Программа по дисциплине Детерминированный хаос для специальности 014200 биохимическая физика, реализуемой на физическом факультете

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА

1. 
   Метод фазового пространства. Два подхода к определению динамической системы: дифференциальные уравнения и отображения. От дифференциальных уравнений к отображениям: построение сечения Пуанкаре. Автономные и неавтономные системы. Особенности неавтономных систем.
   
2. 
   Консервативные и диссипативные системы. Общая характеристика консервативных и диссипативных систем. Предельные множества и аттракторы диссипативных систем. Классификация регулярных аттракторов потоков и отображений: неподвижные точки, циклы, торы.
   
3. 
   Примеры систем с хаотической динамикой и их физическая реализация (механика, электроника, лазерная физика, биология). Логистическое отображение, отображение Хенона, шарик на колеблющейся поверхности стола, нелинейный осциллятор с внешним воздействием, модель Лоренца, модель Ресслера, генератор с инерционной нелинейностью, цепь Чуа. Качественное обсуждение динамики этих систем.
   

1. 
   Эволюция элемента фазового объема на хаотическом аттракторе. Ляпуновские показатели фазовой траектории на хаотическом аттракторе (в случае систем с непрерывным и дискретным временем). Спектр ляпуновских характеристических показателей (спектр ЛХП). Классификация аттракторов по сигнатуре спектра ЛХП.
   
2. 
   Свойство гиперболичности фазовой траектории. Гиперболические, почти гиперболические и негиперболические хаотические аттракторы и их особенности. Понятие квазиаттрактора. Примеры хаотических аттракторов различных типов.
   
3. 
   Гладкое отображение подковы (подкова Смейла), как модель свойств хаотического аттрактора.
   
4. 
   Гомоклинические и подобные им траектории и их роль в возникновении хаоса. Теорема Шильникова. Критерий Мельникова. Критерий Чирикова.
   

1. 
   Фракталы. Простейшие примеры фракталов: Канторово множество, ковер и салфетка Серпинского, кривая Кох. Двухмасштабное канторово множество и элементарное представление о мультифракталах. Скейлинг и фрактальная структура – типичное свойство большинства хаотических аттракторов (примеры).
   
2. 
   Размерности фрактальных множеств. Метрические размерности и размерности натуральной меры. Определения различных типов размерностей и методы их расчета: размерность Хаусдорфа, емкостная размерность, информационная размерность, корреляционная размерность, ляпуновская размерность. Примеры размерностей простейших фракталов. Взаимосвязь между различными типами размерности.
   
3. 
   Свойство «хаотичности» и свойство «странности» аттрактора, их нетождественность и взаимосвязь. Понятие нерегулярного аттрактора. Типы нерегулярных аттракторов: странный хаотический аттрактор (СХА), странный нехаотический аттрактор (СНА), «нестранный» хаотический аттрактор (НХА). Свойства СНА и НХА. Примеры СНА и НХА в простейших модельных системах.
   

1. 
   Уравнение Фробениуса-Перрона и инвариантная мера на аттракторе для случая одномерных отображений. Пример: расчет статистических характеристик случайной последовательности, порождаемой отображением треугольника.
   
2. 
   Проблема существования инвариантной меры на хаотическом аттракторе. Особенности гиперболических и негиперболических аттракторов. Статистические характеристики динамического хаоса в присутствии флуктуаций.
   

1. 
   Общая дискуссия о сценариях перехода к хаосу. Задача о потери устойчивости предельного цикла: три типичных варианта. Качественное обсуждение удвоений периода, перемежаемости и перехода через квазипериодичность. Исторические замечания: от теории Ландау к Рюэлю - Такенсу, Фейгенбауму и др. Экспериментальное наблюдение различных сценариев.
   
2. 
   Переход к хаосу через удвоения периода циклов (сценарий Фейгенбаума). Логистическое отображение как основная модель. Циклы и бифуркации. Бифуркационная диаграмма (дерево Фейгенбаума). Ренормгрупповой анализ. Свойства скейлинга в пространстве состояний и в пространстве параметров. Фурье-спектр на пороге хаоса. Аттрактор Фейгенбаума и его фрактальные свойства. Динамика в закритической области. Окна устойчивости периодических режимов.
   
3. 
   Переход к хаосу через перемежаемость (сценарий Помо – Манневиля). Перемежаемость типа I: ламинарные и турбулентные стадии, скейлинговые соотношения для продолжительности ламинарных стадий, уравнения ренормгруппы и его точное решение. Краткое обсуждение перемежаемости типа II и III.
   
4. 
   Переход к хаосу через квазипериодические колебания. Сценарий Рюэля - Такенса и его модификации. Переход к хаосу через разрушение двумерного тора, необходимость двупараметрического анализа. Теорема о разрушении двумерного тора с резонансной структурой на нем. Бифуркации, приводящие к хаосу. Отображение окружности. Плоскость параметров. Число вращения. Языки Арнольда. Структура языков вблизи критической ситуации потери обратимости отображения и ее связь со структурой разложения числа вращения в цепную дробь. Ренормгрупповой анализ для случая золотого сечения.
   
5. 
   Особенности разрушения эргодического тора в системах с квазипериодическим возбуждением. Переход к хаосу через режим СНА.
   

1. 
   Особенности хаотической динамики консервативных систем. Возмущение интегрируемой системы. КАМ – теорема. Механизмы возникновения и развития консервативного хаоса. Теорема Пуанкаре – Биркгофа. Критерий глобального хаоса. Пример: отображение Чирикова.
   

1. 
   Периодическое воздействие на хаотические автоколебания. Частотно-фазовая синхронизация хаоса. Однонаправлено связанные хаотические системы. Полная и обобщенная синхронизация хаоса.
   
2. 
   Взаимодействие систем с фейгенбаумовским сценарием развития хаоса. Особенности взаимной синхронизации хаоса. Частотно - фазовая синхронизация хаоса, полная синхронизация, lag-синхронизация.
   
3. 
   Фазовая мультистабильность периодических и хаотических режимов. Особенности разрушения режима полной синхронизации. Явления риддлинга и баблинга. Кризисы хаотических аттракторов и переход к гиперхаосу.
   

1. 
   Цепочка связанных отображений с локальной однонаправленной связью как модель развития турбулентности вниз по потоку. Случай симметричной связи. Диссипативная и инерционная связь. Скейлинговые свойства пространства параметров.
   
2. 
   Решетки связанных отображений. Доменные структуры. Фазы Канеко. Скейлинговые свойства протстранственно – временных структур у порога хаоса.
   
3. 
   Цепочки локально – связанных хаотических автогенераторов. Эффекты частотно – фазовой синхронизации.
   
4. 
   Уравнения в частных производных. Уравнение Гинзбурга – Ландау как универсальная модель пространственно – временной динамики у порога возникновения неустойчивости. Теорема о центральном многообразии и конечномерные модели.
   

1. 
   Заславский Г.М. Стохастическая необратимость в нелинейных системах. – М.: Наука, 1970.
   
2. 
   Неймарк Ю.И. Метод точечных отображений в теории нелинейных колебания. – М.: Наука, 1972.
   
3. 
   Андронов А.А., Витт А.А., Хайкин С.Э. Теория колебаний. – М.: Наука, 1981.
   
4. 
   Бутенин Н.В., Неймарк Ю.И., Фуфаев Н.А. Введение в теорию нелинейных колебаний. – М.: Наука, 1976.
   
5. 
   Странные аттракторы. Сборник статей под ред. Я.Г. Синая и Л.П. Шильникова. – М.: Мир, 1981.
   
6. 
   Марсден Дж., Мак-Кракен М. Бифуркация рождения цикла и ее приложения. – М.: Мир, 1980.
   
7. 
   Рабинович М.И., Трубецков Д.И. Введение в теорию колебаний и волн. – М.: Наука, 1984.
   
8. 
   Анищенко В.С. Сложные колебания в простых системах. – М.: Наука, 1990.
   
9. 
   Анищенко В.С., Астахов В.В., Вадивасова Т.Е., Нейман А.Б., Стрелкова Г.И., Шиманский- Гайер Л. Нелинейные эффекты в хаотических и стохастических системах. – Москва – Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2003.
   

10. 
    Хакен Г. Синергетика. – М.: Мир, 1980.
    
11. 
    Арнольд В.И., Афраймович В.С., Ильяшенко Ю.С., Шильников Л.П. Теория бифуркаций. М., том 5, 1986.
    
12. 
    Лихтенберг А., Либерман М. Регулярная и стохастическая динамика. – М.: Мир, 1984.
    
13. 
    Постон Т., Стюарт И. Теория катастроф и ее приложения. – М.: Мир. 1980.
    
14. 
    Рюэль Д. Случайность и хаос. – Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2001.
    
15. 
    Йосс Ж., Джозеф Д. Элементарная теория устойчивости и бифуркаций. – М.: Мир, 1983.
    
16. 
    Гукенхеймер Дж., Холмс Ф. Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей. – Москва – Ижевск, 2002.
    
17. 
    Ланда П.С. Автоколебания в системах с конечным числом степеней свободы. – М.: Наука, 1980.
    
18. 
    Балеску Р. Равновесная и неравновесная статистическая механика. Т.2. – М.: Мир, 1978.
    
19. 
    Биллингслей П. Эргодическая теория и информация. – М.: Мир, 1969.
    
20. 
    Анищенко В.С., Вадивасова Т.Е., Шиманский-Гайер Л. Динамическое и статистическое описание колебательных систем. – Москва – Ижевск, 2005.
    

1. 
   Провести классификацию динамических систем. Охарактеризовать метод точечных отображений Пуанкаре.
   
2. 
   Какие предельные множества и аттракторы могут существовать в диссипативных динамических системах?
   
3. 
   Приведите примеры систем с хаотической динамикой.
   
4. 
   Как определяются Ляпуновские показатели фазовой траектории на хаотическом аттракторе?
   
5. 
   Как проводится классификация аттракторов по сигнатуре спектра ЛХП?
   
6. 
   Какие особенности у гиперболических, почти гиперболических и негиперболических хаотических аттракторов?
   
7. 
   Сформулируйте критерий Мельникова и критерий Чирикова.
   
8. 
   Приведите простейшие примеры фракталов.
   
9. 
   Что называется размерностью Хаусдорфа, емкостной размерностью, информационной размерностью, корреляционной размерностью и ляпуновской размерностью?
   
10. 
    Проведите расчет статистических характеристик случайной последовательности, порождаемой отображением треугольника.
    
11. 
    Какие типичные сценарии перехода к хаосу наблюдаются в системах различной природы?
    
12. 
    Постройте бифуркационную диаграмму для логистического отображения. Какие свойства скейлинга проявляются в пространстве состояний и в пространстве параметров системы?
    
13. 
    Опишите закономерности развития Фурье – спектра у порога хаоса, и динамику систему в закритической области.
    
14. 
    Как происходит переход к хаосу через перемежаемость? Чем различаются три типа перемежаемости?
    
15. 
    Как происходит переход к хаосу через разрушение двумерного тора? Какие бифуркации приводят к хаосу?
    
16. 
    Что называется отображением окружности? Что называется числом вращения? Какова структура разбиения плоскости параметров на области синхронизации («языки Арнольда»)?
    
17. 
    Какие особенности разрушения эргодического тора возникают в системах с квазипериодическим возбуждением?
    
18. 
    В чем заключаются особенности хаотической динамики консервативных систем?
    
19. 
    Что называется частотно – фазовой синхронизацией хаоса?
    
20. 
    Что понимают под полной и обобщенной синхронизацией хаоса?
    
21. 
    Что называется фазовой мультистабильностью?
    
22. 
    Какие сценарии потери полной синхронизации хаоса могут наблюдаться во взаимодействующих системах?
    
23. 
    Что называется гиперхаосом? Какая связь между кризисами хаотических аттракторов и переходом к гиперхаосу?
    
24. 
    Опишите поведение простейших моделей пространственно – распределенных систем в виде цепочки логистических отображений с однонаправленной связью и с симметричной связью в случаях диссипативной и инерционной связи.
    
25. 
    Что называется доменными структурами и фазами Канеко в решетках связанных отображений?
    

Скачать 203,04 Kb.

оставить комментарий