Это способ записи чисел и соответствующие ему правила действий над числами icon

Это способ записи чисел и соответствующие ему правила действий над числами


1 чел. помогло.
Смотрите также:
Необходимость выполнения арифметических действий над вводимыми в ЭВМ числами предъявляет особые...
Система счисления это способ записи чисел с помощью заданного набора специальных знаков (цифр)...
Программа междисциплинарного вступительного экзамена в магистратуру по направлению «математика»...
Экзаменационные вопросы по курсу “Методы программирования” Iкурс, 2004 г...
Рабочая программа учебной дисциплины «Теория функций комплексной переменной» Специальность...
Урок математики в 5 классе...
2. Свойства операций над комплексными числами 3...
Основанием. Основание позиционной системы счисления это количество различных знаков или символов...
Основанием. Основание позиционной системы счисления это количество различных знаков или символов...
Лабораторная работа n 2...
«Действия с рациональными числами»...
Действия с натуральными числами...



Загрузка...
скачать

Системы Счисления

Основные понятия

Система счисления – это способ записи чисел и соответствующие ему правила действий над числами.

Совокупность всех символов, при помощи которых можно записать любое число в заданной системе счисления называется алфавитом системы счисления.

Символы алфавита системы счисления называются цифрами системы счисления.

Системы счисления делятся на

  • непозиционные системы счисления;

  • позиционные системы счисления.

В непозиционной системе счисления величина, обозначаемая цифрой в записи числа, не зависит от позиции цифры в числе.

Примером непозиционной системы счисления является римская система, которой мы чаще всего пользуемся для нумерации (века, глав книги и пр.)

^ В римской системе счисления в качестве цифр используются латинские буквы:







I – 1;

V – 5;

X – 10;

L – 50;

C – 100;

D – 500;

M – 1000.

Например, число ХХХ = 10 + 10 + 10 = 30                  Цифра Х всегда равна 10, независимо от позиции, в которой она находится.

При записи чисел в римской системе счисления используются следующие правила:

  1. Цифры записываются слева направо в порядке убывания. В этом случае их значения складываются (VI = 5 + 1).

  2. Если слева записана меньшая цифра, а справа большая – то их значения вычитаются (IV = 5 – 1 = 4).

  3. Перед старшей цифрой не может быть записано более одной младшей цифры.

(Нельзя писать IIV = 5 – 1 – 1 = 3. Надо: III = 1 + 1 + 1 = 3)

Пример 1:^ MCMXCVII = 1000 + (1000 – 100) + (100 – 10 ) + 5 + 1 + 1 = 1997

Пример 2: 794 = (500 + 200) + (100 – 10) + (5 – 1) = DCCXCIV

В позиционной системе счисления величина, обозначаемая цифрой, зависит от позиции, в которой находится эта цифра.

Для вычислений мы используем арабскую систему счисления, алфавит которой состоит из десяти цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Например, число 333 = 300 + 30 + 3.
Здесь цифра 3 в самой младшей (крайней справа) позиции обозначает число 3, та же цифра 3 в следующей позиции – число 30, а в самой старшей (крайней слева) позиции – число 300.

Непозиционные системы счисления имеют рад недостатков:

  • Для записи больших чисел приходится вводить новые цифры.

  • Например , записать 50 000 при помощи цифры М (1000) неудобно – получится слишком длинное число. Один из выходов – ввод новых цифр.

  • Невозможно записывать дробные и отрицательные числа.

  • Сложно выполнять арифметические операции, особенно умножение и деление.

Всех этих недостатков лишены позиционные системы счисления. В дальнейшем мы будем рассматривать представление чисел только в позиционных системах счисления.


^ Позиционные системы счисления

В позиционной системе счисления величина, обозначаемая цифрой, зависит от позиции, в которой находится эта цифра.

Количество используемых цифр называется основанием системы счисления.

Покажем связь между основанием системы счисления, ее названием и алфавитом.

Основание
(количество цифр)

Система счисления

Алфавит (все цифры)

10

десятичная

0,1,2,3,4,5,6,7,8,9

2

двоичная

0,1

3

троичная

0,1,2

5

пятеричная

0,1,2,3,4

8

восьмеричная

0,1,2,3,4,5,6,7

11

одиннадцатеричная

0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A

13

тринадцатеричная

0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C

16

шестнадцатеричная

0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F

Обратите внимание на системы счисления с основанием большим 10.

^ Цифры, начиная с 10, обозначаются буквами латинского алфавита (10 – A, 11 – B, 12 – C и т.д.).

Это делается для того, чтобы не возникало путаницы между числом и цифрой.

Например, число 10 в шестнадцатеричной системе счисления 1016 = 16 палочек.

А цифра 10 — А = 10 палочек.

Чтобы показать, что число записано в системе счисления, отличной от десятичной, в которой все мы привыкли считать, основание системы счисления указывают в качестве нижнего индекса слева от числа (1001012, 2346, 3В16).

Основные достоинства любой позиционной системы счисления:

  • ограниченное количество символов;

  • простота выполнения арифметических операций.




"Мысль выражать все числа немногими знаками, придавая им, кроме значения по форме, еще значения по месту, настолько проста, что именно из-за этой простоты трудно оценить, насколько она удивительна."




Французский математик ^ Пьер Симон Лаплас (1749-1827)

В повседневной жизни наиболее употребительна 10-ичная система счисления. И тем не менее великий французский математик ^ Блез Паскаль писал:




"Десятичная система счисления построена довольно неразумно, конечно – в соответствии с людскими обычаями, а вовсе не с требованиями естественной необходимости, как склонно думать большинство людей".

Десятичная система счисления характеризуется тем, что в ней считают десятками:

  • десять единиц – это десяток;

  • десять десятков – это уже сотня;

  • десять сотен – тысяча и т.д.

В 2-ичной системе счисления считают двойками, в 5-ичной – пятерками, в 8-ой – восьмерками и т.д.
^




Запись чисел в развернутом виде

Запишем десятичное число А10 = 4718,63 в развернутой форме:


А10 = 4*103 + 7*102 +1*10 1 +8*10 0 +6*10 -1 +3*10 -2
^

В двоичной системе счисления основание = 2.


Запишем число А 2 =1001,1 в развернутом виде и получим число, выраженное в десятичной СС.:

А 2 =1*2 3 +0*2 2 +0*2 1 +1*2 0 +1*2 -1 =8+1+0,5=9,5 10

Запишем число А 8 =7764 и получим число, выраженное в десятичной СС.:

А 8 = 7*8 3 +7*8 2 +6*8 1 +4*8 0 =3584+448+48+4=4084 10

Запишем число А 16 =3АF16 развернутом виде и получим число, выраженное в десятичной СС.:

А 16 =3*16 2 +10*16 1 +15*16 0 =768+160+15=943 10

Задания


Какие числа записаны римскими цифрами:

MCMXCIX

CMLXXXVIII

MCXLVII

Как получить верные равенства, если разрешается переставить только одну палочку?

VII – V = XI

IX – V = VI

VI – IX = III

VIII – III = X

Запишите в развернутом виде числа:

А 8 = 143511; 0,143511;

А 2 =100111; 110011;

А 16 =143511; 1А3,5С1;

А10 =546,124;
^

Дом. Задание:


1. Выучить лекцию;

2. С помощью римских цифр запишите год, месяц и число своего рождения;

3. Запишите в развернутом виде числа:


А 2 =111011; 10011;

А 3=2112; 112122;

А 8 = 562401; 47,253;

А 16 =B7E55, 85A42F;





^

Двоичная система счисления


Составим таблицы сложения и умножения для двоичной системы счисления.

 0 

1

1

10




0 + 0 = 0
0 + 1 = 1
1 + 0 = 1
1 + 1 = 10




            

 1 




0 * 0 = 0
0 * 1 = 0
1 * 0 = 0
1 * 1 = 1




Вывод:

Для выполнения арифметических операций в двоичной системе счисления необходимо запомнить всего 4 правила сложения и 1 правило умножения. .

Вот еще один аргумент за то, что вся информация в памяти компьютера хранится в двоичном коде (в виде 0 и 1).

Рассмотрим примеры сложения и вычитания в двоичной системе счисления.

Необходимо помнить:

  • при сложении чисел в двоичной системе счисления, единицу в старший разряд мы переносим, когда в сумме получилось не 10, а 2!

  • при вычитании — в старшем разряде мы занимаем не 10, а 2 единицы.




оставить комментарий
Дата02.10.2011
Размер65,3 Kb.
ТипДокументы, Образовательные материалы
Добавить документ в свой блог или на сайт

плохо
  3
не очень плохо
  1
хорошо
  1
отлично
  2
Ваша оценка:
Разместите кнопку на своём сайте или блоге:
rudocs.exdat.com

Загрузка...
База данных защищена авторским правом ©exdat 2000-2017
При копировании материала укажите ссылку
обратиться к администрации
Анализ
Справочники
Сценарии
Рефераты
Курсовые работы
Авторефераты
Программы
Методички
Документы
Понятия

опубликовать
Загрузка...
Документы

наверх