«Равносильные уравнения. Уравнение-следствие» Методические комментарии icon

«Равносильные уравнения. Уравнение-следствие» Методические комментарии


1 чел. помогло.
Смотрите также:
Школьная лекция

«Равносильные уравнения. Уравнение-следствие»


Методические комментарии. Понятия равносильных уравнений, уравнений-следствий, теоремы о равносильности уравнений – это важные вопросы, связанные с теорией решения уравнений.

К 10-му классу учащиеся накопили некоторый опыт в решении уравнений. В 7-8-х классах решаются линейные и квадратные уравнения, здесь никаких неравносильных преобразований нет. Далее в 8-м и 9-ом классах решаются рациональные и простейшие иррациональные уравнения, выясняется, что в связи с освобождением от знаменателя и возведения обеих частей уравнения в квадрат могут появиться посторонние корни. Таким образом, возникает потребность для введения новых понятий: равносильность уравнений, равносильные и неравносильные преобразования уравнения, посторонние корни и проверка корней. На основе накопленного учащимися опыта решения перечисленных выше классов уравнений, возможно определить новое отношение равносильности уравнений и «открыть» вместе с учениками теоремы о равносильности уравнений.

Урок, конспект которого представлен ниже, предваряет рассмотрение тем, связанных с решением иррациональных, показательных, логарифмических и тригонометрических уравнений. Теоретический материал этого урока служит опорой при решении всех классов уравнений. На данном уроке необходимо определить понятие равносильных уравнений, уравнений-следствий, рассмотреть теоремы о преобразованиях, приводящих к таким видам уравнений. Рассматриваемый материал, как отмечалось выше, является своеобразной систематизацией знаний учащихся о преобразованиях уравнений, он отличается определенной сложностью, поэтому наиболее приемлемым типом урока является школьная лекция. Особенность этого урока в том, что поставленная на нем учебная задача (цели) решается на протяжении многих последующих уроков (выявление преобразований над уравнениями ведущих к приобретению посторонних корней и потере корней).

Каждый этап урока занимает важное место в его структуре.

На этапе актуализации учащиеся вспоминают основные теоретические положения, связанные с уравнением: что такое уравнение, корень уравнения, что значит решить уравнение, область допустимых значений (ОДЗ) уравнения. Находят ОДЗ конкретных уравнений, которые послужат на уроке опорой для «открытия» теорем.

Цель этапа мотивации – создать проблемную ситуацию, которая состоит в отыскании правильного решения предложенного уравнения.

Решение учебной задачи (операционно-познавательный этап) на представленном уроке заключается в «открытии» теорем о равносильности уравнений и их доказательстве. Основное внимание при изложении материала уделено определению равносильных уравнений, уравнений-следствий, «отысканию» теорем о равносильности уравнений.

Записи, которые делает учитель в течение урока, представлены непосредственно в конспекте. Оформление записей учащимися в тетрадях приведено в конце конспекта урока.

^ Конспект урока


Тема. Равносильные уравнения. Уравнение-следствие.

(Алгебра и начала анализа: Учебник для 10-11 классов общеобразовательных учреждений /Ш.А. Алимов, Ю.М. Колягин, Ю.В. Сидоров и др. – М.: Просвещение, 2003).

^ Цели урока. В совместной деятельности с учащимися выявить на множестве уравнений отношение равносильности, «открыть» теоремы о равносильности уравнений.

В результате ученик

знает

- определение равносильных уравнений,

- определения уравнения-следствия,

- формулировки основных теорем;

умеет

- из предложенных уравнений выбирать равносильные уравнения и уравнения-следствия,

- применять определения равносильных уравнений и уравнений-следствий в стандартных ситуациях;

понимает

- какие преобразования приводят к равносильным уравнениям или к уравнениям-следствиям,

- что существуют преобразования, в результате которых уравнение может приобрести посторонние корни,

- что в результате некоторых преобразований может произойти потеря корней.

^ Тип урока. Школьная лекция (2 часа).


Структура урока.

I. Мотивационно-ориентировочная часть:

- актуализация знаний,

- мотивация, постановка учебной задачи.

II. Операционно-познавательная часть:

- решение учебно-исследовательской задачи (цели урока).

III. Рефлексивно-оценочная часть:

- подведение итогов урока,

- выдача домашнего задания.


^ Ход урока


I. Мотивационно-ориентировочная часть.

- Сегодня на уроке поговорим об уравнении, но тему пока записывать не будем. Вспомним основные понятия, связанные с уравнением. Прежде всего, что такое уравнение?

(Уравнение – это аналитическая запись задачи нахождения значений аргументов, при которых значения одной функции равны значениям другой функции).

- Какие еще понятия связаны с уравнением?

(Корень уравнения и что значит решить уравнение. Корень уравнения – это число, при подстановке которого в уравнение получается верное числовое равенство. Решить уравнение – найти все его корни или установить, что их нет).

- Что называется ОДЗ уравнения?

(Множество всех чисел, при которых имеют одновременно смысл функции, стоящие в левой и правой частях уравнения).

- Найдите ОДЗ следующих уравнений.

1) ,

2) ,

3) ,

4) ,

5)

6) .

- На доске записано решение уравнения



Что представляет собой процесс решения уравнения?

(Выполнение преобразований, приводящих данное уравнение к уравнению более простого вида, т.е. такого уравнения, нахождение корней которого не представляется трудным).

- Верно, т.е. происходит последовательность упрощений от уравнения к уравнению и т.д. к . Проследим, что происходит с корнями уравнения на каждом этапе преобразований. В представленном решении получены два корня уравнения . Проверьте, являются ли числа они и числа и корнями исходного уравнения .

(Числа , и являются корнями исходного уравнения, а - нет).

- Значит, в процессе решения эти корни были потеряны. В целом же выполненные преобразования привели к потере двух корней и приобретению постороннего корня .

- Как можно избавиться от посторонних корней?

(Сделать проверку).

- Допустима ли потеря корней? Почему?

(Нет, т.к. решить уравнение – это найти все его корни).

- Как же избежать потери корней?

(Наверное, при решении уравнения не выполнять преобразования, которые ведут к потере корней).

- Итак, чтобы процесс решения уравнения приводил к верным результатам, что важно знать при выполнении преобразований над уравнениями?

(Наверное, знать, какие преобразования над уравнениями сохраняют корни, какие приводят к потере корней или приобретению посторонних корней. Знать, какими преобразованиями их можно заменить, чтобы потери или приобретения корней не было).

- Вот этим мы и займемся на этом уроке. Как бы вы сформулировали цель предстоящей деятельности на сегодняшнем уроке?

(Выявить преобразования над уравнениями, которые сохраняют корни, приводят к потере корней или приобретению посторонних корней. Знать, какими преобразованиями их можно заменить, чтобы потери или приобретения корней не было).


II. Операционно-познавательная часть.

- Обратимся снова к уравнению, записанному на доске. Проследим, на каком этапе и в результате каких преобразований, были потеряны два корня и появился посторонний. (Учитель справа от каждого уравнения - проставляет числа).



- Назовите уравнения, имеющие один и тоже набор (множество) корней.

(Уравнения , ,, и ,).

- Такие уравнения называются равносильными. Попытайтесь сформулировать определение равносильных уравнений.

(Уравнения, имеющие одно и тоже множество корней, называются равносильными).

- Запишем определение.

^ Определение 1. Уравнения и называются равносильными, если множества их корней совпадают.

Необходимо отметить, что уравнения не имеющие коней, также являются равносильными.

Для обозначения равносильных уравнений можно использовать символ «». Процесс решения уравнения , используя новое понятие, можно отразить так:

.

Таким образом, переход от данного уравнения к равносильному не влияет на множество корней получающегося уравнения.

А какие основные преобразования выполняли при решении линейных уравнений?

(Раскрытие скобок; перенос слагаемых из одной части уравнения в другую, изменяя знак на противоположный; прибавление к обеим частям уравнения выражения, содержащее неизвестную).

- Менялись ли при этом их корни?

(Нет).

- На основе одного из этих преобразований, а именно: перенос слагаемых из одной части уравнения в другую, меняя при этом знак на противоположный, в 7-м классе сформулировали свойство уравнений. Сформулируйте его, применив новое понятие.

(Если какой-нибудь член уравнения перенести из одной части уравнения в другую с противоположным знаком, то получится уравнение, равносильное данному).

- Какое еще свойство уравнения вы знаете?

(Обе части уравнения можно умножать на одно и тоже число, отличное от нуля).

- Применение этого свойства также заменяет исходное уравнение на равносильное ему. Обратимся опять к уравнению, записанному на доске. Сравните множество корней уравнений и ?

(Корень уравнения является корнем уравнения ).

- То есть при переходе одного уравнения к другому множество корней хотя и расширилось, но потери корней не произошло. В этом случае уравнение называют следствием уравнения . Попытайтесь сформулировать определение уравнения, которое является следствием данного уравнения.

(Если при переходе от одного уравнения к другому потери корней не происходит, то второе уравнение называют следствием первого уравнения).

Определение 2. Уравнение называют следствием уравнения , если каждый корень уравнения является корнем уравнения .

- В результате какого преобразования получили уравнение из уравнения ?

(Возведение в квадрат обеих частей уравнения).

- Значит, это преобразование может приводить к появлению посторонних корней, т.е. исходное уравнение преобразуется в уравнение-следствие. Есть ли еще уравнения-следствия в представленной цепочке преобразований уравнения ?

(Да, например, уравнение - следствие уравнения , а уравнение - следствие уравнения ).

- А какие это уравнения?

(Равносильные).

- Попытайтесь, используя понятие уравнения-следствия, сформулировать эквивалентное определение равносильных уравнений.

(Уравнения называются равносильными, если каждое из них является следствием другого).

- Есть ли еще уравнения-следствия в предложенном решении уравнения ?

(Да, уравнение - следствие уравнения ).

- Что происходит с корнями при переходе от к ?

(Потеряны два корня).

- В результате какого преобразования это произошло?

(Ошибка в применении тождества ).

- Применяя новое понятие уравнения-следствия, и используя символ «», процесс решения уравнения будет выглядеть так:


.

- Итак, полученная схема демонстрирует нам, что если осуществляются равносильные переходы , , то множества корней получающихся уравнений не изменяются. Но только равносильные преобразования применять не всегда удается. Если же переходы неравносильные, то возможны два случая: и . В первом случае уравнение - следствие уравнения , множество корней получающегося уравнения включает в себя множество корней данного уравнения, здесь приобретаются посторонние корни, их можно отсечь выполняя проверку. Во втором случае получилось уравнение, для которого данное уравнение является следствием: , а значит, произойдет потеря корней, таких переходов не следует выполнять. Поэтому важно следить за тем, чтобы при преобразовании уравнения каждое следующее уравнение было следствием предыдущего. Что же надо знать, чтобы преобразования были только такими? Попробуем установить это. Запишем задание 1 (в нем предлагаются уравнения; их ОДЗ, найденная на этапе актуализации; записано множество корней каждого уравнения).

^ Задание 1. Являются ли уравнения каждой группы (а, б) равносильными? Назовите преобразование, в результате которого первое уравнение группы заменено вторым.

а) б)

- Обратимся к уравнениям группы а), являются ли эти уравнения равносильными?

(Да, и равносильны).

- В результате какого преобразования из получили ?

(Использовали тождество ).

- То есть выражение в одной части уравнения заменили тождественно равным ему выражением. Изменилась ли ОДЗ уравнения при этом преобразовании?

(Нет).

- Рассмотрим группу уравнений б). Равносильны ли эти уравнения?

(Нет, уравнение - следствие уравнения ).

- В результате какого преобразования из получили ?

(Заменили левую часть уравнения тождественно равным ему выражением).

- Что произошло с ОДЗ уравнения?

(ОДЗ расширилась).

- В результате расширения ОДЗ получили уравнение-следствие и посторонний корень для уравнения . Значит, расширение ОДЗ уравнения может привести к появлению посторонних корней. Для обоих случаев а) и б) сформулируйте утверждение в общем виде. (Ученики формулируют, учитель корректирует).

(Пусть в некотором уравнении , выражение заменили на тождественное ему выражение . Если такое преобразование не изменяет ОДЗ уравнения, то переходим к равносильному уравнению . Если ОДЗ расширяется, то уравнение является следствием уравнения ).

- Это утверждение является теоремой о преобразованиях приводящих к равносильным уравнениям или уравнениям-следствиям.


Теорема 1. ,



а) ОДЗ не изменяется

б) ОДЗ расширяется







- Примем эту теорему без доказательства. Следующее задание. Представлены три уравнения и их корни.

^ Задание 2. Равносильны ли следующие уравнения? Назовите преобразование, в результате которого первое уравнение заменено вторым уравнением, третьим уравнением.







- Какие из предложенных уравнений равносильны?

(Только уравнения и ).

- Какие преобразования выполнялись, чтобы от уравнения перейти к уравнению , ?

(К обеим частям уравнения в первом случае прибавили , во втором случае прибавили ).

- То есть в каждом случае прибавили некоторую функцию . Сравните область определения функции в уравнении с ОДЗ уравнения .

(Функция определена на ОДЗ уравнения ).

- Какое уравнение получили в результате прибавления к обеим частям уравнения функции ?

(Получим уравнение равносильное ).

- Что произошло с ОДЗ уравнения по сравнению с ОДЗ уравнения ?

(Она сузилась из-за функции ).

- Что же получили в этом случае? Будет ли уравнение равносильно уравнению или - уравнение-следствие для уравнения ?

(Нет, не то и ни другое).

- Рассмотрев два случая преобразования уравнения , которые представлены в задании 2, попытайтесь сделать вывод.

(Если к обеим частям уравнения прибавить функцию, определенную на ОДЗ этого уравнения, то получим уравнение, равносильное данному).

- Действительно, это утверждение является теоремой.

Теорема 2. , - определена

на ОДЗ уравнения





Но утверждение, похожее на сформулированную теорему, мы использовали при решении уравнений. Как оно звучит?

(К обеим частям уравнения можно прибавить одно и то же число).

- Это свойство является частным случаем теоремы 2, когда .

^ Задание 3. Равносильны ли следующие уравнения? Назовите преобразование, в результате которого первое уравнение заменено вторым уравнением, третьим уравнением.








- Какие из уравнений в задании 3 равносильны?

(Уравнения и ).

- В результате какого преобразования из уравнения получены уравнения , ?

(Обе части уравнения умножили на и получили уравнение . Чтобы получить уравнение , обе части уравнения умножили на ).

- Какому же условию должна удовлетворять функция , чтобы умножив обе части уравнения на , было бы получено уравнение равносильное ?

(Функция должна быть определена на всей ОДЗ уравнения ).

- Выполняли ли прежде над уравнениями такое преобразование?

(Выполняли, обе части уравнения умножали на число, отличное от нуля).

- Значит, условие, налагаемое на функцию необходимо дополнить.

(Функция не должна обращаться в ноль ни при одном из ОДЗ уравнения).

- Итак, запишем в символическом виде утверждение, которое позволяет от данного уравнения перейти к равносильному. (Учитель под диктовку учеников записывает теорему 3).

Теорема 3.

- определена на всей ОДЗ

для любого из ОДЗ








- Докажем теорему. Что значит, что два уравнения равносильны?

(Надо показать, что все корни первого уравнения являются корнями второго уравнения и наоборот, т.е. второе уравнение есть следствие первого и первое уравнение является следствием второго).

- Докажем, что является следствием уравнения . Пусть - корень уравнения , что это значит?

(При подстановке в получим верное числовое равенство ).

- В точке функция определена и не обращается в ноль. Что это означает?

(Число . Поэтому числовое равенство можно помножить на . Получим верное числовое равенство ).

- Что это равенство означает?

( - корень уравнения . Этим показали, что уравнение - уравнение-следствие для уравнения ).

- Докажем, что - следствие уравнения . (Учащиеся работают самостоятельно, далее после обсуждения, учитель записывает вторую часть доказательства на доске).

^ Задание 4. Являются ли уравнения каждой группы (а, б) равносильными? Назовите преобразование, в результате которого первое уравнение группы заменено вторым.

а) б)

- Равносильны ли уравнения и ?

(Равносильны).

- В результате какого преобразования из можно получить ?

(Возводим обе части уравнения в куб).

- От правой и левой частей уравнения можно взять функцию . На каком множестве определена функция ?

(На общей части множеств значений функций и ).

- Охарактеризуйте группу уравнений под буквой б)?

(Они не равносильны, является следствием , к уравнению применили функцию и перешли к уравнению , функция определена на общей части множеств значений функций и ).

- Чем же отличаются свойства функций в группе а) и б)?

(В первом случае функция монотонна, а во втором нет).

- Сформулируем следующее утверждение. (Учитель под диктовку учащихся записывает теорему).

Теорема 4.



- определена на общей части множеств значений функций и

а) - монотонна

б) - не монотонна





Обсудим, как будет «работать» эта теорема при решении следующих уравнений.

Пример. Решить уравнение

1) ; 2) .

Какую функцию применим к обеим частям уравнения 1)?

(Возведем обе части уравнения в куб, т.е. применим функцию ).

- Перечислите свойства этой функции, необходимые для применения теоремы 4.

(Эта функция определена на общей части множеств значений функций, стоящих в левой и правой частях уравнения, она монотонна).

- Значит, возведя обе части исходного уравнения в куб, какое уравнение получим?

(Равносильное данному).

- Будут ли отличаться множество корней исходного уравнения и множество корней полученного уравнения?

(Нет).

- Какую функцию применим к обеим частям уравнения 2)?

(Возведем обе части уравнения в четвертую степень, т.е. применим функцию ).

- Перечислите свойства этой функции, необходимые для применения теоремы 4.

(Эта функция определена на общей части множеств значений функций, стоящих в левой и правой частях уравнения, она не монотонна).

- Какое же уравнение, относительно исходного, мы получим, возведя данное уравнение в четвертую степень?

(Уравнение-следствие).

- Будут ли отличаться множество корней исходного уравнения и множество корней полученного уравнения?

(Могут появиться посторонние корни. Значит, необходима проверка).

- Проведите решение этих уравнений дома.

III. Рефлексивно-оценочная часть.

- Мы сегодня вместе «открыли» четыре теоремы. Еще раз просмотрите их и скажите, о каких уравнениях в них говорится.

(О равносильных уравнениях и уравнении-следствии).

- Запишем тему урока. Вернемся к уравнению, которое рассматривали в начале сегодняшнего разговора. Какие из теорем 1-4 применялись при переходе от одного уравнения к другому? (Ученики вместе с учителем выясняют, какая теорема работала на каждом шаге, учитель на схеме отмечает номер теоремы).

.

T.2 Т.2 Т.1 Т.4 Т.2 Т.4

- Что нового вы сегодня узнали на уроке?

(Понятия равносильных уравнений, уравнения-следствия, теоремы о равносильности уравнений).

- Какую задачу мы поставили в начале урока?

(Выделить преобразования, не изменяющие множество корней уравнения, преобразования, ведущие к приобретению и потере корней).

- Решили ли мы ее полностью?

- Нет.

- Поставленную задачу, мы решили частично, ее исследование продолжим на следующих уроках при решении новых видов уравнений.

- Используя новое для нас понятие равносильных уравнений, переформулируйте первую часть поставленной задачи «выделить преобразования, не изменяющие множество корней уравнения».

(Как узнать, является ли переход от одного уравнения к другому равносильным преобразованием).

- Что поможет ответить на этот вопрос?

(Теоремы о равносильности уравнений).

- А применяли ли сегодня преобразования, которые ведут к приобретению посторонних корней?

(Применяли, это возведение обеих частей уравнения в квадрат; использование формул, левая и правая части которых имеют смысл при разных значениях входящих в них букв).

- Существуют и другие «специфические» причины, которые приводят как к появлению, так и к потере корней уравнения, о некоторых из них мы говорили. Но есть и такие, которые, как правило, связаны с определенным классом уравнений, а об этом разговор у нас будет позже.

Запишем домашнее задание:

  1. знать определения равносильных уравнений, уравнения-следствия;

  2. знать формулировки теорем 1-4;

  3. провести по аналогии с доказательством теоремы 3 доказательство теорем 1 и 2;

4) №№ 139(4,6), 141(2) – выяснить, являются ли уравнения равносильными; решить уравнения ; .


^ Записи в тетрадях


Равносильные уравнения. Уравнение-следствие.


Определение 1. Уравнения и называются равносильными, если множества их корней совпадают.


Определение 2. Уравнение называют следствием уравнения , если каждый корень уравнения является корнем уравнения .

^ Задание 1. Являются ли уравнения каждой группы (а, б) равносильными? Назовите преобразование, в результате которого первое уравнение группы заменено вторым.

а) б)

Ответ: , . В группе а) использовали тождество , в группе б) заменили левую часть уравнения тождественно равным ему выражением.

Вывод. Пусть в некотором уравнении , выражение заменили на тождественное ему выражение . Если такое преобразование не изменяет ОДЗ уравнения, то переходим к равносильному уравнению . Если ОДЗ расширяется, то уравнение является следствием уравнения .


Теорема 1. ,

а) ОДЗ не изменяется

б) ОДЗ расширяется






Задание 2. Равносильны ли следующие уравнения? Назовите преобразование, в результате которого первое уравнение заменено вторым уравнением, третьим уравнением.







Ответ: . К обеим частям уравнения в первом случае прибавили , во втором случае прибавили .

Вывод. Если к обеим частям уравнения прибавить функцию, определенную на ОДЗ этого уравнения, то получим уравнение, равносильное данному).


Теорема 2. , - определена

на ОДЗ уравнения






Задание 3. Равносильны ли следующие уравнения? Назовите преобразование, в результате которого первое уравнение заменено вторым уравнением, третьим уравнением.








Ответ: . Обе части уравнения умножили на , обе части уравнения умножили на .

Вывод. Если обе части уравнения умножить на функцию, определенную и не равную нулю на ОДЗ этого уравнения, то получим уравнение, равносильное данному.


Теорема 3.

- определена на всей ОДЗ

для любого из ОДЗ









Доказательство:

  1. Пусть - корень уравнения , тогда

,

,

,

- корень ;

  1. Пусть - корень уравнения, тогда

,

,

,

- корень

Теорема доказана.


Задание 4. Являются ли уравнения каждой группы (а, б) равносильными? Назовите преобразование, в результате которого первое уравнение группы заменено вторым.

а) б)

Ответ: , . От правой и левой частей уравнения взяли функцию , применили функцию .

Вывод. Пусть к обеим частям уравнения применили функцию, определенную на общей части множеств значений функций, стоящих в левой и правой частях этого уравнения. Если эта функция монотонна, то получим уравнение, равносильное данному, если нет – то уравнение–следствие.


Теорема 4.



- определена на общей части множеств значений функций и

а) - монотонна

б) - не монотонна






Пример. Решить уравнение

1) ; 2) .



Скачать 215,71 Kb.
оставить комментарий
Дата30.09.2011
Размер215,71 Kb.
ТипДокументы, Образовательные материалы
Добавить документ в свой блог или на сайт
отлично
  8
Ваша оценка:
Разместите кнопку на своём сайте или блоге:
rudocs.exdat.com


База данных защищена авторским правом ©exdat 2000-2014
При копировании материала укажите ссылку
обратиться к администрации
Документы

Рейтинг@Mail.ru
наверх