Программа дисциплины Уравнения в частных производных для направления 010100. 62 «Математика»

Государственный университет – Высшая школа экономики Программа дисциплины Уравнения в частных производных для направления 010100.62 «Математика» подготовки бакалавра

• 
  ГОС ВПО;
  
• 
  Образовательной программой 010100.62 «Математика» подготовки бакалавра.
  
• 
  Рабочим учебным планом университета по направлению 010100.62 «Математика» подготовки бакалавра, специализации Математика, утвержденным в 2010 г.
  
  
  

• 
  ознакомление с методами теории уравнений с частными производными, освоение основных понятий и результатов теории уравнений с частными производными, умение решать различные конкретные задачи, в том числе задачи математической физики, связанные с уравнениями с частными производными, подготовка к курсу квантовой механики,
  
• 
  понимание мотивирующих примеров для многих результатов и конструкций анализа.
  

• 
  Знать основные определения и теоремы, относящиеся к теории уравнений с частными производными.
  
• 
  Уметь находить характеристики для УрЧП, область единственности аналитического решения задачи Коши, пользоваться методом Фурье для решения гиперболических и параболических уравнений, находить фундаментальные решения и функции Грина дифференциальных операторов.
  
• 
  Иметь навыки использования идей и методов теории уравнений с частными производными в других областях математики, а также в математических задачах, связанных с электродинамикой, теорией сплошных сред, квантовой механикой.
  

Раздел 1. Задача Коши. Корректность.

1. 
   Уравнения математической физики: вывод уравнений колебаний струны, теплопроводности, Лапласа; постановка краевых задач, их физическая интерпретация.. (4 лекции, 4 семинара).
   
2. 
   Задача Коши. Метод мажорант. Теорема Коши–Ковалевской. Корректность краевых задач. Пример Адамара. (4 лекции, 4 семинара)
   

Методы проведения семинаров: решение и разбор задач.

^ Раздел 2. Гиперболические уравнения.

1. 
   Волновое уравнение; энергетические неравенства; единственность решения задачи Коши и смешанной задачи; вывод формул Кирхгофа и Пуассона, исследование этих формул.. (8 лекций, 8 семинаров)
   
2. 
   Метод Фурье для уравнения колебаний струны, общая схема метода Фурье. (6 лекций, 6 семинаров)
   

Методы проведения семинаров: решение и разбор задач.

^ Раздел 3. Эллиптические уравнения.

1. 
   Уравнения Лапласа и Пуассона; формулы Грина; фундаментальное решение оператора Лапласа; потенциалы; свойства гармонических функций; единственность решений основных краевых задач для уравнения Лапласа (5 лекций, 7 семинаров)
   
2. 
   функция Грина задачи Дирихле; решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа в шаре; единственность решения внешней задачи Дирихле; обобщенные решения краевых задач. (5 лекций, 7 семинаров)
   

Методы проведения семинаров: решение и разбор задач.

^ Раздел 4. Параболические уравнения.

1. 
   Уравнение теплопроводности; принцип максимума в ограниченной области и единственность решения задачи Коши; построение решения задачи Коши для уравнения теплопроводности. Сглаживающие свойства ядра теплопроводности. (6 лекций, 10 семинаров).
   

Методы проведения семинаров: решение и разбор задач.

9.1Тематика заданий текущего контроля

1. 
   Вывести уравнение малых колебаний мембраны.
   
2. 
   Исследовать задачу Коши на корректность.
   
3. 
   Найти формальное решение данной аналитической задачи Коши.
   
4. 
   Найти мажоранту для данного степенного ряда.
   
5. 
   Оценить область сходимости степенного ряда.
   
6. 
   Найти решение данной задачи Коши для волнового уравнения.
   
7. 
   Найти решение смешанной краевой задачи для гиперболического квазилинейного уравнения второго порядка.
   
8. 
   Решить смешанную задачу методом Фурье.
   
9. 
   Найти собственные функции и собственные значения данного линейного дифференциального оператора.
   
10. 
    Найти фундаментальное решение для данного дифференциального оператора при помощи преобразования Фурье.
    
11. 
    Найти функцию Грина для задачи Дирихле в данной области.
    
12. 
    Решить данную задачу Коши уравнения теплопроводности.
    

12Материально-техническое обеспечение дисциплины

Скачать 105,1 Kb.

оставить комментарий