Теорема 1: (об аналитическом решении) icon

Теорема 1: (об аналитическом решении)


Смотрите также:
Программа составлена кандидатом физ мат наук Петровым Н. Н. Положительный базис...
Исследование функций при помощи производных. Теорема Ферма. Теорема Ролля. Теорема Лагранжа...
Конспект урока по теме «теорема пифагора»...
Вопросы для подготовки к экзамену...
Вопросы (билеты) к экзамену по геометрии и алгебре за 3 семестр...
Урок изучения новых знаний. Тема урока: «Теорема Пифагора»...
Тема урока: Теорема Безу. Корни многочленов...
Теорема Виета
Теорема о квадратичной сходимости метода Ньютона...
Урок конференция тема: “Теорема Пифагора” как одно из величайших творений ума человечества...
Программа курса лекций...
Прямая задача сейсмики с плоской границей сатыбаев А. Дж. Кыргызская республика, г. Ош...



Загрузка...
скачать

  1. Интегрирование линейного дифференциального уравнения с помощью степенных рядов.

Для решения дифференциального уравнения:


(I.1)

где функции аi(t) (i=0,1,2) разлагаются в степенной ряд в окрестности точки t0 с радиусами сходимости ri :



i=0,1,2


необходимо найти два линейно-независимых решения 1(t), 2(t). Такими решениями будут, например, решения уравнения (I.1) с начальными условиями:




Решения i будем искать в виде степенного ряда:




(I.2)


методом неопределенных коэффициентов.

Для решения воспользуемся теоремами.
^

Теорема 1: (об аналитическом решении)


Если p0(x), p1(x), p2(x) являются аналитическими функциями x в окрестности точки x=x0 и p0(x)≠0, то решения уравнения p0(x)y’’ + p1(x)y + p2(x)y = 0 также являются аналитическими функциями в некоторой окрестности той же точки и, значит, решения уравнения можно искать в виде: y=l0 + l1(x-x0) + l2(x-x0)2 + … + ln(x-x0)n + …


Теорема 2: (о разложимости решения в обобщенный степенной ряд)


Если уравнение (I.1) удовлетворяет условиям предыдущей теоремы, но x=x0 является нулем конечного порядка S функции a0(x), нулем порядка S-1 или выше функции a1(x) (если S>1) и нулем порядка не ниже S-2 коэффициента a2(x) (если S>2), то существует, по крайней мере, одно нетривиальное решение уравнения (I.1) в виде суммы обобщенного степенного ряда:

y= l0(x - x0)k + l1(x – x0)k+1 + … + ln(x-x0)k+n + …

где k- некоторое действительное число, которое может быть как целым, так и дробным, как положительным, так и отрицательным.


Рассмотрим уравнение:

(I.3)


a0(t) = t + 2 ; a1(t) = -1; a2(t) = -4t3; a0(t) ≠ 0 t

по теореме 2 хотя бы одно нетривиальное решение уравнения (I.3) может быть найдено в виде суммы обобщенного степенного ряда (t) = cn(t-t0)n

возьмем t0 = 0, будем искать решение в виде (t) = cntn (I.4)

Опираясь на теорему 1 и, дифференцируя ряд (I.4) почленно два раза, получим

(t) = ncntn-1, (t) = n(n-1)cntn-2

(2+t)( n(n-1)cntn-2) – (ncntn-1) – 4t3( cntn)=0

Вычислим коэффициенты при соответствующих степенях:

t0 : 4c2 – c1=0 4c2-c1-4c-3=0

t1 :





рекуррентное соотношение имеет вид

n N, c-3=0, c-2=0, c-1=0 (I.5)

при n=0,

n=1,

n=2, c4=0

n=3,

n=m-2,



Итак,

Найдем радиусы сходимости R полученных решений, общим методом не представляется возможным, поэтому на основании теоремы о существовании и единственности решения.







Которые имеют область сходимости (по формуле Даламбера):

а)

б)

Итак, область сходимости



  1. Синтез управления с не более, чем с одним переключением в управляемой системе второго порядка.


Необходимо рассмотреть линейную управляемую систему:




Требуется подобрать управление и( ), переводящее фазовую точку (х1,х2) из заданного начального состояния в начало координат (0,0).

На выбор управления и( ) накладывается условие | и( )|=1 и и( ) имеет не более одного переключения.

положение равновесия

Д=-7 фокус, т.к. <0, то фазовая кривая закручивается.


III. Малые возмущения системы линейных уравнений
^

В этой задаче рассматривается система:





с действительными коэффициентами аij.

Необходимо исследовать фазовые кривые этой системы:





(1)


Сведем систему (1) к системе вида:




(2)





с помощью замены


(3)


Запишем систему (1) в виде

, где (4)

Подставим в систему (4), а в систему (3), тогда получим:







(5)

Найдем собственные значения матрицы А:


,

Систему (2) можно записать в виде:

, где (6)

Из системы (5) и (6) следует, что

Подберем матрицу С такую, что пусть и AC = CB

=





Решив эту систему, получим: a=-2, b=-1, c=1, d=0, т.е. и

Поставим матрицу С в замену:









Подставим полученные значения в систему (2):



, где



При получаем систему

Это уравнение малых колебаний маятника. По теореме о дифференцируемости по параметру при малых  решение (на конечном интервале времени) отличается поправкой порядка  от гармонических колебаний:


Следовательно, при достаточно малом  = (Т) фазовая точка остается вблизи окружности радиуса А в течении интервала времени Т.

При фазовая кривая не обязательно замкнутая: она может иметь вид спирали, у которой расстояние между соседними витками очень мало (порядка ). Чтобы узнать, приближается ли фазовая кривая к началу координат или уходит от него, рассмотрим приращение энергии за один оборот вокруг начала координат. Нас интересует знак этого приращения: на раскручивающейся спирали приращение положительное, на сжимающейся – отрицательное, а на цикле равно 0. Выведем приближенную формулу:


Подставляя значения и , получим:



Для вычисления энергии за оборот следовало бы проинтегрировать эту функцию вдоль витка фазовой траектории, которая неизвестна. Но виток близок к окружности. Поэтому интеграл можно посчитать с точностью до O() по окружности радиуса А.

Пусть , тогда








для (при малых положительных значениях ), поэтому фазовые точки удаляются от центра, т.е. фазовая кривая раскручивается.

Вектор скорости кривой направлен по часовой стрелке, так как точка с координатами (1,0) переходит в точку (0,-1)



Так как detC>0, то при замене на ориентация системы координат не изменилась.





Литература


  1. Лизоркин Г.И. Курс обыкновенных дифференциальных и интегральных уравнений. М.: Наука, 1981, Гл.7. §6. С.344-348.

  2. Эльсгольц Г.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. М.: Наука, 1969, Гл.2. §7.

  3. Понтрягин Л.С., Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В., Мищенко Е.Ф. Математическая теория оптимальных процессов. М.: Наука, 1969, Гл.1. §5.

  4. Болтянский В.Г. Математические методы оптимального управления. М.: Наука, 1969, Гл.1. §3.

  5. Понтрягин Л.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1974, Гл.2. §16.

  6. Арнольд В. И. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1975, ГЛ.2. §12. С.73-78, 84-85.




Скачать 68,7 Kb.
оставить комментарий
Дата29.09.2011
Размер68,7 Kb.
ТипДокументы, Образовательные материалы
Добавить документ в свой блог или на сайт

Ваша оценка этого документа будет первой.
Ваша оценка:
Разместите кнопку на своём сайте или блоге:
rudocs.exdat.com

Загрузка...
База данных защищена авторским правом ©exdat 2000-2017
При копировании материала укажите ссылку
обратиться к администрации
Анализ
Справочники
Сценарии
Рефераты
Курсовые работы
Авторефераты
Программы
Методички
Документы
Понятия

опубликовать
Загрузка...
Документы

наверх