скачать
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ
Южный федеральный университет
Технологический институт в г. Таганроге
Кафедра конструирования электронных средств
Методы
математической
физики
Таганрог 2010 Лекция №1. ВВЕДЕНИЕ. УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
Микроэлектроника является одной из наиболее динамично развивающихся и востребованных отраслей науки и техники. Элементы современных СБИС и микрооптикоэлектромеханических систем (МОЭМС) представляют собой сложные структуры, в основу функционирования которых положены разнообразные физические эффекты. Разработка подобных элементов практически невозможна без решения уравнений математической физики, представляющих собой, как правило, дифференциальные уравнения (ДУ) в частных производных.
Нахождение точного аналитического решения, к сожалению, возможно лишь для весьма ограниченного круга одномерных задач при использовании целого ряда допущений, негативно отражающихся на адекватности полученных результатов. Для решения задач математической физики в случае нескольких измерений необходимо использовать численные методы, позволяющие преобразовать дифференциальные уравнения или их системы в системы алгебраических уравнений. Для решения полученных нелинейных систем алгебраических уравнений или линейных систем большой размерности используют итерационные методы. При этом одной из наиболее сложных проблем является обеспечение сходимости итерационного процесса, в значительной степени определяющей время вычислений. Точность решения определяется шагом координатной сетки, количеством итераций и разрядной сеткой компьютера.
В данном курсе будут рассмотрены основные уравнения математической физики, особенности задания граничных и начальных условий, методы дискретизации дифференциальных уравнений в частных производных, методы решения систем алгебраических уравнений, представлены основные этапы решения задач матфизики, включая постановку задачи, выбор базиса переменных, метода дискретизации, формирование координатной сетки, выбор шаблона, метода решения, анализ сходимости и др.
Рассмотренные методы решения уравнений будут проиллюстрированы примерами для системы MATLAB с комментариями и рекомендациями, позволяющими составить представление об основных правилах и приемах разработки компьютерных программ для решения уравнений математической физики.
Методам решения подобных задач посвящено достаточно много монографий, учебников и учебных пособий, в частности,
Самарский А.А., Андреев В.Б. Разностные методы для эллиптических уравнений. – М.: Наука, 1976. 352 с.
Моделирование полупроводниковых приборов и технологических процессов. Последние достижения: Пер. с англ. / Под ред. Д. Миллера. – М.: Радио и связь, 1989. 280 с.
Мэтьюз Д.Г., Финк К.Д. Численные методы. Использование MATLAB. 3-е издание.: Пер. с англ. – М.: Издательский дом «Вильямс», 2001. 720 с.
Бубенников А.Н., Садовников А.Д. Физико-технологическое проектирование биполярных элементов кремниевых БИС. – М.: Радио и связь, 1991. 288 с.
В данном курсе предпринята попытка достичь более полного соответствия целям подготовки специалистов в области проектирования электронно-вычислительных средств и микросистем по характеру материала, стилю его изложения и приводимым примерам.
Разработка и исследование значительной части элементов современных СБИС и МОЭМС связана с решением так называемых задач математической физики (или сокращенно – матфизики), к которым относятся задачи теплопроводности, диффузии, электростатики и электродинамики, задачи о течении жидкости, о распределении плотности электрического тока в проводящей среде, задачи о деформациях твердых тел и многие другие.
Подобные задачи описываются дифференциальными уравнениями в частных производных с дополнительными уравнениями, выражающими граничные и начальные условия. В курсе рассматриваются ДУ в частных производных не выше второго порядка, поскольку эти уравнения охватывают достаточно широкий диапазон физических явлений, положенных в основу функционирования элементов СБИС и МОЭМС и, кроме того, рассмотренные ниже методы решения применимы и к ДУ в частных производных более высоких порядков. В общем случае линейное дифференциальное уравнение в частных производных второго порядка с n независимыми переменными имеет вид
 , (1.1)
где x = [x1, x2, … xn] – вектор (матрица-строка) независимых переменных1; u – искомая функция независимых переменных; A(x), B(x), C(x), f(x) – некоторые вещественные функции независимых переменных [1, 2].
Уравнение (1.1) всегда может быть приведено к одной из трех стандартных канонических форм. По соотношению значений A(x) уравнения относят к эллиптическим, параболическим или гиперболическим в точке x. В частности, для дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка с двумя независимыми переменными x, y, которые могут быть представлены в виде
 (1.2)
тип ДУ определяется знаком выражения, называемого дискриминантом
 . (1.3)
Если D(x, y) < 0, дифференциальное уравнение является эллиптическим в точке (x, y).
Если D(x, y) = 0, дифференциальное уравнение является параболическим в точке (x, y).
Если D(x, y) > 0, дифференциальное уравнение является гиперболическим в точке (x, y).
Если коэффициенты Axx, Axy, Ayy постоянные и значение D не зависит от x, y, то в зависимости от знака D уравнение является полностью эллиптическим, гиперболическим или параболическим [1].
^
Рассмотрим некоторые задачи матфизики, приводящие к решению эллиптических уравнений.
Уравнение Лапласа
Многие стационарные (т.е. не изменяющиеся во времени) физические процессы описываются уравнениями эллиптического типа, в простейшем случае (однородной среды и отсутствия источников) – уравнением Лапласа [2], которое для трех направлений координат (x, y, z) может быть записано в виде
 , (1.4)
где u = u(x, y, z) – искомая функция координат.
В операторной форме уравнение Лапласа (1.4) может быть представлено следующим образом:
 , (1.5)
где  – оператор Лапласа.
Рассмотрим задачу о стационарном распределении тепла в некотором объеме ^ , ограниченном замкнутой поверхностью S трехмерного пространства
X = (x, y, z).
Процесс теплопроводности, или кондукции, определяется законом Фурье, согласно которому вектор плотности теплового потока W пропорционален градиенту температуры Т = Т(x, y, z) [1]:
 , (1.6)
где k = k(x, y, z) – коэффициент теплопроводности.
Плотность теплового потока равна количеству теплоты, протекающему в единицу времени через единичную площадь изотермической поверхности [1].
Как правило, цель стационарной задачи теплопроводности сводится к необходимости нахождения зависимости температуры от координат
(x, y, z) при известном распределении плотности источников тепла f(x, y, z). Поскольку функция f(x, y, z) не входит непосредственно в уравнение Фурье (1.6), необходимо выполнить ряд предварительных преобразований.
Из приведенного выше определения плотности теплового потока следует, что суммарное количество тепла QS, прошедшее в единицу времени через замкнутую поверхность S, ограничивающую объем V, в общем случае выражается интегралом
 , (1.7)
где dS – вектор, модуль которого численно равен площади dS соответствующего бесконечно малого элемента поверхности, а направление совпадает с направлением нормали к этому элементу; WdS = WdScos() – скалярное произведение векторов W и dS; – угол между ними.
Суммарное количество тепла QV, выделяющегося в единицу времени в объеме V, ограниченном поверхностью S, определяется интегралом
 . (1.8)
Очевидно, в данном случае уравнение баланса тепла должно отражать факт равенства количества тепла QS, прошедшего в единицу времени через замкнутую поверхность S, ограничивающую объем V, и количества тепла QV, выделяющегося в единицу времени в этом объеме:
 . (1.9)
Согласно теореме Остроградского – Гаусса
 . (1.10)
Тогда, подставив (1.10) в (1.9), получим
 ; (1.11)
 . (1.12)
Подставив в уравнение (1.12) закон Фурье (1.6), получим уравнение для стационарной задачи теплопроводности в векторной форме
 . (1.13)
Если источники тепла отсутствуют (f(x, y, z) = 0) и среда однородна
(k(x, y, z) = const), уравнение (1.13) можно переписать в виде
 . (1.14)
Учитывая, что по определению градиент некоторого скалярного поля
u = u(x, y, z) определяется выражением
 , (1.15)
где ex, ey, ez – единичные вектора (орты) в направлениях соответствующих координатных осей, а дивергенция некоторого векторного поля v = v(x, y, z) – выражением
 , (1.16)
где vx, vy, vz - проекции вектора v на соответствующие оси координат, уравнение (1.14) можно переписать в частных производных
 (1.17)
или в операторной форме
 , (1.18)
т. е. в виде уравнения Лапласа.
Процессы диффузии вещества во многом аналогичны процессам теплопроводности. При описании диффузии аналогом закона Фурье является закон Нернста, согласно которому вектор плотности потока вещества W пропорционален градиенту концентрации N = N(x, y, z) [1]:
 , (1.19)
где D = D(x, y, z) – коэффициент диффузии.
Плотность потока вещества равна количеству частиц вещества (атомов, молекул), диффундирующему в единицу времени через единичную площадь поверхности.
Подставляя выражение (1.19) в уравнение (1.12), при отсутствии источников диффундирующего вещества ( f(x, y, z) = 0) и однородной среде
(D(x, y, z) = const) получим уравнение Лапласа в векторной форме
 , (1.20)
в частных производных
 (1.21)
и в операторной форме
 . (1.22)
К уравнению Лапласа приводят и многие другие задачи, например, задача о распределении электростатического поля в однородной непроводящей среде в отсутствие электрических зарядов.
В общем виде данная задача описывается уравнениями Максвелла
 ; (1.23)
 , (1.24)
где E = E(x, y, z) – вектор напряженности электрического поля; = (x, y, z) – объемная плотность электрических зарядов; = (x, y, z) – диэлектрическая проницаемость среды; 0 – электрическая постоянная. Уравнение (1.23) выражает отсутствие вихревых электрических полей.
Если непроводящая среда однородна ((x, y, z) = const) и электрические заряды в объеме отсутствуют или уравновешены ((x, y, z) = 0), уравнение (1.24) принимает вид
 . (1.25)
Поскольку напряженность электрического поля E связана с электрическим потенциалом равенством [1, 4]
 , (1.26)
то, подставляя (1.26) в (1.25) и учитывая выражения (1.5), (1.15) и (1.16), получим уравнение Лапласа в векторной форме
 , (1.27)
в частных производных
 (1.28)
и в операторной форме
 . (1.29)
^
В общем случае в векторной форме уравнение Пуассона имеет вид [1, 4]
 , (1.30)
где u = u(x, y, z) – искомая функция; A(x, y, z), f(x, y, z) – некоторые функции независимых переменных.
Уравнение (1.30) может быть записано в частных производных как
 , (1.31)
или в операторной форме как
 , (1.32)
где - оператор Наббла, определяемый выражением
 . (1.33)
Из выражений (1.30) – (1.32) видно, что уравнение Пуассона является обобщением уравнения Лапласа для случая отличной от нуля правой части. Покажем это на примерах, приведенных выше.
Рассмотрим задачу о стационарном распределении тепла в некотором объеме ^ , ограниченном замкнутой поверхностью S трехмерного пространства
X = (x, y, z), которая в векторной форме описывается уравнением (1.13).
При наличии в объеме V источников тепла (f(x, y, z) 0) и в случае неоднородной среды (k = k(x, y, z)), уравнение (1.13) в частных производных можно переписать в виде
 , (1.34)
или в операторной форме
 . (1.35)
Если среда однородна (k(x, y, z) = const), то k можно вынести за знак частной производной в выражении (1.34) или за знак оператора Наббла в выражении (1.35). В результате получим частный случай уравнения Пуассона в виде
 , (1.36)
или в операторной форме
 . (1.37)
Если среда анизотропна, т.е. коэффициент теплопроводности k зависит от направления распространения тепла и является тензором
 , (1.38)
то уравнение (1.34) преобразуется к виду [1]
 , (1.39)
где пространство (x1, x2, x3) соответствует (x, y, z).
Если в тензоре k только элементы главной диагонали отличны от нуля
(kij = 0 для i j), то уравнение (1.39) может быть записано в виде
 . (1.40)
Процессы диффузии при наличии источников диффундирующего вещества (f(x, y, z) 0) и в случае неоднородной среды (D = D(x, y, z)) описываются уравнением Пуассона в векторной форме
 , (1.41)
в частных производных
 (1.42)
или в операторной форме
 . (1.43)
Для однородной среды (D(x, y, z) = const) аналогично выражениям (1.36), (1.37) можно записать
 (1.44)
или в операторной форме
 . (1.45)
Задача о распределении электростатического поля в непроводящей среде при наличии электрических зарядов описывается уравнениями (1.23), (1.24). С учетом выражения (1.26), в векторной форме можно записать
 , (1.46)
в частных производных
 (1.47)
или в операторной форме
 . (1.48)
Для однородной среды ((x, y, z) = const) аналогично выражениям (1.36), (1.37) можно записать
 (1.49)
или в операторной форме
 . (1.50)
Добавить документ в свой блог или на сайт
|
