Рабочая учебная программа по дисциплине icon

Рабочая учебная программа по дисциплине


1 чел. помогло.
Смотрите также:
Рабочая учебная программа по дисциплине «Моделирование рынка ценных бумаг» ен. Р...
Рабочая учебная программа по дисциплине «Математическая логика»...
Рабочая учебная программа по дисциплине «Математика»...
Рабочая учебная программа по дисциплине Основы маркетинга Для студентов...
Рабочая учебная программа по дисциплине история для студентов...
Рабочая учебная программа по дисциплине история для студентов...
Рабочая учебная программа дисциплины для студентов Syllabus...
Рабочая учебная программа по дисциплине «Политология» Для всех специальностей...
Рабочая учебная программа по дисциплине математическая логика и...
Рабочая учебная программа по дисциплине математическая логика и...
Рабочая учебная программа по дисциплине " Физическая и коллоидная химия " Для направления 200500...
Рабочая (учебная) программа по дисциплине...



страницы: 1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   12
вернуться в начало
^

Геометрические характеристики плоских сечений



В расчетах конструкций на механическую надежность очень часто приходится оперировать такими характеристиками плоских фигур, как статический момент, осевой и полярный моменты инерции. Хотя вычисление вышеназванных геометрических характеристик относится к числу простейших задач интегрального исчисления, тем не менее, в силу их узкого прикладного значения они практически не рассматриваются во втузовском курсе высшей математики. По установившейся традиции геометрические характеристики плоских фигур изучаются в курсе сопротивления материалов.

Геометрические характеристики – числовые величины (параметры), определяющие размеры, форму, расположение поперечного сечения однородного по упругим свойствам деформируемого элемента конструкции (и, как следствие, характеризующие сопротивление элемента различным видам деформации).


Площадь плоских сечений

Площадь сечения является одной из геометрических характеристик, используемых, главным образом, в расчетах на растяжение и сжатие. При расчетах на кручение, изгиб, а также на устойчивость используются более сложные геометрические характеристики: статические моменты, моменты инерции, моменты сопротивления и т.д.

Проектирование конструкций с оптимальными формами и размерами сечений является одним из путей снижения веса и стоимости машин и сооружений.

Площадь, ограниченная произвольной кривой, есть

(1)

Для вычисления геометрических характеристик сложных сечений, состоящих из простейших фигур, они разбиваются на конечное число n простейших частей. В этом случае

. (2)

Площадь является простейшей геометрической характеристикой сечения, имеет размерность L2. Отметим два важных свойства: площадь всегда положительна и не зависит от выбора системы координат.

Для сечений, составленных из профилей стандартного проката, площадь каждого профиля и остальные необходимые для расчетов размеры принимаются по таблицам ГОСТов на прокатную сталь.




При расчетах на изгиб, кручение, сложное сопротивление и устойчивость используются более сложные геометрические характеристики: статические моменты, моменты инерции сечений, которые зависят не только от формы и размеров сечений, но также от положения осей и точек (полюсов), относительно которых они вычисляются.


Статические моменты сечения

Статическим моментом плоского сечения относительно некоторой оси называется, взятая по всей его площади ^ А, сумма произведений площадей элементарных площадок dA на их расстояния от этой оси (рис. 4.1):




; (3)

(4)

(5)

где yc – расстояние от центра тяжести всего плоского сечения до оси x; xc – расстояние от центра тяжести всего сечения до оси y.

Статический момент сложного сечения относительно некоторой оси равен сумме статических моментов всех частей этого сечения относительно той же оси:



(6)

В формулах (6) введены обозначения: А1, А2, …, Аn – площади простых элементов, составляющих плоское сложное сечение; x1, y1, x2, y2, x3, y3, … , xn, yn – координаты центров тяжести простых составляющих сложного плоского сечения относительно выбранных осей х и у.

Из выражений (4) можно определить координаты центра тяжести плоского сечения:

(7)

Для сложного поперечного сечения формулы (7) можно представить в следующем виде

(8)

Зависимости между статическими моментами одного и того же сечения относительно двух параллельных друг другу осей х и х1, а также у и у1 имеют вид:

(9)

где параметры a, b показаны на рис. 4.2.



Рис.4.2


У к а з а н и я.

1. Изменение положительного направления оси у вызывает изменение знака статического момента Sx. Аналогично, изменение положительного направления оси х вызывает изменение знака статического момента Sy.

2. Статический момент сечения равен нулю относительно любой оси, проходящей через центр тяжести этого сечения.

3. Если плоское сечение имеет ось симметрии, то эта ось всегда проходит через центр тяжести плоского сечения, а поэтому, согласно п.2, статический момент сечения относительно оси симметрии всегда равен нулю.

4. Если плоское сечение имеет две оси симметрии, то центр тяжести сечения лежит на пересечении этих осей симметрии.


Пример.

Определить положение центра тяжести неравнобокого уголка 160´100´10 (пренебрегая закруглениями его полок) относительно осей z и y, совпадающих с наружными сторонами контура (рис. 4.4). Найденные значения координат сравнить с табличными значениями по ГОСТ 8510-57.



Рис.4.4


Решение.

Пренебрегая загружением полок уголка, разбиваем фигуру на два прямоугольника, как показано на рис. 4.4. Для первого (1) прямоугольника







Для второго (2) прямоугольника







Координаты центра тяжести сечения определяем по формулам (8):





По данным сортамента с учетом закруглений координаты центра тяжести равны zc=2,28см; yc=5,23см.

Для проверки правильности вычислений определим статические моменты относительно центральных осей, которые должны быть равны нулю:



.

Графическая проверка: точка ^ С должна находиться на отрезке С1С2.


Моменты инерции плоских сечений простой формы

В дополнение к статическим мо­ментам в системе координат x0y рассмотрим три интегральных выражения:

(10)

Первые два интегральных выраже­ния называются осевыми моментами инерции относительно осей x и y, а третье - центробежным моментом инерции сечения относительно осей x, y.

Для сечений, состоящих из n-числа областей (рис. 4.5), фор­мулы (10) будут иметь вид:





Рис. 4.5


Рассмотрим, как изменяются моменты инерции сечения при параллельном переносе координатных осей x и y (см. рис. 4.6). Преобразуя формулы (10), получим:

(11)



Рис. 4.6


Если предположить, что оси x1 и y1 (см. рис. 4.6) являются цен­тральными, тогда и выражения (11) упрощаются и принимают вид:

(12)

Оси называются центральными, если они проходят через центр тяжести фигуры, т. е. статические моменты относительно этих осей равны нулю. Главными осями инерции фигуры называются оси относительно которых центробежный момент инерции равен нулю. Если фигура имеет хотя бы одну ось симметрии, то эта ось является главной осью.

Определим осевые моменты инерции прямоугольника относительно осей x и y , проходящих через его центр тяжести (рис. 4.6). В качестве элементарной пло­щадки возьмем полоску шириной b и высотой dy (рис. 4.4). Тогда будем иметь:



Аналогичным образом можно установить, что .

Центробежный момент инерции сечения относительно осей, хотя бы одна из которых является осью симметрии, равен нулю.

Для систем, рассматриваемых в полярной системе координат (рис. 4.7, а), вводится также полярный момент инерции:

.

где - радиус-вектор точки тела в заданной полярной системе ко­ординат.




Рис. 4.7


Вычислим полярный момент инерции круга радиуса R. На рис. 4.7, a показана элементарная площадка, очерченная двумя ра­диусами и двумя концентрическими поверхностями, площадью

.

Интегрирование по площади заменим двойным интегрировани­ем:

.

Hайдем зависимость между полярным и осевыми моментами инерции для круга. Из геометрии видно (рис. 4.7, б), что

,

следовательно,

.

Так как оси x и y для круга равнозначны, то .

Полярный момент инерции кольца может быть найден как разность моментов инерции двух кругов: наружного (радиусом ^ R) и внутреннего (радиусом r):

.

Размерность моментов инерции L4. Осевые и полярные моменты инерции всегда положительны, центробежный момент инерции может быть положительным, отрицательным, равным нулю.

Для фигур, имеющих более двух осей симметрии, осевые моменты инерции относительно всех центральных осей равны между собой. К таким фигурам относятся равносторонний треугольник, квадрат, круг и т.д.


Моменты инерции простых сечений

Вычислим моменты инерции простейших фигур.

Прямоугольник

Определим моменты инерции относительно осей, совпадающих со сторонами, и относительно центральных осей.

По определению .



Рис. 4.8


Элемент площади равен dA = bdy,

следовательно .

По формуле , откуда, учитывая что А = bh, yc = 0,5h, находим

.

Аналогично получим и .


Треугольник

Момент инерции относительно оси х, cовпадающей с основанием,

.

Но dA = b(y)dy, b(y) = (b/h)(h-y).

Cледовательно,

.



Рис. 4.9


По формуле параллельного переноса , откуда .


Круг

Для любых центральных осей , поэтому .

Как известно, полярный момент инерции круга равен .



Рис. 4.10


Следовательно, .


Кольцо ().

Момент инерции относительно оси (рис.4.11) можно определить как разность моментов инерции наружного и внутреннего круга:

.

Для тонкого кольца существует приближенная формула , где dср – средний диаметр, t - толщина кольца.



Рис. 4.11


Моменты инерции сечений сложной формы

Момент инерции сечения сложной формы относительно некоторой оси равен сумме моментов инерций его составных частей относительно той же оси:

, (13)

что непосредственно следует из свойств определенного интеграла. Таким образом, для вычисления момента инерции сложной фигуры надо разбить ее на ряд простых фигур, вычислить моменты инерции этих фигур, а затем просуммировать их.

Пример.

Определить момент инерции сечения, показанного на рис. 4.12, относительно оси симметрии, a=10 см.



Рис.4.12


Решение.

Разбиваем заданное сечение на простейшие элементы: I - Равнобедренный треугольник, II - прямоугольник, III - круг.

Момент инерции сложной фигуры относительно оси z согласно формуле (13):

.

Определяем моменты инерции слагаемых простейших элементов:

Для равнобедренного треугольника:

;

для прямоугольника согласно формуле:

;

для круга согласно формуле:

.

Окончательно получим:

Iz=4,0a4+10,67a4-0,0491a4=14,6a4=14,6×104=1,46×105 см4.


Пример 4.

Определить момент инерции симметричного сечения, показанного на рис. 4.13, относительно вертикальной оси симметрии y. Двутавр №10 (ГОСТ 8239-56). Швеллер №5 (ГОСТ 8240-56).



Рис.4.13


Решение.

Разбиваем исходное сечение на простейшие элементы, моменты инерций которых приводятся в справочниках: I - двутавр, II и III - швеллеры.

По сортаменту на стандартные прокатные профили имеем:

Для двутавра №10 (ГОСТ 8239-56): H=10 см, B=7 см, F=14,2 см2, Ix=244 см4, Iy=35,3 см4.

Для швеллера №5 (ГОСТ 8240-56): h=5 см, b=3,7 см, F=6,90 см2, Ix=26,1 см4, Iy=8,41 см4, x0=1,35 см.

Момент инерции сечения относительно оси y согласно (13)



т.к. оба швеллера расположены идентично относительно оси y.

Для двутавра .

Для швеллера сортам.=26,1 см4.

Окончательно имеем: .


Изменение моментов инерции сечения при повороте осей координат

Найдем зависимость между моментами инерции относительно осей х, у и моментами инерции относительно осей х1, у1, повернутых на угол . Пусть Jx > Jy и положительный угол отсчитывается от оси х против часовой стрелки. Пусть координаты точки М до поворота – x, y , после поворота – x1, y1 (рис. 4.14).



Рис.4.14


Из рисунка следует:



Теперь определим моменты инерции относительно осей х1 и у1:



или . (14)

Аналогично:

. (15)

(16)

Сложив почленно уравнения (14), (15), получим:

,

т.е. сумма моментов инерции относительно любых взаимно перпендикулярных осей остается постоянной

Главные оси инерции и главные моменты инерции

С изменением угла поворота осей каждая из величин и меняется, а сумма их остается неизменной. Следовательно, существует такое значение , при котором моменты инерции достигают экстремальных значений, т.е. один из моментов инерции достигает своего максимального значения, в то время другой момент инерции принимает минимальное значение. Для нахождения значения возьмем первую производную от (или ) и приравняем ее нулю:

,

или

,

откуда

. (17)

Покажем, что относительно полученных осей центробежный момент инерции равен нулю. Для этого приравняем правую часть уравнения (16) нулю:

,

откуда

,

т.е. получили ту же формулу для .

Оси, относительно которых центробежный момент инерции равен нулю, а осевые моменты инерции принимают экстремальные значения называются главными осями. Если эти оси являются также и центральными, то они называются главными центральными осями. Осевые моменты инерции относительно главных осей называются главными моментами инерции.

Обозначим главные оси через и . Тогда

,

,

.

Если сечение имеет ось симметрии, то эта ось всегда является одной из главных центральных осей инерции сечения.

В литературе главные оси иногда обозначаются через и .

Главные моменты инерции и могут быть также определены по формулам:





При повороте осей координат удовлетворяется следующее равенство:



Моменты сопротивления относительно главных центральных осей u и v могут быть подсчитаны по формулам:





где , - координаты точек сечения, наиболее удаленных от главных центральных осей u и v. Эти координаты можно вычислить, используя связь между координатами в повернутых на угол осях по формулам:






Понятие о радиусе и эллипсе инерции сечения

Радиусом инерции плоской фигуры относительно какой-либо оси, называется длина перпендикуляра, отсчитываемая от этой оси и вычисляемая по формуле:



(18)





Стандартные прокатные профили

В балках из металла обычно применяются сложные поперечные сечения, потому что в них материал может быть использован экономичнее, чем в таких сечениях, как прямоугольник и круг.

Так, известно, что валы делают полыми, чтобы удалить ту часть материала, которая слабо работает. Известно также, что при изгибе балок материал около нейтральной оси принимает на себя малые нормальные напряжения и также не может быть использован полностью. Поэтому целесообразнее переделать прямоугольное сечение так, чтобы удалить материал у нейтральной оси и часть его сэкономить, а часть перенести в верхнюю и нижнюю зоны балки, где он будет работать более интенсивно. Так получается из прямоугольного сечения профиль двутавра, обладающего той же прочностью и меньшим весом. Применение двутавра целесообразно при материалах, одинаково сопротивляющихся растяжению и сжатию (большинство металлов).

Сечения в виде тавра, применяются или в случаях, вызываемых специальными конструктивными обстоятельствами, или для таких материалов, как чугун, бетон, у которых сопротивления растяжению и сжатию резко разнятся между собой; последнее обстоятельство требует, чтобы напряжения в крайних волокнах были различными.

Как видно из изложенного, при решении вопроса о наиболее экономичном проектировании сечения следует стремиться к тому, чтобы при одной и той же площади F получить наибольший момент сопротивления и момент инерции. Это ведет к размещению большей части материала подальше от нейтральной оси.

Однако для некоторых сечений можно увеличить момент сопротивления не добавлением, а, наоборот, путем срезки некоторой части сечения, наиболее удаленной от нейтральной оси.

Так, например, для круглого сечения срезка заштрихованных сегментов (рис.4.18) несколько увеличивает момент сопротивления, так как при этом мы уменьшаем момент инерции сечения в меньшей степени, чем расстояние до крайнего волокна .


Рис.4.18


Нашей промышленностью выпускаются стандартные прокатные профили (двутавр, швеллер, уголок равнобокий, уголок неравнобокий), которые могут быть использованы как готовые элементы конструкций (балки, стойки, элементы ферм и т.д.). Размеры прокатных профилей стандартизированы и сведены в таблицы сортаментов прокатной стали, которые приводятся в приложениях почти всех учебников и сборников задач по сопротивлению материалов. В этих таблицах приводятся все размеры сечений и основные геометрические характеристики прокатных профилей в соответствии с их номером.


Алгоритм расчета геометрических характеристик плоских сечений

При анализе геометрических характеристик плоских сечений любой сложности важнейшей задачей является определение положения главных центральных осей, величин главных центральных моментов инерции и моментов сопротивления сечений.

Можно рекомендовать следующий порядок определения положения главных центральных осей, величин главных центральных моментов инерции и моментов сопротивления сложного профиля, состоящего из простых частей, характеристики которых либо известны, либо легко определяются.

1. Заданное сечение вычерчивается в определенном масштабе и разбивается на элементы геометрические характеристики которых представлены в сортаменте, либо могут быть вычислены по элементарным формулам, элементы нумеруются, номера элементов указываются на чертеже.

2. Проводим прямоугольную систему осей z, y. Начальные оси могут задаваться произвольно. Однако, для упрощения вычислений удобно, если начальные оси проходят через центр тяжести одного или нескольких элементов сечения, на которые разбито заданное сечение. Все начальные размеры, необходимые для вычисления геометрических характеристик элементов и определения координат центров тяжестей элементов указываются на чертеже. Для прокатных профилей на чертеже сечения указываются необходимые для расчета размеры, взятые из таблиц проката.

3. Определяем координаты центров тяжести элементов сечения относительно начальных осей zc, yc. и геометрические характеристики сечений относительно собственных осей элементов Аi, , , . Собственные оси элементов – оси, параллельные начальным осям zc, yc. проходящие через центры тяжестей элементов сечения.

Замечание. Необходимо проявлять внимательность при определении координат центров тяжестей элементов сечения и их геометрических характеристик, так как ошибки, допущенные на этом этапе не имеют алгоритма проверки и приводят к ошибочным результатам при дальнейших вычислениях.

4. Определяем координаты центра тяжести всего сечения по формулам:

; .

Центральные оси х, у (оси проходящие через центр тяжести всего сечения), параллельные начальным осям показываются на чертеже.

Для самостоятельной проверки правильности, определения координат центра тяжести сложного сечения делается проверка, согласно которой вычисляются статические моменты всего сечения относительно осей , . Должны иметь место равенства и в пределах точности производимых вычислений.

5. Проводим систему центральных осей , , таким образом, чтобы наиболее просто можно было вычислить моменты инерции частей фигуры относительно этих осей. Для этого определяем моменты инерции частей фигуры относительно собственных центральных осей, проведенных параллельно осям , , используя при этом формулы перехода к параллельным осям (12). Суммируя, получаем значения , , .

6. Определяем координаты центров тяжести элементов сечения относительно центральных осей сечения:

; .

Замечание. Геометрические характеристики сечений, координаты центров тяжести сечений относительно начальных и центральных осей целесообразно оформить в виде таблицы (см. пример расчета),

7. Проводим контроль правильности определения координат центров тяжести сечения и его элементов. Для этого вычисляется статический момент сечения относительно центральных осей, которые при правильном расчете должны равняться нулю:

; .

Замечание. Все расчеты проводятся с ограниченной точностью. Инженерные расчеты, обычно, проводят с учетом 3 – 4 значащих цифр. Оставлять большее число значащих цифр нецелесообразно, так как исходные данные (исходные размеры и значения геометрических характеристик) не обеспечивают большую точность и поэтому результаты с большим числом значащих цифр нельзя считать более достоверными. Точность результата оценивают, обычно, относя невязку (разность между приближенным и точным значением) к точному или приближенному значению. Однако, если результатом вычислений должен быть ноль, такой подход невозможен. В этом случае отдельно подсчитывают положительные и отрицательные слагаемые и абсолютное значение невязки и относят невязку к сумме положительных (или отрицательных) слагаемых:

.

Погрешность инженерных расчетов обычно не должна превышать 3%.

8. Определяем геометрические характеристики сечения – осевые, полярный и центробежный моменты инерции сечения относительно центральных осей

;

; ;

.

Заметим, что площадь, осевые и полярный моменты инерции являются строго положительными характеристиками сечений. Однако, для сечений с отверстиями бывает удобным считать отверстия элементами сечений с отрицательными характеристиками.

9. Определяем положение главных центральных осей. Положительный угол откладывается против хода часовой стрелки, отрицательный - по ходу часовой стрелки.

10. Определяем значения главных центральных моментов инерции и , причем ось, относительно которой имеет место максимальный, главный центральный момент инерции, обозначаем буквой u (Imax=Iu), а ей перпендикулярную ось, относительно которой имеет место минимальный, главный центральный момент инерции, обозначаем буквой v (Imin=Iv).

Для самостоятельного контроля правильности решения задачи на данном этапе делаются следующие проверки:

а) Определяется центробежный момент инерции относительно главных центральных осей , который согласно определению должен быть равен нулю, Iuv=0.

б) Также могут быть определены главные центральные моменты инерции сложного сечения Iu, Iv.

в) Должно удовлетворяться равенство:

.

11. Для определения моментов сопротивления сложного сечения необходимо определить точки, наиболее удаленные от главных центральных осей, координаты которых относительно главных центральных осей umax и vmax могут быть определены по формулам перехода к повернутым осям.

Для проверки, координаты точек, наиболее удаленных от главных центральных осей, могут быть определены и графически непосредственно с чертежа, выполненного в масштабе.

12. Для определения радиусов инерции производятся вычисления по формулам (18). При построении эллипса инерции от центра тяжести сечения по осям u и v откладываем в масштабе чертежа величины iv и iu каждый соответственно перпендикулярно своей оси. На этих отрезках, как на полуосях, строится эллипс инерции. Для проверки (или более точного построения эллипса инерции) могут быть отложены величины и .

Кручение, сдвиг, срез

Кручением называют деформацию, возникающую при действии на стержень пары сил, расположенной в плоскости, перпендикулярной к его оси (рис. 5.1).




Стержни круглого или кольцевого сечения, работающие на кручение, называют валами. При расчете валов обычно бывает известна мощность, передаваемая на вал, а величины внешних скручивающих моментов, подлежат определению. Внешние скручивающие моменты, как правило, передаются на вал в местах посадки на него шкивов, зубчатых колес и т.п.

Пусть вал вращается с постоянной скоростью n об/мин. и передает мощность N Нм/с. Угловая скорость вращения вала равна (рад/сек), а передаваемая мощность .

Скручивающий момент равен .

Если мощность задана в киловаттах, то величина скручивающего момента определяется по формуле

.


Построение эпюр крутящих моментов

Зная величины внешних скручивающих моментов и используя метод сечений, мы можем определить крутящие моменты, возникающие в поперечных сечениях вала. Крутящий момент Мк в сечении вала числено равен алгебраической сумме внешних скручивающих моментов, действующих по одну сторону от сечения, при этом могут рассматриваться как левая, так и правая отсеченные части вала.

Примем правило знаков для крутящего момента: его положительное направление соответствует повороту сечения по ходу часовой стрелки, если смотреть на сечение со стороны внешней нормали (рис. 5.2).



Рис.5.2


При наличии распределенной моментной нагрузки m (рис.5.3) крутящие моменты МК связаны дифференциальной зависимостью

(5.1)

из которой вытекает следующая формула:

(5.2)

где – крутящий момент в начале участка.

Согласно формуле (5.2) на участках с равномерно распределенной нагрузкой m крутящий момент изменяется по линейному закону. При отсутствии погонной нагрузки (m = 0) крутящий момент сохраняет постоянное значение (МК = МКо = const). В сечениях, где к валу приложены сосредоточенные скручивающие моменты, на эпюре МК возникают скачки, направленные вверх, если моменты направлены против часовой стрелки, либо вниз – при обратном направлении моментов.



Рис. 5.3





оставить комментарий
страница5/12
Ломунов Владимир Кириллович
Дата30.04.2012
Размер2.58 Mb.
ТипРабочая учебная программа, Образовательные материалы
Добавить документ в свой блог или на сайт

страницы: 1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   12
плохо
  3
хорошо
  2
отлично
  2
Ваша оценка:
Разместите кнопку на своём сайте или блоге:
rudocs.exdat.com

База данных защищена авторским правом ©exdat 2000-2014
При копировании материала укажите ссылку
обратиться к администрации
Анализ
Справочники
Сценарии
Рефераты
Курсовые работы
Авторефераты
Программы
Методички
Документы
Понятия

опубликовать
Документы

Рейтинг@Mail.ru
наверх