Элективный курс Сказки Шехерезады и уравнения Диофанта Балашов 2009 Содержание
1 чел. помогло. | скачать ^ x = 832, у = 166. Задача 25. Докажите, что система уравнений  не имеет решений в целых числах. Решение. Предположим, что система разрешима. Из второго уравнения z2=2у2+1, то есть z2 – нечётноё число и z - нечётное, значит z=2m+1, m Z. Тогда y2= 2m2+2m , значит, y2 - чётное число и у – чётное, y = 2n, n Z. Из первого уравнения: x2=8n3+7, т. е. x2 - нечётное число и x - нечётное число, х=2k+1, k Z. Подставим значения x и y в первое уравнение, получим 2(k2 + k – 2n3) = 3, что невозможно, так как левая часть делится на 2, а правая нет. Значит, наше предположение неверно, т.е. система не имеет решений в целых числах. Задача 26 (из «Арифметики» Диофанта) Для числа 13 = 22 + 32 найти два других, сумма квадратов которых равна 13. Решение. Приведём решение самого Диофанта. Он полагает первое число (обозначим его через ^ ) равным х+2, а второе число B равным 2х–3, указывая, что коэффициент перед x можно взять и другой. Решая уравнение (x + 2)2 + (2х – 3)2 = 13, Диофант находит x = 1,6, откуда А = 3,6, В = 0,2. Воспользуемся указанием Диофанта и возьмём произвольный коэффициент перед x в выражении для В. Пусть снова А = x + 2, а В= kx – 3, тогда из уравнения (x + 2)2 + (kx – 3)2 = 13 получаем х=2(3k-2):(k2 + 1). Отсюда A=2(k2+3k–1):(k2+1), B=(3k2-4k-3):(k2+1). Теперь становятся понятными рассуждения Диофанта. Он вводит очень удобную подстановку A=х+2, В=2х–3, которая с учётом условия 22+32=13 позволяет понизить степень квадратного уравнения. Можно было бы с тем же успехом в качестве B взять (2х+3) или ещё проще (x ± 3), но тогда получаются отрицательные значения для B, чего Диофант не допускал. Очевидно k = 2 – наименьшее натуральное число, при котором A и B положительны. И хотя Диофант приводит решение задачи в конкретных числах, чувствуется, что он владеет общим методом. Задача 27 (из древнего китайского сборника) Найти число, которое при делении на 3 даёт остаток 2 , при делении на 5 – остаток 3, а при делении на 7 – остаток 2. Решение. Рассмотрим решение этой задачи китайским математиком Сунь-цзы (III или IV вв.): «При делении на 3 остаток есть 2. Поэтому возьмём 140. При делении на 5 остаток есть 3, поэтому возьмём 63. При делении на 7 остаток есть 2, поэтому возьмём 30. Сложив их вместе, получим 233. Из этого вычтем 210 и получим ответ». Разберём решение Сунь-цзы. Сначала он подбирает число 140, кратное 5 и 7, которое при делении на 3 даёт остаток 2. Конечно, это не наименьшее натуральное число с такими свойствами: можно было бы взять число 35. Но это не столь важно для решения задачи. Затем берётся число 63, кратное 3 и 7, дающее при делении на 5 остаток 3. Аналогично находится число 30. Очевидно, для числа 233 = 140 +63+ 30 выполняются все условия задачи, а потому они выполняются для числа вида n = 105l + 233. В свою очередь 233=2·105 + 23, поэтому все натуральные решения можно записать формулой n = 105k + 23, где k = 0, 1, … . При k = 0 из неё получаем наименьшее натуральное решение, равное 23. Задача 28 (из «Арифметики» Диофанта). Найти два числа, произведение которых, сложенное с каждым из данных чисел, составит куб некоторого числа. Решение. Рассмотрим решение самого Диофанта. Обозначим первое число в виде произведения x на куб некоторого числа, например на 23 = 8, то есть первое число будет 8x. Положим второе число равным x2 - 1. Ясно, что одно из условий задачи будет выполнено: произведение искомых чисел, сложенное с первым, равняется кубу некоторого числа. В самом деле, проверяя это, получим: 8х· (x2 - 1) + 8х = 8x3. Далее надо, чтобы выполнялось и другое условие, то есть, чтобы произведение искомых чисел, сложенное со вторым, равнялось также кубу некоторого числа. Для этого требуется, чтобы 8x·(x2 - 1) + x2 - 1 было кубом некоторого числа. Полагая, что куб этого числа равняется (2х –1)3, мы получим уравнение, из которого можно найти x: 8х · (x2 - 1) + x2 - 1 = (2x - 1)3, откуда: x= 14/13, следовательно, первое число будет: 8·14/13 = 112/13, а второе число будет равно: (14/13)2 – 1= 196/169 – 1= 27/169. Проверьте, удовлетворяют ли найденные числа условию задачи. Задача №29. После кораблекрушения. Пять моряков высадились на остров и к вечеру собрали кучу кокосовых орехов. Дележ отложили на утро. Один из них, проснувшись ночью, пересчитал добычу, угостил одним орехом мартышку, а из остальных орехов взял себе точно 1/5 часть, после чего вновь лег спать и быстро уснул. За ночь так же поступили один за другим и остальные моряки; при этом каждый не знал о действиях своих предшественников. Наутро они поделили оставшиеся орехи поровну, но для мартышки в этот раз лишнего ореха не осталось. Сколько орехов собрали моряки? Решение. Обозначим искомое число орехов через х. Выражая последовательные действия моряков уравнениями, получаем x=5а + 1; 4а = 5b + 1; 4b = 5c + 1; 4c = 5d + 1; 4d = 25y + 1 (обдумайте смысл предлагаемых уравнений). Эта система сводится к одному неопределенному уравнению 256х = 2101 + 15625у. Быстрое решение в целых числах этого громоздкого уравнения будет приятной наградой за терпеливое ознакомление с предложенными четырьмя способами – можно выбрать из них наиболее эффективный для данной задачи. Ответ в этой задаче таков: x = 3121 – наименьшее из возможных натуральных значений х. Замечание. В книге М. Гарднера «Математические головоломки и развлечения», в которой есть эта задача, написано, что она «принадлежит к числу наиболее часто решаемых, но наименее поддающихся решению, диофантовых головоломок». Когда эта задача в 1926 году появилась в одной газете (без решения и ответа), то 20 лет после этого не прекращался поток писем в газету либо с просьбой сообщить ответ, либо с вариантами собственных решений. Занятие № 12 Ученые – математики, внесшие свой вклад в развитие теории диофантовых уравнений (семинарское занятие) План
Оборудование: компьютер, проектор, портреты ученых (слайды с портретами). Это семинарское занятие строится аналогично занятию № 9. Семинар чаще всего используют для рассмотрения дополнительного материала, воспроизведения которого учащимися не требуется, но предлагаемые выводы, факты весьма полезны и интересны. ^ занятия-семинара: познакомить учащихся с историей развития теории диофантовых уравнений, с биографией великих математиков, внесших свой вклад в теорию диофантовых уравнений, показать связь данной теории с другими вопросами математики, с жизнью, практикой. Проведение семинарских занятий активизирует процесс обучения, способствует формированию у школьников познавательных и исследовательских умений, навыков выступления перед аудиторией с самостоятельными сообщениями, учит их дискутировать, отстаивать свои суждения. Для подготовки докладов (презентаций) по вопросам семинара учащимся можно рекомендовать литературу из списка: [3, 4, 5, 6, 8, 14, 23], а также предложить провести поиск информации в сети Интернет. Подведение итогов курса Завершить проведение элективного курса можно во внеурочное время, используя такую форму внеклассной работы как математическое соревнование. Условно его можно назвать «Математик- бизнесмен». Цель соревнования: 1) проверка практических умений и навыков, сформированных у учащихся в ходе изучения курса и усвоение некоторых вопросов и теоретического характера, 2) развитие познавательного интереса учащихся к математике и ориентация их на изучение математики в профильном классе в дальнейшем. Суть игры состоит в следующем: учащиеся делятся на две команды; каждая команда – финансово-кредитное учреждение, которое осуществляет денежные расчеты и наращивает «капитал», т.е. каждая команда – это банк. Для подготовки к соревнованиям учащимся необходимо повторить основные способы решения диофантовых уравнений, капитан команды (руководитель банка) может провести консультации для членов своей команды. ^ : выбирая и решая предложенные задания увеличивать свой первоначальный капитал, который составляет 100 тыс. руб. Правила игры:
– если команда дает правильный ответ, то ее капитал увеличивается на стоимость задания; – если ответ неправильный, то капитал уменьшается на: а) 50% стоимости задания, если другой банк также не сможет ответить верно; б) 100% стоимости задания, если другой банк дает правильный ответ, а команда, представляющая этот банк, получает прибавку к своему капиталу, равную 100 % стоимости задания. Победителем считается тот банк, у кого больше «денег». Задания для игры, стоимостью от 5 до 15 тыс. руб. приведены в Приложении 3. ^ При подведении итогов игры, нужно также отметить наиболее отличившихся учащихся, которые показали хороший уровень усвоения материала, были активны на занятиях курса, сделали интересные презентации. На игру можно пригласить и родителей учащихся, которые могут в качестве зрителей внести свою лепту в копилку банка, выполняя какие-либо специально подобранные для них задания (можно и шуточные). В завершение соревнований поблагодарить учащихся за выбор данного элективного курса и пригласить их для продолжения обучения в 10 класс физико-математического (естественно научного) профиля. Библиографический список
Приложение 1 Сборник задач
а) x+ у = 11; б) 3х + 5у = 17.
а) 7х + 11у = 69; в) 5х + 29у = 39; б) 3х + 17у = 143; г) 7х + 31у = 90.
а) 7/11; б) 3/8; в) 9/5; г) 17/3.
Три сестры пошли на рынок с курами. Одна принесла для продажи 10 кур, другая – 16, третья – 26. До полудня они продали часть своих кур по одной и той же цене. После полудня, опасаясь, что не все куры будут проданы, они понизили цену и распродали оставшихся кур снова по одинаковой цене. Домой все трое вернулись с одинаковой выручкой: каждая сестра получила от продажи 35 рублей. По какой цене они продавали кур до и после полудня?
а) 5х + 8у = 39; б) 7х + 11у = 43.
Пять моряков высадились на остров и к вечеру собрали кучу кокосовых орехов. Дележ отложили на утро. Один из них, проснувшись ночью, пересчитал добычу, угостил одним орехом мартышку, а из остальных орехов взял себе точно 1/5 часть, после чего вновь лег спать и быстро уснул. За ночь так же поступили один за другим и остальные моряки; при этом каждый не знал о действиях своих предшественников. Наутро они поделили оставшиеся орехи поровну, но для мартышки в этот раз лишнего ореха не осталось. Сколько орехов собрали моряки?
x – 2xy + 3 – 4y =0.
Иначе, решите систему: x + y =a2, x + z = b2, x + t = c2, y + z = d2, y + t = e2, z + t = f2. Приложение 2 Темы рефератов (для подготовки к семинарским занятиям)
Задания могут выполняться как группой учащихся, так и индивидуально. Приложение 3 Задания для игры «Математик – бизнесмен» Задания стоимостью 5 000 руб.
Задания стоимостью 10 000 руб.
Задания стоимостью 15 000 руб.:
Полученные результаты сложили – составилось 243. Найти эти числа. 9. Имеются ли на прямой 13х – 5у + 96 = 0 точки с целыми координатами, не превосходящие по абсолютной величине числа 10? Приложение 4 Конспект – заготовка лекции Решение диофантовых уравнений ах + by = с (1) с использованием алгоритма Евклида
есть последний отличный от нуля остаток НОД (a, b) = 1 Решение. Чтобы доказать утверждение о наибольшем общем делителе, Следовательно, найдутся представим описанный процесс в виде следующей цепочки равенств: если a>b, то такие числа х0 и у0,, что 645 = 381·1+264. a = bq0 + r1 ax0 + by0 = 1, r1 = r2q2 + r3 (2) 264=117·2+…. . . . . . . . . . . . . x = cx0 + bt, 117=30·…+…. rп-1 = rп qп y = cy0 – at, (3) 30=27·…+… t – любое целое число 27=3*9 +0, т. е. 27 делится на 3. Здесь r1, . . . , rn - положительные остатки, убывающие с возрастанием номера. Значит, НОД чисел 27 и 3 равен 3, Отсутствие остатка в последнем равенстве следует из того, что натуральные Следовательно, и НОД чисел 645 и 381 3 числа rn не могут убывать бесконечно, поэтому на некотором шаге остаток станет нулевым. равен 3, т. е. последнему отличному Следовательно НОД (а,Ь) – это последний отличный от нуля остаток. от нуля остатку. ^ Т. о., НОД (645; 381) = 3 НОД(7;11)=1, Найдем значение х0 и у0 для получения решений уравнения по формулам (3). Данный прием разыскания НОД и есть – Алгоритм Евклида Применим алгоритм Евклида к числам 11 и 7:   Таким образом, получаем:  , следовательно х0 = –3, у0=23. d=Aa+Bb, 1=Aa+ Bb , если НОД (a, b)=1 Запишем общее решение уравнения на множестве целых чисел согласно формулам (3):  Придавая конкретные целые значения t, можно получить частные решения уравнения (самостоятельно).
|
отлично
2 Разместите кнопку на своём сайте или блоге: