скачать
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ
Южный федеральный университет Технологический институт в г. Таганроге
Кафедра конструирования электронных средств
Методы математической физики
Таганрог 2010 Лекция №1. ВВЕДЕНИЕ. УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
Микроэлектроника является одной из наиболее динамично развивающихся и востребованных отраслей науки и техники. Элементы современных СБИС и микрооптикоэлектромеханических систем (МОЭМС) представляют собой сложные структуры, в основу функционирования которых положены разнообразные физические эффекты. Разработка подобных элементов практически невозможна без решения уравнений математической физики, представляющих собой, как правило, дифференциальные уравнения (ДУ) в частных производных. Нахождение точного аналитического решения, к сожалению, возможно лишь для весьма ограниченного круга одномерных задач при использовании целого ряда допущений, негативно отражающихся на адекватности полученных результатов. Для решения задач математической физики в случае нескольких измерений необходимо использовать численные методы, позволяющие преобразовать дифференциальные уравнения или их системы в системы алгебраических уравнений. Для решения полученных нелинейных систем алгебраических уравнений или линейных систем большой размерности используют итерационные методы. При этом одной из наиболее сложных проблем является обеспечение сходимости итерационного процесса, в значительной степени определяющей время вычислений. Точность решения определяется шагом координатной сетки, количеством итераций и разрядной сеткой компьютера. В данном курсе будут рассмотрены основные уравнения математической физики, особенности задания граничных и начальных условий, методы дискретизации дифференциальных уравнений в частных производных, методы решения систем алгебраических уравнений, представлены основные этапы решения задач матфизики, включая постановку задачи, выбор базиса переменных, метода дискретизации, формирование координатной сетки, выбор шаблона, метода решения, анализ сходимости и др. Рассмотренные методы решения уравнений будут проиллюстрированы примерами для системы MATLAB с комментариями и рекомендациями, позволяющими составить представление об основных правилах и приемах разработки компьютерных программ для решения уравнений математической физики. Методам решения подобных задач посвящено достаточно много монографий, учебников и учебных пособий, в частности, Самарский А.А., Андреев В.Б. Разностные методы для эллиптических уравнений. – М.: Наука, 1976. 352 с. Моделирование полупроводниковых приборов и технологических процессов. Последние достижения: Пер. с англ. / Под ред. Д. Миллера. – М.: Радио и связь, 1989. 280 с. Мэтьюз Д.Г., Финк К.Д. Численные методы. Использование MATLAB. 3-е издание.: Пер. с англ. – М.: Издательский дом «Вильямс», 2001. 720 с. Бубенников А.Н., Садовников А.Д. Физико-технологическое проектирование биполярных элементов кремниевых БИС. – М.: Радио и связь, 1991. 288 с. В данном курсе предпринята попытка достичь более полного соответствия целям подготовки специалистов в области проектирования электронно-вычислительных средств и микросистем по характеру материала, стилю его изложения и приводимым примерам. Разработка и исследование значительной части элементов современных СБИС и МОЭМС связана с решением так называемых задач математической физики (или сокращенно – матфизики), к которым относятся задачи теплопроводности, диффузии, электростатики и электродинамики, задачи о течении жидкости, о распределении плотности электрического тока в проводящей среде, задачи о деформациях твердых тел и многие другие. Подобные задачи описываются дифференциальными уравнениями в частных производных с дополнительными уравнениями, выражающими граничные и начальные условия. В курсе рассматриваются ДУ в частных производных не выше второго порядка, поскольку эти уравнения охватывают достаточно широкий диапазон физических явлений, положенных в основу функционирования элементов СБИС и МОЭМС и, кроме того, рассмотренные ниже методы решения применимы и к ДУ в частных производных более высоких порядков. В общем случае линейное дифференциальное уравнение в частных производных второго порядка с n независимыми переменными имеет вид , (1.1) где x = [x1, x2, … xn] – вектор (матрица-строка) независимых переменных1; u – искомая функция независимых переменных; A(x), B(x), C(x), f(x) – некоторые вещественные функции независимых переменных [1, 2]. Уравнение (1.1) всегда может быть приведено к одной из трех стандартных канонических форм. По соотношению значений A(x) уравнения относят к эллиптическим, параболическим или гиперболическим в точке x. В частности, для дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка с двумя независимыми переменными x, y, которые могут быть представлены в виде (1.2) тип ДУ определяется знаком выражения, называемого дискриминантом . (1.3) Если D(x, y) < 0, дифференциальное уравнение является эллиптическим в точке (x, y). Если D(x, y) = 0, дифференциальное уравнение является параболическим в точке (x, y). Если D(x, y) > 0, дифференциальное уравнение является гиперболическим в точке (x, y). Если коэффициенты Axx, Axy, Ayy постоянные и значение D не зависит от x, y, то в зависимости от знака D уравнение является полностью эллиптическим, гиперболическим или параболическим [1].
^
Рассмотрим некоторые задачи матфизики, приводящие к решению эллиптических уравнений.
Уравнение Лапласа
Многие стационарные (т.е. не изменяющиеся во времени) физические процессы описываются уравнениями эллиптического типа, в простейшем случае (однородной среды и отсутствия источников) – уравнением Лапласа [2], которое для трех направлений координат (x, y, z) может быть записано в виде , (1.4) где u = u(x, y, z) – искомая функция координат. В операторной форме уравнение Лапласа (1.4) может быть представлено следующим образом: , (1.5) где – оператор Лапласа. Рассмотрим задачу о стационарном распределении тепла в некотором объеме ^ , ограниченном замкнутой поверхностью S трехмерного пространства X = (x, y, z). Процесс теплопроводности, или кондукции, определяется законом Фурье, согласно которому вектор плотности теплового потока W пропорционален градиенту температуры Т = Т(x, y, z) [1]: , (1.6) где k = k(x, y, z) – коэффициент теплопроводности. Плотность теплового потока равна количеству теплоты, протекающему в единицу времени через единичную площадь изотермической поверхности [1]. Как правило, цель стационарной задачи теплопроводности сводится к необходимости нахождения зависимости температуры от координат (x, y, z) при известном распределении плотности источников тепла f(x, y, z). Поскольку функция f(x, y, z) не входит непосредственно в уравнение Фурье (1.6), необходимо выполнить ряд предварительных преобразований. Из приведенного выше определения плотности теплового потока следует, что суммарное количество тепла QS, прошедшее в единицу времени через замкнутую поверхность S, ограничивающую объем V, в общем случае выражается интегралом , (1.7) где dS – вектор, модуль которого численно равен площади dS соответствующего бесконечно малого элемента поверхности, а направление совпадает с направлением нормали к этому элементу; WdS = WdScos() – скалярное произведение векторов W и dS; – угол между ними. Суммарное количество тепла QV, выделяющегося в единицу времени в объеме V, ограниченном поверхностью S, определяется интегралом . (1.8) Очевидно, в данном случае уравнение баланса тепла должно отражать факт равенства количества тепла QS, прошедшего в единицу времени через замкнутую поверхность S, ограничивающую объем V, и количества тепла QV, выделяющегося в единицу времени в этом объеме: . (1.9) Согласно теореме Остроградского – Гаусса . (1.10) Тогда, подставив (1.10) в (1.9), получим ; (1.11) . (1.12) Подставив в уравнение (1.12) закон Фурье (1.6), получим уравнение для стационарной задачи теплопроводности в векторной форме . (1.13) Если источники тепла отсутствуют (f(x, y, z) = 0) и среда однородна (k(x, y, z) = const), уравнение (1.13) можно переписать в виде . (1.14) Учитывая, что по определению градиент некоторого скалярного поля u = u(x, y, z) определяется выражением , (1.15) где ex, ey, ez – единичные вектора (орты) в направлениях соответствующих координатных осей, а дивергенция некоторого векторного поля v = v(x, y, z) – выражением , (1.16) где vx, vy, vz - проекции вектора v на соответствующие оси координат, уравнение (1.14) можно переписать в частных производных (1.17) или в операторной форме , (1.18) т. е. в виде уравнения Лапласа. Процессы диффузии вещества во многом аналогичны процессам теплопроводности. При описании диффузии аналогом закона Фурье является закон Нернста, согласно которому вектор плотности потока вещества W пропорционален градиенту концентрации N = N(x, y, z) [1]: , (1.19) где D = D(x, y, z) – коэффициент диффузии. Плотность потока вещества равна количеству частиц вещества (атомов, молекул), диффундирующему в единицу времени через единичную площадь поверхности. Подставляя выражение (1.19) в уравнение (1.12), при отсутствии источников диффундирующего вещества ( f(x, y, z) = 0) и однородной среде (D(x, y, z) = const) получим уравнение Лапласа в векторной форме , (1.20) в частных производных (1.21) и в операторной форме . (1.22) К уравнению Лапласа приводят и многие другие задачи, например, задача о распределении электростатического поля в однородной непроводящей среде в отсутствие электрических зарядов. В общем виде данная задача описывается уравнениями Максвелла ; (1.23) , (1.24) где E = E(x, y, z) – вектор напряженности электрического поля; = (x, y, z) – объемная плотность электрических зарядов; = (x, y, z) – диэлектрическая проницаемость среды; 0 – электрическая постоянная. Уравнение (1.23) выражает отсутствие вихревых электрических полей. Если непроводящая среда однородна ((x, y, z) = const) и электрические заряды в объеме отсутствуют или уравновешены ((x, y, z) = 0), уравнение (1.24) принимает вид . (1.25) Поскольку напряженность электрического поля E связана с электрическим потенциалом равенством [1, 4] , (1.26) то, подставляя (1.26) в (1.25) и учитывая выражения (1.5), (1.15) и (1.16), получим уравнение Лапласа в векторной форме , (1.27) в частных производных (1.28) и в операторной форме . (1.29)
^
В общем случае в векторной форме уравнение Пуассона имеет вид [1, 4] , (1.30) где u = u(x, y, z) – искомая функция; A(x, y, z), f(x, y, z) – некоторые функции независимых переменных. Уравнение (1.30) может быть записано в частных производных как , (1.31) или в операторной форме как , (1.32) где - оператор Наббла, определяемый выражением . (1.33) Из выражений (1.30) – (1.32) видно, что уравнение Пуассона является обобщением уравнения Лапласа для случая отличной от нуля правой части. Покажем это на примерах, приведенных выше. Рассмотрим задачу о стационарном распределении тепла в некотором объеме ^ , ограниченном замкнутой поверхностью S трехмерного пространства X = (x, y, z), которая в векторной форме описывается уравнением (1.13). При наличии в объеме V источников тепла (f(x, y, z) 0) и в случае неоднородной среды (k = k(x, y, z)), уравнение (1.13) в частных производных можно переписать в виде , (1.34) или в операторной форме . (1.35) Если среда однородна (k(x, y, z) = const), то k можно вынести за знак частной производной в выражении (1.34) или за знак оператора Наббла в выражении (1.35). В результате получим частный случай уравнения Пуассона в виде , (1.36) или в операторной форме . (1.37) Если среда анизотропна, т.е. коэффициент теплопроводности k зависит от направления распространения тепла и является тензором , (1.38) то уравнение (1.34) преобразуется к виду [1] , (1.39) где пространство (x1, x2, x3) соответствует (x, y, z). Если в тензоре k только элементы главной диагонали отличны от нуля (kij = 0 для i j), то уравнение (1.39) может быть записано в виде . (1.40) Процессы диффузии при наличии источников диффундирующего вещества (f(x, y, z) 0) и в случае неоднородной среды (D = D(x, y, z)) описываются уравнением Пуассона в векторной форме , (1.41) в частных производных (1.42) или в операторной форме . (1.43) Для однородной среды (D(x, y, z) = const) аналогично выражениям (1.36), (1.37) можно записать (1.44) или в операторной форме . (1.45) Задача о распределении электростатического поля в непроводящей среде при наличии электрических зарядов описывается уравнениями (1.23), (1.24). С учетом выражения (1.26), в векторной форме можно записать , (1.46) в частных производных (1.47) или в операторной форме . (1.48) Для однородной среды ((x, y, z) = const) аналогично выражениям (1.36), (1.37) можно записать (1.49) или в операторной форме . (1.50)
Добавить документ в свой блог или на сайт
|