План урока. Учитель : Андрей Александрович Потапов, гоу сош №17 Василеостровского района Санкт-Петербурга Предмет

скачать План урока. Учитель: Андрей Александрович Потапов, ГОУ СОШ №17 Василеостровского района Санкт-Петербурга Предмет: алгебра и начала анализа Тип урока: урок объяснения нового материала Тема: «Тригонометрическая форма комплексного числа» Класс: 11 Дата: 25.02.2010 г. Цели урока: - образовательные: ознакомить учащихся с новой формой представления комплексного числа; сформировать первичные умения и навыки решения задач по теме - развивающие: способствовать развитию интереса учащихся к математике, к теме «Комплексные числа»; способствовать развитию кругозора, логического мышления, интеллектуальных умений, умения вести диалог, грамотно обосновывать свою точку зрения у учащихся -воспитательные: сформировать положительный микроклимат на уроке; способствовать развитию внимательности, аккуратности, наблюдательности, критичности у учащихся Оборудование: маркерная и меловая доски, маркер, иллюстрации, магниты, карточки для рефлексии Ход урока (30 мин): Организационный момент (1 мин) Актуализация знаний (лекция; фронтальный опрос) (10 мин) Объяснение нового материала (совместная деятельность учителя и учащихся) (10 мин) Первичное закрепление нового материала (совместная деятельность учителя и учащихся) (5 мин) Постановка домашнего задания (условие заранее выдано учащимся на листах) (1 мин) Подведение итогов урока, рефлексия (3 мин) Приветствую учащихся. Поговорим немного о числах. Первоначально «число» характеризовало количество предметов в каком-либо их наборе и служило для счета. Эти числа назвали натуральными числами: 1, 2, 3, … . Эти числа можно складывать и умножать. Но вот вычитать и делить натуральные числа можно не всегда, например, 3-5 или 3:8. Стремление сделать операции вычитания и деления всегда выполнимыми привело к появлению отрицательных и дробных чисел, тем самым расширив понятие «число» до понятий «целых» и «рациональных» чисел. После того как в Древней Греции была доказана иррациональность числа , т.е. невозможность решить уравнение x2 = 2, имея в своем распоряжении только рациональные числа, человечество вновь столкнулось с необходимостью расширить свой числовой запас. Так появилось множество действительных (или вещественных) чисел как множество всех рациональных и иррациональных чисел. В дальнейшем стремление сделать выполнимой операцию извлечения корня из любого действительного (в том числе и отрицательного) числа, привело к понятию комплексного числа вида: z = a + bi, где i =  - «мнимая единица» - корень квадратного уравнения: x2 + 1 = 0. Известный советский детский писатель С. Маршак с шуточным ужасом писал о школьнике, у которого в задаче: «… и вышло у меня в ответе два землекопа и две трети» Можно представить себе, как бы он ужаснулся ответу: «2 + 3i», увидев мнимых землекопов. Введение комплексных чисел позволило выполнять любые действия с ними. Оказалось также, что на множестве комплексных чисел любое алгебраическое уравнение имеет решение! Это утверждение называется основной теоремой алгебры. Особенно плодотворным оказалось применение комплексных чисел в задачах, возникающих в естествознании: теории электромагнитного поля, теории электрических цепей, гидро- и аэромеханике (учении о движении жидкостей и газов), квантовой механике, теории механических колебаний и др. Введение комплексных величин («мнимых землекопов») на промежуточной стадии решения задачи, между ее формулировкой и нахождением ответа, оказывается часто весьма полезным и в других областях естествознания. Когда-то великий К.Ф. Гаусс сказал: «Математика – это царица наук». Но эти примеры показывают, что математика занимает в мире совсем иное место, куда более почетное, она – служанка многих наук, она доставляет им тот необходимый аппарат, с помощью которого последние могут описывать процессы, факты и явления. Недаром Ландау называл математику «сверхъестественной наукой». На этом уроке мы продолжим изучать тему «Комплексные числа», повторим уже известные вам основные факты, познакомимся с новым понятием, а также решим ряд практических заданий по новой теме, что будет полезно при изучении дальнейшего материала. Сейчас давайте вспомним основные факты, которые нам понадобятся при изучении новой темы: (после некоторых ответов учащийся у доски сбоку открывает карточку) - Напомню, что комплексным числом называется выражение вида z=a+bi, где a и b – действительные числа, i2=-1 – лист №1 - Как называется число а и как называется число b? (действительная и мнимая части комплексного числа) - Как изображается комплексное число на плоскости? (точкой или радиус-вектором) - Верно ли, что одной и той же точкой на плоскости могут изображаться 2 различных комплексных числа? (нет) - Как называется расстояние от точки, изображающей комплексное число до начала координат? (модуль) - Чему равен модуль комплексного числа? (квадратному корню из суммы квадратов действительной и мнимой части) - Раскройте смысл понятия «аргумент комплексного числа» (угол между положительным направлением оси абсцисс и радиус-вектором точки) – лист №2 - Чему равен тангенс аргумента? (отношению мнимой части комплексного числа к его действительной части) - Всегда ли это отношение определено? Если нет, приведите пример (нет; z=5i) - Верно ли, что любое действительное число является комплексным? Почему? (да; 5 = 5 + 0i) - Верно ли, что любое комплексное число является действительным? (нет) Тема нашего урока: «Тригонометрическая форма комплексного числа». Изобразим следующий чертеж у себя в тетрадях: Учащийся у доски, остальные в тетрадях, учитель направляет ход рассуждений: Запишем комплексное число z в алгебраической форме: z = а + bi. Выразим a и b через r и : ∆ОСD – прямоугольный  а = rcos, b = rsin. Подставим полученные равенства в алгебраическую запись комплексного числа: z = rcos + rsini = r( cos + isin) – тригонометрическая запись комплексного числа. Данная запись подразумевает указание комплексного числа по модулю и аргументу, поэтому можно было бы записать, например, короче: z = (r; ), где z≥0,  [0; 2π]. Но традиционно используется приведенная нами форма записи. При геометрической интерпретации комплексных чисел можно наглядно изобразить сложение и вычитание. Сложение, например, производится аналогично векторам, согласно правилу параллелограмма. Посмотрим на рисунке: – лист №3 При тригонометрической же записи комплексных чисел можно наглядно увидеть действия умножения, деления комплексных чисел и другие. Рассмотрим умножение двух комплексных чисел в тригонометрической форме: z1  z2 = r1( cos1 + isin1)  r2( cos2 + isin2) = r1 r2( cos1 cos2 + cos1 isin2 + isin1cos2 + i2 sin1sin2) = r1 r2( cos1 cos2 - sin1sin2 + i(cos1 sin2 + sin1cos2)) = r1 r2( cos(1+2) + isin(1 + 2)). Таким образом, при умножении двух комплексных чисел их модули умножаются, а аргументы складываются. Увидим это на чертеже: – лист №4 Теперь мы с вами решим вместе несколько заданий по новой теме. Итак. 1). Записать комплексное число в тригонометрической форме: z = 2 + 2i (точка в 1-й четверти; r =2; tg = 1;  =   с = 2(cos + isin)) – учитель у доски, учащиеся комментируют, отвечают на вопросы с места; 2). Найти произведение комплексных чисел z1  z2, где z1 = (cos + isin), z2 =2(cos + isin) Постановка домашнего задания (заранее выдано на листах): Вывести формулу для деления двух комплексных чисел в тригонометрической форме Записать комплексные числа в тригонометрической форме: z = -3 + 3i; z = i – 1; z = -2i Найти произведение комплексных чисел z1  z2, где z1 = (cos + isin), z2 =3(cos + isin) Вычислить: z2, где z = 2(cos  + isin ) Потом прошу учащихся на розданных смайликах написать 1 существительное, 1 прилагательное, 1 глагол и 1 слово с «!» на конце, которые отражают их настроение после урока. Подвожу итоги урока, говорю, что удалось, что нет и почему. Прощаюсь с учащимися. Скачать 61,65 Kb. оставить комментарий Дата 30.09.2011 Размер 61,65 Kb. Тип План урока, Образовательные материалы