Это способ записи чисел и соответствующие ему правила действий над числами

1 чел. помогло.

Загрузка...

скачать

Системы Счисления

Основные понятия

Система счисления – это способ записи чисел и соответствующие ему правила действий над числами.

С

овокупность всех символов, при помощи которых можно записать любое число в заданной системе счисления называется алфавитом системы счисления.

С

имволы алфавита системы счисления называются цифрами системы счисления.

Системы счисления делятся на

непозиционные системы счисления;
позиционные системы счисления.

непозиционной системе счисления величина, обозначаемая цифрой в записи числа, не зависит от позиции цифры в числе.

Примером непозиционной системы счисления является римская система, которой мы чаще всего пользуемся для нумерации (века, глав книги и пр.)

^ В римской системе счисления в качестве цифр используются латинские буквы:

I – 1;

V – 5;

X – 10;

L – 50;

C – 100;

D – 500;

M – 1000.

Например, число ХХХ = 10 + 10 + 10 = 30 Цифра Х всегда равна 10, независимо от позиции, в которой она находится.

При записи чисел в римской системе счисления используются следующие правила:

Цифры записываются слева направо в порядке убывания. В этом случае их значения складываются (VI = 5 + 1).
Если слева записана меньшая цифра, а справа большая – то их значения вычитаются (IV = 5 – 1 = 4).
Перед старшей цифрой не может быть записано более одной младшей цифры.

(Нельзя писать IIV = 5 – 1 – 1 = 3. Надо: III = 1 + 1 + 1 = 3)

Пример 1:^ MCMXCVII = 1000 + (1000 – 100) + (100 – 10 ) + 5 + 1 + 1 = 1997

Пример 2: 794 = (500 + 200) + (100 – 10) + (5 – 1) = DCCXCIV

В позиционной системе счисления величина, обозначаемая цифрой, зависит от позиции, в которой находится эта цифра.

Для вычислений мы используем арабскую систему счисления, алфавит которой состоит из десяти цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Например, число 333 = 300 + 30 + 3.
Здесь цифра 3 в самой младшей (крайней справа) позиции обозначает число 3, та же цифра 3 в следующей позиции – число 30, а в самой старшей (крайней слева) позиции – число 300.

Непозиционные системы счисления имеют рад недостатков:

Для записи больших чисел приходится вводить новые цифры.
Например , записать 50 000 при помощи цифры М (1000) неудобно – получится слишком длинное число. Один из выходов – ввод новых цифр.
Невозможно записывать дробные и отрицательные числа.
Сложно выполнять арифметические операции, особенно умножение и деление.

Всех этих недостатков лишены позиционные системы счисления. В дальнейшем мы будем рассматривать представление чисел только в позиционных системах счисления.

^ Позиционные системы счисления

В позиционной системе счисления величина, обозначаемая цифрой, зависит от позиции, в которой находится эта цифра.

Количество используемых цифр называется основанием системы счисления.

Покажем связь между основанием системы счисления, ее названием и алфавитом.

Основание (количество цифр)	Система счисления	Алфавит (все цифры)
10	десятичная	0,1,2,3,4,5,6,7,8,9
2	двоичная	0,1
3	троичная	0,1,2
5	пятеричная	0,1,2,3,4
8	восьмеричная	0,1,2,3,4,5,6,7
11	одиннадцатеричная	0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A
13	тринадцатеричная	0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C
16	шестнадцатеричная	0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F

Обратите внимание на системы счисления с основанием большим 10.

^ Цифры, начиная с 10, обозначаются буквами латинского алфавита (10 – A, 11 – B, 12 – C и т.д.).

Это делается для того, чтобы не возникало путаницы между числом и цифрой.

Например, число 10 в шестнадцатеричной системе счисления 10₁₆ = 16 палочек.

А цифра 10 — А = 10 палочек.

Чтобы показать, что число записано в системе счисления, отличной от десятичной, в которой все мы привыкли считать, основание системы счисления указывают в качестве нижнего индекса слева от числа (100101₂, 234₆, 3В₁₆).

Основные достоинства любой позиционной системы счисления:

ограниченное количество символов;
простота выполнения арифметических операций.

	"Мысль выражать все числа немногими знаками, придавая им, кроме значения по форме, еще значения по месту, настолько проста, что именно из-за этой простоты трудно оценить, насколько она удивительна."
	Французский математик ^ Пьер Симон Лаплас (1749-1827)

В повседневной жизни наиболее употребительна 10-ичная система счисления. И тем не менее великий французский математик ^ Блез Паскаль писал:

"Десятичная система счисления построена довольно неразумно, конечно – в соответствии с людскими обычаями, а вовсе не с требованиями естественной необходимости, как склонно думать большинство людей".

Десятичная система счисления характеризуется тем, что в ней считают десятками:

десять единиц – это десяток;
десять десятков – это уже сотня;
десять сотен – тысяча и т.д.

В 2-ичной системе счисления считают двойками, в 5-ичной – пятерками, в 8-ой – восьмерками и т.д.
^

Запись чисел в развернутом виде

Запишем десятичное число А₁₀= 4718,63 в развернутой форме:

А₁₀= 4*10³ + 7*10²+1*10 ¹ +8*10 ⁰ +6*10 ^-1 +3*10 ^-2
^

В двоичной системе счисления основание = 2.

Запишем число А₂ =1001,1 в развернутом виде и получим число, выраженное в десятичной СС.:

А₂=1*2 ³ +0*2 ² +0*2 ¹ +1*2 ⁰ +1*2 ^-1 =8+1+0,5=9,5 ₁₀

Запишем число А₈ =7764 и получим число, выраженное в десятичной СС.:

А₈ = 7*8 ³ +7*8 ² +6*8 ¹ +4*8 ⁰ =3584+448+48+4=4084 ₁₀

Запишем число А₁₆ =3АF₁₆ развернутом виде и получим число, выраженное в десятичной СС.:

А₁₆=3*16 ² +10*16 ¹ +15*16 ⁰ =768+160+15=943 ₁₀

Задания

Какие числа записаны римскими цифрами:

MCMXCIX

CMLXXXVIII

MCXLVII

Как получить верные равенства, если разрешается переставить только одну палочку?

VII – V = XI	IX – V = VI
VI – IX = III	VIII – III = X

Запишите в развернутом виде числа:

А_{8 =}143511; 0,143511;

А₂=100111; 110011;

А₁₆=143511; 1А3,5С1;

А₁₀=546,124;
^

Дом. Задание:

1. Выучить лекцию;

2. С помощью римских цифр запишите год, месяц и число своего рождения;

3. Запишите в развернутом виде числа:

А₂=111011; 10011;

А₃=2112; 112122;

А_{8 =}562401; 47,253;

А₁₆=B7E55, 85A42F;

Двоичная система счисления

Составим таблицы сложения и умножения для двоичной системы счисления.

0	1
1	10

0 + 0 = 0
0 + 1 = 1
1 + 0 = 1
1 + 1 = 10

0 * 0 = 0
0 * 1 = 0
1 * 0 = 0
1 * 1 = 1

Вывод:

Для выполнения арифметических операций в двоичной системе счисления необходимо запомнить всего 4 правила сложения и 1 правило умножения. .

Вот еще один аргумент за то, что вся информация в памяти компьютера хранится в двоичном коде (в виде 0 и 1).

Рассмотрим примеры сложения и вычитания в двоичной системе счисления.

Необходимо помнить:

при сложении чисел в двоичной системе счисления, единицу в старший разряд мы переносим, когда в сумме получилось не 10, а 2!
при вычитании — в старшем разряде мы занимаем не 10, а 2 единицы.