Непрерывная зависимость решения от начальных условий icon

Непрерывная зависимость решения от начальных условий


Смотрите также:
Непрерывная зависимость решения от начальных условий...
Должностная инструкция «Учитель начальных классов» I...
Должностная инструкция учителя начальных классов I. Общие требования к учителю начальных классов...
Должностная инструкция учителя начальных классов I...
Problems of studying of northern labyrinthes...
Программа составлена кандидатом физ мат наук Петровым Н. Н. Положительный базис...
«экономическая зависимость»...
Лабораторная работа 2...
Лабораторная работа 1...
Уроках в начальных...
Отчет о деятельности учителей начальных классов...
Е. В. Шелестюк Зависимость смыслового восприятия и речевого воздействия от уровня языковой...



Загрузка...
скачать


Содержание программы

3 семестр

Уравнения, неразрешенные относительно производной. Теорема существования и единственности решения, следствие. Дискриминантная кривая, особое решение дифференциального уравнения, неразрешенного относительно производной. Методы решения уравнений, неразрешенных относительно производной: разрешение относительно производной, метод введения параметра. Уравнения Лагранжа и Клеро.

Уравнения, допускающие понижение порядка. Промежуточные интегралы. Уравнения, не содержащие явно искомую функцию или независимое переменное. Понижение порядка в однородных уравнениях. Приведение к полной производной.

^ Непродолжаемые решения. Предложение о существовании непродолжаемого решения. Предложение о выходе непродолжаемого решения за границу ограниченного замкнутого множества, следствие для автономной системы. Пример.

^ Непрерывная зависимость решения от начальных условий и правой части уравнения. Теорема о непрерывной зависимости решения от правой части уравнения. Следствие о непрерывной зависимости решений от начальных условий. Теорема о непрерывной зависимости решения от параметра.

^ Дифференцируемость решения по параметру. Теорема о дифференцируемости решения по параметру, система уравнений в вариациях. Следствие о дифференцируемости решения по начальным значениям, система уравнений в вариациях. Теорема о дифференцируемости по параметру высоких порядков, следствие о разложении решения по степеням малого параметра.

^ Автономные системы дифференциальных уравнений и их фазовые пространства. Понятие автономной системы и нормальной автономной системы. Кинематическая интерпретация решения автономной системы. Совпадение двух траекторий. Положения равновесия и замкнутые кривые.

Фазовые пространства. Фазовые траектории. Критерий положения равновесия. Связь геометрической и кинематической интерпретаций решений нормальной системы.

Фазовая плоскость линейной однородной системы второго порядка с постоянными коэффициентами. Невырожденный случай. Вырожденный случай. Нулевые собственные значения. Система уравнений «Хищник-жертва».

^ Первые интегралы. Критерий первого интеграла. Функциональная независимость первых интегралов в области, ее связь с линейной независимостью. Теорема о существовании n независимых первых интегралов. Теорема о получении решения с помощью первых интегралов. Теорема о выражении любого первого интеграла через систему n независимых первых интегралов. Первые интегралы автономных систем, теорема о существовании n-1 независимого первого интеграла, не содержащего t.

^ Теория устойчивости: Устойчивость решения по Ляпунову, асимптотическая устойчивость по Ляпунову, связь этих понятий. Переход от исследования устойчивости произвольного решения к исследованию устойчивости нулевого решения. Достаточное условие устойчивости для линейной однородной системы с постоянными коэффициентами. Исследование устойчивости с помощью функций Ляпунова. Производная функции в силу системы уравнений. Теорема Ляпунова об устойчивости. Теорема Ляпунова об асимптотической устойчивости. Примеры. Теорема Четаева о неустойчивости. Пример. Теорема об устойчивости по первому приближению. Пример.

^ Уравнения в частных производных первого порядка: Линейные однородные уравнения первого порядка. Выражение решения через первые интегралы. Квазилинейные уравнения, характеристики. Задача Коши для квазилинейного уравнения. Теорема существования и единственности решения задачи Коши для квазилинейного уравнения в случае двух независимых переменных. Геометрический смысл условия существования и единственности.

Список рекомендуемой литературы

  1. Бибиков Ю.Н., Курс обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Высшая школа, 1991. 303с. (в наличии в библиотеке ЧелГУ)

  2. Краснов М.Л., Киселев Л.И., Макаренко Г.И., Обыкновенные дифференциальные уравнения: Задачи и примеры. М.: КомКнига, 2005. 256с.

  3. Петровский И.Г., Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: УРСС, 2003. 272с.

  4. Понтрягин Л.С., Обыкновенные дифференциальные уравнения. РХД, Москва, Ижевск, 2001. 400с. (в наличии в библиотеке ЧелГУ)

  5. Степанов В.В., Курс дифференциальных уравнений. М.: КомКнига/URSS, 2006. 472с. (в наличии в библиотеке ЧелГУ)

  6. Тихонов А.Н., Васильева А.Б., Свешников А.Г., Дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1985. 231с. (в наличии в библиотеке ЧелГУ)

  7. Филиппов А.Ф.. Введение в теорию дифференциальных уравнений. М.: КомКнига, 2007. 240с.

  8. Филиппов А.Ф., Сборник задач по дифференциальным уравнениям. РХД, Москва, Ижевск, 2000. 175с. (в наличии в библиотеке ЧелГУ)

  9. Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения. М.: КомКнига, 2006. 312с. (в наличии в библиотеке ЧелГУ)
^

Список дополнительной литературы


  1. Алеева С.Р., Белов Е.Г., Рольщиков В.Е., Ухоботов В.И., Методические указания к выполнению курсовых работ по дифференциальным уравнениям 2004. (электронный вариант на сайте кафедры).

  2. Арнольд В.И., Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1984. 240с. (в наличии в библиотеке ЧелГУ)

  3. Дмитриев В.И., Лекции по обыкновенным дифференциальным уравнениям. М.: КДУ, 2007. 220с.

  4. Зайцев В.Ф., Полянин А.Д., Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001. 576с.

  5. Камке Э., Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. М.: Наука, 1971. 576с.

  6. Матвеев Н.М., Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений. Мн.: Высшая школа, 1974. 656с. (в наличии в библиотеке ЧелГУ)



^

Рабочая программа



Темы лекционных занятий (3 семестр)

^
Кол-во часов

1

Уравнения, неразрешенные относительно производной

1

2

Уравнения, допускающие понижение порядка.

1

3

Фазовая плоскость линейной однородной системы второго порядка с постоянными коэффициентами и консервативной системы.

2

4

Первые интегралы, уравнения с частными производными первого порядка.

3

5

Устойчивость. Теоремы Ляпунова и Четаева. Устойчивость по первому приближению.

4




Итого за семестр:

12




Всего:

24

^ Темы программы, вынесенные на самостоятельное изучение




3 семестр




1

Уравнения, неразрешенные относительно производной. Особые решения. Уравнения Лагранжа и Клеро.

4

2

Уравнения, допускающие понижение порядка.

2

3

Непродолжаемые решения.

10

4

Непрерывная зависимость решения от правой части уравнения, начальных значений и параметров.

10

5

Дифференцируемость решения по параметрам и начальным значениям. Уравнения в вариациях.

10

6

Устойчивость по Ляпунову. Теоремы Ляпунова и Четаева. Устойчивость по первому приближению.

8

7

Выполнение контрольной работы №2

16




Итого за семестр:

60




4 семестр




1

Автономные системы дифференциальных уравнений и их фазовые пространства. Кинематическая интерпретация решения автономной системы.

2

2

Фазовые траектории. Критерий положения равновесия.

2

3

Фазовая плоскость линейной однородной системы второго порядка с постоянными коэффициентами.

6

4

Фазовая плоскость консервативной системы с одной степенью свободы.

8

5

Система уравнений «Хищник-жертва».

4

6

Уравнения с частными производными первого порядка. Квазилинейные уравнения, характеристики. Задача Коши для квазилинейного уравнения.

8

7

Курсовая работа по дифференциальным уравнениям

30




Итого за семестр:

60

^ Методические указания студентам

Изучение каждой темы следует начинать с проработки соответствующего теоретического материала в учебниках [1], [4], [5], [7], [9] или использовать собственный конспект лекций данной дисциплины. Для усвоения теоретического материала также нужно разобрать предлагаемые в лекционном курсе примеры. Только затем следует закрепить разобранный материал изучаемой темы самостоятельным решением задач из [8].

Успешное написание контрольных работ возможно только при внимательном, всестороннем и качественном изучении соответствующих лекционных конспектов и текстов учебников. Решение задач контрольные работы оформляется в отдельной тетради с указанием фамилии студента, варианта задания, текста задач и полным, подробным решением.

Для успешного написания курсовой работы по дифференциальным уравнениям необходимо внимательно прочитать «Методические указания к выполнению курсовых работ по дифференциальным уравнениям»[1д] и изучить в необходимом объеме рекомендуемую литературу, при оформлении текста работы нужно придерживаться рекомендаций по каждой задаче курсовой работы, данных в методических указаниях. Оформление текста должно быть аккуратным, подробным, включать необходимые ссылки на использованную литературу.

^ Вопросы к экзамену по учебной дисциплине

«Дифференциальные уравнения», 4 семестр

  1. Уравнения, неразрешенные относительно производной. Теорема существования и единственности. Способы решения

  2. Уравнения, допускающие понижение порядка: уравнения, не содержащие явно искомой функции или независимого переменного, однородные уравнения, приведение к полной производной.

  3. Фазовая плоскость линейной однородной системы с постоянными коэффициентами.

  4. Первые интегралы. Критерий первого интеграла. Существование n независимых первых интегралов. Получение решения с использование первых интегралов.

  5. Выражение решения линейного и квазилинейного уравнения в частных производных через первые интегралы.

  6. Устойчивость решения, асимптотическая устойчивость.

  7. Достаточное условие устойчивости положения равновесия для линейной однородной системы с постоянными коэффициентами.

  8. Функция Ляпунова. Дифференцирование в силу системы уравнений.

  9. Теоремы Ляпунова об устойчивости и об асимптотической устойчивости.

  10. Теорема Четаева неустойчивости.

  11. Формулировка теорема Ляпунова об устойчивости по первому приближению.

Контрольная работа №2 по учебной дисциплине

«Дифференциальные уравнения» (сдается в 4 семестре)


  1. Решить уравнение, не разрешенное относительно производной:

















  1. Понизить порядок уравнения и решить его:

















  1. Найти общее решение уравнения в частных производных первого порядка:

















  1. Определить характер положения равновесия (0,0), нарисовать фазовый портрет и исследовать на устойчивость:















    1. .

Лектор__________________ доцент кафедры ТУиО, к. ф.-м. н. Алеева С.Р.

Федеральное агентство по образованию


^ Государственное образовательное учреждение высшего

профессионального образования


"Челябинский государственный университет"


Математический факультет

Кафедра теории управления и оптимизации


Методические указания к выполнению курсовых работ по

дифференциальным уравнениям


Составители: Алеева С. Р.

Белов Е. Г.

Рольщиков В. Е.

Ухоботов В. И.





Челябинск 2010



^ Синтез управления с не более, чем с одним переключением в управляемой системе второго порядка.

В курсовой работе рассматривается линейная управляемая система:

Требуется подобрать управление и(∙), переводящее фазовую точку (х1, х2) из заданного начального состояния в начало координат (0,0).

На выбор управления и(∙) накладывается условие | и(∙)|=1 и и(∙) имеет не более одного переключения.

Для решения поставленной задачи необходимо:

  1. Нарисовать фазовые портреты двух систем (отдельно при и1 и и-1), пояснив процесс построения.

  2. С помощью фазовых портретов осуществить синтез управления, указав линии переключения. Для этого совместить фазовые портреты при и1 и и-1 на одной координатной плоскости, изображая их разными цветами, линию переключения выделить;

  3. На фазовой плоскости выделить (заштриховать) область достижимости(все начальные положения, из которых возможно достижение точки (0,0) с управлением, имеющим не более одно переключения).

Методы построения фазовых портретов можно изучить в [1,2,5].

С теорией оптимального управления можно ознакомиться в [3,4].


Варианты курсовых работ
















Литература


  1. Лизоркин Г.И. Курс обыкновенных дифференциальных и интегральных уравнений. М.: Наука, 1981, Гл.7. §6. С.344-348.

  2. Эльсгольц Г.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. М.: Наука, 1969, Гл.2. §7.

  3. Понтрягин Л.С., Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В., Мищенко Е.Ф. Математическая теория оптимальных процессов. М.: Наука, 1969, Гл.1. §5.

  4. Болтянский В.Г. Математические методы оптимального управления. М.: Наука, 1969, Гл.1. §3.

  5. Понтрягин Л.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1974, Гл.2. §16.








Скачать 113,82 Kb.
оставить комментарий
Дата07.08.2012
Размер113,82 Kb.
ТипДокументы, Образовательные материалы
Добавить документ в свой блог или на сайт

Ваша оценка этого документа будет первой.
Ваша оценка:
Разместите кнопку на своём сайте или блоге:
rudocs.exdat.com

Загрузка...
База данных защищена авторским правом ©exdat 2000-2017
При копировании материала укажите ссылку
обратиться к администрации
Анализ
Справочники
Сценарии
Рефераты
Курсовые работы
Авторефераты
Программы
Методички
Документы
Понятия

опубликовать
Загрузка...
Документы

наверх