Лекция №1. Введение. Уравнения математической физики микроэлектроника является одной из наиболее динамично развивающихся и востребованных отраслей науки и техники. icon

Лекция №1. Введение. Уравнения математической физики микроэлектроника является одной из наиболее динамично развивающихся и востребованных отраслей науки и техники.


Смотрите также:
Международный туризм в настоящее время является одной из наиболее динамично развивающихся...
Программа по дисциплине уравнения математической физики...
Рабочая программа по дисциплине «Уравнения математической физики» для направления 010500...
Рабочая программа учебной дисциплины уравнения математической физики Наименование магистерской...
Учебно-методический комплекс «безопасность в туризме» для студентов отделения высшего...
Курсовая работа Построение веб-приложения на основе asp. Net и архитектуры сервера iis 0...
Программа курса «уравнения математической физики» для математического отделения...
Ю. П. Райзер Физика газового разряда. М.: Наука, 1987. 592...
Ю. П. Райзер Физика газового разряда. М.: Наука, 1987. 592...
Учебно-методический комплекс «безопасность в туризме» (для студентов отделения высшего...
Вопросы к экзамену по курсу уравнения математической физики...
Методические указания к компьютерному практикуму по курсу «Уравнения математической физики»...



Загрузка...
страницы:   1   2   3   4   5   6   7   8   9   10
скачать



МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ


Южный федеральный университет

Технологический институт в г. Таганроге


Кафедра конструирования электронных средств


Методы
математической
физики




Таганрог 2010

Лекция №1. ВВЕДЕНИЕ. УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ



Микроэлектроника является одной из наиболее динамично развивающихся и востребованных отраслей науки и техники. Элементы современных СБИС и микрооптикоэлектромеханических систем (МОЭМС) представляют собой сложные структуры, в основу функционирования которых положены разнообразные физические эффекты. Разработка подобных элементов практически невозможна без решения уравнений математической физики, представляющих собой, как правило, дифференциальные уравнения (ДУ) в частных производных.

Нахождение точного аналитического решения, к сожалению, возможно лишь для весьма ограниченного круга одномерных задач при использовании целого ряда допущений, негативно отражающихся на адекватности полученных результатов. Для решения задач математической физики в случае нескольких измерений необходимо использовать численные методы, позволяющие преобразовать дифференциальные уравнения или их системы в системы алгебраических уравнений. Для решения полученных нелинейных систем алгебраических уравнений или линейных систем большой размерности используют итерационные методы. При этом одной из наиболее сложных проблем является обеспечение сходимости итерационного процесса, в значительной степени определяющей время вычислений. Точность решения определяется шагом координатной сетки, количеством итераций и разрядной сеткой компьютера.

В данном курсе будут рассмотрены основные уравнения математической физики, особенности задания граничных и начальных условий, методы дискретизации дифференциальных уравнений в частных производных, методы решения систем алгебраических уравнений, представлены основные этапы решения задач матфизики, включая постановку задачи, выбор базиса переменных, метода дискретизации, формирование координатной сетки, выбор шаблона, метода решения, анализ сходимости и др.

Рассмотренные методы решения уравнений будут проиллюстрированы примерами для системы MATLAB с комментариями и рекомендациями, позволяющими составить представление об основных правилах и приемах разработки компьютерных программ для решения уравнений математической физики.

Методам решения подобных задач посвящено достаточно много монографий, учебников и учебных пособий, в частности,

  1. Самарский А.А., Андреев В.Б. Разностные методы для эллиптических уравнений. – М.: Наука, 1976. 352 с.

  2. Моделирование полупроводниковых приборов и технологических процессов. Последние достижения: Пер. с англ. / Под ред. Д. Миллера. – М.: Радио и связь, 1989. 280 с.

  3. Мэтьюз Д.Г., Финк К.Д. Численные методы. Использование MATLAB. 3-е издание.: Пер. с англ. – М.: Издательский дом «Вильямс», 2001. 720 с.

  4. Бубенников А.Н., Садовников А.Д. Физико-технологическое проектирование биполярных элементов кремниевых БИС. – М.: Радио и связь, 1991. 288 с.

В данном курсе предпринята попытка достичь более полного соответствия целям подготовки специалистов в области проектирования электронно-вычислительных средств и микросистем по характеру материала, стилю его изложения и приводимым примерам.

Разработка и исследование значительной части элементов современных СБИС и МОЭМС связана с решением так называемых задач математической физики (или сокращенно – матфизики), к которым относятся задачи теплопроводности, диффузии, электростатики и электродинамики, задачи о течении жидкости, о распределении плотности электрического тока в проводящей среде, задачи о деформациях твердых тел и многие другие.

Подобные задачи описываются дифференциальными уравнениями в частных производных с дополнительными уравнениями, выражающими граничные и начальные условия. В курсе рассматриваются ДУ в частных производных не выше второго порядка, поскольку эти уравнения охватывают достаточно широкий диапазон физических явлений, положенных в основу функционирования элементов СБИС и МОЭМС и, кроме того, рассмотренные ниже методы решения применимы и к ДУ в частных производных более высоких порядков. В общем случае линейное дифференциальное уравнение в частных производных второго порядка с n независимыми переменными имеет вид

, (1.1)

где x = [x1, x2, … xn] – вектор (матрица-строка) независимых переменных1; u – искомая функция независимых переменных; A(x), B(x), C(x), f(x) – некоторые вещественные функции независимых переменных [1, 2].

Уравнение (1.1) всегда может быть приведено к одной из трех стандартных канонических форм. По соотношению значений A(x) уравнения относят к эллиптическим, параболическим или гиперболическим в точке x. В частности, для дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка с двумя независимыми переменными x, y, которые могут быть представлены в виде

(1.2)

тип ДУ определяется знаком выражения, называемого дискриминантом

. (1.3)

Если D(x, y) < 0, дифференциальное уравнение является эллиптическим в точке (x, y).

Если D(x, y) = 0, дифференциальное уравнение является параболическим в точке (x, y).

Если D(x, y) > 0, дифференциальное уравнение является гиперболическим в точке (x, y).

Если коэффициенты Axx, Axy, Ayy постоянные и значение D не зависит от x, y, то в зависимости от знака D уравнение является полностью эллиптическим, гиперболическим или параболическим [1].

^

Лекция №2. ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ



Рассмотрим некоторые задачи матфизики, приводящие к решению эллиптических уравнений.

Уравнение Лапласа



Многие стационарные (т.е. не изменяющиеся во времени) физические процессы описываются уравнениями эллиптического типа, в простейшем случае (однородной среды и отсутствия источников) – уравнением Лапласа [2], которое для трех направлений координат (x, y, z) может быть записано в виде

, (1.4)

где u = u(x, y, z) – искомая функция координат.

В операторной форме уравнение Лапласа (1.4) может быть представлено следующим образом:

, (1.5)

где – оператор Лапласа.

Рассмотрим задачу о стационарном распределении тепла в некотором объеме ^ V, ограниченном замкнутой поверхностью S трехмерного пространства
X = (x, y, z).

Процесс теплопроводности, или кондукции, определяется законом Фурье, согласно которому вектор плотности теплового потока W пропорционален градиенту температуры Т = Т(x, y, z) [1]:

, (1.6)

где k = k(x, y, z) – коэффициент теплопроводности.

Плотность теплового потока равна количеству теплоты, протекающему в единицу времени через единичную площадь изотермической поверхности [1].

Как правило, цель стационарной задачи теплопроводности сводится к необходимости нахождения зависимости температуры от координат
(x, y, z) при известном распределении плотности источников тепла f(x, y, z). Поскольку функция f(x, y, z) не входит непосредственно в уравнение Фурье (1.6), необходимо выполнить ряд предварительных преобразований.

Из приведенного выше определения плотности теплового потока следует, что суммарное количество тепла QS, прошедшее в единицу времени через замкнутую поверхность S, ограничивающую объем V, в общем случае выражается интегралом

, (1.7)

где dS – вектор, модуль которого численно равен площади dS соответствующего бесконечно малого элемента поверхности, а направление совпадает с направлением нормали к этому элементу; WdS = WdScos() – скалярное произведение векторов W и dS;  – угол между ними.

Суммарное количество тепла QV, выделяющегося в единицу времени в объеме V, ограниченном поверхностью S, определяется интегралом


. (1.8)

Очевидно, в данном случае уравнение баланса тепла должно отражать факт равенства количества тепла QS, прошедшего в единицу времени через замкнутую поверхность S, ограничивающую объем V, и количества тепла QV, выделяющегося в единицу времени в этом объеме:

. (1.9)

Согласно теореме Остроградского – Гаусса

. (1.10)

Тогда, подставив (1.10) в (1.9), получим

; (1.11)

. (1.12)

Подставив в уравнение (1.12) закон Фурье (1.6), получим уравнение для стационарной задачи теплопроводности в векторной форме

. (1.13)

Если источники тепла отсутствуют (f(x, y, z) = 0) и среда однородна
(k(x, y, z) = const), уравнение (1.13) можно переписать в виде

. (1.14)

Учитывая, что по определению градиент некоторого скалярного поля
u = u(x, y, z) определяется выражением

, (1.15)

где ex, ey, ez – единичные вектора (орты) в направлениях соответствующих координатных осей, а дивергенция некоторого векторного поля v = v(x, y, z) – выражением

, (1.16)

где vx, vy, vz - проекции вектора v на соответствующие оси координат, уравнение (1.14) можно переписать в частных производных

(1.17)

или в операторной форме

, (1.18)

т. е. в виде уравнения Лапласа.

Процессы диффузии вещества во многом аналогичны процессам теплопроводности. При описании диффузии аналогом закона Фурье является закон Нернста, согласно которому вектор плотности потока вещества W пропорционален градиенту концентрации N = N(x, y, z) [1]:

, (1.19)

где D = D(x, y, z) – коэффициент диффузии.

Плотность потока вещества равна количеству частиц вещества (атомов, молекул), диффундирующему в единицу времени через единичную площадь поверхности.

Подставляя выражение (1.19) в уравнение (1.12), при отсутствии источников диффундирующего вещества ( f(x, y, z) = 0) и однородной среде
(D(x, y, z) = const) получим уравнение Лапласа в векторной форме

, (1.20)

в частных производных

(1.21)

и в операторной форме

. (1.22)

К уравнению Лапласа приводят и многие другие задачи, например, задача о распределении электростатического поля в однородной непроводящей среде в отсутствие электрических зарядов.

В общем виде данная задача описывается уравнениями Максвелла

; (1.23)

, (1.24)

где E = E(x, y, z) – вектор напряженности электрического поля; = (x, y, z) – объемная плотность электрических зарядов; = (x, y, z) – диэлектрическая проницаемость среды; 0 – электрическая постоянная. Уравнение (1.23) выражает отсутствие вихревых электрических полей.

Если непроводящая среда однородна ((x, y, z) = const) и электрические заряды в объеме отсутствуют или уравновешены ((x, y, z) = 0), уравнение (1.24) принимает вид

. (1.25)

Поскольку напряженность электрического поля E связана с электрическим потенциалом равенством [1, 4]

, (1.26)

то, подставляя (1.26) в (1.25) и учитывая выражения (1.5), (1.15) и (1.16), получим уравнение Лапласа в векторной форме

, (1.27)

в частных производных

(1.28)

и в операторной форме

. (1.29)

^

Уравнение Пуассона



В общем случае в векторной форме уравнение Пуассона имеет вид [1, 4]

, (1.30)

где u = u(x, y, z) – искомая функция; A(x, y, z), f(x, y, z) – некоторые функции независимых переменных.

Уравнение (1.30) может быть записано в частных производных как

, (1.31)

или в операторной форме как

, (1.32)

где  - оператор Наббла, определяемый выражением

. (1.33)

Из выражений (1.30) – (1.32) видно, что уравнение Пуассона является обобщением уравнения Лапласа для случая отличной от нуля правой части. Покажем это на примерах, приведенных выше.

Рассмотрим задачу о стационарном распределении тепла в некотором объеме ^ V, ограниченном замкнутой поверхностью S трехмерного пространства
X = (x, y, z), которая в векторной форме описывается уравнением (1.13).

При наличии в объеме V источников тепла (f(x, y, z)  0) и в случае неоднородной среды (k = k(x, y, z)), уравнение (1.13) в частных производных можно переписать в виде

, (1.34)

или в операторной форме

. (1.35)

Если среда однородна (k(x, y, z) = const), то k можно вынести за знак частной производной в выражении (1.34) или за знак оператора Наббла в выражении (1.35). В результате получим частный случай уравнения Пуассона в виде

, (1.36)

или в операторной форме

. (1.37)

Если среда анизотропна, т.е. коэффициент теплопроводности k зависит от направления распространения тепла и является тензором

, (1.38)

то уравнение (1.34) преобразуется к виду [1]

, (1.39)

где пространство (x1, x2, x3) соответствует (x, y, z).

Если в тензоре k только элементы главной диагонали отличны от нуля
(kij = 0 для i j), то уравнение (1.39) может быть записано в виде

. (1.40)

Процессы диффузии при наличии источников диффундирующего вещества (f(x, y, z)  0) и в случае неоднородной среды (D = D(x, y, z)) описываются уравнением Пуассона в векторной форме

, (1.41)

в частных производных

(1.42)

или в операторной форме

. (1.43)

Для однородной среды (D(x, y, z) = const) аналогично выражениям (1.36), (1.37) можно записать

(1.44)

или в операторной форме

. (1.45)

Задача о распределении электростатического поля в непроводящей среде при наличии электрических зарядов описывается уравнениями (1.23), (1.24). С учетом выражения (1.26), в векторной форме можно записать

, (1.46)

в частных производных

(1.47)

или в операторной форме

. (1.48)

Для однородной среды ((x, y, z) = const) аналогично выражениям (1.36), (1.37) можно записать

(1.49)

или в операторной форме

. (1.50)





оставить комментарий
страница1/10
Дата30.04.2012
Размер1,12 Mb.
ТипЛекция, Образовательные материалы
Добавить документ в свой блог или на сайт

страницы:   1   2   3   4   5   6   7   8   9   10
плохо
  1
отлично
  5
Ваша оценка:
Разместите кнопку на своём сайте или блоге:
rudocs.exdat.com

Загрузка...
База данных защищена авторским правом ©exdat 2000-2017
При копировании материала укажите ссылку
обратиться к администрации
Анализ
Справочники
Сценарии
Рефераты
Курсовые работы
Авторефераты
Программы
Методички
Документы
Понятия

опубликовать
Загрузка...
Документы

наверх