Задача Коши для уравнений и систем уравнений с частными производными произвольного порядка icon

Задача Коши для уравнений и систем уравнений с частными производными произвольного порядка


Смотрите также:
Уравнения первого порядка...
Решение обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений в частных производных в химии и...
1 лекция. Уравнения с частными производными первого порядка...
Характеристические граничные задачи для линейных уравнений высокого порядка со старшими частными...
Задача для системы обыкновенных дифференциальных уравнений (оду)...
Лекция №1 Тема : Классификация дифференциальных уравнений с частными производными...
Рабочая программа учебной дисциплины "математическое моделирование" Цикл...
Задача Коши
Программа дисциплины дпп. Ф. 05 Дифференциальные уравнения и уравнения с частными производными...
Программа составлена доктором физ мат наук Поповой С. Н...
Разработка интегратора для решения систем дифференциальных уравнений в рамках концепции...
При необходимости более детального просмотра увеличьте масштаб документа!...



Загрузка...
скачать



МЕТОДЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ


Кафедра дифференциальных уравнений и математической физики

Факультет физико-математических и естественных наук

Обязательный курс

Объем учебной нагрузки: 68 час. - лекции, 68 час. – семинары.


Цель курса: Курс лекций посвящен изложению методов теории дифференциальных уравнений с частными производными. Рассмотрены фрагменты теории обобщенных функций, применяемые при математическом моделировании физических процессов. На основе анализа интегральных операторов, возникающих в теории дифференциальных уравнений, развиваются основные понятия теории операторов в бесконечномерных пространствах.




^

Содержание курса :


Тема 1. Вывод основных уравнений курса математической физики. Постановка начальных и граничных условий для уравнений математической физики.

Вывод уравнения теплопроводности. Поперечные колебания нагруженной струны, мембраны. Вывод уравнения Даламбера. О постановке краевых задач математической физики, роль начальных и граничных условий. Уравнение Лапласа как стационарный случай рассмотренных задач.

Тема 2. Классификация линейных и квазилинейных уравнений второго порядка.

Классификация квазилинейных уравнений второго порядка в точке. Характеристические поверхности (характеристики) для уравнения второго порядка. Канонический вид уравнений с двумя независимыми переменными (классификация в окрестности). Гиперболический, параболический и эллиптический типы.

Тема 3. Задача Коши для уравнений и систем уравнений с частными производными произвольного порядка.

Задача Коши для систем уравнений произвольного порядка. Определение нормальной системы. Теорема Ковалевской для системы нормального типа (без доказательства). Пример к теореме Ковалевской без условия нормальности. Задача Коши с начальными данными на произвольной гиперповерхности. Возможность ее сведения к задаче Коши с начальными данными на гиперплоскости. Характеристики и характеристические направления для дифференциального уравнения произвольного порядка. Особенности постановки задачи Коши с данными на характеристиках. Примеры.

Тема 4. Преобразование Фурье в пространствах интегрируемых функций и пространстве Шварца. Применение преобразования Фурье для решения уравнения теплопроводности.

Ряды Фурье. Основные определения. Преобразование Фурье, прямое и обратное. Пространство Шварца. Примеры. Основные свойства пространства Шварца. Преобразование Фурье пространства Шварца. Определение преобразования Лапласа. Основная лемма для преобразования Фурье в пространстве Шварца. Преобразование Фурье на пространствах интегрируемых функций.

Решение задачи Коши для уравнения теплопроводности методом преобразования Фурье с начальными данными из пространства Шварца.

Тема 5. Элементы теории обобщенных функций.

Понятие обобщенной функции. Определение функционала Дирака. Пространство основных функций и пространство обобщенных функций. Определение пространства обобщенных функций умеренного роста. Преобразование Фурье обобщенных функций медленного роста. Свертка функций из пространства Шварца и пространства непрерывных ограниченных функций. Теорема о свертке.

Тема 6. Задача Коши для уравнения теплопроводности.

Применение теоремы о свертке к решению задачи Коши для уравнения теплопроводности. Вычисление ядра Пуассона. Свойства ядра Пуассона. Решение задачи Коши для уравнения теплопроводности с непрерывной ограниченной начальной функцией. Задача Коши для неоднородного уравнения теплопроводности. Принцип Дюамеля. Принцип максимума для решения уравнения теплопроводности.

Тема 7. Задача Коши для волнового уравнения в пространствах различной размерности.

Вывод энергетического неравенства для волнового уравнения. Теорема единственности задачи Коши и непрерывная зависимость от начальных данных. Решение задачи Коши для волнового уравнения при начальных данных из пространства Шварца. Дельта-функция Дирака, сосредоточенная на сфере. Преобразование Фурье этой функции. Теорема о свертке обобщенной с компактным носителем и функции из пространства Шварца.

Вывод формулы Кирхгофа для решения для решения задачи Коши для волнового уравнения в пространстве. Вывод формулы Пуассона для решения задачи Коши для волнового уравнения на плоскости. Метод спуска. Формула Даламбера. Решение задачи Коши для неоднородного волнового уравнения. Фундаментальное решение (функция Грина) задачи Коши волнового уравнения.

Тема 8. Метод Фурье (разделение переменных) для уравнений математической физики (формальная схема). Пример обоснования метода Фурье.

Метод Фурье для смешанной задачи для волнового однородного уравнения (формальная схема). Метод Фурье для смешанной задачи для волнового неоднородного уравнения (формальная схема). Метод Фурье для смешанной задачи для параболического уравнения (формальная схема). Метод Фурье для смешанной задачи для эллиптического уравнения (формальная схема).

Обоснование метода Фурье для смешанной задачи для однородного волнового уравнения с однородными граничными условиями.

Тема 9. Функциональные пространства. Линейные операторы в бесконечномерных пространствах.

Пространство непрерывных функций на компакте. Пространство квадратично интегрируемых функций. Банаховы и гильбертовы пространства. Ортонормальные системы. Неравенство Бесселя. Полные ортонормальные системы.

Линейные операторы в пространстве квадратично интегрируемых

функций. Эрмитовы операторы. Линейные уравнения. Интегральные операторы в различных функциональных пространствах.

Тема 10. Теорема Гильберта-Шмидта для интегральных операторов Фредгольма.

Метод последовательных приближений для интегральных уравнений Фредгольма второго рода с непрерывным и полярным ядром в областях пространства и на поверхностях. Теоремы Фредгольма для интегральных уравнений с непрерывным и полярным ядром.

Теорема Гильберта-Шмидта для эрмитова непрерывного и полярного ядра. Метод последовательных приближений Келлога.

Тема 11. Собственные значения и собственные функции краевой задачи для эллиптического уравнения второго порядка.

Задача на собственные значения эллиптического оператора. Свойства оператора, свойства собственных значений и собственных функций. Задача Штурма-Лиувилля на ограниченном отрезке. Свойства собственных функций и собственных значений. Свойства функции Грина задачи Штурма-Лиувилля.

Тема 12. Свойства гармонических функций в пространствах произвольной размерности.

Первая и вторая формулы Грина. Формула Грина для финитной гладкой функции. Теорема о среднем арифметическом для гармонических функций. Принцип максимума для гармонических функций. Стирание особенностей у гармонических функций. Поведение гармонической функции и её производных на бесконечности. Фундаментальные решения оператора Лапласа на плоскости и в пространстве.

Тема 13. Потенциалы простого слоя, двойного слоя. Объёмный потенциал.

Свертка обобщенных функций. Прямое произведение обобщенных функций. Обобщенные функции простого и двойного слоя. Ньютонов потенциал, логарифмический потенциал. Объемный потенциал и потенциал площади. Поверхностные потенциалы простого и двойного слоя. Физический смысл потенциала Ньютона. Поверхности Ляпунова. Свойства потенциалов простого и двойного слоя на поверхности. Разрыв потенциала двойного слоя и нормальной производной потенциала простого слоя.

Тема 14. Решение задач Дирихле и Неймана для уравнений Лапласа и Пуассона в пространстве.

Краевые задачи для уравнений Лапласа и Пуассона в пространстве. Теорема единственности. Сведение краевых задач к интегральным уравнениям на поверхностях. Исследование интегральных уравнений. Свойства собственных функций и собственных значений интегральных операторов. Решение задач Дирихле и Неймана для шара.


Литература


Обязательная

1.Масленникова В.Н. Дифференциальные уравнения в частных производных. М., Изд. РУДН, 1997.

2.Владимиров В.С. Уравнения математической физики. М. ,Наука, 1988.

3.Владимиров В.С., Михайлов В.П., Вашарин А.А. и др. Сборник задач по уравнениям математической физики. М., Наука, 1982.

4.Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. М., Наука, 1972.

5.Шварц Л. Математические методы для физических наук. М. ,Мир, 1965.

Дополнительная


1.Краснослободцев А.В. Примеры и задачи по уравнениям математической физики. Часть 1. М., Изд. РУДН, 2000.

2.Краснослободцев А.В. Примеры и задачи по уравнениям математической физики. Часть 2. М., Изд. РУДН, 2000.

3.Полянин А.Д. Справочник. Линейные уравнения математической физики. М., Наука,2001.


Программа составлена

Краснослободцевым А.В.,

к.ф.-м.н., доцентом кафедры дифференциальных уравнений и математической физики факультета физико-математических и естественных наук.


Ведущий дисциплину Краснослободцев А.В.

Зав. кафедрой Скубачевский А.Л.




Скачать 59,72 Kb.
оставить комментарий
Дата30.09.2011
Размер59,72 Kb.
ТипЗадача, Образовательные материалы
Добавить документ в свой блог или на сайт

Ваша оценка этого документа будет первой.
Ваша оценка:
Разместите кнопку на своём сайте или блоге:
rudocs.exdat.com

Загрузка...
База данных защищена авторским правом ©exdat 2000-2017
При копировании материала укажите ссылку
обратиться к администрации
Анализ
Справочники
Сценарии
Рефераты
Курсовые работы
Авторефераты
Программы
Методички
Документы
Понятия

опубликовать
Загрузка...
Документы

Рейтинг@Mail.ru
наверх