Программа по дисциплине уравнения математической физики
| скачать УЧЕБНАЯ ПРОГРАММА ПО ДИСЦИПЛИНЕ УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ Крюковский А.С. Для очной формы обучения ВСЕГО 100 лекции 31 семинары 20 Всего аудиторных занятий 51 самостоятельная работа 49 Требования ГОС к обязательному минимуму содержания основной образовательной программы: Введение. Уравнения Лапласа; интегральные уравнения; теория потенциала; задача Штурма-Лиувилля; сферические функции; пространство Соболева; вариационное исчисление; решение краевых задач. Целью изучения дисциплины является необходимость дать студентам научное представление об основных уравнениях математической физики. Знание материала учебной дисциплины «уравнения математической физики». ^ для успешного освоения дисциплины «уравнения математической физики» необходимо предварительное изучение курса «Дифференциальные уравнения. ^
Основные виды занятий: лекции и семинары. Основные виды текущего контроля занятий: коллоквиумы. Основной вид рубежного контроля знаний: контрольная работа, экзамен. ^ Введение Основные уравнения математической физики: вывод уравнений и постановка краевых задач: задачи о малых колебаниях струны (случаи закрепленных и свободных концов), упругого стержня, мембраны, задачи о распространении тепла, о диффузии, неразрывности. Классификация уравнений второго порядка. ^ Интегральные уравнения: классификация, ядро интегрального оператора, характеристические числа и собственные функции, сопряженные уравнения. Эрмитовы ядра интегральных уравнений. ^ Альтернатива Фредгольма. Уравнения Фредгольма I и II рода. Решение уравнения Фредгольма II рода методом возмущений. Повторные ядра. Резольвента. Решение уравнения Фредгольма II рода методом резольвент. Решение уравнения Фредгольма II рода с вырожденным ядром. ^ Уравнения Вольтерра I и II рода. Решение уравнения Вольтерра II рода с разностным ядром, сведение уравнения Вольтерра II рода с разностным ядром рода к задаче Коши для обыкновенного дифференциального уравнения. Решение уравнения Вольтерра II рода методом возмущений. Решение уравнения Вольтерра II рода с помощью резольвент. Резольвенты некоторых интегральных уравнений Вольтерра. Интегральное уравнение Абеля. ^ Пространство Соболева. Обобщенные функции Понятие обобщенных функций, пространство Соболева. Дифференцирование, прямое произведение и свертка обобщенных функций. Преобразование Фурье и преобразование Лапласа обобщенных функций. Операционное исчисление. Фундаментальные решения линейных дифференциальных операторов. ^ Основные понятия Задачи Штурма–Лиувилля. Нахождение собственных значений и собственных функций оператора Штурма–Лиувилля. Определение функции Грина для оператора Штурма–Лиувилля. Решение краевой задачи с оператором Штурма–Лиувилля с помощью функции Грина в случае, когда собственные значения оператора не равны нулю. Сведение краевой задачи с оператором Штурма–Лиувилля к интегральному уравнению. ^ Основные понятия теории дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка. Метод суперпозиции при решении дифференциальных уравнений в частных производных. Решение линейных дифференциальных уравнений первого порядка в частных производных методом разделения переменных. Полные интегралы дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка. Сведение дифференциального уравнения в частных производных первого порядка к системе обыкновенных дифференциальных уравнений. Линейное однородное дифференциальное уравнение в частных производных первого порядка. Квазилинейное дифференциальное уравнение в частных производных первого порядка. Решение дифференциальных уравнений первого порядка вида:  ,  ,  ,  ,  .Тема 7. Дифференциальные уравнения в частных производных второго порядка Классификация линейных дифференциальных уравнения в частных производных второго порядка. Уравнения характеристик для дифференциальных уравнения в частных производных второго порядка, линейных относительно старших производных. Приведение дифференциального уравнения в частных производных второго порядка, линейного относительно старших производных, к канонической форме. ^ Решение уравнения Лапласа и Пуассона методом разделения переменных (двумерный случай). Решение внутренней краевой задачи Дирихле для уравнения Лапласа на плоскости в круге радиуса R. Решение внешней краевой задачи Дирихле для уравнения Лапласа на плоскости относительно круга радиуса R. Решение краевой задачи Дирихле в кольце для уравнения Лапласа. Решение уравнения Лапласа методом разделения переменных (трехмерный случай). Решение внутренней краевой задачи Дирихле для уравнения Лапласа в шаре радиуса R. Решение внешней краевой задачи Дирихле для уравнения Лапласа относительно шара радиуса R. Решение краевой задачи Дирихле в сферическом слое для уравнения Лапласа. ^ Сферические (шаровые) функции. Полиномы Лежандра, сферические функции Лежандра. Производящая функция для полиномов Лежандра, рекуррентные формулы, задача Штурма–Лиувилля, связанная с полиномами Лежандра. Вычисление нормы для полиномов Лежандра. ^ Решение задачи Коши для дифференциального уравнения второго порядка гиперболического типа, формула Даламбера. Решение задачи Коши для дифференциального уравнения второго порядка параболического типа, формула Пуассона. Тема 11. Теория потенциала Ньютонов (объёмный) потенциал и логарифмический потенциал (потенциал площади) как решения уравнений Пуассона. Потенциалы (логарифмические) простого и двойного слоя. ^ Решение смешанной задачи для дифференциального уравнения второго порядка гиперболического типа. Метод Фурье (метод разделения переменных). Задача о свободных колебаниях круглой мембраны, закрепленной на краю. Функция Бесселя. Решение смешанной задачи для дифференциального уравнения второго порядка параболического типа. Метод Фурье (метод разделения переменных). ^ Основные понятия вариационного исчисления: постановка задачи, уравнение Эйлера-Лагранжа. Решение вариационной задачи с закрепленными концами. Решение вариационной задачи с одним свободным концом. Решение вариационной задачи без ограничений (с двумя свободными концами). Теория Гамильтона–Якоби. Оптимальное управление. Основные понятия. Принцип максимума Понтрягина. ЛИТЕРАТУРА Основная:
Дополнительная:
|
Ваша оценка этого документа будет первой.
Ваша оценка: Разместите кнопку на своём сайте или блоге: