Пузанов В. П icon

Пузанов В. П


Загрузка...
скачать



Московский государственный технический университет


им. Н. Э. Баумана


Пузанов В. П.




ЛЕКЦИИ


ПО КУРСУ «ТЕОРИЯ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ»


ТЕОРИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО


УПРАВЛЕНИЯ И РЕГУЛИРОВАНИЯ.


Факультет «Специальное машиностроение»

Кафедра «Подводные роботы и аппараты»


2003 год.


ЛИНЕАРИЗАЦИЯ УРАВНЕНИЙ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ. УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПРИБЛИЖЕНИЯ.



Рассмотрим нелинейную систему автоматического уравнения, динамика которой описывается уравнениями

, (1)

где функции и являются аналитическими во всех точках фазовой плоскости.

Определим на фазовой плоскости координаты точек, являющихся состояниями равновесия. Координаты этих точек являются решением системы нелинейных уравнений

. (2)

Обозначим одно из решений системы (2) через , . В общем случае система уравнений (2) может иметь несколько решений. Исследуем динамику системы (1) в некоторой окрестности этого состояния равновесия. Для этого, с помощью замены переменных

, ,

,

перенесем начало координат фазовой плоскости в особую точку с координатами (см. рисунок).




По формуле Тейлора функции и в окрестности особой точки представим в виде

,


,

где , - содержат все члены разложения функции и по формуле Тейлора, у которых степени и выше первой. Поэтому в окрестности особой точки слагаемыми и можно пренебречь. Далее поступают следующим образом.

1. Вычисляют значения частных производных функций и в точке , значения которых обозначают соответственно как , , , , то есть

, ,

, .

Тогда

(3)
2. Так как и , то

(4)

, . (5)

3. Осуществляют подстановку равенств (3) и (4), (5) в уравнения (1):

. (6)

Так как в особой точке справедливо и , то окончательно получаем


. (7)

Система уравнений (7) является линейной системой дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Система уравнений (7) описывает динамику системы (1) в некоторой окрестности особой точки , в окрестности состояния равновесия системы.

Система уравнений (7) называется системой уравнений первого приближения. Динамика системы уравнения в окрестности особой точки с достаточной степенью точности описывается системой линейных уравнений (7) – уравнениями первого приближения.


^ ФАЗОВЫЕ ТРАЕКТОРИИ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ

АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ.


В случае линейных систем автоматического управления характер (тип) особой точки определяет движение системы при любых отклонениях от состояния равновесия. Для нелинейных систем характер особой точки определяет поведение фазовых траекторий лишь в некоторой малой окрестности особой точки. При рассмотрении поведения фазовых траекторий нелинейных систем на всей фазовой плоскости весьма важную роль играют особые траектории.

Различают три основных типа особых траекторий:

  1. Особые точки (состояние равновесия). Типы особых точек рассмотрены выше.

  2. Изолированные замкнутые траектории. Изолированность замкнутой траектории означает, что в достаточно малой ее окрестности нет других замкнутых траекторий. Изолированные замкнутые траектории называются предельным циклами. Предельным циклом на фазовой плоскости соответствуют периодические движения системы.

Предельный цикл называется устойчивым, если существует такая  –окрестность этого цикла, что все фазовые траектории, начинающиеся в  –окрестности, асимптотически при приближаются к предельному циклу (см. рисунук).




Устойчивым предельным циклам в системе автоматического управления соответствуют автоколебания. Характерная черта автоколебаний – локальная независимость их параметров от начальных условий.

Если в любой, сколь угодно малой окрестности предельного цикла существует хотя бы одна фазовая траектория, не приближающаяся к предельному циклу при , то предельный цикл называется неустойчивым (см рисунок).



  1. Сепаратрисы. Сепаратрисы разделяют фазовую плоскость на области с фазовыми траекториями различных типов. В окрестности особой точки типа «седло» сепаратрисы – являются асимптотами. Точки равновесия, предельные циклы и сепаратрисы являются особыми траекториями. Таких траекторий обычно имеется конечное число на фазовой плоскости. Определив эти особые траектории, мы тем самым находим все качественные особенности фазовых траекторий на плоскости, все виды и особенности процессов в нелинейных системах. Особые траектории разбивают всю фазовую плоскость на ряд областей; характер движения в каждой из этих плоскостей часто бывает нетрудно определить, зная характер устойчивости точек равновесия и предельных циклов. Так получается полная качественная характеристика всех возможных типов движений системы.

Особые траектории разбивают фазовую плоскость на ряд областей. Характер движения в каждой из этих областей нетрудно определить, если известен характер особых точек и определена устойчивость предельных циклов. Таким образом, можно получить качественную картину всевозможных движений динамических систем.


^ ПОСТРОЕНИЕ ФАЗОВЫХ ПОРТРЕТОВ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ ПО УРАВНЕНИЯМ ПЕРВОГО ПРИБЛИЖЕНИЯ.


Рассмотрим нелинейную систему автоматического управления, динамика которой описывается уравнениями

, (1)

где функции и полагаем аналитическими во всех точках фазовой плоскости.

Определим точки, характеризующие состояние равновесия, как решение системы нелинейных уравнений

(2)

относительно двух неизвестных и . Обозначим одно из решений уравнений (2) через и . В общем случае система уравнений (2) может иметь не одно, а несколько решений. Исследуем характер фазовых траекторий в окрестности этого состояния равновесия. Для этого с помощью замены переменных

, ,

,

перенесем начало координат в особую точку с координатами (см. рисунок).




По формуле Тейлора функции и в окрестности особой точки представим в виде

,

(3)

,


где , - содержат все члены разложения функции и по формуле Тейлора, у которых степени и выше первой. Поэтому в окрестности особой точки слагаемыми и можно пренебречь.

Тогда с учетом равенств (2) и (3) и полагая

, ,

, .

получим уравнения первого приближения для системы (1) вида

. (4)

Это линейная однородная система дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, которая описывает динамику системы в окрестности состояния равновесия.

С помощью системы уравнений (4) можно выполнить построение фазового портрета нелинейной системы. Возможность построения фазового портрета нелинейной системы по уравнениям первого приближения проиллюстрируем следующим примером.

ПРИМЕР. Установить типы особых точек нелинейной системы
^

ПРИМЕР. Установить типы особых точек нелинейной системы




Построить фазовый портрет.
^

Решение. Определим координаты особых точек


, ,

, ,

, , .

Координаты особых точек:

(I) , (II) , (III)

Исследуем типы особых точек:

(I) особая точка , ее координаты .

В окрестности этой особой точки является бесконечно малой более высокого порядка малости чем переменные и . Поэтому уравнения системы первого приближения (уравнения в отклонениях) будут иметь вид

.

Это линейная система дифференциальных уравнений относительно и . Определим тип этой особой точки. Характеристическое уравнение



– корни характеристического уравнения чисто мнимые, следовательно, особая точка типа ЦЕНТР.

(II) особая точка, ее координаты .



Составим уравнение в отклонениях:

,

, , .


.

Определим тип этой особой точки. Характеристическое уравнение

,

корни характеристического уравнения

.

Корни характеристического уравнения действительные различного знака; особая точка СЕДЛО.

(III) особая точка ее координаты .

Другой способ определения уравнений первого приближения: перенос начала координат: , ,






Теперь в новых координатах особая точка .Аналогично первой особой точке является в окрестности бесконечно малой более высокого порядка, чем и .Тогда уравнения первого приближения принимают вид

.

Определим тип этой особой точки. Характеристическое уравнение

,

корни характеристического уравнения

,

следовательно, особая точка – СЕДЛО.

Оси эллипсов в окрестности особой точки (I). Дифференциальные уравнения системы в окрестности этой особой точки

,

дифференциальное уравнение фазовых траекторий

,

, ,

,

,

, , .

Прямая ось эллипса.

Асимптоты в особой точке (II).

,

Дифференциальное уравнение фазовых траекторий

,

, ,

, ,

, ,

,


Асимптоты в окрестностях особой точки (III).



, , .

Асимптоты в особых точках (II) и (III) совпадают совпадают тангенсы углов наклона этих асимптот.

Для определения движения изображающей точки по фазовым траекториям найдем компоненты вектора фазовой скорости в точке пересечения асимптоты, проходящую через точку с угловым коэффициентом



и осью ; уравнение асимптоты

,

координаты точки :

, ,

компоненты вектора скорости в точке :

, .

Фазовый портрет системы






Скачать 93.65 Kb.
оставить комментарий
Дата29.09.2011
Размер93.65 Kb.
ТипДокументы, Образовательные материалы
Добавить документ в свой блог или на сайт

Ваша оценка этого документа будет первой.
Ваша оценка:
Разместите кнопку на своём сайте или блоге:
rudocs.exdat.com

Загрузка...
База данных защищена авторским правом ©exdat 2000-2017
При копировании материала укажите ссылку
обратиться к администрации
Анализ
Справочники
Сценарии
Рефераты
Курсовые работы
Авторефераты
Программы
Методички
Документы
Понятия

опубликовать
Загрузка...
Документы

Рейтинг@Mail.ru
наверх