координатами. Простейшие задачи аналитической геометрии: деление отрезка в данном отношении, координаты центра масс. Системы координат: декартова прямоугольная, полярная, цилиндрическая, сферическая. [1] гл.1, § 1; [3] гл.1, § 1,2; [13] стр. 3-12 (2 часа) 2. Скалярное и векторное произведение векторов (определение, свойства, выражение в прямоугольных координатах). Смешанное произведение, связь с объемом параллелепипеда, выражение в координатах. Двойное векторное произведение. Основное тождество. [1], дополнение к гл.1, гл. 2, § 2,3; [3] гл.1, § 3; [13] стр. 12-18 (4 часа) 3. Преобразование декартовых прямоугольных координат на плоскости (поворот и параллельный перенос). Уравнения линий и поверхностей: явное и параметрическое задание. Алгебраические линии и поверхности. Теорема об инвариантности порядка. [1], гл. 4, § 1; [3] гл.2, §1; [13] стр. 18-19 (2 часа) 4. Плоскость в пространстве и прямая на плоскости. Различные виды уравнений: общее уравнение, уравнение в отрезках, параметрические уравнения, нормальное уравнение. Расстояние от точки до плоскости (прямой). Отклонение точки от плоскости. Взаимное расположение двух плоскостей (прямых). Пучок и связка плоскостей. [1], гл. 4, § 1-2; [3] гл.2, §1-3; [13] стр. 18-26 (4 часа) 5. Прямая в пространстве. Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве. Взаимное расположение двух прямых в пространстве (признаки параллельности, перпендикулярности, принадлежности одной плоскости, расстояние между скрещивающимися прямыми). Задачи. [1], гл. 5, § 4,5; [3] гл.2, §2-3; [13] стр. 26-29 (2 часа) 6. Эллипс, гипербола, парабола. Директориальное свойство. Эксцентриситет. Вывод канонических уравнений. Фокальное свойство. Расположение фокусов, директрис, фокальные радиусы. Конические сечения. Оптические свойства. [1], гл. 6, § 1-4; [3] гл.3, §2; [13] стр. 29-38 (4 часа) 7. Упрощение общего уравнения кривой второго порядка путем поворота осей и параллельного переноса. Классификация кривых второго порядка. Некоторые виды поверхностей второго порядка. Исследование формы поверхности по каноническому уравнению методом сечений. [1], гл. 4, § 2, гл.7 §3; [3] гл.2, §4; [13] стр. 61-68 (2 часа) 8. Матрицы, действия над матрицами (сложение, умножение на число, произведение двух матриц, транспонирование матрицы). [2], гл. 1, §1, [3], гл. 5, §1 (1 час) 9. Определитель квадратной матрицы n–го порядка. Перестановки. Инверсия. Четность инверсии, изменение четности при перестановке двух элементов. Теорема о знаке члена определителя. Свойства определителей. Минор. Алгебраическое дополнение. Разложения определителя по строке (столбцу). [2], гл. 1, §2, [3], гл. 5, §1,6; [13] стр. 38-43 (4 часа) 10. Обратная матрица. Условия существования. Нахождение обратной матрицы. Система n линейных уравнений с n неизвестными. Матричная запись. Правило Крамера. [3], гл. 5, §1,6; [7] гл. 1 §4,5; [13] стр. 43-46 (2 часа) 11. Ранг матрицы. Базисный минор. Теорема о базисном миноре. Элементарные преобразования и ранг матрицы. [2], гл. 1, §3, [3], гл.5, §4; [7] гл. 1 § 7,8, [13] стр. 48-53 (2 часа) 12. Системы линейных уравнений. Системы совместные, несовместные, определенные, неопределенные. Теорема Кронекера Капелли. Общее решение системы. Решение системы линейных уравнений методом Гаусса. Пространство решений однородной системы уравнений. Фундаментальная система решений. [2], гл. 3, §1-2, [7] гл. 1 § 6,9,11; [13] стр. 46-47, 53-56 (3 часа) 13. Линейные пространства. Примеры. Простейшие свойства. Линейная зависимость и независимость элементов линейного пространства. Базис. Координаты вектора в базисе. [2], гл. 2, §1, [7] гл. 2, §1-6 (2 часа) 14. Размерность линейного пространства. Теоремы о размерности. Изоморфизм линейных пространств. Теорема об изоморфизме пространств одинаковой размерности. Преобразование координат вектора при переходе к новому базису. [2], гл. 2, §2,4 [7], гл. 2, §3-6 (2 часа) 15. Подпространства линейного пространства. Линейная оболочка векторов. Теорема о размерности линейной оболочки. Сумма и пересечение подпространств, теорема о связи их размерностей. Прямая сумма подпространств. [2], гл. 2, §3, [7], гл. 2, § 7-9 (2 часа) 16. Линейный оператор. Матрица линейного оператора. Матричная запись оператора. Теорема о взаимно однозначном соответствии между матрицами и операторами. Изменение матрицы линейного оператора при переходе к новому базису. [2], гл.5, §1, [7], гл.2, §1,4, [12], стр. 3-8, стр. 13-15 (2 часа) 17. Действия над линейными операторами: сложение, произведение на число. Пространство линейных операторов. Произведение операторов. Матрица произведения операторов. Обратимость операторов. Матрица обратного оператора. Условия существования обратного оператора. [2], гл. 5, §1-2, [7] гл. 3, § 2,5,6 [12] стр. 9-11 (2 часа) 18. Ядро и образ линейного оператора. Ранг и дефект. Теорема о связи размерностей ядра и образа оператора с размерностью пространства. [2], гл. 5, § 1, [7] гл. 3, § 2,5,6 [12] стр. 9-11 (1 час) 19.Инвариантные подпространства. Собственные значения и собственные векторы линейного оператора. Характеристический многочлен оператора. Линейная независимость собственных векторов, соответствующих различным собственным значениям. Условия существования базиса из собственных векторов (условия приводимости матрицы оператора к диагональному виду). [2], гл. 5, § 2-3 [7], гл. 3, §7-9, [12], стр. 15-25 (3 часа) 20. Жорданова клетка. Жорданова матрица. Понятие присоединенного вектора. Теорема Жордана. [2], гл. 5, § 8, [7], гл. 3, §10, [12], стр. 25-32 (4 часа) 21. Евклидово пространство. Определение. Примеры. Неравенство Коши-Буняковского. Норма (длина) элемента. Неравенство треугольника. Угол между элементами евклидова пространства. Ортогональные элементы. Изоморфизм пространств со скалярным произведением. Унитарное пространство. Основные свойства. [2], гл. 4, §1, [7], гл. 4, §1,2, [12] стр. 32-37 (2 часа) 22. Понятие ортонормированного базиса. Процесс ортогонализации Грама-Шмидта. Теорема о существовании ортонормированного базиса в евклидовом пространстве. [2], гл. 4, §2, [7], гл. 4, §1,2, [12] стр. 32-37 (2 часа) 23. Вид скалярного произведения в зависимости от выбора базиса. Свойства определителей Грама. Свойства определителей Грама (определитель Грама линейно независимой системы векторов; неотрицательность определителя Грама). Приложения определителей Грама. Объем n –мерного параллелепипеда. [7], гл. 4, §3, [12], стр. 36-42 (4 часа) 24.Ортогональное дополнение. Разложение пространства со скалярным произведением в прямую сумму подпространства и его ортогонального дополнения. [2], гл. 4, §2, [7], гл. 4, §3, [12], стр. 36-42 (1 час) 25. Сопряженный оператор в евклидовом пространстве. Самосопряженный оператор. Теорема о собственных значениях и собственных векторах, теорема о существовании ортонормированного базиса из собственных векторов. [7], гл. 5, § 1-3, [12], стр. 43-50 (2 часа) 26. Унитарный и ортогональный операторы: свойства, матрицы, примеры, собственные значения, теоремы об общем виде операторов. Унитарно подобные матрицы. [7], гл. 5, §4-5, [12], стр. 50-57 (2 часа) 27. Билинейные формы в вещественном линейном пространстве. Квадратичная форма в вещественном линейном пространстве. Канонический и нормальный вид квадратичной формы. Приведение квадратичной формы к каноническому виду методом Лагранжа. Закон инерции квадратичных форм. Знакоопределенные квадратичные формы. Критерий Сильвестра. Теорема о приведении квадратичной формы к каноническому виду ортогональным преобразованием.[2], гл.7, §1-6, [7], гл. 5, §1-5, [11] стр. 12-13, стр. 43-56, [12] стр. 57-70 (3 часа) 28. Неоднородный многочлен второй степени от n переменных. Приведение уравнения поверхности второго порядка к каноническом виду. Поверхности центральные, нецентральные, вырожденные, невырожденные. Классификация.[2], гл.7, §7, [11], стр. 15-42 (2 часа) ^
^ 3.4. Курсовые проекты (работы) не предусмотрены 3.5. Формы текущего контроля
^ 1.выполнение домашних заданий, 2. подготовка ИДЗ, 3. повторение теоретического материала. Контроль самостоятельной работы: 1.проверка домашних заданий, 2. прием ИДЗ. ^ 4.1.1. Основная литература [1]. Ильин В.А., Поздняк Э.Г. Аналитическая геометрия, Физматлит, 2003 (398 экз.) [2]. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Линейная алгебра. Изд.5. Физматлит, 2002 (324 экз.) [3]. Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. Физматлит, 2007. (80 экз.) [4]. Клетеник Д.В. Сборник задач по аналитической геометрии: Учебное пособие для втузов. Профессия: СПб , 2005. (302 экз.) [5]. Алмаев Р.Х.и др. Линейная алгебра в примерах и задачах. Учебное пособие. Обнинск. 2001. (92 экз.) [6] Проскуряков И.В. Сборник задач по линейной алгебре. М.:Наука 1987 (240 экз.) [7]. Головина Л.И. Линейная алгебра и некоторые приложения. М.: Наука, 1986. (74 экз.) ^ [8]. Гельфанд И.М. Лекции по линейной алгебре. М.:Наука, 1971. (25 экз.) [9]. Курош А.Г. Курс высшей алгебры. М.:Наука, 1971. (56 экз.) [10]. Ильин В.А., Ким Г.Д. Линейная алгебра и аналитическая геометрия. Учебник. Издательство Проспект. Издательство Московского университета, 2008 [11]. Плыкин Р.В. Королева Л.А. Геометрические приложения линейной алгебры. Учебное пособие. Обнинск, 1989. (98 экз.) [12]. Плыкин Р.В. Королева Л.А. Конечномерные векторные пространства. Учебное пособие. Обнинск, 1989.(121 экз.) [13]. Плыкин Р.В, Давыдова Р.Г. Введение в аналитическую геометрию и линейную алгебру. Учебное пособие. Обнинск. 1992. (112 экз.) [14]. Кузьменко Н.И.. Методические рекомендации для самостоятельной работы студентов по курсу линейная алгебра. Обнинск 1998. (15 экз.) 4.2. Технические средства обеспечения освоения дисциплины не предусмотрены. 5. Материально-техническое обеспечение дисциплины не предусмотрено.
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Ваша оценка этого документа будет первой.
Ваша оценка: 