Элективный курс Сказки Шехерезады и уравнения Диофанта Балашов 2009 Содержание icon

Элективный курс Сказки Шехерезады и уравнения Диофанта Балашов 2009 Содержание


1 чел. помогло.
Смотрите также:
Элективный курс «Сказки Шехерезады и уравнения Диофанта» Учебно-методическое пособие для...
Элективный курс Уравнения и неравенства с параметрами (10 класс, 32 часа)...
Элективный курс Уравнения и неравенства с переменной под знаком модуля (9 класс, 16 часов...
Авторский элективный курс« Уравнения и неравенства с модулем» 10 класс....
Программа элективного предмета по математике...
Элективный курс по математике для учащихся 9 класса тема: «уравнения и неравенства...
Элективный курс. Математика. Уравнения высших степеней...
Элективный курс по физике «Тепловые и электрические явления»...
Элективный курс «Основы языка html...
Элективный курс «глобальные проблемы человечества»...
Элективный курс   В. А...
Программа элективного курса «Многочлены и полиномиальные алгебраические уравнения»...



Загрузка...
страницы: 1   2   3
вернуться в начало
скачать

^ Ответ: x = 832, у = 166.


Задача 25.

Докажите, что система уравнений



не имеет решений в целых числах.

Решение.

Предположим, что система разрешима. Из второго уравнения z2=2у2+1, то есть z2 нечётноё число и z - нечётное, значит z=2m+1, m Z.

Тогда y2= 2m2+2m , значит, y2 - чётное число и у – чётное, y = 2n, n Z.

Из первого уравнения: x2=8n3+7, т. е. x2 - нечётное число и x - нечётное число, х=2k+1, k Z.

Подставим значения x и y в первое уравнение, получим

2(k2 + k – 2n3) = 3, что невозможно, так как левая часть делится на 2, а правая нет.

Значит, наше предположение неверно, т.е. система не имеет решений в целых числах.


Задача 26 (из «Арифметики» Диофанта)

Для числа 13 = 22 + 32 найти два других, сумма квадратов которых равна 13.

Решение.

Приведём решение самого Диофанта. Он полагает первое число (обозначим его через ^ А) равным х+2, а второе число B равным 2х–3, указывая, что коэффициент перед x можно взять и другой.

Решая уравнение (x + 2)2 + (2х – 3)2 = 13, Диофант находит x = 1,6, откуда А = 3,6, В = 0,2.

Воспользуемся указанием Диофанта и возьмём произвольный коэффициент перед x в выражении для В. Пусть снова А = x + 2, а В= kx – 3, тогда из уравнения (x + 2)2 + (kx – 3)2 = 13 получаем х=2(3k-2):(k2 + 1). Отсюда A=2(k2+3k–1):(k2+1), B=(3k2-4k-3):(k2+1).

Теперь становятся понятными рассуждения Диофанта. Он вводит очень удобную подстановку A=х+2, В=2х–3, которая с учётом условия 22+32=13 позволяет понизить степень квадратного уравнения. Можно было бы с тем же успехом в качестве B взять (2х+3) или ещё проще (x ± 3), но тогда получаются отрицательные значения для B, чего Диофант не допускал. Очевидно k = 2 – наименьшее натуральное число, при котором A и B положительны. И хотя Диофант приводит решение задачи в конкретных числах, чувствуется, что он владеет общим методом.


Задача 27 (из древнего китайского сборника)

Найти число, которое при делении на 3 даёт остаток 2 , при делении на 5 – остаток 3, а при делении на 7 – остаток 2.

Решение.

Рассмотрим решение этой задачи китайским математиком Сунь-цзы (III или IV вв.): «При делении на 3 остаток есть 2. Поэтому возьмём 140. При делении на 5 остаток есть 3, поэтому возьмём 63. При делении на 7 остаток есть 2, поэтому возьмём 30. Сложив их вместе, получим 233. Из этого вычтем 210 и получим ответ».

Разберём решение Сунь-цзы. Сначала он подбирает число 140, кратное 5 и 7, которое при делении на 3 даёт остаток 2. Конечно, это не наименьшее натуральное число с такими свойствами: можно было бы взять число 35. Но это не столь важно для решения задачи. Затем берётся число 63, кратное 3 и 7, дающее при делении на 5 остаток 3. Аналогично находится число 30. Очевидно, для числа 233 = 140 +63+ 30 выполняются все условия задачи, а потому они выполняются для числа вида n = 105l + 233. В свою очередь 233=2·105 + 23, поэтому все натуральные решения можно записать формулой n = 105k + 23, где k = 0, 1, … .

При k = 0 из неё получаем наименьшее натуральное решение, равное 23.



Задача 28 (из «Арифметики» Диофанта).

Найти два числа, произведение которых, сложенное с каждым из данных чисел, составит куб некоторого числа.

Решение.

Рассмотрим решение самого Диофанта. Обозначим первое число в виде произведения x на куб некоторого числа, например на 23 = 8, то есть первое число будет 8x. Положим второе число равным x2 - 1. Ясно, что одно из условий задачи будет выполнено: произведение искомых чисел, сложенное с первым, равняется кубу некоторого числа. В самом деле, проверяя это, получим:

8х· (x2 - 1) + 8х = 8x3.

Далее надо, чтобы выполнялось и другое условие, то есть, чтобы произведение искомых чисел, сложенное со вторым, равнялось также кубу некоторого числа. Для этого требуется, чтобы 8x·(x2 - 1) + x2 - 1 было кубом некоторого числа. Полагая, что куб этого числа равняется (2х –1)3, мы получим уравнение, из которого можно найти x: 8х · (x2 - 1) + x2 - 1 = (2x - 1)3, откуда:

x= 14/13, следовательно, первое число будет: 8·14/13 = 112/13, а второе число будет равно: (14/13)2 – 1= 196/169 – 1= 27/169. Проверьте, удовлетворяют ли найденные числа условию задачи.


Задача №29. После кораблекрушения.

Пять моряков высадились на остров и к вечеру собрали кучу кокосовых орехов. Дележ отложили на утро. Один из них, проснувшись ночью, пересчитал добычу, угостил одним орехом мартышку, а из остальных орехов взял себе точно 1/5 часть, после чего вновь лег спать и быстро уснул. За ночь так же поступили один за другим и остальные моряки; при этом каждый не знал о действиях своих предшественников. Наутро они поделили оставшиеся орехи поровну, но для мартышки в этот раз лишнего ореха не осталось. Сколько орехов собрали моряки?


Решение.

Обозначим искомое число орехов через х. Выражая последовательные действия моряков уравнениями, получаем x=5а + 1; 4а = 5b + 1; 4b = 5c + 1;

4c = 5d + 1; 4d = 25y + 1 (обдумайте смысл предлагаемых уравнений).

Эта система сводится к одному неопределенному уравнению

256х = 2101 + 15625у.

Быстрое решение в целых числах этого громоздкого уравнения будет приятной наградой за терпеливое ознакомление с предложенными четырьмя способами – можно выбрать из них наиболее эффективный для данной задачи. Ответ в этой задаче таков: x = 3121 – наименьшее из возможных натуральных значений х.

Замечание. В книге М. Гарднера «Математические головоломки и развлечения», в которой есть эта задача, написано, что она «принадлежит к числу наиболее часто решаемых, но наименее поддающихся решению, диофантовых головоломок». Когда эта задача в 1926 году появилась в одной газете (без решения и ответа), то 20 лет после этого не прекращался поток писем в газету либо с просьбой сообщить ответ, либо с вариантами собственных решений.


Занятие № 12

Ученые – математики, внесшие свой вклад в развитие теории диофантовых уравнений

(семинарское занятие)

План

  1. Вступительное слово учителя.

  2. Король любителей – П. Ферма.

  3. Воплощенный анализ – Л. Эйлер.

  4. Величественная пирамида – Ж. Лагранж.

  5. Король математиков – К. Гаусс.

  6. Подведение итогов.

Оборудование: компьютер, проектор, портреты ученых (слайды с портретами).

Это семинарское занятие строится аналогично занятию № 9. Семинар чаще всего используют для рассмотрения дополнительного материала, воспроизведения которого учащимися не требуется, но предлагаемые выводы, факты весьма полезны и интересны.

^ Цель проведения занятия-семинара: познакомить учащихся с историей развития теории диофантовых уравнений, с биографией великих математиков, внесших свой вклад в теорию диофантовых уравнений, показать связь данной теории с другими вопросами математики, с жизнью, практикой.

Проведение семинарских занятий активизирует процесс обучения, способствует формированию у школьников познавательных и исследовательских умений, навыков выступления перед аудиторией с самостоятельными сообщениями, учит их дискутировать, отстаивать свои суждения.

Для подготовки докладов (презентаций) по вопросам семинара учащимся можно рекомендовать литературу из списка: [3, 4, 5, 6, 8, 14, 23], а также предложить провести поиск информации в сети Интернет.


Подведение итогов курса

Завершить проведение элективного курса можно во внеурочное время, используя такую форму внеклассной работы как математическое соревнование. Условно его можно назвать «Математик- бизнесмен».

Цель соревнования:

1) проверка практических умений и навыков, сформированных у учащихся в ходе изучения курса и усвоение некоторых вопросов и теоретического характера,

2) развитие познавательного интереса учащихся к математике и ориентация их на изучение математики в профильном классе в дальнейшем.

Суть игры состоит в следующем: учащиеся делятся на две команды; каждая команда – финансово-кредитное учреждение, которое осуществляет денежные расчеты и наращивает «капитал», т.е. каждая команда – это банк. Для подготовки к соревнованиям учащимся необходимо повторить основные способы решения диофантовых уравнений, капитан команды (руководитель банка) может провести консультации для членов своей команды.

^ Задача команды: выбирая и решая предложенные задания увеличивать свой первоначальный капитал, который составляет 100 тыс. руб.

Правила игры:

  1. Каждому банку предлагается по очереди выбирать себе задание стоимостью 5000, 10000 или 15000 руб.

– если команда дает правильный ответ, то ее капитал увеличивается на стоимость задания;

– если ответ неправильный, то капитал уменьшается на:
а) 50% стоимости задания, если другой банк также не сможет ответить верно;
б) 100% стоимости задания, если другой банк дает правильный ответ, а команда, представляющая этот банк, получает прибавку к своему капиталу,
равную 100 % стоимости задания.

Победителем считается тот банк, у кого больше «денег».

Задания для игры, стоимостью от 5 до 15 тыс. руб. приведены в Приложении 3.

^ Время на проведение игры – 1 час.

При подведении итогов игры, нужно также отметить наиболее отличившихся учащихся, которые показали хороший уровень усвоения материала, были активны на занятиях курса, сделали интересные презентации.

На игру можно пригласить и родителей учащихся, которые могут в качестве зрителей внести свою лепту в копилку банка, выполняя какие-либо специально подобранные для них задания (можно и шуточные).

В завершение соревнований поблагодарить учащихся за выбор данного элективного курса и пригласить их для продолжения обучения в 10 класс физико-математического (естественно научного) профиля.


Библиографический список

  1. Алимов, Ш.А. Алгебра: Учеб. для 7 кл. общеобразоват. учреждений [Текст] / Ш. А. Алимов, Ю. М. Колягин, Ю. В. Сидоров и др. –
    М.: Просвещение, 2004.

  2. Бабинская, И. Л. Задачи математических олимпиад. [Текст] / И. Л. Бабинская – М.: Просвещение, 1975.

  3. Башмакова, И.Г. Диофант и диофантовы уравнения [Текст] / И. Г. Башмакова – М.: Наука, 1972г.

  4. Белл, Э. Т. Творцы математики: Предшественники соврем. Математики. Пособие для учителей. [Текст] / Э. Т. Белл, пер. с англ. В. Н. Тростникова, С. Н. Киро, Н. С. Киро / под ред. и с доп. С. Н. Киро. – М.: Просвещение, 1979.

  5. Болгарский Б. В. Очерки по истории математики. [Текст] / Б. В. Болгарский. – Минск, 1979.

  6. Варпаховховский Ф.П., Колмогоров А.Н. О решении десятой
    проблемы Гильберта [Текст] / Ф. П. Варпоховховский // Квант. – 1970. - №7.

  7. Груденов Я.И. Совершенствование методики работы учителя математики [Текст] / Я. И. Груденов. – М.: Просвещение, 1990г.

  8. Даан-Дальмедико, А., Пейфер, Ж. Пути и лабиринты. Очерки по истории математики [Текст] / А. Даан-Дальмедико, Ж. Пейфер, пер. с фр. – М.: Мир, 1986г.

  9. Дорофеев, Г. В. Математика. Алгебра. Функции. Анализ данных. 8 класс: Учеб. Для общеобразоват. учеб. заведений. [Текст] / Г. В. Дорофеев, С. Б. Суворова, Е. А. Бунимович, Л. В. Кузнецова, С. С. Минаева; под ред. Г. В. Дорофеева. – М.: Дрофа, 2001.

  10. Иванова, Г.А. Лекционно-семинарская система обучения. [Текст] / Г. А. Иванова // Математика в школе. – 1987. - №3. – С. 11 – 13.

  11. Каспржак, А. Г. Проблема выбора: элективные курсы в школе. [Текст] / А. Г. Каспржак. – М.: Новая школа, 2004.

  12. Колесникова, Ф. Ж. Профессиональная работа учителя математики. [Текст] / Ф. Ж. Колесникова // Математика в школе». – 1977.- №2. – С. 31-33.

  13. Кордемский, Б. А. Этому виду задач более 1600 лет. [Текст] / Б. А. Кордемский // Квант. – 1973. – №4. – С. 38 – 41.

  14. Крафт, Х. Алгебраические кривые и диофантовы уравнения [Текст] / Х. Крафт / Живые числа: сборник статей. Пер. с нем. – М.: Мир, 1986г.

  15. Макарычев, Ю. Н. Алгебра: Учеб. для 7 кл. общеобразоват. учреждений [Текст] / Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова; Под ред. С.А. Теляковского – М.: Просвещение, 1995.

  16. Математическая энциклопедия [Текст] / т.2, под ред. Виноградова И.М. М.: Советская энциклопедия, 1979г.

  17. Нудельман, А. Г. Формирование профессиональной ориентации учащихся в процессе изучения математики. [Текст] / А. Г. Нудельман // Математика в школе. – 1981. – №4. – С. 53-55.

  18. Перевощикова, Е. Н. Составление таблицы-конспекта во время
    школьной лекции. [Текст] / Е. Н. Первощикова // Математика в шк. – 1988. - №3. – С. 21 – 24.

  19. Перельман, Я.И. Занимательная алгебра. [Текст] / Я. И. Перельман – М.: Наука, 1976г.

  20. Сергеев, И.Н., Олехник, С.Н. и др. Примени математику. [Текст] / И. Н. Сергеев, С. Н. Олехник, – М.: Наука, 1989г.

  21. Фоминых, Ю.Ф. Диофантовы уравнения [Текст] / Ю. Ф. Фоминых //Математика в шк. – 1996. - №6.

  22. Чередов, М.М. Формы учебной работы в средней школе. – М.:
    Просвещение, 1988г.

  23. Шибасов, Л. П. От единицы до бесконечности. [Текст] / Л. П. Шибасов. – М.: Дрофа, 2004.

  24. Школьная энциклопедия. Математика. [Текст] / под редакцией Никольский С. М. – Москва: Издательство «Большая российская энциклопедия», 1996.

  25. Элективные ориентационные курсы и другие средства профильной ориентации в предпрофильнной подготовке школьников. Учебно-методическое пособие / Науч. ред. С. Н. Чистяков. М.: АПК и ПРО, 2003.



Приложение 1

Сборник задач


  1. Найдите все пары натуральных чисел, которые являются решениями уравнения:

а) x+ у = 11; б) 3х + 5у = 17.

  1. Учащиеся 9 класса выполняли тест, содержащий задания по алгебре и геометрии. За каждый верный ответ на алгебраический вопрос выставлялось 3 балла, а на геометрический – 4 балла. Ученик верно ответил на все вопросы теста и получил 100 баллов. Сколько в тесте было заданий по алгебре и сколько по геометрии?

  2. Ученики начальной школы на уроке математики выкладывают из палочек пятиугольники и шестиугольники. Всего в наборе 100 палочек. Сколько пятиугольников и сколько шестиугольников можно выложить, чтобы использованными оказались все палочки?

  3. На неделю учащимся 9 класса было предложено для решения два списка задач: по алгебре и по геометрии. За каждую правильно решенную задачу по алгебре выставлялось 4 балла, а по геометрии – 5 баллов. Николай за выполненную им работу получил 80 баллов. Сколько задач по алгебре и сколько по геометрии решил Николай, если известно, что в каждом списке было 15 задач?

  4. Из двух рублевых и пятирублевых монет составлена сумма в 23 рубля. Сколько среди этих монет двухрублевых?

  5. Решить уравнение на множестве целых чисел:

а) 7х + 11у = 69; в) 5х + 29у = 39;

б) 3х + 17у = 143; г) 7х + 31у = 90.

  1. Для газификации жилого дома требуется проложить газопровод длиной 150 м. Имеются трубы 13 м и 9 м длиной. Сколько требуется труб, чтобы не приходилось их разрезать при прокладке газопровода?

  2. Туристическое бюро организует поездки на автомашинах двух типов: 23-х местных автобусах и 6-ти местных автомобилях. Группа туристов состоит из 310 человек. Сколько машин того и другого типа следует выделить, чтобы не осталось свободных мест в салоне?

  3. Транспортные организации имеют в наличие машины вместимостью 3,5 т и 4,5 т. Следует перевезти груз весом 53 т. Сколько машин нужно взять для одного рейса?

  4. На 6200 рублей школой было закуплено некоторое количество шахмат и шашек, стоимостью соответственно 460 и 190 рублей. Сколько комплектов шахмат и шашек можно купить, чтобы рационально использовать эти деньги?

  5. Школа получила 1 млн. руб. на приобретение 100 единиц учебного оборудования (на всю сумму без остатка). Администрации школы предложили, оборудование стоимостью 3000, 8000 и 12000 руб. за единицу. Сколькими способами школа может закупить это оборудование? Укажите один из способов.

  6. Представьте дробь в виде цепной дроби:

а) 7/11; б) 3/8; в) 9/5; г) 17/3.

  1. Несколько лет назад были входу монеты по 3 и 5 коп. Сколькими способами можно набрать ими сумму в 10 рублей?

  2. Надо разлить 15 л жидкости в бутыли емкостью в 0,5 л и 0,8 л так, чтобы все использованные бутыли были полными. Сколько потребуется бутылей той и другой емкости?

  3. Сколько можно купить на 100 монет петухов, кур и цыплят, если всего надо купить 100 птиц, причём петух стоит 5 монет, курица – 4, а 4 цыплёнка – одну монету?

  4. Крестьянка несла на базар корзину яиц. Неосторожный всадник, обгоняя женщину, задел корзину, и все яйца разбились. Желая возместить ущерб, он спросил у крестьянки, сколько яиц было в корзине. Она ответила, что число яиц не знает, но когда она раскладывала их по 2, по 3, по 4, по 5 и по 6, то каждый раз одно яйцо оставалось лишним, а когда она разложила по 7, лишних яиц не осталось. Сколько яиц несла крестьянка на базар?



  1. Продажа кур (старинная задача).

Три сестры пошли на рынок с курами. Одна принесла для продажи 10 кур, другая – 16, третья – 26. До полудня они продали часть своих кур по одной и той же цене. После полудня, опасаясь, что не все куры будут проданы, они понизили цену и распродали оставшихся кур снова по одинаковой цене. Домой все трое вернулись с одинаковой выручкой: каждая сестра получила от продажи 35 рублей. По какой цене они продавали кур до и после полудня?

  1. Решить способом измельчения в целых числах уравнение:

а) 5х + 8у = 39; б) 7х + 11у = 43.

  1. Решить в целых числах 29х + 13у + 56z = 17.

  2. Шехерезада рассказывает свои сказки великому правителю. Всего она должна рассказать 1001 сказку. Сколько ночей потребуется Шехерезаде, чтобы рассказать все свои, если x ночей она будет рассказывать по 3 сказки, а остальные сказки по 5 за у ночей?

  3. Найти целые решения уравнения 10х + 21у = 23 каждым из изученных способов.

  4. Найти двузначное число, у которого увосьмеренное число единиц на 13 меньше утроенного числа десятков.

  5. Некоторое число экскурсантов, разместившихся поровну в 5 автобусах (каждый автобус вмещает не более 54 человек), были доставлены на вокзал. Там к ним присоединились еще 7 человек, и все экскурсанты распределились поровну в 14 вагонах. Сколько всего было экскурсантов?

  6. Решите в натуральных числах x2 - 4ху – 5y2 = 1996.

  7. Докажите, что система уравнений не имеет решений в целых числах



  1. Для числа 13 = 22 + 32 найти два других, сумма квадратов которых равна 13.

  2. Найти число, которое при делении на 3 даёт остаток 2 , при делении на 5 – остаток 3, а при делении на 7 – остаток 2.

  3. Найти два числа, произведение которых, сложенное с каждым из данных чисел, составит куб некоторого числа.

  4. После кораблекрушения.

Пять моряков высадились на остров и к вечеру собрали кучу кокосовых орехов. Дележ отложили на утро. Один из них, проснувшись ночью, пересчитал добычу, угостил одним орехом мартышку, а из остальных орехов взял себе точно 1/5 часть, после чего вновь лег спать и быстро уснул. За ночь так же поступили один за другим и остальные моряки; при этом каждый не знал о действиях своих предшественников. Наутро они поделили оставшиеся орехи поровну, но для мартышки в этот раз лишнего ореха не осталось. Сколько орехов собрали моряки?

  1. Некто купил 30 птиц за 30 монет, уплатив за каждые 3 воробья по одной монете, за каждые 2 горлицы – тоже по 1 монете, за каждого голубя – по 2. Сколько куплено птиц каждого вида?

  2. Найдите все целые числа, которые удовлетворяют уравнению

x – 2xy + 3 – 4y =0.

  1. В один год заочной школе исполнилось A лет, а ее основателю – B лет. Найдите A и B, если известно, что уравнение x2Ax + В = 0 имеет два целых корня, один из которых – куб другого.

  2. Найдите четыре таких различных целых числа, чтобы сумма любых двух из них была квадратом целого числа.

Иначе, решите систему:

x + y =a2,

x + z = b2,

x + t = c2,

y + z = d2,

y + t = e2,

z + t = f2.

Приложение 2

Темы рефератов

(для подготовки к семинарским занятиям)

  1. Теорема Пифагора и диофантовы уравнения.

  2. Пифагор, Герон, Евклид – известные древнегреческие ученые.

  3. Большая теорема Ферма.

  4. Известные диофантовы уравнения.

  5. Король любителей – П. Ферма.

  6. Воплощенный анализ – Л. Эйлер.

  7. Величественная пирамида – Ж. Лагранж.

  8. Король математиков – К. Гаусс.


Задания могут выполняться как группой учащихся, так и индивидуально.


Приложение 3


Задания для игры «Математик – бизнесмен»


Задания стоимостью 5 000 руб.

  1. Вы должны уплатить за купленный в магазине блокнот 19 руб. У вас одни лишь двухрублевки, у кассира – только пятирублевки. Можете ли вы при наличии таких денег расплатиться с кассиром и как именно?

  2. Требуется на один рубль купить 40 штук почтовых марок – копеечных, 4-копеечных, 12-копеечных. Сколько окажется марок каждого достоинства?

  3. На 500 руб. куплено 100 штук разных фруктов. Цены на них таковы: арбуз, 1 шт. – 50 руб., яблоки, 1 шт. – 10 руб., сливы, 1 шт. – 1 руб.
    Сколько фруктов каждого рода было куплено?


Задания стоимостью 10 000 руб.

  1. В классе 35 учеников. Они собрали библиотеку для младших школьников. Для этого каждый принес от 4 до 6 книг – и получилось 180 книг. Каких учеников в классе больше – тех, кто принес по 4, или тех, кто принес по 6 книг? Укажите одно из распределений учеников по количеству принесенных книг.

  2. Каждым выстрелом по мишени стрелок выбивает по 8, 9 или 10 очков. Он произвел более 11 выстрелов и выбил 100 очков. Сколько он сделал выстрелов? С каким результатом?

  3. Пятиклассник расставляет игрушечных солдатиков по 10 в шеренгу. В последней шеренге не хватило трех солдатиков. Он стал ставить в шеренгу по 12 солдатиков – 7 осталось. Затем он уложил их в коробки по 100 штук – третья коробка оказалась неполной. Сколько всего солдатиков у
    школьника?


Задания стоимостью 15 000 руб.:


  1. У школьника было 60 руб. Он решил купить несколько жевательных резинок и на 8 штук больше конфет «Чупа-чупс». В киоске он увидел, что намеренное число резинок стоит 10 руб., а конфет - 90 руб. Тогда он решил купить столько жевательных резинок, сколько рассчитывал купить конфет, а конфет – сколько резинок. Сколько он купил конфет и жевательных резинок?

  2. «Два числа, четыре действия».
    Над двумя целыми положительными числами были выполнены следующие четыре действия:

  1. их сложили,

  2. вычли из большего меньшее,

  3. перемножили,

  4. разделили большее на меньшее.

Полученные результаты сложили – составилось 243. Найти эти числа.

9. Имеются ли на прямой 13х – 5у + 96 = 0 точки с целыми координатами, не превосходящие по абсолютной величине числа 10?


Приложение 4

Конспект – заготовка лекции

Решение диофантовых уравнений ах + by = с (1) с использованием алгоритма Евклида



  1. Найти НОД (645; 381). 2. Докажем, что НОД двух чисел 4. ax + by =c (1)

есть последний отличный от нуля остаток НОД (a, b) = 1

Решение. Чтобы доказать утверждение о наибольшем общем делителе, Следовательно, найдутся

представим описанный процесс в виде следующей цепочки равенств: если a>b, то такие числа х0 и у0,, что

645 = 381·1+264. a = bq0 + r1 ax0 + by0 = 1,

r1 = r2q2 + r3 (2)

264=117·2+…. . . . . . . . . . . . . x = cx0 + bt,

117=30·…+…. rп-1 = rп qп y = cy0 – at, (3)

30=27·…+… t – любое целое число

27=3*9 +0, т. е. 27 делится на 3. Здесь r1, . . . , rn - положительные остатки, убывающие с возрастанием номера.

Значит, НОД чисел 27 и 3 равен 3, Отсутствие остатка в последнем равенстве следует из того, что натуральные

Следовательно, и НОД чисел 645 и 381 3 числа rn не могут убывать бесконечно, поэтому на некотором шаге остаток станет нулевым.

равен 3, т. е. последнему отличному Следовательно НОД (а,Ь) – это последний отличный от нуля остаток.

от нуля остатку.

^ 5. Решите уравнение на множестве целых чисел 7х + 11у = 69

Т. о., НОД (645; 381) = 3 НОД(7;11)=1, Найдем значение х0 и у0 для получения решений уравнения по формулам (3).

Данный прием разыскания НОД и есть –

Алгоритм Евклида Применим алгоритм Евклида к числам 11 и 7:



Таким образом, получаем: , следовательно х0 = –3, у0=2

3. d=Aa+Bb, 1=Aa+ Bb , если НОД (a, b)=1 Запишем общее решение уравнения на множестве целых чисел согласно формулам (3):



Придавая конкретные целые значения t, можно получить частные решения уравнения (самостоятельно).






Скачать 0,82 Mb.
оставить комментарий
страница3/3
Дата30.09.2011
Размер0,82 Mb.
ТипЭлективный курс, Образовательные материалы
Добавить документ в свой блог или на сайт

страницы: 1   2   3
отлично
  2
Ваша оценка:
Разместите кнопку на своём сайте или блоге:
rudocs.exdat.com

Загрузка...
База данных защищена авторским правом ©exdat 2000-2017
При копировании материала укажите ссылку
обратиться к администрации
Анализ
Справочники
Сценарии
Рефераты
Курсовые работы
Авторефераты
Программы
Методички
Документы
Понятия

опубликовать
Загрузка...
Документы

наверх