Программа-минимум кандидатского экзамена по специальности 01. 01. 02 «Дифференциальные уравнения» по физико-математическим наукам icon

Программа-минимум кандидатского экзамена по специальности 01. 01. 02 «Дифференциальные уравнения» по физико-математическим наукам


Смотрите также:
Программа-минимум кандидатского экзамена по специальности 01. 01...
Программа-минимум кандидатского экзамена по специальности 01. 01. 02 “Дифференциальные уравнения...
Программа-минимум (Часть I основная) кандидатского экзамена по специальности...
Программа-минимум кандидатского экзамена по специальности 03. 00...
Программа-минимум кандидатского экзамена по специальности 25. 00...
Программа-минимум кандидатского экзамена по научной специальности 25. 00...
Программа-минимум кандидатского экзамена по специальности 01. 04...
Программа-минимум кандидатского экзамена по специальности 01. 02. 05 «Механика жидкостей...
Программа-минимум кандидатского экзамена по специальности 01. 01...
Программа-минимум кандидатского экзамена по специальности 01. 01...
Программа-минимум кандидатского экзамена по специальности 01. 02. 06 «Динамика, прочность машин...
Программа-минимум кандидатского экзамена по специальности 01. 01...



Загрузка...
скачать
ПРОГРАММА-МИНИМУМ

кандидатского экзамена по специальности

01.01.02 – «Дифференциальные уравнения»

по физико-математическим наукам

Введение

Настоящая экзаменационная программа соответствует утвержденному паспорту научной специальности "Дифференциальные уравнения". В основу программы положены следующие дисциплины: обыкновенные дифференциальные уравнения и уравнения с частными производными, а также ряд отдельных вопросов функционального анализа и теории функциональных пространств.

Программа разработана экспертным советом по математике и механике Высшей аттестационной комиссии Минобразования России при участии Математического института им. В.А. Стеклова РАН и Московского энергетического института (технического университета).

1. Обыкновенные дифференциальные уравнения

1. Теорема существования и единственности решения задачи Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений ([5], §3, 20, 21; [9], гл. II, §1-5).

2. Гладкость решения задачи Коши по начальным данным и параметрам, входящим в правые части системы уравнений. Продолжение решения ([5], §22, 24, 25, [9], гл. II, §6, 7).

3. Общая теория линейных уравнений и систем (область существования
решения, фундаментальная матрица Коши, формула Лиувилля-Остроградского, метод вариации постоянных и др.) ([5], §17, 18; [9], гл.3).

4. Автономные системы уравнений. Положения равновесия. Предельные
циклы. ([5], §15, 16, [9], гл. 4, §1, 9).

5. Устойчивость по Ляпунову. Теорема Ляпунова об устойчивости
положения равновесия по первому приближению ([5], §26; [9], §6-
8).

6. Задачи оптимального управления. Принцип максимума Понтрягина
(без доказательства), приложение к задачам быстродействия для линейных систем ([6], гл. I, §1- 4, примеры 1,2; гл. V, §29, 30).

7. Краевая задача для линейного уравнения или системы уравнений.
Функция Грина. Представление решения краевой задачи ([14], гл. 4, §1- 3).

8. Задача Штурма - Лиувилля для уравнения второго порядка. Свойства
собственных функций ([1], гл. V, §5.2).

9. Системы обыкновенных дифференциальных уравнений с комплексными аргументами. Доказательство теоремы существования и единственности аналитического решения методом мажорант ([8], гл. V, §41, 42 ).

10. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью. Теорема существования и единственности решения при условиях Каратеодори ([10], §1).

11. Линейные и квазилинейные уравнения с частными производными первого порядка. Характеристики. Задача Коши. Теория Гамильтона –Якоби ([9], гл. V, §2, 3).

^ 2. Уравнения с частными производными

12. Системы уравнений с частными производными типа Ковалевской. Аналитические решения. Теория Коши - Ковалевской ([13], §2).

13. Классификация линейных уравнений второго порядка на плоскости.
Характеристики ([1], гл. 1, §13; [7], гл. I, §1).

14. Задача Коши и начально-краевые задачи для волнового уравнения и
методы их решения. Свойства решений (характеристический конус,
конечность скорости распространения волн, характер переднего и
заднего фронтов волны и др.) ([3], гл. 1, §2; [11], гл. I, §1; [7], гл. 2, 2.1,
2.7, 2.8).

15. Задачи Дирихле и Неймана для уравнения Пуассона и методы их решения. Свойства решений (принцип максимума, гладкость, теоремы о среднем и др.) ([3], гл. IV, §3; [13], гл. 3, §28; [4], гл. I, 1.1, 1.5).

16. Задача Коши и начально-краевые задачи для уравнения теплопроводности и методы их решения. Свойства решений (принцип максимума, бесконечная скорость распространения, функция источника и др.) ([4], гл. 3, 3.1, 3.3; [13], гл. IV, §38, 39, 40).

17. Обобщенные функции. Свертка обобщенных функций, преобразование Фурье ([1], гл. II, §2.1, 2.3, 2.5).

18. Пространства Соболева Wpm . Теоремы вложения, следы функций из Wpm на границе области . ([3], §5 - 8; [3], гл. III, §4-6).

19. Обобщенные решения краевых задач для эллиптического уравнения
второго порядка. Задачи на собственные функции и собственные значения ([3], гл. IV, §1; [3], гл. II, §2-4).

20. Псевдодифференциальные операторы (определение, основные свойства) ([15], гл. I, §1-3).

21. Нелинейные гиперболические уравнения. Основные свойства ([2], гл. 1, §1; [12], гл. 9, 9.1-9.3).

22. Монотонные нелинейные эллиптические уравнения. Основные свойства ([5], гл. II, §2).

23. Монотонные нелинейные параболические уравнения. Основные свойства ([5], гл. II, §1; [12], гл. 8 , 8.1-8.5).

Основная литература

1. Владимиров B.C., Жаринов В.В. Уравнения математической физики. - М.: Физматлит, 2000 г.

2. Лионс Ж.-Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач. -М.: Мир, 1972 г.

3. Михайлов В.П. Дифференциальные уравнения в частных производных. - М.: Наука, 1983 г.

4. Пикулин В.П., Похожаев С.И. Практический курс по уравнениям математической физики. – М.: Наука, 1995 г.

5. Понтрягин Л.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. - М.: Наука, 1998г. (и другие издания).

6. Понтрягин Л.С., Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В., Мищенко Е.Ф. Математическая теория оптимальных процессов. - М.: Наука, 1963 г. (и другие издания).

7. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики.
- М.: ГИТТЛ, 1953 г. (и другие издания).

8. Трикоми Ф. Дифференциальные уравнения. - М.: Издательство иностранной литературы, 1962 г.

9. Федорюк М.В. Обыкновенные дифференциальные уравнения. - М.: Наука, 1980 г.

10. Филиппов А.Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой
частью. - М.: Издательство физ.-мат. литературы, 1985 г.

Дополнительная литература

Арнольд В.И. Обыкновенные дифференциальные уравнения. - М.: Наука, 1971 г.

Мартинсон Л.К., Малов Ю.И. Дифференциальные уравнения математической физики. - М.: Издательство МГТУ им. Баумана, 1996 г.

Петровский И.Г. Лекции об уравнениях с частными производными. - М.: Наука, 1961 г.

Тихонов А. Н., Васильева А. Б., Свешников А. Г. Дифференциальные уравнения. - М.: Наука, 1985 г.

Шубин М.А. Псевдодифференциальные операторы и спектральная теория. - М.: Наука, 1978 г.








Скачать 42,39 Kb.
оставить комментарий
Дата29.09.2011
Размер42,39 Kb.
ТипПрограмма-минимум, Образовательные материалы
Добавить документ в свой блог или на сайт

Ваша оценка этого документа будет первой.
Ваша оценка:
Разместите кнопку на своём сайте или блоге:
rudocs.exdat.com

Загрузка...
База данных защищена авторским правом ©exdat 2000-2017
При копировании материала укажите ссылку
обратиться к администрации
Анализ
Справочники
Сценарии
Рефераты
Курсовые работы
Авторефераты
Программы
Методички
Документы
Понятия

опубликовать
Загрузка...
Документы

наверх